Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) बिंदु आवेश $Q$ के कारण $r$ दूरी पर विद्युत विभव $V$ का सूत्र $V = \frac{kQ}{r}$ है,जहाँ $k = 9 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$ है।
हाइड्रोजन नाभिक के लिए,आवेश $Q = +e = 1.6 \times 10^{-19} \, C$ है।
कक्षा की त्रिज्या $r = 0.53 \times 10^{-10} \, m$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$V = \frac{14.4 \times 10^{-10}}{0.53 \times 10^{-10}}$
$V \approx 27.17 \, V \approx 27.2 \, V$.

(B) परिक्रमण करने वाले आवेश द्वारा उत्पन्न धारा $I$ को सूत्र $I = qf$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $q$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है और $f$ परिक्रमण की आवृत्ति है।
दिया गया है:
इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
आवृत्ति $f = 6.6 \times 10^{15} \, \text{rev/s}$
मान रखने पर:
$I = (1.6 \times 10^{-19} \, C) \times (6.6 \times 10^{15} \, \text{s}^{-1})$
$I = 10.56 \times 10^{-4} \, A$
$I \approx 1.056 \times 10^{-3} \, A$
$I \approx 1 \, mA$
अतः, समतुल्य धारा लगभग $1 \, mA$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन के परिक्रमण का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $i$ आवेश के प्रवाह की दर है,इसलिए $i = \frac{e}{T}$ होता है।
$T$ का मान रखने पर,हमें $i = \frac{ev}{2\pi r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$v = 2 \times 10^6 \ m/s$,और $r = 0.5 \ \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \ m$.
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 2 \times 10^6}{2 \times 3.14 \times 0.5 \times 10^{-10}}$.
$i = \frac{3.2 \times 10^{-13}}{3.14 \times 10^{-10}} \approx 1.019 \times 10^{-3} \ A$.
$mA$ में बदलने पर,$i \approx 1 \ mA$ प्राप्त होता है।

(C) डी-ब्रोग्ली परिकल्पना के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की परिधि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य के पूर्णांक गुणज के बराबर होती है: $2\pi r_n = n\lambda$.
दिया गया है: तरंगदैर्ध्य $\lambda = 10^{-9} \ m$.
हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 a_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0 = 0.529 \times 10^{-10} \ m$ है।
$n=3$ के लिए,$r_3 = 3^2 \times 0.529 \times 10^{-10} \ m = 9 \times 0.529 \times 10^{-10} \ m \approx 4.76 \times 10^{-10} \ m$.
शर्त $n = \frac{2\pi r_n}{\lambda}$ का उपयोग करने पर:
$n = \frac{2 \times 3.14159 \times 4.76 \times 10^{-10}}{10^{-9}} \approx 3$.
अतः,मुख्य क्वांटम संख्या $3$ है।

(D) बोर के हाइड्रोजन परमाणु मॉडल के अनुसार,$n$ वीं स्थिर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
इस व्यंजक में,$\varepsilon_0$ निर्वात की विद्युतशीलता है,$h$ प्लांक नियतांक है,$Z$ परमाणु क्रमांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $e$ इलेक्ट्रॉन का आवेश है।
चूंकि ये सभी पैरामीटर एक दिए गए परमाणु के लिए स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या $r$ मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है।
अतः,$r \propto n^2$।

(D) ऊर्जा स्तरों के बीच संक्रमण के दौरान उत्सर्जित स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
$n_2 = 2$ से $n_1 = 1$ के संक्रमण के लिए,पद $\left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) = \frac{3}{4}$ सभी हाइड्रोजन-समान प्रजातियों के लिए स्थिर है।
इसलिए,$\frac{1}{\lambda} \propto Z^2$,जिसका अर्थ है $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
न्यूनतम तरंगदैर्ध्य $\lambda$ प्राप्त करने के लिए,परमाणु क्रमांक $Z$ अधिकतम होना चाहिए।
- हाइड्रोजन परमाणु $(H)$: $Z = 1$
- ड्यूटेरियम परमाणु $(D)$: $Z = 1$
- एक-आयनित हीलियम $(He^+)$: $Z = 2$
- द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$: $Z = 3$
चूंकि $Li^{2+}$ का परमाणु क्रमांक $(Z = 3)$ सबसे अधिक है,इसलिए यह न्यूनतम तरंगदैर्ध्य वाली स्पेक्ट्रल रेखा उत्पन्न करेगा।

