LC Oscillations Questions in Hindi

(N/A) एक प्रणोदित अवमंदित यांत्रिक दोलक के लिए गति का समीकरण इस प्रकार है:
$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = F_{0} \cos \omega_{d} t$
एक चालित $LCR$ परिपथ के लिए समीकरण इस प्रकार है:
$L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V_{m} \sin \omega t$
इन दोनों अवकल समीकरणों की तुलना करके, हम यांत्रिक और विद्युत प्रणालियों के बीच निम्नलिखित समानता स्थापित कर सकते हैं:

यांत्रिक प्रणाली (प्रणोदित दोलन)	विद्युत प्रणाली (चालित $LCR$ परिपथ)
विस्थापन $x$	आवेश $q$
द्रव्यमान $m$	प्रेरकत्व $L$
अवमंदन नियतांक $b$	प्रतिरोध $R$
स्प्रिंग नियतांक $k$	धारिता का व्युत्क्रम $1/C$
चालक बल $F_{0} \cos \omega_{d} t$	चालक वोल्टेज $V_{m} \sin \omega t$
प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_{0} = \sqrt{k/m}$	प्राकृतिक आवृत्ति $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$

(B) $LC$ परिपथ,जिसे अनुनादी परिपथ (resonant circuit),टैंक परिपथ या ट्यून्ड परिपथ भी कहा जाता है,एक विद्युत परिपथ है जिसमें एक प्रेरक (जिसे $L$ अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है) और एक संधारित्र (जिसे $C$ अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है) जुड़े होते हैं।
इन परिपथों का उपयोग या तो किसी विशेष आवृत्ति पर संकेत उत्पन्न करने के लिए किया जाता है या अधिक जटिल संकेत से किसी विशेष आवृत्ति के संकेत को चुनने के लिए किया जाता है।
एक आदर्श $LC$ परिपथ में,ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच अनुनादी आवृत्ति $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर दोलन करती है।

(A) $LC$ दोलन विद्युत धारा का वह प्रवाह है जो $LC$ परिपथ में संधारित्र (capacitor) और प्रेरक (inductor) के बीच आगे-पीछे दोलन करता है।
जब एक आवेशित संधारित्र को एक प्रेरक से जोड़ा जाता है,तो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र में संचित ऊर्जा प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में स्थानांतरित हो जाती है क्योंकि धारा प्रवाहित होती है।
यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती रहती है।
बिना किसी प्रतिरोध वाले एक आदर्श $LC$ परिपथ में,ये दोलन $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी गई स्थिर आवृत्ति के साथ अनिश्चित काल तक जारी रहते हैं।

(N/A) एक $LC$ परिपथ में जिसमें एक प्रेरक $L$ और एक संधारित्र $C$ होता है,किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार प्रेरक और संधारित्र के सिरों पर विभवांतर का योग शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर संधारित्र पर आवेश $q$ है।
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_C = \frac{q}{C}$ है।
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $V_L = L \frac{di}{dt}$ है।
चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,धारा आवेश के परिवर्तन की दर है।
अतः,$V_L = L \frac{d^2q}{dt^2}$.
किरचॉफ के लूप नियम को लागू करने पर: $V_L + V_C = 0$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$.
यह $LC$ परिपथ के लिए अवकल समीकरण है,जिसे $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

(N/A) एक $LC$ परिपथ जिसमें एक प्रेरक $L$ और एक संधारित्र $C$ होता है,ऊर्जा प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
दोलन की कोणीय आवृत्ति $\omega$ का सूत्र इस प्रकार है:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
दोलन की आवृत्ति $f$,कोणीय आवृत्ति से $f = \frac{\omega}{2\pi}$ के रूप में संबंधित है।
$\omega$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
यहाँ,$f$ हर्ट्ज़ $(Hz)$ में आवृत्ति है,$L$ हेनरी $(H)$ में प्रेरकत्व है,और $C$ फैराड $(F)$ में धारिता है।

(C) एक यांत्रिक निकाय के प्रणोदित दोलनों में,गति का समीकरण $m(d^2x/dt^2) + b(dx/dt) + kx = F(t)$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,आवेश $q$ के लिए समीकरण $L(d^2q/dt^2) + R(dq/dt) + (1/C)q = V(t)$ है।
इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$1$. द्रव्यमान $m$,प्रेरकत्व $L$ के अनुरूप है।
$2$. अवमंदन नियतांक $b$,प्रतिरोध $R$ के अनुरूप है।
$3$. स्प्रिंग नियतांक $k$,धारिता के व्युत्क्रम $1/C$ के अनुरूप है।
$4$. विस्थापन $x$,आवेश $q$ के अनुरूप है।
अतः,स्प्रिंग नियतांक $k$ के अनुरूप भौतिक राशि $1/C$ है।

