LC Oscillations Questions in Hindi

(B) $LC$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
दिया गया है,प्रारंभिक आवृत्ति $f = 120 \ kHz$ है।
जब $K$ परावैद्युतांक वाला पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $f' = f - 20 \ kHz = 120 - 20 = 100 \ kHz$ है।
नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{f}{\sqrt{K}}$ है।
अतः,$\frac{f}{f'} = \sqrt{K}$ है।
मान रखने पर: $\frac{120}{100} = \sqrt{K} \Rightarrow 1.2 = \sqrt{K}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $K = (1.2)^2 = 1.44$।

(C) $L-C$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
इसका अर्थ है $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$।
जब संधारित्र $C$ को $K$ परावैद्युतांक वाले परावैद्युत माध्यम के संधारित्र $C'$ से बदला जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $f' = f - 25 \text{ kHz} = 125 \text{ kHz} - 25 \text{ kHz} = 100 \text{ kHz}$ है।
आवृत्तियों का अनुपात लेने पर:
$\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{C}{C'}} = \sqrt{\frac{C}{KC}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$।
मान रखने पर:
$\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$।
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \implies \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$।
अतः,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$।

(B) $1$. प्रारंभ में,स्विच $S_1$ बंद है और $S_2$ खुला है। संधारित्र $C$ बैटरी के विभव $V$ तक आवेशित हो जाता है।
$2$. संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} C V^2$ है।
$3$. जब $S_1$ को खोल दिया जाता है और $S_2$ को बंद कर दिया जाता है,तो संधारित्र प्रेरक $L$ के माध्यम से निरावेशित होता है,जिससे एक $LC$ दोलन परिपथ बनता है।
$4$. ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,जब धारा अधिकतम $(i_{max})$ होती है,तो संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के रूप में स्थानांतरित हो जाती है।
$5$. $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L i_{max}^2$
$6$. $i_{max}$ के लिए हल करने पर,हमें $i_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $i_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$।

(B) संधारित्र $V = 50 \ V$ के विभवांतर तक आवेशित है। जब बैटरी को हटा दिया जाता है और संधारित्र को प्रेरक (inductor) से जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक $LC$ दोलक बनाता है।
$t=0$ पर,संधारित्र पर आवेश अधिकतम होता है,इसलिए इसके सिरों पर विभवांतर $V_{max} = 50 \ V$ होता है।
प्रेरक के सिरों पर वोल्टेज $V_L = L \frac{dI}{dt}$ द्वारा दिया जाता है।
$LC$ परिपथ में,विभवांतर का योग शून्य होता है: $V_C + V_L = 0$,जिसका अर्थ है $|V_L| = |V_C|$.
$t=0$ पर,धारा $I=0$ होती है,इसलिए संधारित्र का पूरा विभव प्रेरक के सिरों पर दिखाई देता है।
अतः,$L \left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = V_{max}$.
दिया गया है $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H$ और $V_{max} = 50 \ V$.
$\left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = \frac{50}{10 \times 10^{-3}} = \frac{50}{0.01} = 5000 \ A s^{-1}$.

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होता है।
यहाँ,$\omega$ कोणीय आवृत्ति को दर्शाता है,जिसकी विमा $[T^{-1}]$ होती है।
इसलिए,$(LC)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \omega$.
कोणीय आवृत्ति का विमीय सूत्र $[M^0 L^0 T^{-1}]$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) जब स्विच स्थिति $a$ में होता है,तो संधारित्र (capacitor) $E$ विभव तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र पर आवेश $q = CE$ है।
संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{q^2}{2C} = \frac{(CE)^2}{2C} = \frac{1}{2} CE^2$ है।
जब स्विच को स्थिति $b$ पर किया जाता है,तो परिपथ एक $LC$ दोलक (oscillator) बन जाता है। कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,जो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक (inductor) के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
माना $I_0$ दोलन धारा का आयाम है। प्रेरक में अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा $\frac{1}{2} L I_0^2$ होती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} CE^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$
$CE^2 = L I_0^2$
$I_0^2 = \frac{C}{L} E^2$
$I_0 = E \sqrt{\frac{C}{L}}$

(B) $LC$ परिपथ में मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिए गए मान $L = 27 \text{ mH} = 27 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 30 \mu\text{F} = 30 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1111.11 \text{ rad/s}$।
सबसे निकटतम विकल्प $1100 \text{ rad/s}$ है।