Bohr's Model of Hydrogen Atom Questions in Hindi

(C) $H$-परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है $E_n = -1.5 \, eV$,इसलिए $-1.5 = -\frac{13.6}{n^2}$।
$n^2 = \frac{13.6}{1.5} \approx 9.06$,जिसका अर्थ है $n \approx 3$।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = n \frac{h}{2\pi}$ होता है।
$n = 3$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ रखने पर:
$L = 3 \times \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14159} \approx 3 \times 1.054 \times 10^{-34} \approx 3.16 \times 10^{-34} \, J \cdot s$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $3.15 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ है।

(B) परिक्रमण का आवर्तकाल $T$,$T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या $r = \frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m Z e^2}$ होती है।
$n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ होता है।
इन मानों को $T$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2\pi (\frac{n^2 h^2 \varepsilon_0}{\pi m Z e^2})}{(\frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h})} = \frac{4 \varepsilon_0^2 n^3 h^3}{m Z^2 e^4}$.
चूंकि $h, \varepsilon_0, m,$ और $e$ स्थिरांक हैं,इसलिए $T \propto \frac{n^3}{Z^2}$ प्राप्त होता है।

(D) बोर के मॉडल के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या ${r_n} \propto {n^2}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
यह दिया गया है कि पहली कक्षा $(n=1)$ की त्रिज्या ${r_0}$ है,इसलिए ${r_1} = {r_0}$।
चौथी कक्षा $(n=4)$ के लिए,त्रिज्या ${r_4}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
${r_4} = {r_1} \times {n^2} = {r_0} \times {4^2}$।
${r_4} = {r_0} \times 16 = 16{r_0}$।

(C) बोहर मॉडल के अनुसार,$n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ है और $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto 1/n$ है।
परिक्रमण काल $T$ को $T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$ द्वारा दिया जाता है।
आनुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T \propto \frac{n^2}{1/n} = n^3$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$n = 2$ और $n = 1$ के लिए परिक्रमण काल का अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ है।
अतः,अनुपात $8 : 1$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र है: $r_n = r_0 \frac{n^2}{Z}$, जहाँ $r_0$ हाइड्रोजन की पहली बोहर कक्षा की त्रिज्या $(0.5 \ \mathring{A})$ है, $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
$He^+$ की तीसरी उत्तेजित अवस्था के लिए, मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3 + 1 = 4$ है।
हीलियम का परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r_4 = 0.5 \times \frac{4^2}{2} = 0.5 \times \frac{16}{2} = 0.5 \times 8 = 4 \ \mathring{A}$.
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ बोहर कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल $v_n = \frac{2\pi Z e^2}{nh}$ द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन की पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$ और $Z = 1$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,इलेक्ट्रॉन की चाल $v = \frac{2\pi e^2}{h}$ प्राप्त होती है।
हमें इस चाल और प्रकाश की चाल $c$ का अनुपात ज्ञात करना है।
अतः,अनुपात $\frac{v}{c} = \frac{2\pi e^2}{hc}$ है।

(A) बोर के अभिधारणा के अनुसार,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग इस प्रकार क्वांटीकृत होता है: $mvr = \frac{nh}{2\pi}$.
इससे,कक्षीय वेग $v$ का मान प्राप्त होता है: $v = \frac{nh}{2\pi mr}$.
अभिकेंद्र (कक्षीय) त्वरण $a$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $a = \frac{v^2}{r}$.
त्वरण के सूत्र में $v$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$a = \frac{(\frac{nh}{2\pi mr})^2}{r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^2 \cdot r} = \frac{n^2 h^2}{4 \pi^2 m^2 r^3}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की $n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 r_1$ है,जहाँ $r_1 = 0.53 \; \mathring{A}$ पहली कक्षा की त्रिज्या है।
तीसरी कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर:
$r_3 = 3^2 \times r_1$
$r_3 = 9 \times 0.53 \; \mathring{A}$
$r_3 = 4.77 \; \mathring{A}$.