(B) रैखिक संवेग $p$ किसी वस्तु के द्रव्यमान $m$ और उसके वेग $v$ का गुणनफल होता है।
$p = m \times v$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$
वेग $v = 2.2 \times 10^6 \ m/s$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$p = (9.1 \times 10^{-31} \ kg) \times (2.2 \times 10^6 \ m/s)$
$p = (9.1 \times 2.2) \times 10^{-31+6} \ kg \cdot m/s$
$p = 20.02 \times 10^{-25} \ kg \cdot m/s$
$p = 2.002 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर:
$p \approx 2.0 \times 10^{-24} \ kg \cdot m/s$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) बोहर के मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
दूसरी बोहर कक्षा के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर,हमें $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी बोहर कक्षा की त्रिज्या $4 a_0$ है।

(C) दूसरे $He$ इलेक्ट्रॉन के आयनन के लिए,$He^+$ आयन एक हाइड्रोजन-समान परमाणु के रूप में कार्य करता है,जिसका परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
हाइड्रोजन-समान परमाणु के लिए आयनन ऊर्जा का सूत्र $E = Z^2 \times 13.6 \, eV$ है।
सूत्र में $Z = 2$ रखने पर:
$E = (2)^2 \times 13.6 \, eV = 4 \times 13.6 \, eV = 54.4 \, eV$.
अतः,आयनन विभव $54.4 \, V$ है।

(B) $CGS$ प्रणाली में,हाइड्रोजन परमाणु में $r$ त्रिज्या की कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थिर वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{e^2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
$1/r$ विभव वाली प्रणाली के लिए विरियल प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $U$ के बीच संबंध $K = -\frac{1}{2}U$ होता है।
$U$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $K = -\frac{1}{2} \left( -\frac{e^2}{r} \right) = \frac{e^2}{2r}$.

(B) मान लीजिए कि अवस्थाओं $A, B$ और $C$ की ऊर्जाएँ क्रमशः $E_A, E_B$ और $E_C$ हैं।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,$C$ से $A$ तक के संक्रमण की ऊर्जा,$C$ से $B$ और $B$ से $A$ तक के संक्रमणों की ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है।
अतः,$(E_C - E_A) = (E_C - E_B) + (E_B - E_A)$।
संबंध $E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करके,हम लिख सकते हैं:
$\frac{hc}{\lambda_3} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_2}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_2}$
$\frac{1}{\lambda_3} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2}$
इसलिए,$\lambda_3 = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}$।

(C) बोर के दूसरे अभिगृहीत के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में परिक्रमा करने वाले इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ क्वांटीकृत होता है।
यह संबंध $L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या $(n = 1, 2, 3, ...)$ है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $m, v, r$ क्रमशः इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,वेग और कक्षा की त्रिज्या हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की आयनन ऊर्जा का सूत्र $E_n = 13.6 \times Z^2 \text{ eV}$ है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है।
सोडियम $(Na)$ परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 11$ है।
$10$ बार आयनित सोडियम परमाणु एक हाइड्रोजन जैसा आयन है जिसमें एक इलेक्ट्रॉन शेष रहता है।
अतः,आयनन ऊर्जा $E = 13.6 \times Z^2 \text{ eV} = 13.6 \times (11)^2 \text{ eV}$ होगी।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$r = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi Z m e^2}$
इस व्यंजक में,$\varepsilon_0$,$h$,$\pi$,$m$,और $e$ सभी भौतिक नियतांक हैं।
अतः,त्रिज्या $r$,$n^2$ के सीधे समानुपाती और $Z$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इस प्रकार,$r \propto \frac{n^2}{Z}$.