(A) हार्मोनिकली दोलन करने वाले स्प्रिंग-ब्लॉक निकाय में,कुल ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} kx^{2}\right)$ और गतिज ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} mv^{2}\right)$ का योग होती है।
$LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संधारित्र में संचित स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}\right)$ और प्रेरक में संचित चुंबकीय ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} LI^{2}\right)$ का योग होती है।
इनकी तुलना करने पर,स्थिर-वैद्युत ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}\right)$ स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} kx^{2}\right)$ के अनुरूप है,क्योंकि दोनों विस्थापन/आवेश पर निर्भर करते हैं।
चुंबकीय ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} LI^{2}\right)$ ब्लॉक की गतिज ऊर्जा $\left(\frac{1}{2} mv^{2}\right)$ के अनुरूप है,क्योंकि दोनों वेग/धारा पर निर्भर करते हैं।

(N/A) $LCR$ परिपथ के लिए किरचॉफ का वोल्टेज नियम लागू करने पर:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$(b)$ $t = t_0$ पर,धारा $i(t_0) = \frac{dq}{dt}|_{t=t_0}$ है और संधारित्र पर आवेश $q(t_0)$ है।
प्रेरक (inductor) में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2} L [i(t_0)]^2$ है।
संधारित्र (capacitor) में संचित ऊर्जा $U_C = \frac{1}{2} \frac{[q(t_0)]^2}{C}$ है।
$(c)$ $t = t_0$ के बाद,परिपथ $R=0$ के साथ एक $LC$ परिपथ बन जाता है। कुल ऊर्जा $U = U_L + U_C$ संरक्षित रहती है। आवेश $q(t)$ कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ के साथ ज्यावक्रीय (sinusoidal) रूप से दोलन करेगा।

(B) एक आदर्श $L-C$ परिपथ की आवृत्ति $f_{1} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब श्रेणीक्रम में एक प्रतिरोध $R$ जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक अवमंदित (damped) $L-C-R$ परिपथ बन जाता है। अवमंदित कोणीय आवृत्ति $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ होती है,जहाँ $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ और $\beta = \frac{R}{2L}$ है।
अतः,अवमंदित आवृत्ति $f_{2}$ इस प्रकार है:
$f_{2} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2} - \left(\frac{R}{2L}\right)^{2}}$
अनुपात $\frac{f_{2}}{f_{1}}$ लेने पर:
$\frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4L^{2}}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4L^{2}}}{\frac{1}{LC}}}$
$= \sqrt{1 - \frac{R^{2}C}{4L}}$

(C) $LC$ ऑसिलेटर सर्किट की अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) का सूत्र है:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
दिए गए मान हैं:
इंडक्टेंस $L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H = 5 \times 10^{-4} \, H$
कैपेसिटेंस $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{5 \times 10^{-4} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{100 \times 10^{-10}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{10^{-8}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$v_{0} = \frac{10^{4}}{6.28} \approx 1592 \, Hz$

(B) $L-C$ दोलन परिपथ में,एक पूर्ण चक्र के लिए कुल समय अवधि $T$ इस प्रकार दी जाती है:
$T = 2\pi \sqrt{LC}$
यहाँ $L = 25 \, mH = 25 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$ है।
मान रखने पर:
$T = 2\pi \sqrt{25 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}$
$T = 2\pi \sqrt{250 \times 10^{-9}} = 2\pi \sqrt{25 \times 10^{-8}}$
$T = 2\pi \times 5 \times 10^{-4} = 10\pi \times 10^{-4} = \pi \times 10^{-3} \, s = \pi \, ms$.
$t = 0$ पर संधारित्र में ऊर्जा अधिकतम होती है। परिपथ में धारा तब अधिकतम होती है जब ऊर्जा संधारित्र से प्रेरक (inductor) में पूरी तरह स्थानांतरित हो जाती है,जो $t = \frac{T}{4}$ पर होता है।
अतः,आवश्यक समय:
$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi \, ms}{4} = \frac{\pi}{4} \, ms$.