(A) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर के अभिधारणा के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $(L)$,$\frac{h}{2\pi}$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $L = n \cdot \frac{h}{2\pi}$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है,$h$ प्लांक नियतांक है,और $L$ इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) कक्षीय क्वांटम संख्या $l$ का मान $0$ से $n - 1$ तक के पूर्णांक मान हो सकते हैं।
मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के लिए,$l$ के संभावित मान $0, 1, 2, ..., (3 - 1)$ हैं।
अतः,$l = 0, 1, 2$ प्राप्त होते हैं।
यह क्रमशः $3s, 3p,$ और $3d$ कक्षकों (ऑर्बिटल्स) को दर्शाता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $E_n = -3.4 \text{ eV}$ दिया गया है,इसलिए $-\frac{13.6}{n^2} = -3.4$,जिसका अर्थ है $n^2 = \frac{13.6}{3.4} = 4$,अर्थात $n = 2$ है।
बोर के अभिधारणा के अनुसार,कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ होता है।
$n = 2$ और $h = 6.626 \times 10^{-34} \text{ J s}$ रखने पर,हमें $L = \frac{2h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ प्राप्त होता है।
$L = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{3.1416} \approx 2.11 \times 10^{-34} \text{ J s}$।

(C) तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए रिडबर्ग सूत्र $\frac{1}{\lambda} = R Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ है।
चूंकि $2 \to 1$ संक्रमण तीनों के लिए समान है,इसलिए पद $\left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ स्थिर रहता है।
अतः,$\lambda \propto \frac{1}{Z^2}$.
$Li^{++}$ के लिए,$Z = 3$,इसलिए $\lambda_{Li^{++}} \propto \frac{1}{9}$.
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $\lambda_{He^{+}} \propto \frac{1}{4}$.
$H$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\lambda_{H} \propto \frac{1}{1}$.
इस प्रकार,$\lambda_{Li^{++}} : \lambda_{He^{+}} : \lambda_{H} = \frac{1}{9} : \frac{1}{4} : 1$.
$36$ से गुणा करने पर,हमें $4 : 9 : 36$ प्राप्त होता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \ eV$ द्वारा दी जाती है।
पहली कक्षा $(n_1 = 1)$ के लिए,$E_1 = -13.6 \ eV$ है।
दूसरी कक्षा $(n_2 = 2)$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \ eV$ है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E_2 - E_1 = -3.4 - (-13.6) = 10.2 \ eV$ है।
इसे जूल में बदलने पर: $\Delta E = 10.2 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 1.632 \times 10^{-18} \ J$।
संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ है:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{1.632 \times 10^{-18}} \ m \approx 1.215 \times 10^{-7} \ m$।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $v_n = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 nh}$ द्वारा दी जाती है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,$n = 1$ रखने पर,$v_1 = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h}$ प्राप्त होता है।
इस गति और प्रकाश के वेग $c$ का अनुपात $\frac{v_1}{c} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 hc}$ है।
इस अनुपात को फाइन-स्ट्रक्चर स्थिरांक भी कहा जाता है,जिसे $\alpha$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(D) बोहर के क्वांटाइजेशन शर्त के अनुसार,$n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $mvr_n = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि संवेग $p = mv = \frac{h}{\lambda}$ है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{h}{\lambda} \times r_n = \frac{nh}{2\pi}$.
तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = \frac{2\pi r_n}{n}$ प्राप्त होता है।
प्रथम बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $\lambda = 2\pi r_1$।
चूंकि प्रथम कक्षा की परिधि $2\pi r_1$ होती है,इसलिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य प्रथम कक्षा की परिधि के बराबर होती है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2} \; eV$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,$Z = 1$ और $n = 1$,इसलिए मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \; eV$ है। आयनन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक है,जो $13.6 \; eV$ है।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 2$ है। मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -\frac{13.6 \times (2)^2}{(1)^2} = -13.6 \times 4 = -54.4 \; eV$ है।
अतः,$He^+$ की मूल अवस्था से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक आयनन ऊर्जा $54.4 \; eV$ है।

(B) हाइड्रोजन जैसे परमाणु में स्पेक्ट्रमी रेखा की आवृत्ति रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है: $\nu = R c Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
बामर श्रेणी की प्रथम रेखा के लिए,$n_1 = 2$ और $n_2 = 3$ है।
अतः,$\nu \propto Z^2$.
हाइड्रोजन $({H_2})$ के लिए,$Z = 1$,इसलिए $\nu_{H} = k(1)^2 = \nu_0$.
एकल आयनित हीलियम $({He^+})$ के लिए,$Z = 2$,इसलिए $\nu_{He} = k(2)^2 = 4k = 4\nu_0$.
इसलिए,${He^+}$ के लिए संगत रेखा की आवृत्ति $4\nu_0$ है।

(B) $3d$ कक्षक (orbital) में एक इलेक्ट्रॉन के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ है।
$d$ उपकोष (subshell) के लिए,दिगंशीय क्वांटम संख्या $l$ हमेशा $2$ होती है।
चुंबकीय क्वांटम संख्या $m_l$ का मान $-l$ से $+l$ तक कोई भी पूर्णांक हो सकता है,अर्थात $m_l \in \{-2, -1, 0, +1, +2\}$।
चक्रण क्वांटम संख्या $m_s$ का मान $+1/2$ या $-1/2$ हो सकता है।
इन शर्तों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $B$ $(n=3, l=2, m_l=+2, m_s=-1/2)$ सभी शर्तों को पूरा करता है।

