$LC$ परिपथ के मुक्त दोलनों में,संधारित्र और प्रेरक में संचित ऊर्जा का योग समय के साथ स्थिर रहता है,यह दर्शाइए।

मान लीजिए कि संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_{0}$ है। आवेशित संधारित्र को $L$ प्रेरकत्व वाले प्रेरक से जोड़ा जाता है। यह $LC$ परिपथ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ आवृत्ति के साथ दोलन बनाए रखेगा।
किसी क्षण $t$ पर,संधारित्र पर आवेश $q$ और धारा $i$ इस प्रकार हैं:
$q(t) = q_{0} \cos(\omega t)$
$i(t) = -q_{0} \omega \sin(\omega t)$
समय $t$ पर संधारित्र में संचित ऊर्जा:
$U_{E} = \frac{q^{2}}{2C} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t)$
समय $t$ पर प्रेरक में संचित ऊर्जा:
$U_{M} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{1}{2} L (q_{0} \omega \sin(\omega t))^{2} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \omega^{2} \sin^{2}(\omega t)$
चूंकि $\omega^{2} = \frac{1}{LC}$,इसलिए:
$U_{M} = \frac{1}{2} L q_{0}^{2} \left(\frac{1}{LC}\right) \sin^{2}(\omega t) = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
ऊर्जा का योग:
$U = U_{E} + U_{M} = \frac{q_{0}^{2}}{2C} \cos^{2}(\omega t) + \frac{q_{0}^{2}}{2C} \sin^{2}(\omega t)$
$U = \frac{q_{0}^{2}}{2C} (\cos^{2}(\omega t) + \sin^{2}(\omega t)) = \frac{q_{0}^{2}}{2C}$
चूंकि $q_{0}$ और $C$ स्थिर हैं,इसलिए कुल ऊर्जा $U$ समय के साथ स्थिर रहती है।