(B) ऑसिलेटर एक ऐसा सर्किट है जो किसी भी बाहरी इनपुट सिग्नल के बिना निरंतर आवधिक तरंग उत्पन्न करता है।
एम्पलीफायर को ऑसिलेटर के रूप में कार्य करने के लिए,उसे पॉजिटिव फीडबैक की आवश्यकता होती है।
पॉजिटिव फीडबैक का अर्थ है कि आउटपुट सिग्नल (वोल्टेज या पावर) का एक हिस्सा मूल इनपुट सिग्नल के साथ समान कला (phase) में इनपुट में वापस दिया जाता है।
यह फीडबैक इनपुट को मजबूत करता है,जिससे सर्किट स्वतंत्र रूप से दोलनों (oscillations) को बनाए रख सकता है।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$U = \frac{1}{2} \times (500 \times 10^{-6} \, F) \times (100 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-6} \times 10^4 = 2.5 \, J$.
$LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। अधिकतम धारा $I_{max}$ तब होती है जब संधारित्र की पूरी ऊर्जा प्रेरक में स्थानांतरित हो जाती है।
अतः,$\frac{1}{2} LI_{max}^2 = U_{total}$.
$\frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3} \, H) \times I_{max}^2 = 2.5 \, J$.
$I_{max}^2 = \frac{2.5 \times 2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{5}{0.05} = 100$.
$I_{max} = \sqrt{100} = 10 \, A$.

(A) $t=0$ पर,संधारित्र अनावेशित है और प्रेरक का फ्लक्स $\phi$ है।
$\phi = L I$ संबंध का उपयोग करते हुए,$t=0$ पर सर्किट में प्रारंभिक धारा $I_{0} = \phi / L$ है।
यह सर्किट एक $LC$ दोलक बनाता है। संधारित्र पर आवेश $q$ के लिए अवकल समीकरण $L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{q}{C} = 0$ है,जो $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} q = 0$ में सरल हो जाता है,जहाँ $\omega_{0} = 1 / \sqrt{LC}$ है।
आवेश के लिए सामान्य समाधान $q(t) = A \sin(\omega_{0} t + \delta)$ है।
चूंकि $q(0) = 0$,इसलिए $\delta = 0$,अतः $q(t) = A \sin(\omega_{0} t)$।
धारा $I(t) = \frac{dq}{dt} = A \omega_{0} \cos(\omega_{0} t)$ है।
$t=0$ पर,$I(0) = A \omega_{0} = I_{0} = \phi / L$।
इसलिए,$A = \phi / (L \omega_{0})$।
$A$ का मान रखने पर,धारा $I(t) = (\phi / L) \cos(\omega_{0} t)$ प्राप्त होती है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) जब स्विच लंबे समय तक स्थिति $A$ में होता है,तो प्रेरक (inductor) एक शॉर्ट सर्किट के रूप में कार्य करता है (स्थिर अवस्था)। प्रेरक से बहने वाली धारा $I_0 = \frac{E}{R}$ है।
$t=0$ पर,स्विच को स्थिति $B$ में स्थानांतरित कर दिया जाता है। अब सर्किट में श्रेणीक्रम में एक प्रेरक $L$ और एक संधारित्र $C$ होता है,जो एक $LC$ ऑसिलेटर सर्किट बनाता है। प्रेरक में प्रारंभिक धारा $I_0 = \frac{E}{R}$ है और संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $q_0 = 0$ है।
प्रेरक में संचित ऊर्जा संधारित्र में संचित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} L I_0^2 = \frac{1}{2} \frac{q_{\max}^2}{C}$
$I_0 = \frac{E}{R}$ रखने पर:
$L \left(\frac{E}{R}\right)^2 = \frac{q_{\max}^2}{C}$
$q_{\max}^2 = L C \frac{E^2}{R^2}$
$q_{\max} = \sqrt{L C} \frac{E}{R}$

(D) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा $U$ स्थिर रहती है और यह संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा द्वारा दी जाती है: $U = \frac{Q^2}{2C}$.
जब संधारित्र पर आवेश $Q' = \frac{Q}{2}$ होता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_C$ इस प्रकार है:
$U_C = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2/4}{2C} = \frac{Q^2}{8C}$.
चूंकि कुल ऊर्जा $U$,संधारित्र की ऊर्जा $U_C$ और प्रेरक की ऊर्जा $U_L$ का योग है,इसलिए $U = U_C + U_L$ होता है।
अतः,प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L$ है:
$U_L = U - U_C = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{8C}$.
समान हर (denominator) लेने पर:
$U_L = \frac{4Q^2 - Q^2}{8C} = \frac{3Q^2}{8C}$.
चूंकि $U = \frac{Q^2}{2C}$,हम $\frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} U$ लिख सकते हैं।
इस प्रकार,$U_L = \frac{3}{4} U$।