(A) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल के अनुसार,$n$ वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = n^2 a_0$ है,जहाँ $a_0$ पहली कक्षा की त्रिज्या $(n=1)$ है।
दूसरी कक्षा के लिए,$n = 2$ है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर: $r_2 = (2)^2 a_0 = 4a_0$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरी कक्षा की त्रिज्या $4a_0$ होगी।

(D) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = a_0 \frac{n^2}{Z}$ है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
पहली कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $r_1 \propto \frac{1}{Z}$।
दी गई प्रणालियों के लिए परमाणु क्रमांक $(Z)$ की तुलना:
- हाइड्रोजन परमाणु $(H)$: $Z = 1$
- ड्यूटेरियम परमाणु $(D)$: $Z = 1$
- एकल आयनित हीलियम $(He^+)$: $Z = 2$
- द्वि-आयनित लिथियम $(Li^{2+})$: $Z = 3$
चूंकि त्रिज्या $r$,$Z$ के व्युत्क्रमानुपाती है,इसलिए उच्चतम परमाणु क्रमांक वाली प्रणाली की त्रिज्या न्यूनतम होगी।
अतः,द्वि-आयनित लिथियम $(Z = 3)$ की त्रिज्या न्यूनतम है।

(B) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोर के अभिधारणाओं के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनके लिए उसका कोणीय संवेग $(L)$,$h / 2\pi$ का एक पूर्णांक गुणज होता है।
यह शर्त इस प्रकार है: $L = n(h / 2\pi)$,जहाँ $n = 1, 2, 3, ...$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $h$ प्लांक नियतांक है।
इसे कोणीय संवेग के लिए बोर की क्वांटाइजेशन शर्त के रूप में जाना जाता है।

(A) बोहर की परिकल्पना के अनुसार,एक इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकता है जिनमें उसका कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज हो,जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
इन कक्षाओं में,इलेक्ट्रॉन का कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}, \frac{2h}{2 \pi}, \frac{3h}{2 \pi}, \dots$ आदि जैसे मान ले सकता है,लेकिन कभी भी $\frac{1.5h}{2 \pi}, \frac{2.5h}{2 \pi}, \dots$ आदि जैसे मान नहीं ले सकता।
इस स्थिति को कोणीय संवेग का क्वांटीकरण कहा जाता है,जो बोहर मॉडल की एक मूलभूत अभिधारणा है।

(C) हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या का सूत्र इस प्रकार है:
$r_n = r_0 \left( \frac{n^2}{Z} \right)$
जहाँ $r_0$ हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा की त्रिज्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
बेरिलियम $(Be^{+++})$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 4$ है।
हम चाहते हैं कि कक्षीय त्रिज्या $r_n$ हाइड्रोजन की मूल अवस्था की त्रिज्या $r_0$ के बराबर हो।
$r_n = r_0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$r_0 = r_0 \left( \frac{n^2}{4} \right)$
$1 = \frac{n^2}{4}$
$n^2 = 4$
$n = 2$
अतः,ट्रिपली आयनित बेरिलियम की $n = 2$ अवस्था की कक्षीय त्रिज्या हाइड्रोजन की मूल अवस्था के समान होती है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु में $n^{\text{वीं}}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n = a_0 n^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या है और $n$ मुख्य क्वांटम संख्या है।
कक्षा का क्षेत्रफल $A = \pi r_n^2 = \pi (a_0 n^2)^2 = \pi a_0^2 n^4$ होता है।
अतः, क्षेत्रफल मुख्य क्वांटम संख्या की चौथी घात के समानुपाती होता है: $A_n \propto n^4$।
मूल अवस्था के लिए, $n_1 = 1$। पहली उत्तेजित अवस्था के लिए, $n_2 = 2$।
पहली उत्तेजित अवस्था $(A_2)$ और मूल अवस्था $(A_1)$ के क्षेत्रफलों का अनुपात:
$\frac{A_2}{A_1} = \left( \frac{n_2}{n_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$।
इसलिए, अनुपात $16 : 1$ है।

