LC Oscillations Questions in Gujarati

(N/A) બળપૂર્વકના અવમંદિત યાંત્રિક દોલક માટેનું ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$m \frac{d^{2} x}{d t^{2}} + b \frac{d x}{d t} + k x = F_{0} \cos \omega_{d} t$
ડ્રાઇવન $LCR$ સર્કિટ માટેનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = V_{m} \sin \omega t$
આ બંને વિકલ સમીકરણોની તુલના કરીને, આપણે યાંત્રિક અને વિદ્યુત પ્રણાલીઓ વચ્ચે નીચે મુજબ સામ્યતા સ્થાપિત કરી શકીએ છીએ:

યાંત્રિક પ્રણાલી (બળપૂર્વકના દોલનો)	વિદ્યુત પ્રણાલી (ડ્રાઇવન $LCR$ સર્કિટ)
સ્થાનાંતર $x$	વીજભાર $q$
દળ $m$	ઇન્ડક્ટન્સ $L$
અવમંદન અચળાંક $b$	અવરોધ $R$
સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$	કેપેસીટન્સનો વ્યસ્ત $1/C$
ચાલક બળ $F_{0} \cos \omega_{d} t$	ચાલક વોલ્ટેજ $V_{m} \sin \omega t$
કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_{0} = \sqrt{k/m}$	કુદરતી આવૃત્તિ $\omega_{0} = 1/\sqrt{LC}$

(B) $LC$ સર્કિટ,જેને રેઝોનન્ટ સર્કિટ,ટેન્ક સર્કિટ અથવા ટ્યુન્ડ સર્કિટ પણ કહેવામાં આવે છે,તે એક વિદ્યુત સર્કિટ છે જે ઇન્ડક્ટર (જેને $L$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) અને કેપેસિટર (જેને $C$ અક્ષર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) ની બનેલી હોય છે.
આ સર્કિટનો ઉપયોગ કાં તો ચોક્કસ આવૃત્તિ પર સિગ્નલ ઉત્પન્ન કરવા માટે અથવા વધુ જટિલ સિગ્નલમાંથી ચોક્કસ આવૃત્તિના સિગ્નલને અલગ કરવા માટે થાય છે.
આદર્શ $LC$ સર્કિટમાં,ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર દોલન કરે છે.

(A) $LC$ દોલન એ વિદ્યુત પ્રવાહનો પ્રવાહ છે જે $LC$ પરિપથમાં કેપેસિટર અને ઇન્ડક્ટર વચ્ચે આગળ-પાછળ દોલન કરે છે.
જ્યારે ચાર્જ થયેલ કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે કારણ કે પ્રવાહ વહે છે.
આ પ્રક્રિયા ચાલુ રહે છે કારણ કે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
કોઈપણ અવરોધ વિનાના આદર્શ $LC$ પરિપથમાં,આ દોલનો $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવતી અચળ આવૃત્તિ સાથે અનંતકાળ સુધી ચાલુ રહે છે.

(N/A) ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ધરાવતી $LC$ સર્કિટમાં,કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ મુજબ ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરના પોટેન્શિયલ ડ્રોપનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે કોઈપણ સમયે $t$ પર કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે.
કેપેસિટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_C = \frac{q}{C}$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_L = L \frac{di}{dt}$ છે.
કેમ કે $i = \frac{dq}{dt}$,તેથી પ્રવાહ એ વિદ્યુતભારના ફેરફારનો દર છે.
આમ,$V_L = L \frac{d^2q}{dt^2}$.
કિર્ચોફના લૂપના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $V_L + V_C = 0$.
પદોને મૂકતા: $L \frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$.
આ $LC$ સર્કિટ માટેનું વિકલ સમીકરણ છે,જેને $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{LC} q = 0$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(N/A) ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ ધરાવતી $LC$ સર્કિટમાં,ઉર્જા ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
દોલનોની આવૃત્તિ $f$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $f = \frac{\omega}{2\pi}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
અહીં,$f$ એ હર્ટ્ઝ $(Hz)$ માં આવૃત્તિ છે,$L$ એ હેનરી $(H)$ માં ઇન્ડક્ટન્સ છે અને $C$ એ ફેરાડ $(F)$ માં કેપેસિટન્સ છે.