(A) $L-C$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और इसे $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी भी क्षण पर,कुल ऊर्जा विद्युत ऊर्जा $(U_E)$ और चुंबकीय ऊर्जा $(U_B)$ का योग होती है: $U_{total} = U_E + U_B$।
यह दिया गया है कि किसी क्षण पर,$U_E = U_B$,इसलिए हम लिख सकते हैं $U_{total} = U_E + U_E = 2U_E$।
ऊर्जा के व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{Q^2}{2C} = 2 \left( \frac{(Q')^2}{2C} \right)$,जहाँ $Q'$ उस क्षण पर संधारित्र पर आवेश है।
समीकरण को सरल करने पर: $Q^2 = 2(Q')^2$।
अतः,$(Q')^2 = \frac{Q^2}{2}$,जिससे $Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है और यह संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा के बराबर होती है: $E_{\text{total}} = \frac{Q_0^2}{2C}$.
मान लीजिए कि $E_c$ संधारित्र की ऊर्जा है और $E_i$ किसी समय $t$ पर प्रेरक की ऊर्जा है।
हमें दिया गया है कि $E_c = 3 E_i$.
चूंकि $E_{\text{total}} = E_c + E_i$,हम लिख सकते हैं $E_{\text{total}} = 3 E_i + E_i = 4 E_i$.
कुल ऊर्जा का मान रखने पर: $4 E_i = \frac{Q_0^2}{2C}$.
अतः,$E_i = \frac{Q_0^2}{8C}$.
चूंकि प्रेरक की ऊर्जा $E_i = \frac{1}{2} L i^2$ द्वारा दी जाती है,इसलिए $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{Q_0^2}{8C}$.
$i$ के लिए हल करने पर: $i^2 = \frac{Q_0^2}{4LC}$.
वर्गमूल लेने पर: $i = \frac{Q_0}{2 \sqrt{LC}}$.

(A) $LC$ ऑसिलेटर परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई धारिता $C' = 8C$ है।
नई अनुनादी आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{16LC}}$ होगी।
इसे सरल करने पर,$\omega = \frac{1}{4\sqrt{LC}}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए हम इसे $\omega$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जिससे $\omega = \frac{\omega_0}{4}$ प्राप्त होता है।
इसे $\omega = x\omega_0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) एक दोलनशील $LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,जो संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा,प्रेरक में संचित अधिकतम ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} L I_{\max}^2 = \frac{1}{2} \frac{Q_{\max}^2}{C}$
अधिकतम धारा $I_{\max}$ के लिए सूत्र:
$I_{\max} = Q_{\max} \sqrt{\frac{1}{LC}}$
दिए गए मान:
$L = 75 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.2 \times 10^{-6} \, F$
$Q_{\max} = 2.7 \times 10^{-6} \, C$
कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ की गणना:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{75 \times 10^{-3} \times 1.2 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{90 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{3} \, rad/s$
अब,$I_{\max} = Q_{\max} \times \omega$:
$I_{\max} = (2.7 \times 10^{-6}) \times \frac{10^4}{3} = 0.9 \times 10^{-2} \, A = 9 \times 10^{-3} \, A = 9 \, mA$.

(B) $LC$ परिपथ में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,संधारित्र में संचित अधिकतम स्थिर-वैद्युत ऊर्जा,प्रेरक में संचित अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{\max}^2$
अधिकतम धारा $I_{\max}$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
दिए गए मान:
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
$L = 6.4 \ mH = 6.4 \times 10^{-3} \ H$
$V = 12 \ V$
मान रखने पर:
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-4}}{6.4 \times 10^{-3}}} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-1}}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{0.1}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{1}{64}}$
$I_{\max} = 12 \times \frac{1}{8} = 1.5 \ A$

(A) परिवर्तित चुंबकीय क्षेत्र के कारण परिपथ में प्रेरित विद्युत वाहक बल $(emf)$ फैराडे के नियम द्वारा दिया जाता है: $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$.
यहाँ $A = 1 \ m^2$ और $\frac{dB}{dt} = \beta = 0.04 \ T \ s^{-1}$ दिया गया है,इसलिए प्रेरित $emf$ का परिमाण $\varepsilon = 1 \times 0.04 = 0.04 \ V$ है।
यह $emf$ $LC$ परिपथ में वोल्टेज स्रोत के रूप में कार्य करता है। $LC$ परिपथ में धारा $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ के अनुसार दोलन करती है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
स्थिर $emf$ $\varepsilon$ द्वारा संचालित $LC$ परिपथ में अधिकतम धारा $I_0 = \varepsilon \sqrt{\frac{C}{L}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_0 = 0.04 \times \sqrt{\frac{10^{-3}}{0.1}} = 0.04 \times \sqrt{10^{-2}} = 0.04 \times 0.1 = 0.004 \ A$.
मिलीएम्पियर में बदलने पर: $I_0 = 0.004 \times 1000 \ mA = 4 \ mA$.