(D) नाभिक के चारों ओर कक्षा में घूम रहे इलेक्ट्रॉन के लिए,कुल ऊर्जा $E$,गतिज ऊर्जा $K.E.$,और स्थितिज ऊर्जा $P.E.$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$K.E. = -E$
$P.E. = 2E$
इन संबंधों से,हम देख सकते हैं कि $K.E. = -\frac{1}{2} P.E.$
परिमाण के संदर्भ में,गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा की आधी होती है।
$|K.E.| = \frac{1}{2} |P.E.|$
अतः,गतिज ऊर्जा उसकी $P.E.$ की आधी होती है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $(E_n)$ का सूत्र $E_n = -13.6 / n^2 \, eV$ है।
पहली बोहर कक्षा के लिए,$n = 1$,इसलिए $E_1 = -13.6 \, eV$ प्राप्त होता है।
इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ उसकी कुल ऊर्जा के ऋणात्मक मान के बराबर होती है,अर्थात $K.E. = -E_n$।
इसलिए,$K.E. = -(-13.6 \, eV) = +13.6 \, eV$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) बोहर के परमाणु सिद्धांत के अनुसार,इलेक्ट्रॉन केवल उन्हीं कक्षाओं में घूम सकते हैं जिनमें उनका कोणीय संवेग $\frac{h}{2 \pi}$ का एक पूर्णांक गुणज हो (जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है)। अतः,कोणीय संवेग क्वांटाइज्ड है: $L = n \frac{h}{2 \pi}$।
साथ ही,हाइड्रोजन परमाणु की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = -\frac{13.6}{n^2} \, \text{eV}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n$ केवल पूर्णांक मान ही ले सकता है $(n = 1, 2, 3, ...)$,इसलिए ऊर्जा स्तर भी क्वांटाइज्ड होते हैं। अतः,ऊर्जा और कोणीय संवेग दोनों क्वांटाइज्ड हैं।

(C) बोर के सिद्धांत के अनुसार,$n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $r_n \propto n^2$ द्वारा दी जाती है और $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग $v_n \propto \frac{1}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
आवर्तकाल $(T)$ को कक्षा की परिधि और इलेक्ट्रॉन के वेग के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:
$T = \frac{2\pi r_n}{v_n}$
समानुपातिकता को प्रतिस्थापित करने पर:
$T \propto \frac{n^2}{1/n}$
$T \propto n^3$
अतः,सही संबंध $T \propto n^3$ है।

(A) हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा का सूत्र: ${E_n} = -13.6 \times \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ है।
हाइड्रोजन परमाणु के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_H = 1$ है,इसलिए ऊर्जा ${E_n} = -13.6 \times \frac{1^2}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ होती है।
एकल आयनित हीलियम परमाणु $(He^+)$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z_{He} = 2$ है। $n^{th}$ कक्षा में ऊर्जा: ${E'_{n}} = -13.6 \times \frac{Z_{He}^2}{n^2} = -13.6 \times \frac{2^2}{n^2} = 4 \times \left( -\frac{13.6}{n^2} \right)$ होती है।
हाइड्रोजन परमाणु की ऊर्जा ${E_n}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: ${E'_{n}} = 4{E_n}$।

(A) $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \text{ eV}$ द्वारा दी जाती है।
$n = 2$ के लिए,$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$।
$n = 1$ के लिए,$E_1 = -\frac{13.6}{1} = -13.6 \text{ eV}$।
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K = -E$ और स्थितिज ऊर्जा $U = 2E$ होती है।
$n = 2$ पर: $K_2 = 3.4 \text{ eV}$ और $U_2 = -6.8 \text{ eV}$।
$n = 1$ पर: $K_1 = 13.6 \text{ eV}$ और $U_1 = -27.2 \text{ eV}$।
गतिज ऊर्जा का अनुपात: $\frac{K_1}{K_2} = \frac{13.6}{3.4} = 4$।
स्थितिज ऊर्जा का अनुपात: $\frac{U_1}{U_2} = \frac{-27.2}{-6.8} = 4$।
अतः,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा दोनों $4$ के गुणक में बढ़ जाती हैं।

(D) $1913$ में,नील्स बोर ने हाइड्रोजन परमाणु के लिए एक मॉडल प्रस्तावित किया। बोर का मॉडल निम्नलिखित मान्यताओं पर आधारित है:
$1$. नाभिक का द्रव्यमान अनंत है और वह स्थिर है।
$2$. क्वांटाइज्ड कक्षा में इलेक्ट्रॉन ऊर्जा का विकिरण नहीं करते हैं।
$3$. इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान स्थिर रहता है।
चूंकि ये सभी कथन बोर के मॉडल की मूलभूत अवधारणाएं हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(C) $n^{th}$ बोहर कक्षा की त्रिज्या का सूत्र $r_n = r_0 n^2$ है,जहाँ $r_0$ पहली कक्षा की त्रिज्या $(n=1)$ है।
दिया गया है कि पहली कक्षा की त्रिज्या $(n=1)$ $r$ है,इसलिए $r = r_0(1)^2$,जिसका अर्थ है $r_0 = r$।
$2^{nd}$ बोहर कक्षा $(n=2)$ के लिए,त्रिज्या $r_2 = r_0(2)^2 = 4r_0$ होगी।
$r_0 = r$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r_2 = 4r$ प्राप्त होता है।