(C) યાંત્રિક તંત્રના બળપૂર્વકના દોલનો માટે ગતિનું સમીકરણ $m(d^2x/dt^2) + b(dx/dt) + kx = F(t)$ છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,વિદ્યુતભાર $q$ માટેનું સમીકરણ $L(d^2q/dt^2) + R(dq/dt) + (1/C)q = V(t)$ છે.
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$1$. દળ $m$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને અનુરૂપ છે.
$2$. ડેમ્પિંગ અચળાંક $b$ એ અવરોધ $R$ ને અનુરૂપ છે.
$3$. સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ એ કેપેસિટન્સના વ્યસ્ત $1/C$ ને અનુરૂપ છે.
$4$. સ્થાનાંતર $x$ એ વિદ્યુતભાર $q$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ને અનુરૂપ ભૌતિક રાશિ $1/C$ છે.

(A) હાર્મોનિકલી ઓસિલેટિંગ સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમમાં,કુલ ઉર્જા એ સ્થિતિ ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} kx^{2}\right)$ અને ગતિ ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} mv^{2}\right)$ નો સરવાળો છે.
$LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જા એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}\right)$ અને ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} LI^{2}\right)$ નો સરવાળો છે.
આની સરખામણી કરતા,સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} \frac{q^{2}}{C}\right)$ એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} kx^{2}\right)$ ને સમાન છે,કારણ કે બંને સ્થાનાંતર/વીજભાર પર આધાર રાખે છે.
ચુંબકીય ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} LI^{2}\right)$ એ બ્લોકની ગતિ ઉર્જા $\left(\frac{1}{2} mv^{2}\right)$ ને સમાન છે,કારણ કે બંને વેગ/પ્રવાહ પર આધાર રાખે છે.

(N/A) $LCR$ સર્કિટ માટે કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ લાગુ પાડતા:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$(b)$ $t = t_0$ સમયે,પ્રવાહ $i(t_0) = \frac{dq}{dt}|_{t=t_0}$ છે અને કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t_0)$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L [i(t_0)]^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} \frac{[q(t_0)]^2}{C}$ છે.
$(c)$ $t = t_0$ પછી,સર્કિટ $R=0$ સાથેની $LC$ સર્કિટ બની જાય છે. કુલ ઉર્જા $U = U_L + U_C$ સંરક્ષિત રહે છે. વિદ્યુતભાર $q(t)$ એ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ સાથે સાઇનસૉઇડલ રીતે દોલન કરશે.

(B) આદર્શ $L-C$ સર્કિટની આવૃત્તિ $f_{1} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે શ્રેણીમાં અવરોધ $R$ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ ડેમ્પ્ડ $L-C-R$ સર્કિટ બને છે. ડેમ્પ્ડ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - \beta^{2}}$ છે,જ્યાં $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ અને $\beta = \frac{R}{2L}$ છે.
આમ,ડેમ્પ્ડ આવૃત્તિ $f_{2}$ નીચે મુજબ છે:
$f_{2} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right)^{2} - \left(\frac{R}{2L}\right)^{2}}$
ગુણોત્તર $\frac{f_{2}}{f_{1}}$ લેતા:
$\frac{f_{2}}{f_{1}} = \frac{\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4L^{2}}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}}$
$= \sqrt{\frac{\frac{1}{LC} - \frac{R^{2}}{4L^{2}}}{\frac{1}{LC}}}$
$= \sqrt{1 - \frac{R^{2}C}{4L}}$

(C) $LC$ ઓસિલેટર સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આપેલ કિંમતો:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H = 5 \times 10^{-4} \, H$
કેપેસિટન્સ $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{5 \times 10^{-4} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{100 \times 10^{-10}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{10^{-8}}}$
$v_{0} = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$v_{0} = \frac{10^{4}}{6.28} \approx 1592 \, Hz$

(B) $L-C$ ઓસિલેશન સર્કિટમાં,એક સંપૂર્ણ ચક્ર માટે કુલ સમયગાળો $T$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{LC}$
અહીં $L = 25 \, mH = 25 \times 10^{-3} \, H$ અને $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{25 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}$
$T = 2\pi \sqrt{250 \times 10^{-9}} = 2\pi \sqrt{25 \times 10^{-8}}$
$T = 2\pi \times 5 \times 10^{-4} = 10\pi \times 10^{-4} = \pi \times 10^{-3} \, s = \pi \, ms$.
$t = 0$ સમયે કેપેસિટરમાં ઉર્જા મહત્તમ હોય છે. સર્કિટમાં પ્રવાહ ત્યારે મહત્તમ થાય છે જ્યારે ઉર્જા કેપેસિટરમાંથી ઇન્ડક્ટરમાં સંપૂર્ણપણે સ્થાનાંતરિત થાય છે,જે $t = \frac{T}{4}$ સમયે થાય છે.
તેથી,જરૂરી સમય:
$t = \frac{T}{4} = \frac{\pi \, ms}{4} = \frac{\pi}{4} \, ms$.