(C) $LC$ परिपथ में,संधारित्र पर आवेश $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$ के रूप में बदलता है,जहाँ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
$t=0$ पर,ऊर्जा अधिकतम है,जिसका अर्थ है कि आवेश अधिकतम $(q = q_0)$ है।
परिपथ में धारा $i(t) = -\frac{dq}{dt} = q_0 \omega \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
धारा तब अधिकतम होती है जब $\sin(\omega t) = 1$ हो,जो $\omega t = \frac{\pi}{2}$ पर होता है,या $t = \frac{\pi}{2\omega}$।
दिया गया है $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 10 \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \text{ rad/s}$ की गणना करें।
अब,$t = \frac{\pi}{2 \times 2500} = \frac{\pi}{5000} = \pi \times 2 \times 10^{-4} \text{ s} = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ s}$।

(A) $LC$ परिपथ की अनुनादी कोणीय आवृत्ति का सूत्र है: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$।
मान लीजिए प्रारंभिक प्रेरकत्व $L$ है और प्रारंभिक धारिता $C$ है। प्रारंभिक कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,नया प्रेरकत्व $L' = 2L$ और नई धारिता $C' = 4C$ है।
नई कोणीय आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार होगी: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(4C)}} = \frac{1}{\sqrt{8LC}}$।
इसे हम इस प्रकार सरल कर सकते हैं: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{8} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{LC}}$।
चूंकि $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,इसलिए $\omega'$ के व्यंजक में इसका मान रखने पर:
$\omega' = \frac{\omega}{2\sqrt{2}}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) $LC$ परिपथ की अनुनादी कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ है। अतः,$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
प्रश्न के अनुसार,नया प्रेरकत्व $L' = 4L$ और नई धारिता $C' = 8C$ है।
नई अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega'$ इस प्रकार होगी: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(4L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{32LC}}$.
इसे सरल करने पर,$\omega' = \frac{1}{\sqrt{16 \times 2 \times LC}} = \frac{1}{4 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
चूंकि $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,हम इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं,जिससे $\omega' = \frac{\omega}{4 \sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ को $V$ विभवांतर तक आवेशित किया जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ होती है।
जब $S_1$ खुला होता है और $S_2$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ और प्रेरक $L$ एक $LC$ दोलन परिपथ बनाते हैं।
ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
परिपथ में अधिकतम धारा $I_{max}$ तब होती है जब सभी विद्युत ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L}V^2$
$I_{max} = V\sqrt{\frac{C}{L}}$
अतः,परिपथ में तात्कालिक धारा इस अधिकतम मान तक पहुँच सकती है।

(C) संधारित्र में संग्रहीत अधिकतम ऊर्जा $E_{max} = \frac{Q^2}{2C}$ द्वारा दी जाती है।
जब ऊर्जा विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच समान रूप से संग्रहीत होती है, तो संधारित्र में ऊर्जा अधिकतम ऊर्जा की आधी होती है, अर्थात $E_{cap} = \frac{1}{2} E_{max}$।
मान लीजिए कि इस क्षण संधारित्र पर आवेश $Q'$ है। तब, $E_{cap} = \frac{Q'^2}{2C}$।
$E_{cap}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$\frac{Q'^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$Q'^2 = \frac{Q^2}{2}$
$Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$।

(C) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
प्रारंभ में,संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ है।
जब संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $V_2$ हो जाता है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_c = \frac{1}{2}CV_2^2$ होती है।
इस क्षण पर प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_L = \frac{1}{2}LI^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $U_i = U_c + U_L$.
$\frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}LI^2$.
$LI^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$.
$I^2 = \frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)$.
$I = \sqrt{\frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, वोल्टेज $V = 35 \text{ V}$, प्रेरकत्व $L = 200 \text{ mH} = 200 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$LC$ परिपथ में, संधारित्र में संचित ऊर्जा प्रेरक में संचित ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
संधारित्र में अधिकतम ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ है।
प्रेरक में अधिकतम ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से, $U_E = U_B$, अतः $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$.
$I_{\text{max}}$ के लिए हल करने पर: $I_{\text{max}} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
मान रखने पर: $I_{\text{max}} = 35 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{200 \times 10^{-3}}} = 35 \times \sqrt{\frac{1}{10000}} = 35 \times \frac{1}{100} = 0.35 \text{ A}$.