(C) हाइड्रोजन परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति का सूत्र $v = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 nh}$ है।
मूल अवस्था (ground state) के लिए,मुख्य क्वांटम संख्या $n = 1$ है।
$n = 1$ रखने पर,हमें गति $v = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 h}$ प्राप्त होती है।
इलेक्ट्रॉन की गति $(v)$ और प्रकाश की गति $(c)$ का अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम $\frac{v}{c} = \frac{e^2}{2\varepsilon_0 ch}$ की गणना करते हैं।
भौतिक स्थिरांकों को रखने पर: $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$,$\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \ F/m$,$c = 3 \times 10^8 \ m/s$,और $h = 6.63 \times 10^{-34} \ J\cdot s$।
$\frac{v}{c} = \frac{(1.6 \times 10^{-19})^2}{2 \times 8.85 \times 10^{-12} \times 3 \times 10^8 \times 6.63 \times 10^{-34}} \approx \frac{1}{137}$।
अतः,अनुपात $1/137$ है।

(B) $H$ परमाणु का प्रतिक्षेप संवेग उत्सर्जित फोटॉन के संवेग के बराबर होता है।
फोटॉन का संवेग $p = \frac{h}{\lambda}$ द्वारा दिया जाता है।
तरंग संख्या के लिए रिडबर्ग सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{\lambda} = R \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
इसे संवेग समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $p = hR \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$.
यहाँ $n_1 = 1$ और $n_2 = 4$ दिया गया है,इसलिए:
$p = hR \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{4^2} \right) = hR \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = \frac{15hR}{16}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$ और $R = 1.097 \times 10^7 \text{ m}^{-1}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{15 \times (6.63 \times 10^{-34}) \times (1.097 \times 10^7)}{16} \approx 6.8 \times 10^{-27} \text{ kg} \cdot \text{m/s}$ (या $\text{N} \cdot \text{s}$)।

(A) हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था की ऊर्जा $E_1 = -13.6 \ eV$ होती है।
जब यह $10.2 \ eV$ ऊर्जा अवशोषित करता है,तो इसकी नई ऊर्जा $E = -13.6 \ eV + 10.2 \ eV = -3.4 \ eV$ हो जाती है।
यह पहली उत्तेजित अवस्था के अनुरूप है,जहाँ मुख्य क्वांटम संख्या $n = 2$ है।
हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन का कक्षीय कोणीय संवेग $L = \frac{nh}{2\pi}$ द्वारा दिया जाता है।
मूल अवस्था $(n_1 = 1)$ में,कोणीय संवेग $L_1 = \frac{1 \cdot h}{2\pi}$ है।
पहली उत्तेजित अवस्था $(n_2 = 2)$ में,कोणीय संवेग $L_2 = \frac{2 \cdot h}{2\pi} = \frac{h}{\pi}$ है।
कक्षीय कोणीय संवेग में वृद्धि $\Delta L = L_2 - L_1 = \frac{2h}{2\pi} - \frac{h}{2\pi} = \frac{h}{2\pi}$ है।
प्लांक नियतांक $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$ का मान रखने पर:
$\Delta L = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14} \approx \frac{6.6 \times 10^{-34}}{6.28} \approx 1.05 \times 10^{-34} \ J \cdot s$.

(A) $n_2$ से $n_1$ संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $n=2$ से $n=1$ संक्रमण सभी के लिए समान है,इसलिए $\Delta E \propto Z^2$.
हम जानते हैं कि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} \propto Z^2$,जिसका अर्थ है कि $\lambda Z^2 = \text{स्थिरांक}$.
हाइड्रोजन $(Z=1)$ के लिए,$\lambda_1 Z_1^2 = \lambda_1 (1)^2 = \lambda_1$.
ड्यूटेरियम $(Z=1)$ के लिए,$\lambda_2 Z_2^2 = \lambda_2 (1)^2 = \lambda_2$.
हीलियम $(Z=2)$ के लिए,$\lambda_3 Z_3^2 = \lambda_3 (2)^2 = 4\lambda_3$.
लिथियम $(Z=3)$ के लिए,$\lambda_4 Z_4^2 = \lambda_4 (3)^2 = 9\lambda_4$.
इन सबको बराबर करने पर,हमें $\lambda_1 = \lambda_2 = 4\lambda_3 = 9\lambda_4$ प्राप्त होता है।