(B) ઓસિલેટર એ એક એવું સર્કિટ છે જે કોઈપણ બાહ્ય ઇનપુટ સિગ્નલ વિના સતત સામયિક તરંગ ઉત્પન્ન કરે છે.
એમ્પ્લીફાયરને ઓસિલેટર તરીકે કાર્ય કરવા માટે,તેને પોઝિટિવ ફીડબેકની જરૂર હોય છે.
પોઝિટિવ ફીડબેકનો અર્થ એ છે કે આઉટપુટ સિગ્નલ (વોલ્ટેજ અથવા પાવર) નો એક ભાગ મૂળ ઇનપુટ સિગ્નલ સાથે સમાન કળામાં ઇનપુટમાં પાછો આપવામાં આવે છે.
આ ફીડબેક ઇનપુટને મજબૂત બનાવે છે,જેનાથી સર્કિટ સ્વતંત્ર રીતે ઓસિલેશન જાળવી શકે છે.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા,$U = \frac{1}{2} \times (500 \times 10^{-6} \, F) \times (100 \, V)^2 = \frac{1}{2} \times 500 \times 10^{-6} \times 10^4 = 2.5 \, J$.
$LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. જ્યારે કેપેસિટરની સંપૂર્ણ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સ્થાનાંતરિત થાય ત્યારે મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{1}{2} LI_{max}^2 = U_{total}$.
$\frac{1}{2} \times (50 \times 10^{-3} \, H) \times I_{max}^2 = 2.5 \, J$.
$I_{max}^2 = \frac{2.5 \times 2}{50 \times 10^{-3}} = \frac{5}{0.05} = 100$.
$I_{max} = \sqrt{100} = 10 \, A$.

(A) $t=0$ સમયે,કેપેસિટર અનચાર્જ્ડ છે અને ઇન્ડક્ટરનું ફ્લક્સ $\phi$ છે.
$\phi = L I$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$t=0$ સમયે સર્કિટમાં પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_{0} = \phi / L$ છે.
આ સર્કિટ $LC$ ઓસિલેટર બનાવે છે. કેપેસિટર પરના ચાર્જ $q$ માટેનું વિકલ સમીકરણ $L \frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \frac{q}{C} = 0$ છે,જે $\frac{d^{2} q}{d t^{2}} + \omega_{0}^{2} q = 0$ માં સરળ બને છે,જ્યાં $\omega_{0} = 1 / \sqrt{LC}$.
ચાર્જ માટેનું સામાન્ય ઉકેલ $q(t) = A \sin(\omega_{0} t + \delta)$ છે.
$q(0) = 0$ હોવાથી,$\delta = 0$ મળે,તેથી $q(t) = A \sin(\omega_{0} t)$.
પ્રવાહ $I(t) = \frac{dq}{dt} = A \omega_{0} \cos(\omega_{0} t)$ છે.
$t=0$ સમયે,$I(0) = A \omega_{0} = I_{0} = \phi / L$.
તેથી,$A = \phi / (L \omega_{0})$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા,પ્રવાહ $I(t) = (\phi / L) \cos(\omega_{0} t)$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) જ્યારે સ્વિચ લાંબા સમય સુધી સ્થિતિ $A$ માં હોય છે,ત્યારે ઇન્ડક્ટર શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે (સ્થાયી સ્થિતિ). ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_0 = \frac{E}{R}$ છે.
$t=0$ સમયે,સ્વિચને સ્થિતિ $B$ પર ખસેડવામાં આવે છે. હવે સર્કિટમાં શ્રેણીમાં ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ હોય છે,જે $LC$ ઓસિલેટર સર્કિટ બનાવે છે. ઇન્ડક્ટરમાં પ્રારંભિક પ્રવાહ $I_0 = \frac{E}{R}$ છે અને કેપેસિટર પર પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_0 = 0$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} L I_0^2 = \frac{1}{2} \frac{q_{\max}^2}{C}$
$I_0 = \frac{E}{R}$ મૂકતા:
$L \left(\frac{E}{R}\right)^2 = \frac{q_{\max}^2}{C}$
$q_{\max}^2 = L C \frac{E^2}{R^2}$
$q_{\max} = \sqrt{L C} \frac{E}{R}$