(C) $LC$ परिपथ में, कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है। संधारित्र में संचित प्रारंभिक ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ है।
जब कुंडली में धारा अधिकतम $(I_{max})$ होती है, तो प्रेरक में संचित ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ होती है।
चूंकि परिपथ में कोई प्रतिरोध नहीं है, इसलिए कुल ऊर्जा स्थिर रहती है, अतः प्रारंभिक विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
दिया गया है: $C = 1 \, \mu F = 1 \times 10^{-6} \, F$, $V = 50 \, V$, $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 10^{-2} \, H$.
$I_{max} = 50 \times \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6}}{10^{-2}}}$
$I_{max} = 50 \times \sqrt{10^{-4}}$
$I_{max} = 50 \times 10^{-2} \, A = 0.5 \, A$.

(C) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ है।
जब संधारित्र को प्रेरक से जोड़ा जाता है,तो ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
अधिकतम धारा $i_0$ के क्षण पर,पूरी ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2}Li_0^2$ के रूप में संचित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}Li_0^2$।
$i_0$ के लिए हल करने पर: $i_0^2 = \frac{CV^2}{L} \implies i_0 = V \sqrt{\frac{C}{L}}$।

(A) $LC$ ऑसिलेटर की आवृत्ति निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$F = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि आवृत्ति $F$,धारिता $C$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है (अर्थात,$F \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$)।
मान लीजिए $F_1 = F$ और $C_1 = 0.1 \ \mu F$ है।
मान लीजिए $F_2$ नई आवृत्ति है और $C_2 = 0.2 \ \mu F$ है।
अनुपात विधि का उपयोग करते हुए:
$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$
$\frac{F_2}{F} = \sqrt{\frac{0.1}{0.2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,$F_2 = \frac{F}{\sqrt{2}} \ Hz$।

(A) संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} C V^2$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $C = 4 \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 10 \ V$ दिया गया है,इसलिए ऊर्जा $U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (10)^2 = 2 \times 10^{-4} \ J$ है।
जब संधारित्र को प्रेरक (inductor) से जोड़ा जाता है,तो कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
प्रेरक में अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ द्वारा दी जाती है।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L} = \frac{4 \times 10^{-6} \times 100}{10 \times 10^{-3}} = \frac{4 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 4 \times 10^{-2} = 0.04$.
अतः,$I_{max} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ A$।

(D) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$,$V$ विभव तक आवेशित हो जाता है। संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} CV^2$ है।
जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र प्रेरक $L$ के माध्यम से निरावेशित (discharge) होता है,जिससे एक $LC$ दोलन परिपथ बनता है।
$t = 0$ पर ($S_2$ बंद होने के क्षण),ऊर्जा पूरी तरह से विद्युत रूप में (संधारित्र में संचित) होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र निरावेशित होता है,ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र और प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम विद्युत ऊर्जा अधिकतम चुंबकीय ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L} V^2$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
अतः,परिपथ में तात्कालिक धारा अधिकतम $V \sqrt{\frac{C}{L}}$ मान तक पहुँच सकती है।

(A) आवेशित संधारित्र में संचित ऊर्जा $U = \frac{1}{2} CV^2$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र एक प्रेरक के माध्यम से निरावेशित होता है,तो ऊर्जा संधारित्र के विद्युत क्षेत्र से प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र में स्थानांतरित हो जाती है।
अधिकतम धारा $(I_0)$ के क्षण पर,पूरी ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा के रूप में संचित होती है,जो $U = \frac{1}{2} LI_0^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ के लिए हल करने पर: $I_0^2 = \frac{CV^2}{L}$.
दिया गया है: $C = 1 \mu F = 10^{-6} \ F$,$V = 50 \ V$,$L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
मान रखने पर: $I_0^2 = \frac{10^{-6} \times (50)^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-6} \times 2500}{10^{-2}} = 2500 \times 10^{-4} = 0.25$.
अतः,$I_0 = \sqrt{0.25} = 0.5 \ A$.