(B) बोर के मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ संबंध द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि दूसरी कक्षा $(n=2)$ की त्रिज्या $R$ है,इसलिए $r_2 = k(2)^2 = 4k = R$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$k = \frac{R}{4}$ है।
तीसरी कक्षा $(n=3)$ के लिए,त्रिज्या $r_3 = k(3)^2 = 9k$ होगी।
$k$ का मान रखने पर,हमें $r_3 = 9 \times \frac{R}{4} = 2.25 R$ प्राप्त होता है।

(A) $C.G.S.$ प्रणाली में,नाभिक (आवेश $Ze$) और इलेक्ट्रॉन (आवेश $e$) के बीच स्थिर-वैद्युत आकर्षण बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
स्थिर-वैद्युत बल $F_e = \frac{(Ze)(e)}{r^2} = \frac{Ze^2}{r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $F_c = \frac{mv^2}{r}$ है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $\frac{mv^2}{r} = \frac{Ze^2}{r^2}$।
दोनों पक्षों को $r$ से गुणा करने पर,हमें $mv^2 = \frac{Ze^2}{r}$ प्राप्त होता है।
गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{1}{2}mv^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$mv^2$ का मान रखने पर: $K = \frac{1}{2} \left( \frac{Ze^2}{r} \right) = \frac{Ze^2}{2r}$।

(D) कोणीय संवेग के क्वांटाइजेशन के लिए बोर की अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = mvr = n\frac{h}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2\pi r = n\left(\frac{h}{mv}\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,कक्षा की परिधि $2\pi r = n\lambda$ होती है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए बोहर के मॉडल के अनुसार,$r$ त्रिज्या वाली कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
उसी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P.E. = -\frac{kZe^2}{r}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों व्यंजकों को विभाजित करते हैं:
$\frac{K.E.}{P.E.} = \frac{\frac{kZe^2}{2r}}{-\frac{kZe^2}{r}} = -\frac{1}{2} = -0.5$.
अतः,अनुपात $-0.5$ है।

(C) तरंग संख्या $\bar{\nu}$ रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
यहाँ,संक्रमण $n_2 = 4$ से $n_1 = 2$ में हो रहा है।
मान रखने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$.
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right] = \frac{3R}{16}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोर मॉडल में,कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ $K.E. = \frac{kZe^2}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
उसी कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(T.E.)$ $T.E. = -\frac{kZe^2}{2r}$ द्वारा दी जाती है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि $K.E. = -(T.E.)$ है।
अतः,गतिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा का अनुपात $\frac{K.E.}{T.E.} = \frac{K.E.}{-K.E.} = -1$ है।

(A) बोर के मॉडल के अनुसार,एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,कक्षा की ऊर्जा बढ़ती है।
जब एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा स्तर $(n=1)$ से उच्च ऊर्जा स्तर $(n=3)$ में संक्रमण करता है,तो ऊर्जा के अंतर को पूरा करने के लिए उसे बाहरी स्रोत से ऊर्जा प्राप्त करनी पड़ती है।
इसलिए,इलेक्ट्रॉन $\Delta E = E_3 - E_1$ के बराबर ऊर्जा अवशोषित करता है।