(D) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા $U$ અચળ રહે છે અને તે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{Q^2}{2C}$.
જ્યારે કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $Q' = \frac{Q}{2}$ હોય,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C$ નીચે મુજબ છે:
$U_C = \frac{(Q')^2}{2C} = \frac{(Q/2)^2}{2C} = \frac{Q^2/4}{2C} = \frac{Q^2}{8C}$.
કુલ ઉર્જા $U$ એ કેપેસિટરની ઉર્જા $U_C$ અને ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા $U_L$ નો સરવાળો હોવાથી,$U = U_C + U_L$ થાય.
તેથી,ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L$ નીચે મુજબ મળે:
$U_L = U - U_C = \frac{Q^2}{2C} - \frac{Q^2}{8C}$.
સામાન્ય છેદ લેતા:
$U_L = \frac{4Q^2 - Q^2}{8C} = \frac{3Q^2}{8C}$.
$U = \frac{Q^2}{2C}$ હોવાથી,આપણે $\frac{Q^2}{8C} = \frac{1}{4} U$ લખી શકીએ.
આમ,$U_L = \frac{3}{4} U$.

(A) $L-C$ પરિપથમાં કુલ ઊર્જા અચળ હોય છે અને તે $U_{total} = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ ક્ષણે,કુલ ઊર્જા એ વિદ્યુત ઊર્જા $(U_E)$ અને ચુંબકીય ઊર્જા $(U_B)$ નો સરવાળો છે: $U_{total} = U_E + U_B$.
આપેલ છે કે કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે,$U_E = U_B$,તેથી આપણે લખી શકીએ $U_{total} = U_E + U_E = 2U_E$.
ઊર્જાના સૂત્રો મૂકતા,આપણને મળે $\frac{Q^2}{2C} = 2 \left( \frac{(Q')^2}{2C} \right)$,જ્યાં $Q'$ એ તે ક્ષણે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $Q^2 = 2(Q')^2$.
તેથી,$(Q')^2 = \frac{Q^2}{2}$,જેનું પરિણામ $Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(A) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે અને તે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા જેટલી હોય છે: $E_{\text{total}} = \frac{Q_0^2}{2C}$.
ધારો કે $E_c$ એ કેપેસિટરની ઉર્જા છે અને $E_i$ એ કોઈપણ સમયે $t$ પર ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા છે.
આપણને આપેલ છે કે $E_c = 3 E_i$.
કારણ કે $E_{\text{total}} = E_c + E_i$,આપણે લખી શકીએ કે $E_{\text{total}} = 3 E_i + E_i = 4 E_i$.
કુલ ઉર્જાનું મૂલ્ય મૂકતા: $4 E_i = \frac{Q_0^2}{2C}$.
તેથી,$E_i = \frac{Q_0^2}{8C}$.
ઇન્ડક્ટરની ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2} L i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $\frac{1}{2} L i^2 = \frac{Q_0^2}{8C}$.
$i$ માટે ઉકેલતા: $i^2 = \frac{Q_0^2}{4LC}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $i = \frac{Q_0}{2 \sqrt{LC}}$.

(A) $LC$ ઓસિલેટર સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવું કેપેસીટન્સ $C' = 8C$ છે.
નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{16LC}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\omega = \frac{1}{4\sqrt{LC}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,તેથી $\omega = \frac{\omega_0}{4}$ થાય.
$\omega = x\omega_0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = \frac{1}{4}$ મળે છે.

(B) ઓસિલેટિંગ $LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,જે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} L I_{\max}^2 = \frac{1}{2} \frac{Q_{\max}^2}{C}$
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max}$ માટે સૂત્ર:
$I_{\max} = Q_{\max} \sqrt{\frac{1}{LC}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 75 \times 10^{-3} \, H$
$C = 1.2 \times 10^{-6} \, F$
$Q_{\max} = 2.7 \times 10^{-6} \, C$
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ની ગણતરી:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{75 \times 10^{-3} \times 1.2 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{90 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{9 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{3 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{3} \, rad/s$
હવે,$I_{\max} = Q_{\max} \times \omega$:
$I_{\max} = (2.7 \times 10^{-6}) \times \frac{10^4}{3} = 0.9 \times 10^{-2} \, A = 9 \times 10^{-3} \, A = 9 \, mA$.