(A) प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ द्वारा दी जाती है। $A.C.$ परिपथ में धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ के अनुसार बदलती है,इसलिए ऊर्जा $U_B \propto \sin^2(\omega t)$ के अनुसार बदलती है।
ऊर्जा अधिकतम से न्यूनतम मान में आवर्तकाल $T$ के $\frac{1}{4}$ समय में बदलती है।
दिया गया है,$\frac{T}{4} = 5 \ ms = 5 \times 10^{-3} \ s$.
अतः,$T = 20 \times 10^{-3} \ s = 0.02 \ s$.
आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ Hz$ होगी।

(B) जब $S_1$ बंद होता है,तो संधारित्र $C$ विभवांतर $V$ तक आवेशित हो जाता है।
जब $S_1$ को खोला जाता है और $S_2$ को बंद किया जाता है,तो संधारित्र $C$ और प्रेरक $L$ एक $LC$ दोलनी परिपथ बनाते हैं।
संधारित्र में प्रारंभ में संचित ऊर्जा $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ होती है।
जैसे-जैसे संधारित्र निरावेशित (discharge) होता है,ऊर्जा प्रेरक में चुंबकीय ऊर्जा $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ के रूप में स्थानांतरित हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अधिकतम धारा $I_{max}$ तब प्राप्त होती है जब संपूर्ण स्थिर-वैद्युत ऊर्जा चुंबकीय ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
अतः,परिपथ में तात्क्षणिक धारा इस अधिकतम मान तक पहुँच सकती है।

(D) $LC$ परिपथ में कुल ऊर्जा $U$ स्थिर रहती है और इसे $U = \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^{2}}{C}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
जब प्रेरक में संचित ऊर्जा $(U_L)$ और संधारित्र में संचित ऊर्जा $(U_C)$ बराबर होती है,तो प्रत्येक को कुल ऊर्जा का आधा होना चाहिए।
अतः,$U_C = \frac{U}{2}$.
ऊर्जा के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^{2}}{C} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{q^2}{C} = \frac{Q_{0}^{2}}{2C}$.
$q^2 = \frac{Q_{0}^{2}}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $q = \frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) $LC$ परिपथ के लिए मुक्त दोलनों की कोणीय आवृत्ति का सूत्र $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ है।
दिए गए मान $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ और $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}}$
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}}$
$\omega_{0} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}}$
$\omega_{0} = \frac{10^{4}}{4} = 2500 \text{ rad s}^{-1}$.

(B) दिया गया है, धारिता, $C = 10^{-6} \,F$.
प्रेरकत्व, $L = 10^{-4} \,H$.
$L-C$ परिपथ में विद्युत दोलनों की आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-10}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}}$
$f = \frac{10^5}{2 \pi} \,Hz$

(B) समय $t$ के फलन के रूप में आवेश $q$ को $q = q_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $q_0$ अधिकतम आवेश है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,धारा $I = \frac{dq}{dt} = \omega q_0 \cos(\omega t)$ प्राप्त होती है।
$t = 0$ पर,धारा $I = \omega q_0 \cos(0) = \omega q_0$ होती है।
चूंकि $t = 0$ पर $I = 2 \ A$ दिया गया है,इसलिए $2 = \omega q_0$ है।
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होने के कारण,समीकरण में मान रखने पर: $q_0 = I \sqrt{LC}$।
$L = 3 \times 10^{-3} \ H$ और $C = 2.7 \times 10^{-6} \ F$ दिए गए हैं,अतः:
$q_0 = 2 \times \sqrt{3 \times 10^{-3} \times 2.7 \times 10^{-6}}$
$q_0 = 2 \times \sqrt{8.1 \times 10^{-9}} = 2 \times \sqrt{81 \times 10^{-10}}$
$q_0 = 2 \times 9 \times 10^{-5} = 18 \times 10^{-5} \ C$.