(A) नाभिक से $r$ दूरी पर स्थित इलेक्ट्रॉन की स्थिर-वैद्युत स्थितिज ऊर्जा $(P.E.)$ $P.E. = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{(Ze)( -e)}{r}$ द्वारा दी जाती है। हाइड्रोजन परमाणु $(Z=1)$ के लिए,यह $P.E. = - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ हो जाती है।
स्थिर कक्षा के लिए विरियल प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध $K.E. = -\frac{1}{2} (P.E.)$ है।
$P.E.$ का व्यंजक रखने पर,हमें $K.E. = -\frac{1}{2} \left( - \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r} \right) = + \frac{e^2}{8\pi \varepsilon_0 r}$ प्राप्त होता है।
अतः,गतिज ऊर्जा $+ \frac{e^2}{8\pi \varepsilon_0 r}$ है और स्थितिज ऊर्जा $- \frac{e^2}{4\pi \varepsilon_0 r}$ है।

(C) बोर के अभिधारणा के अनुसार,एक स्थिर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$,क्वांटमीकरण शर्त द्वारा दिया जाता है:
$L = mvr = \frac{nh}{2\pi}$
जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$h$ प्लांक नियतांक है,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,$v$ इसका वेग है और $r$ कक्षा की त्रिज्या है।
हाइड्रोजन परमाणु के निम्नतम ऊर्जा स्तर (मूल अवस्था) के लिए,$n = 1$ होता है।
सूत्र में $n = 1$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L = \frac{1 \cdot h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$.

(D) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है।
बोर मॉडल का उपयोग करते हुए,$n_2$ से $n_1$ में संक्रमण के लिए तरंग संख्या $\bar{\nu} = \frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
ऊर्जा अंतर $\Delta E = h c \bar{\nu} = E_{n_2} - E_{n_1}$ से,हमें $R = \frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 c h^3}$ प्राप्त होता है।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ रखने पर,हमारे पास $\varepsilon_0 = \frac{1}{4 \pi k}$ है,इसलिए $\varepsilon_0^2 = \frac{1}{16 \pi^2 k^2}$ होता है।
अतः,$R = \frac{m e^4}{8 (\frac{1}{16 \pi^2 k^2}) c h^3} = \frac{16 \pi^2 k^2 m e^4}{8 c h^3} = \frac{2 \pi^2 k^2 m e^4}{c h^3}$।
$k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$ का मान रखने पर,हमें $R = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \right)^2 \frac{2 \pi^2 m e^4}{c h^3}$ प्राप्त होता है।

(C) बोर की अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L$ सूत्र $L = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
दूसरी कक्षा के लिए,हमारे पास $n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर: $L = 2 \times \left( \frac{h}{2\pi} \right) = \frac{h}{\pi}$।
अतः,दूसरी कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{h}{\pi}$ होगा।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n = v_0 \frac{Z}{n}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और $n$ कक्षा की संख्या है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि किसी दिए गए परमाणु के लिए (स्थिर $Z$),वेग कक्षा की संख्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $v_n \propto \frac{1}{n}$.
यह दिया गया है कि दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ में वेग $v$ है,इसलिए $v_2 = v$.
हमें पांचवीं कक्षा $(n_5 = 5)$ में वेग $v_5$ ज्ञात करना है।
समानुपातिकता $v_n \propto \frac{1}{n}$ का उपयोग करते हुए,हम अनुपात लिख सकते हैं: $\frac{v_5}{v_2} = \frac{n_2}{n_5}$.
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{v_5}{v} = \frac{2}{5}$.
अतः,$v_5 = \frac{2}{5}v$.

(D) एक उत्तेजित अवस्था $n$ से निम्नतम अवस्था में संभावित उत्सर्जन संक्रमणों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $N_E = \frac{n(n - 1)}{2}$ है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन चौथी ऊर्जा अवस्था में है,इसलिए $n = 4$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$N_E = \frac{4(4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$.
अतः,कुल $6$ उत्सर्जन संक्रमण संभव हैं।