(D) बोहर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $L = mvr = \frac{h}{2\pi}$ होता है।
चूंकि $v = r\omega = r(2\pi\nu)$,जहां $\nu$ चक्कर की आवृत्ति है:
$m(r \cdot 2\pi\nu)r = \frac{h}{2\pi}$
$\Rightarrow \nu = \frac{h}{4\pi^2 mr^2}$
मान रखने पर: $h = 6.6 \times 10^{-34} \ J \cdot s$,$m = 9.1 \times 10^{-31} \ kg$,और $r = 0.53 \times 10^{-10} \ m$:
$\nu = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{4 \times (3.14)^2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times (0.53 \times 10^{-10})^2}$
$\nu \approx 6.5 \times 10^{15} \ \text{rev/sec}$.
अतः,चक्करों की संख्या का क्रम $10^{15}$ है।

(A) बोहर मॉडल में $n$-वीं कक्षा की त्रिज्या $r_n = \frac{n^2 h^2 \epsilon_0}{\pi m e^2}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $r \propto 1/m$,यदि द्रव्यमान $m$ को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_0$ का मान $r_0 = a_0/2$ हो जाएगा।
$n$-वीं कक्षा की ऊर्जा $E_n = -\frac{m e^4}{8 \epsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $E \propto m$,यदि द्रव्यमान $m$ को दोगुना किया जाता है,तो नई ऊर्जा $E_0$ का मान $E_0 = 2 \times (-13.6 \text{ eV}) = -27.2 \text{ eV}$ हो जाएगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) आयोडीन $(Z=53)$ का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $2, 8, 18, 18, 7$ है। संयोजी कोश $n=5$ है।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए बोहर त्रिज्या का सूत्र $r_n = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \frac{n^2}{Z}$ है।
$n=5$ और $Z=53$ रखने पर:
$r_5 = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \times \frac{5^2}{53}$
$r_5 = (0.053 \times 10^{-9} \ m) \times \frac{25}{53}$
$r_5 \approx 0.025 \times 10^{-9} \ m = 2.5 \times 10^{-11} \ m$.

(D) हाइड्रोजन-समान परमाणु की $n$ वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
$Li^{++}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 3$ है।
$n_1 = 1$ से $n_2 = 3$ संक्रमण के लिए आवश्यक ऊर्जा:
$\Delta E = E_3 - E_1 = 13.6 \times Z^2 \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
$\Delta E = 13.6 \times 3^2 \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 13.6 \times 9 \times \left( 1 - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \times 9 \times \frac{8}{9} = 108.8 \, eV$.
संबंध $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $h = 6.626 \times 10^{-34} \, J \cdot s$,$c = 3 \times 10^8 \, m/s$,और $1 \, eV = 1.602 \times 10^{-19} \, J$:
$\lambda = \frac{hc}{\Delta E} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{108.8 \times 1.602 \times 10^{-19}} \approx 1.1374 \times 10^{-8} \, m$.
$\lambda = 113.74 \, \mathring{A}$.

(C) आपतित फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $E = \frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{970.6 \, \mathring{A}} \approx 12.77 \, eV$.
हाइड्रोजन परमाणु में $n$-वीं अवस्था की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ होती है।
मूल अवस्था $(n=1)$ से $n$ अवस्था में उत्तेजित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = 13.6 \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right)$ है।
$\Delta E = 12.77 \, eV$ रखने पर,हमें $1 - \frac{1}{n^2} = \frac{12.77}{13.6} \approx 0.939$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{n^2} = 1 - 0.939 = 0.061 \Rightarrow n^2 \approx 16 \Rightarrow n = 4$.
इलेक्ट्रॉन के $n$ अवस्था से निचली अवस्थाओं में संक्रमण के लिए उत्सर्जन रेखाओं की संख्या $N = \frac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$n=4$ के लिए,$N = \frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$.

(C) हाइड्रोजन परमाणु में,$n$ वें स्तर की ऊर्जा $E_n = -\frac{Rhc}{n^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊर्जा $E_n$ परिक्रमा करने वाले कण के द्रव्यमान के सीधे आनुपातिक है $(E_n \propto m)$,और नए कण का द्रव्यमान $m' = 2m_e$ है,इसलिए इस काल्पनिक परमाणु के लिए ऊर्जा स्तर $E'_n = -\frac{2Rhc}{n^2}$ हो जाते हैं।
सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य वाला फोटॉन न्यूनतम ऊर्जा संक्रमण के अनुरूप होता है,जो $n = 3$ से $n = 2$ के बीच होता है।
ऊर्जा का अंतर $\Delta E = E'_3 - E'_2 = -\frac{2Rhc}{3^2} - (-\frac{2Rhc}{2^2}) = 2Rhc \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right)$ है।
इसे सरल करने पर,$\Delta E = 2Rhc \left( \frac{5}{36} \right) = \frac{5Rhc}{18}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\Delta E = \frac{hc}{\lambda}$,इसलिए $\frac{hc}{\lambda} = \frac{5Rhc}{18}$ है।
अतः,$\lambda = \frac{18}{5R}$ प्राप्त होता है।