(B) $LC$ સર્કિટમાં ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કેપેસીટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા એ ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{\max}^2$
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{\max}$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$I_{\max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આપેલ કિંમતો:
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
$L = 6.4 \ mH = 6.4 \times 10^{-3} \ H$
$V = 12 \ V$
કિંમતો મૂકતા:
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{6.4 \times 10^{-3}}}$
$I_{\max} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-4}}{6.4 \times 10^{-3}}} = 12 \times \sqrt{\frac{10^{-1}}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{0.1}{6.4}} = 12 \times \sqrt{\frac{1}{64}}$
$I_{\max} = 12 \times \frac{1}{8} = 1.5 \ A$

(A) બદલાતા ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે સર્કિટમાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ $(emf)$ ફેરાડેના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -A \frac{dB}{dt}$.
અહીં $A = 1 \ m^2$ અને $\frac{dB}{dt} = \beta = 0.04 \ T \ s^{-1}$ આપેલ છે,તેથી પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $\varepsilon = 1 \times 0.04 = 0.04 \ V$ થાય.
આ $emf$ એ $LC$ સર્કિટમાં વોલ્ટેજ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે. $LC$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $I(t) = I_0 \sin(\omega t)$ મુજબ દોલન કરે છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
અચળ $emf$ $\varepsilon$ દ્વારા સંચાલિત $LC$ સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \varepsilon \sqrt{\frac{C}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $I_0 = 0.04 \times \sqrt{\frac{10^{-3}}{0.1}} = 0.04 \times \sqrt{10^{-2}} = 0.04 \times 0.1 = 0.004 \ A$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા: $I_0 = 0.004 \times 1000 \ mA = 4 \ mA$.

(C) $LC$ પરિપથમાં,કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે,જ્યાં $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
$t=0$ સમયે,ઉર્જા મહત્તમ છે,જેનો અર્થ છે કે વિદ્યુતભાર મહત્તમ $(q = q_0)$ છે.
પરિપથમાં પ્રવાહ $i(t) = -\frac{dq}{dt} = q_0 \omega \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $\sin(\omega t) = 1$ હોય ત્યારે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે,જે $\omega t = \frac{\pi}{2}$ પર થાય છે,અથવા $t = \frac{\pi}{2\omega}$.
આપેલ છે કે $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 10 \mu\text{F} = 10 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-5} \text{ F}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10^{-5}}} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}} = 0.25 \times 10^4 = 2500 \text{ rad/s}$ ની ગણતરી કરો.
હવે,$t = \frac{\pi}{2 \times 2500} = \frac{\pi}{5000} = \pi \times 2 \times 10^{-4} \text{ s} = 2 \pi \times 10^{-4} \text{ s}$.

(A) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્સ કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C$ છે. પ્રારંભિક કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 2L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C' = 4C$ છે.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ આ મુજબ મળે: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(2L)(4C)}} = \frac{1}{\sqrt{8LC}}$.
આને આ રીતે સાદું રૂપ આપી શકાય: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{8} \sqrt{LC}} = \frac{1}{2\sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
કારણ કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,તેથી $\omega'$ ના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$\omega' = \frac{\omega}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ છે. તેથી,$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
પ્રશ્ન મુજબ,નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 4L$ અને નવું કેપેસિટન્સ $C' = 8C$ છે.
નવી રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega'$ નીચે મુજબ મળે: $\omega' = \frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{(4L)(8C)}} = \frac{1}{\sqrt{32LC}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\omega' = \frac{1}{\sqrt{16 \times 2 \times LC}} = \frac{1}{4 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$.
કારણ કે $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ,જેથી $\omega' = \frac{\omega}{4 \sqrt{2}}$ મળે છે.