(C) इलेक्ट्रॉन की वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन के बीच स्थिर-वैद्युत कूलम्ब बल द्वारा प्रदान किया जाता है।
अभिकेंद्र बल को कूलम्ब बल के बराबर रखने पर:
$\frac{m{v^2}}{{a_0}} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{e^2}}}{{a_0^2}}$
दोनों पक्षों से $a_0$ को हटाने पर:
$m{v^2} = \frac{1}{{4\pi {\varepsilon _0}}}\frac{{{e^2}}}{{a_0}}$
$v^2$ के लिए हल करने पर:
${v^2} = \frac{{{e^2}}}{{4\pi {\varepsilon _0}{a_0}m}}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें इलेक्ट्रॉन की गति प्राप्त होती है:
$v = \frac{e}{{\sqrt {4\pi {\varepsilon _0}{a_0}m} }}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) बोहर मॉडल के अनुसार,मुख्य क्वांटम संख्या $n$ वाली कक्षा में इलेक्ट्रॉन का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $r \propto n^2$ और $v \propto \frac{1}{n}$,इसलिए $T \propto n^3$ होता है।
दिया गया है कि प्रारंभिक अवस्था में आवर्तकाल अंतिम अवस्था का आठ गुना है: $T_{n_1} = 8 T_{n_2}$।
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर: $n_1^3 = 8 n_2^3$।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $n_1 = 2 n_2$।
विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(a)$ के लिए: $n_1 = 4, n_2 = 2$। यहाँ $4 = 2(2)$,जो सही है।
विकल्प $(b)$ के लिए: $n_1 = 6, n_2 = 3$। यहाँ $6 = 2(3)$,जो सही है।
अतः,$(a)$ और $(b)$ दोनों ही सही संभावनाएँ हैं।

(D) बोर मॉडल के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \; eV$ द्वारा दी जाती है।
द्वि-आयनित लिथियम परमाणु $(Li^{2+})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
मूल अवस्था के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \times \frac{3^2}{1^2} \; eV = -13.6 \times 9 \; eV = -122.4 \; eV$ है।
इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (आयनन ऊर्जा) वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को मूल अवस्था से अनंत $(E_{\infty} = 0)$ तक ले जाने के लिए आवश्यक है।
इसलिए,आयनन ऊर्जा $= E_{\infty} - E_1 = 0 - (-122.4 \; eV) = 122.4 \; eV$।

(B) बोहर मॉडल में,$n^{th}$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की स्थितिज ऊर्जा $PE = -\frac{ke^2}{r_n}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r_n \propto n^2$ है। जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या $n$ बढ़ती है,त्रिज्या $r_n$ बढ़ती है,जिससे स्थितिज ऊर्जा $PE$ कम ऋणात्मक हो जाती है (अर्थात,यह बढ़ती है)।
कुल ऊर्जा $TE = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,हर $n^2$ बढ़ता है,जिससे कुल ऊर्जा $TE$ कम ऋणात्मक हो जाती है (अर्थात,यह शून्य की ओर बढ़ती है)।
इसलिए,जैसे-जैसे इलेक्ट्रॉन उच्च ऊर्जा स्तर में जाता है,$PE$ और $TE$ दोनों बढ़ते हैं।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = r_0 \times \frac{n^2}{Z}$, जहाँ $r_0 = 0.53 \ \mathring{A}$ हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा की त्रिज्या है।
हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए, परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
दूसरी कक्षा के लिए, $n = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_2 = 0.53 \times \frac{2^2}{2} \ \mathring{A}$
$r_2 = 0.53 \times \frac{4}{2} \ \mathring{A}$
$r_2 = 0.53 \times 2 \ \mathring{A} = 1.06 \ \mathring{A}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे आयनों के लिए रिडबर्ग सूत्र के अनुसार,स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ इस प्रकार दी जाती है: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$,अतः $\frac{1}{\lambda_H} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
आयनिक परमाणु के लिए,$\frac{1}{\lambda_{ion}} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
दिया गया है कि $\lambda_{ion} = \frac{1}{4} \lambda_H$,अतः $\frac{1}{\lambda_{ion}} = 4 \frac{1}{\lambda_H}$.
इन व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right) = 4 R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
इसे सरल करने पर $Z^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $Z = 2$.
परमाणु क्रमांक $Z = 2$ वाला तत्व हीलियम $(He)$ है। चूंकि यह एक आयन है,इसलिए यह $He^+$ है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) बामर श्रेणी की तीसरी रेखा के लिए,संक्रमण $n_2 = 5$ से $n_1 = 2$ तक होता है।
रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$.
दिया गया है $\lambda = 108.5 \ nm = 108.5 \times 10^{-9} \ m$ और $R \approx 1.097 \times 10^7 \ m^{-1}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{108.5 \times 10^{-9}} = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{5^2} \right]$.
$\frac{1}{108.5 \times 10^{-9}} = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{25} \right] = (1.097 \times 10^7) Z^2 \left[ \frac{21}{100} \right]$.
$Z^2$ के लिए हल करने पर: $Z^2 \approx 4$,अतः $Z = 2$.
हाइड्रोजन जैसे आयन के लिए मूल अवस्था की ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था के लिए,$n = 1$,इसलिए $E = -13.6 \times \frac{2^2}{1^2} = -54.4 \ eV$.
अतः,मूल अवस्था की ऊर्जा का परिमाण $54.4 \ eV$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n = 1$ कक्षा में एक इलेक्ट्रॉन की बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को परमाणु से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,जो कि $13.6\, eV$ है।
परिभाषा के अनुसार,आयनन ऊर्जा वह न्यूनतम ऊर्जा है जो एक इलेक्ट्रॉन को उसकी मूल अवस्था से नाभिक से अनंत दूरी तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है।
इसलिए,आयनन ऊर्जा बंधन ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है।
आयनन ऊर्जा = $13.6\, eV$.