(D) हाइड्रोजन परमाणु के लिए बोहर मॉडल के अनुसार:
$1$. $n^{th}$ कक्षा की त्रिज्या $R_n = \frac{\varepsilon_0 n^2 h^2}{\pi m Z e^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $R \propto n^2$.
$2$. $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की गति $v_n = \frac{Z e^2}{2 \varepsilon_0 n h}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v \propto \frac{1}{n}$.
$3$. $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की कुल ऊर्जा $E_n = -\frac{m Z^2 e^4}{8 \varepsilon_0^2 n^2 h^2}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $E \propto \frac{1}{n^2}$.
अब,आइए दिए गए विकल्पों के लिए समानुपातिकता की जाँच करें:
- $vR$ के लिए: $v \cdot R \propto (\frac{1}{n}) \cdot (n^2) = n$.
अतः,राशि $vR$ क्वांटम संख्या $n$ के समानुपाती है।

(B) दूसरी उत्तेजित अवस्था मुख्य क्वांटम संख्या $n = 3$ के अनुरूप होती है।
बोर के क्वांटाइजेशन प्रतिबंध के अनुसार,कोणीय संवेग $l = n \left( \frac{h}{2\pi} \right)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों समान अवस्था $n = 3$ में हैं,इसलिए उनके कोणीय संवेग समान हैं: $l_H = l_{Li} = 3 \left( \frac{h}{2\pi} \right)$।
हाइड्रोजन जैसे परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
हाइड्रोजन $(Z_H = 1)$ और $Li^{++}$ $(Z_{Li} = 3)$ के लिए,ऊर्जा $E_H = -13.6 \frac{1^2}{3^2}$ और $E_{Li} = -13.6 \frac{3^2}{3^2}$ है।
इनका परिमाण लेने पर,$|E_H| = \frac{13.6}{9} \text{ eV}$ और $|E_{Li}| = 13.6 \text{ eV}$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट रूप से,$|E_H| < |E_{Li}|$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्घ्य रिडबर्ग सूत्र द्वारा दी जाती है:
$\frac{1}{\lambda} = R_M \left( \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right)$
जहाँ $R_M = \frac{R_{\infty}}{1 + \frac{m}{M}}$,$m$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है और $M$ नाभिक का द्रव्यमान है।
चूंकि ड्यूटेरियम नाभिक का द्रव्यमान $(M_D \approx 2M_H)$ हाइड्रोजन नाभिक के द्रव्यमान $(M_H)$ से भिन्न होता है,इसलिए ड्यूटेरियम के लिए रिडबर्ग नियतांक $R_M$ हाइड्रोजन से थोड़ा भिन्न होता है।
परिणामस्वरूप,ड्यूटेरियम के लिए स्पेक्ट्रमी रेखाओं की तरंगदैर्घ्य हाइड्रोजन से भिन्न होती है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) स्थितिज ऊर्जा $U = eV = eV_0 \ln(r/r_0)$ है।
बल $F = -dU/dr = -d/dr(eV_0 \ln(r/r_0)) = -eV_0/r$ है। बल का परिमाण $F = eV_0/r$ है।
यह बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है: $mv^2/r = eV_0/r$।
इसे सरल करने पर,$mv^2 = eV_0$,जिसका अर्थ है कि $v = \sqrt{eV_0/m}$। ध्यान दें कि $v$,$r$ और $n$ से स्वतंत्र है।
बोहर की क्वांटमीकरण शर्त के अनुसार,कोणीय संवेग $mvr = nh/(2\pi)$ है।
$v = \sqrt{eV_0/m}$ को क्वांटमीकरण शर्त में रखने पर,हमें $m(\sqrt{eV_0/m})r_n = nh/(2\pi)$ प्राप्त होता है।
$r_n$ के लिए हल करने पर,$r_n = (nh / (2\pi)) \cdot \sqrt{1/(meV_0)}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $h, m, e, V_0$ स्थिरांक हैं,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $r_n \propto n$।