(C) दिया गया है, $L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H$ और $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$।
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{2 \pi} \approx \frac{10000}{6.283} \approx 1592.3 \, Hz$
अतः, अनुनादी आवृत्ति लगभग $1592 \, Hz$ है।

(C) $LC$-दोलनों के लिए,अवकल समीकरण $L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ द्वारा दिया जाता है।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} \frac{dq}{dt} = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $i = \frac{dq}{dt}$,यह समीकरण $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} i = 0$ ... $(i)$ बन जाता है।
यांत्रिक स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली के लिए,गति का समीकरण $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ ... $(ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि द्रव्यमान $m$ प्रेरकत्व $L$ के अनुरूप है,और बल नियतांक $k$ धारिता के व्युत्क्रम के अनुरूप है,अर्थात $k \propto \frac{1}{C}$।

(C) $LC$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच $K$ परावैद्युतांक वाली एक स्लैब डाली जाती है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई अनुनादी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार है: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
दिए गए मान $K = 16$ और $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ रखने पर,हमें $f' = \frac{f_0}{\sqrt{16}} = \frac{f_0}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया है: धारिता $C = 196 \text{ pF} = 196 \times 10^{-12} \text{ F}$।
प्रेरकत्व $L = 441 \text{ } \mu\text{H} = 441 \times 10^{-6} \text{ H}$।
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ है।
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{441 \times 10^{-6} \times 196 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(21^2 \times 14^2) \times 10^{-18}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 21 \times 14 \times 10^{-9}}$
$f = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 294 \times 10^{-9}}$
$f \approx \frac{1}{1847.25 \times 10^{-9}} \approx 0.5413 \times 10^6 \text{ Hz} = 5.41 \times 10^5 \text{ Hz}$।

(A) दिया गया है: धारिता,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$.
प्रेरकत्व,$L = 400 \ \mu H = 400 \times 10^{-6} \ H$.
अनुनादी $L-C$ परिपथ की आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
विकिरित विद्युत चुम्बकीय तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda$ और आवृत्ति के बीच संबंध $\lambda = \frac{c}{f}$ है,जहाँ $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ प्रकाश की गति है।
$f$ का व्यंजक रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\lambda = c \times 2 \pi \sqrt{LC}$.
मान रखने पर: $\lambda = 3 \times 10^8 \times 2 \times 3.14 \times \sqrt{400 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{-6}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times \sqrt{160000 \times 10^{-18}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-9}$.
$\lambda = 3 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-1} = 753.6 \ m \approx 754 \ m$.

(B) $L-C$ परिपथ में,कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है और यह प्रेरक के चुंबकीय क्षेत्र और संधारित्र के विद्युत क्षेत्र के बीच दोलन करती है।
संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} C V_{max}^2$ है।
प्रेरक में संचित अधिकतम ऊर्जा $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है $\frac{1}{2} C V_{max}^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$.
अतः,$I_{max} = V_{max} \sqrt{\frac{C}{L}}$.
दिया गया है: $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$,$L = 80 \mu H = 80 \times 10^{-6} \ H$,और $V_{max} = 80 \ V$.
मान रखने पर: $I_{max} = 80 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{80 \times 10^{-6}}} = 80 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 80 \times \frac{1}{2} = 40 \ A$.

(C) $L-C$ परिपथ की प्राकृतिक आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ द्वारा दी जाती है।
जब संधारित्र को $K$ परावैद्युतांक वाले पदार्थ से भरा जाता है,तो नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
नई आवृत्ति $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} f$ होती है।
दिया गया है कि $f = 125 \ kHz$ और आवृत्ति में $25 \ kHz$ की कमी होती है,इसलिए नई आवृत्ति $f' = 125 \ kHz - 25 \ kHz = 100 \ kHz$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \Rightarrow \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$.
अतः,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$.

(D) एक दोलनशील $LC$ परिपथ में,कुल ऊर्जा $U$ स्थिर रहती है और यह संधारित्र में संचित अधिकतम ऊर्जा द्वारा दी जाती है: $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$।
जब ऊर्जा विद्युत क्षेत्र (संधारित्र) और चुंबकीय क्षेत्र (प्रेरक) के बीच समान रूप से विभाजित होती है,तो संधारित्र में संचित ऊर्जा $U_E$ कुल ऊर्जा $U$ की आधी होती है।
$U_E = \frac{1}{2} U$
ऊर्जा के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \right)$
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$
अतः,जब ऊर्जा समान रूप से विभाजित होती है,तो संधारित्र पर आवेश $\frac{Q}{\sqrt{2}}$ होता है।

(D) ट्रांजिस्टर ऑसिलेटर इकाई के ट्यून्ड सर्किट के लिए,दिए गए मान हैं:
$L = 5 mH = 5 \times 10^{-3} H$
$C = 5 pF = 5 \times 10^{-12} F$
ऑसिलेटर की प्राकृतिक आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-15}}}$
गणना करने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{2.5 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2 \pi \times 1.581 \times 10^{-7}}$
$f = \frac{10^7}{9.93} \approx 1.006 \times 10^6 Hz = 1 MHz$.