(B) हाइड्रोजन परमाणु की आयनन ऊर्जा $E$ और रिडबर्ग नियतांक $R$ के बीच संबंध $E = Rch$ है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति है और $h$ प्लांक नियतांक है।
$R$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{E}{ch}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $E = 13.6 \, eV = 13.6 \times 1.6 \times 10^{-19} \, J$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,और $h = 6.6 \times 10^{-34} \, J \cdot s$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{13.6 \times 1.6 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8 \times 6.6 \times 10^{-34}}$
$R = \frac{21.76 \times 10^{-19}}{19.8 \times 10^{-26}}$
$R \approx 1.098 \times 10^7 \, m^{-1}$।
अतः,$R$ की कोटि $10^7 \, m^{-1}$ है।

(B) बोहर का परमाणु मॉडल कई अभिधारणाओं पर आधारित है। एक मौलिक अभिधारणा कोणीय संवेग का क्वांटीकरण है। बोहर ने प्रस्तावित किया कि एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $h / (2\pi)$ का एक पूर्णांक गुणज हो,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है। इसे $L = mvr = n(h / 2\pi)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ है। इस प्रकार,बोहर ने परमाणुओं की स्थिरता और देखी गई स्पेक्ट्रल रेखाओं को समझाने के लिए कोणीय संवेग के क्वांटीकरण के सिद्धांत का उपयोग किया।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में कक्षा की त्रिज्या $r_n = r_0 n^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r_0$ मूल अवस्था $(n=1)$ की त्रिज्या है।
इसलिए,अंतिम त्रिज्या $r_f$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_i$ का अनुपात $\frac{r_f}{r_i} = \left( \frac{n_f}{n_i} \right)^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $r_i = 5.3 \times 10^{-11} \ m$ ($n_i = 1$ पर) और $r_f = 21.2 \times 10^{-11} \ m$ ($n_f = n$ पर) दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{21.2 \times 10^{-11}}{5.3 \times 10^{-11}} = \left( \frac{n}{1} \right)^2$.
$4 = n^2$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $n = 2$ प्राप्त होता है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $a_0$ बोहर त्रिज्या है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ है।
प्रथम उत्तेजित स्तर के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n = 2$ रखने पर,हमें $r_2 = (2)^2 a_0 = 4 a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम उत्तेजित स्तर की त्रिज्या बोहर त्रिज्या की $4$ गुना होती है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_0 n^2 / Z$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 1$ है,जिससे समीकरण $r_n = r_0 n^2$ हो जाता है।
तीसरी कक्षा के लिए,हम सूत्र में $n = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं।
अतः,तीसरी कक्षा की त्रिज्या $r_3 = r_0 \times (3)^2 = 9r_0$ होगी।