(C) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ ને $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ કરવામાં આવે છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે $S_1$ ખુલ્લું હોય અને $S_2$ બંધ હોય,ત્યારે કેપેસિટર $C$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ એક $LC$ ઓસિલેટિંગ સર્કિટ બનાવે છે.
ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
પરિપથમાં મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે બધી વિદ્યુત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L}V^2$
$I_{max} = V\sqrt{\frac{C}{L}}$
આમ,પરિપથમાં તાત્કાલિક પ્રવાહ આ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $E_{max} = \frac{Q^2}{2C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય, ત્યારે કેપેસિટરમાં રહેલી ઉર્જા મહત્તમ ઉર્જાની અડધી હોય છે, એટલે કે $E_{cap} = \frac{1}{2} E_{max}$.
ધારો કે આ ક્ષણે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q'$ છે. તો, $E_{cap} = \frac{Q'^2}{2C}$.
$E_{cap}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Q'^2}{2C} = \frac{1}{2} \left( \frac{Q^2}{2C} \right)$
$Q'^2 = \frac{Q^2}{2}$
$Q' = \frac{Q}{\sqrt{2}}$.

(C) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે.
શરૂઆતમાં,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_i = \frac{1}{2}CV_1^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2$ થાય છે,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_c = \frac{1}{2}CV_2^2$ છે.
આ ક્ષણે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2}LI^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $U_i = U_c + U_L$.
$\frac{1}{2}CV_1^2 = \frac{1}{2}CV_2^2 + \frac{1}{2}LI^2$.
$LI^2 = C(V_1^2 - V_2^2)$.
$I^2 = \frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)$.
$I = \sqrt{\frac{C}{L}(V_1^2 - V_2^2)}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$, વોલ્ટેજ $V = 35 \text{ V}$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 200 \text{ mH} = 200 \times 10^{-3} \text{ H}$.
$LC$ સર્કિટમાં, કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કેપેસિટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $U_E = U_B$, તેથી $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{\text{max}}^2$.
$I_{\text{max}}$ માટે ઉકેલતા: $I_{\text{max}} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{\text{max}} = 35 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{200 \times 10^{-3}}} = 35 \times \sqrt{\frac{1}{10000}} = 35 \times \frac{1}{100} = 0.35 \text{ A}$.

(C) $LC$ સર્કિટમાં, કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે। કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત પ્રારંભિક ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
જ્યારે કોઈલમાં પ્રવાહ મહત્તમ $(I_{max})$ હોય, ત્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ હોય છે.
સર્કિટમાં કોઈ અવરોધ ન હોવાથી, કુલ ઉર્જા અચળ રહે છે, તેથી પ્રારંભિક વિદ્યુત ઉર્જા મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આપેલ છે: $C = 1 \, \mu F = 1 \times 10^{-6} \, F$, $V = 50 \, V$, $L = 10 \, mH = 10 \times 10^{-3} \, H = 10^{-2} \, H$.
$I_{max} = 50 \times \sqrt{\frac{1 \times 10^{-6}}{10^{-2}}}$
$I_{max} = 50 \times \sqrt{10^{-4}}$
$I_{max} = 50 \times 10^{-2} \, A = 0.5 \, A$.

(C) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
જ્યારે કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0$ ના સમયે,બધી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2}Li_0^2$ તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}Li_0^2$.
$i_0$ માટે ઉકેલતા: $i_0^2 = \frac{CV^2}{L} \implies i_0 = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.

(A) $LC$ ઓસિલેટરની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આવૃત્તિ $F$ એ કેપેસીટન્સ $C$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$F \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$).
ધારો કે $F_1 = F$ અને $C_1 = 0.1 \ \mu F$.
ધારો કે $F_2$ એ નવી આવૃત્તિ છે અને $C_2 = 0.2 \ \mu F$.
ગુણોત્તરની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{F_2}{F_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$
$\frac{F_2}{F} = \sqrt{\frac{0.1}{0.2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
તેથી,$F_2 = \frac{F}{\sqrt{2}} \ Hz$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} C V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C = 4 \mu F = 4 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 10 \ V$ આપેલ છે,તેથી ઉર્જા $U = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times (10)^2 = 2 \times 10^{-4} \ J$ થાય.
જ્યારે કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે અને તે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} L I_{max}^2 = \frac{1}{2} C V^2$.
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L} = \frac{4 \times 10^{-6} \times 100}{10 \times 10^{-3}} = \frac{4 \times 10^{-4}}{10^{-2}} = 4 \times 10^{-2} = 0.04$.
તેથી,$I_{max} = \sqrt{0.04} = 0.2 \ A$.