(D) बोहर मॉडल में कक्षा की त्रिज्या $r_n = n^2 \frac{a_0}{Z}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a_0$ बोहर त्रिज्या $(0.529 \ \mathring{A})$ है,$n$ मुख्य क्वांटम संख्या है और $Z$ परमाणु क्रमांक है।
दिए गए परमाणु $_{100}Fm^{257}$ के लिए,परमाणु क्रमांक $Z = 100$ है।
फर्मियम $(Z=100)$ के लिए सबसे बाहरी कक्षा $5f$ कक्षा है,इसलिए मुख्य क्वांटम संख्या $n_{shell} = 5$ है।
सबसे बाहरी कक्षा की त्रिज्या $r = (5)^2 \frac{a_0}{100} = \frac{25}{100} a_0 = 0.25 a_0$ है।
अतः,त्रिज्या बोहर त्रिज्या की $0.25$ गुना है,इसलिए $n = 0.25$।

(A) हाइड्रोजन-समान आयन की $n$-वीं कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_n = -13.6 \frac{Z^2}{n^2} \, eV$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम उत्तेजित अवस्था $n=2$ के संगत है,और मूल अवस्था $n=1$ के संगत है।
उत्तेजन ऊर्जा $\Delta E = E_2 - E_1 = -13.6 Z^2 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{1^2} \right) = -13.6 Z^2 \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = 13.6 Z^2 \times \frac{3}{4}$ है।
दिया गया है $\Delta E = 40.8 \, eV$,इसलिए $40.8 = 13.6 \times Z^2 \times 0.75$ है।
$40.8 = 10.2 \times Z^2 \Rightarrow Z^2 = 4 \Rightarrow Z = 2$ प्राप्त होता है।
मूल अवस्था से इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा आयनन ऊर्जा है,$E_{ion} = |E_1| = 13.6 \times Z^2 \, eV$।
$E_{ion} = 13.6 \times (2)^2 = 13.6 \times 4 = 54.4 \, eV$।

(B) माना हाइड्रोजन जैसे परमाणु की मूल अवस्था (ground state) ऊर्जा $E_0 = -13.6 Z^2 \ eV$ है। अवस्था $k$ में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_k = \frac{E_0}{k^2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि परमाणु $2n$ अवस्था में है और मूल अवस्था $(k=1)$ में आने के लिए $204 \ eV$ का अधिकतम ऊर्जा वाला फोटॉन उत्सर्जित करता है:
$E_{2n} - E_1 = 204 \ eV$
$\frac{E_0}{(2n)^2} - E_0 = 204 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1}{4n^2} - 1 \right) = 204 \ eV$ --- $(i)$
दिया गया है कि परमाणु $2n$ अवस्था से $n$ अवस्था में संक्रमण करता है और $40.8 \ eV$ का फोटॉन उत्सर्जित होता है:
$E_{2n} - E_n = 40.8 \ eV$
$\frac{E_0}{4n^2} - \frac{E_0}{n^2} = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( \frac{1 - 4}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$
$E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right) = 40.8 \ eV$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{E_0 \left( \frac{1 - 4n^2}{4n^2} \right)}{E_0 \left( -\frac{3}{4n^2} \right)} = \frac{204}{40.8}$
$\frac{1 - 4n^2}{-3} = 5$
$1 - 4n^2 = -15$
$4n^2 = 16$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(A) अवस्था की ऊर्जा $E_n = -\frac{13.6 Z^2}{n^2}$ द्वारा दी जाती है। मान लीजिए $E_1 = -13.6 Z^2$ है।
सबसे अधिक ऊर्जा वाला फोटॉन $n^{th}$ अवस्था से मूल अवस्था $(n=1)$ में संक्रमण के दौरान प्राप्त होता है:
$E_{max} = E_n - E_1 = -\frac{E_1}{n^2} - E_1 = -E_1 \left( \frac{1}{n^2} - 1 \right) = 52.224 \ eV$ ... $(i)$
सबसे कम ऊर्जा वाला फोटॉन निकटवर्ती अवस्थाओं ($n$ से $n-1$) के बीच संक्रमण के दौरान प्राप्त होता है:
$E_{min} = E_n - E_{n-1} = -\frac{E_1}{n^2} - \left( -\frac{E_1}{(n-1)^2} \right) = E_1 \left( \frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2} \right) = 1.224 \ eV$ ... $(ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1 - 1/n^2}{1/(n-1)^2 - 1/n^2} = \frac{52.224}{1.224} = 42.666... \approx 42.67$
$n$ के लिए हल करने पर, हमें $n=5$ प्राप्त होता है।
$n=5$ को $(i)$ में रखने पर:
$-E_1 (1/25 - 1) = 52.224 \implies E_1 (24/25) = 52.224 \implies E_1 = 54.4 \ eV$.
चूंकि $E_1 = -13.6 Z^2 = -54.4$, इसलिए $Z^2 = 4$, जिसका अर्थ है $Z = 2$।