(A) उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्ध्य के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right)$ है।
निश्चित संक्रमण ($n_i = 4$ से $n_f = 2$) के लिए,तरंगदैर्ध्य $\lambda$ परमाणु क्रमांक $Z$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$।
हाइड्रोजन $(H)$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\lambda_H = 20.397 \, cm$।
हीलियम आयन $(He^+)$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $\lambda_{He^+} = \frac{\lambda_H}{Z^2} = \frac{20.397}{2^2} = \frac{20.397}{4} = 5.099 \, cm$।

(C) उत्तेजन विभव को उत्तेजन ऊर्जा को प्राथमिक आवेश $e$ से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।
न्यूनतम उत्तेजन ऊर्जा इलेक्ट्रॉन के मूल अवस्था $(n = 1)$ से प्रथम उत्तेजित अवस्था $(n = 2)$ में संक्रमण के अनुरूप होती है।
हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$n = 1$ के लिए,$E_1 = -13.6 \, eV$ है।
$n = 2$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$ है।
न्यूनतम उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \, eV$ है।
अतः,न्यूनतम उत्तेजन विभव $10.2 \, V$ है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल के अनुसार:
$(I)$ कक्षीय गति $v_n$ को $v_n \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है (नाभिक से दूर जाने पर),$v_n$ घटता है। अतः,कथन $(I)$ सत्य है।
$(II)$ $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ होती है। कथन $(II)$ गलत है क्योंकि यह मुख्य क्वांटम संख्या के वर्ग के समानुपाती होती है।
$(III)$ परिक्रमण की आवृत्ति $f$ को $f = \frac{v}{2\pi r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $v \propto \frac{1}{n}$ और $r \propto n^2$,इसलिए हमें $f \propto \frac{1/n}{n^2} = \frac{1}{n^3}$ प्राप्त होता है। अतः,कथन $(III)$ सत्य है।
$(IV)$ स्थिर वैद्युत बंधन बल $F = \frac{ke^2}{r^2}$ है। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$r$ बढ़ता है,इसलिए बल $F$ घटता है। अतः,कथन $(IV)$ गलत है।
इसलिए,कथन $(I)$ और $(III)$ सही हैं।

(D) $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है।
$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto 1/n$ द्वारा दिया जाता है।
कोणीय वेग $\omega_n$ को $\omega_n = v_n / r_n$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर: $\omega_n \propto (1/n) / n^2$।
अतः,$\omega_n \propto 1/n^3$।

(C) बोहर के अभिधारणा के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
जब इलेक्ट्रॉन $n_1 = 4$ से $n_2 = 5$ कक्षा में जाता है,तो कोणीय संवेग में परिवर्तन $\Delta L$ इस प्रकार है:
$\Delta L = L_2 - L_1 = \frac{n_2 h}{2\pi} - \frac{n_1 h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}(n_2 - n_1)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \times (5 - 4)$.
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.28} \times 1$.
$\Delta L \approx 1.05 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.

(A) स्थिर कक्षाओं की अवधारणा $1913$ में नील्स बोर द्वारा प्रस्तावित की गई थी,जिसे परमाणु का बोर मॉडल कहा जाता है। इस मॉडल के अनुसार,इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर केवल कुछ निश्चित स्थिर कक्षाओं में ही ऊर्जा का विकिरण किए बिना घूमते हैं। इन कक्षाओं को स्थिर कक्षाएं कहा जाता है।