(D) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $V$ વોલ્ટેજ સુધી ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} CV^2$ છે.
જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે $LC$ ઓસિલેશન સર્કિટ બનાવે છે.
$t = 0$ સમયે ($S_2$ બંધ થાય તે ક્ષણે),ઉર્જા સંપૂર્ણપણે વિદ્યુત સ્વરૂપે (કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત) હોય છે.
જેમ કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,તેમ ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વિદ્યુત ઉર્જા એ મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C}{L} V^2$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$
આમ,પરિપથમાં તત્કાલીન પ્રવાહ મહત્તમ $V \sqrt{\frac{C}{L}}$ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(A) ચાર્જ થયેલા કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,ત્યારે ઉર્જા કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્રમાંથી ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સ્થાનાંતરિત થાય છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $(I_0)$ ના સમયે,બધી ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે,જે $U = \frac{1}{2} LI_0^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{1}{2} CV^2 = \frac{1}{2} LI_0^2$.
$I_0$ માટે ઉકેલતા: $I_0^2 = \frac{CV^2}{L}$.
આપેલ છે: $C = 1 \mu F = 10^{-6} \ F$,$V = 50 \ V$,$L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
કિંમતો મૂકતા: $I_0^2 = \frac{10^{-6} \times (50)^2}{10^{-2}} = \frac{10^{-6} \times 2500}{10^{-2}} = 2500 \times 10^{-4} = 0.25$.
તેથી,$I_0 = \sqrt{0.25} = 0.5 \ A$.

(A) ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $A.C.$ પરિપથમાં પ્રવાહ $I = I_0 \sin(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે,તેથી ઉર્જા $U_B \propto \sin^2(\omega t)$ મુજબ બદલાય છે.
ઉર્જા મહત્તમથી ન્યૂનતમ મૂલ્યમાં આવર્તકાળ $T$ ના $\frac{1}{4}$ ભાગ જેટલા સમયમાં બદલાય છે.
આપેલ છે કે,$\frac{T}{4} = 5 \ ms = 5 \times 10^{-3} \ s$.
તેથી,$T = 20 \times 10^{-3} \ s = 0.02 \ s$.
આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.02} = 50 \ Hz$ થાય.

(B) જ્યારે $S_1$ બંધ હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ એ $V$ જેટલા વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત સુધી ચાર્જ થાય છે.
જ્યારે $S_1$ ને ખુલ્લું રાખવામાં આવે છે અને $S_2$ ને બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર $C$ અને ઇન્ડક્ટર $L$ એક $LC$ ઓસિલેટિંગ પરિપથ બનાવે છે.
કેપેસિટરમાં શરૂઆતમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
જેમ જેમ કેપેસિટર ડિસ્ચાર્જ થાય છે,તેમ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા $U_B = \frac{1}{2} L I^2$ તરીકે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે તમામ સ્થિત-વિદ્યુત ઉર્જા ચુંબકીય ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$
$I_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$
$I_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.
આમ,પરિપથમાં તત્કાલિન પ્રવાહ આ મહત્તમ મૂલ્ય સુધી પહોંચી શકે છે.

(D) $LC$ સર્કિટમાં કુલ ઉર્જા $U$ અચળ હોય છે અને તે $U = \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^{2}}{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $(U_L)$ અને કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $(U_C)$ સમાન હોય,ત્યારે દરેક કુલ ઉર્જાના અડધા હોવા જોઈએ.
તેથી,$U_C = \frac{U}{2}$.
ઉર્જા માટેના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{Q_{0}^{2}}{C} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{q^2}{C} = \frac{Q_{0}^{2}}{2C}$.
$q^2 = \frac{Q_{0}^{2}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $q = \frac{Q_{0}}{\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) $LC$ પરિપથ માટે મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિનું સૂત્ર $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-6}}}$
$\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{16 \times 10^{-8}}}$
$\omega_{0} = \frac{1}{4 \times 10^{-4}}$
$\omega_{0} = \frac{10^{4}}{4} = 2500 \text{ rad s}^{-1}$.

(B) આપેલ છે, કેપેસીટન્સ, $C = 10^{-6} \,F$.
ઇન્ડક્ટન્સ, $L = 10^{-4} \,H$.
$L-C$ સર્કિટમાં વિદ્યુત દોલનોની આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-4} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-10}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}}$
$f = \frac{10^5}{2 \pi} \,Hz$

(B) સમય $t$ ના વિધેય તરીકે વીજભાર $q$ એ $q = q_0 \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_0$ એ મહત્તમ વીજભાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,પ્રવાહ $I = \frac{dq}{dt} = \omega q_0 \cos(\omega t)$ મળે છે.
$t = 0$ સમયે,પ્રવાહ $I = \omega q_0 \cos(0) = \omega q_0$ થાય છે.
$t = 0$ સમયે $I = 2 \ A$ આપેલ હોવાથી,$2 = \omega q_0$ મળે.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોવાથી,સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $q_0 = I \sqrt{LC}$.
$L = 3 \times 10^{-3} \ H$ અને $C = 2.7 \times 10^{-6} \ F$ આપેલ છે,તેથી:
$q_0 = 2 \times \sqrt{3 \times 10^{-3} \times 2.7 \times 10^{-6}}$
$q_0 = 2 \times \sqrt{8.1 \times 10^{-9}} = 2 \times \sqrt{81 \times 10^{-10}}$
$q_0 = 2 \times 9 \times 10^{-5} = 18 \times 10^{-5} \ C$.

(C) આપેલ છે, $L = 0.5 \, mH = 0.5 \times 10^{-3} \, H$ અને $C = 20 \, \mu F = 20 \times 10^{-6} \, F$.
$L-C$ પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{2 \pi} \approx \frac{10000}{6.283} \approx 1592.3 \, Hz$
આમ, અનુનાદ આવૃત્તિ આશરે $1592 \, Hz$ છે.

(C) $LC$-દોલનો માટે,વિકલ સમીકરણ $L \frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} \frac{dq}{dt} = 0$ મળે છે. કારણ કે $i = \frac{dq}{dt}$,આ સમીકરણ $L \frac{d^2i}{dt^2} + \frac{1}{C} i = 0$ ... $(i)$ બને છે.
યાંત્રિક સ્પ્રિંગ-બ્લોક સિસ્ટમ માટે,ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ ... $(ii)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દળ $m$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને અનુરૂપ છે,અને બળ અચળાંક $k$ એ કેપેસિટન્સના વ્યસ્તને અનુરૂપ છે,એટલે કે $k \propto \frac{1}{C}$.

(C) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતી સ્લેબ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસીટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f'$ આ મુજબ મળે છે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC'}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
આપેલ કિંમતો $K = 16$ અને $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ મૂકતા,આપણને $f' = \frac{f_0}{\sqrt{16}} = \frac{f_0}{4}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 196 \text{ pF} = 196 \times 10^{-12} \text{ F}$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 441 \text{ } \mu\text{H} = 441 \times 10^{-6} \text{ H}$.
$L-C$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{441 \times 10^{-6} \times 196 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(21^2 \times 14^2) \times 10^{-18}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 21 \times 14 \times 10^{-9}}$
$f = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 294 \times 10^{-9}}$
$f \approx \frac{1}{1847.25 \times 10^{-9}} \approx 0.5413 \times 10^6 \text{ Hz} = 5.41 \times 10^5 \text{ Hz}$.

(A) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$.
ઇન્ડક્ટન્સ,$L = 400 \ \mu H = 400 \times 10^{-6} \ H$.
રેઝોનન્ટ $L-C$ સર્કિટની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉત્સર્જિત વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{c}{f}$ છે,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \ m/s$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
$f$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = c \times 2 \pi \sqrt{LC}$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = 3 \times 10^8 \times 2 \times 3.14 \times \sqrt{400 \times 10^{-12} \times 400 \times 10^{-6}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times \sqrt{160000 \times 10^{-18}}$.
$\lambda = 3 \times 10^8 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-9}$.
$\lambda = 3 \times 6.28 \times 400 \times 10^{-1} = 753.6 \ m \approx 754 \ m$.

(B) $L-C$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે અને તે ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર અને કેપેસિટરના વિદ્યુત ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} C V_{max}^2$ છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $U_{max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} C V_{max}^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2$.
તેથી,$I_{max} = V_{max} \sqrt{\frac{C}{L}}$.
આપેલ છે: $C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \ F$,$L = 80 \mu H = 80 \times 10^{-6} \ H$,અને $V_{max} = 80 \ V$.
કિંમતો મૂકતા: $I_{max} = 80 \times \sqrt{\frac{20 \times 10^{-6}}{80 \times 10^{-6}}} = 80 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 80 \times \frac{1}{2} = 40 \ A$.

(C) $L-C$ સર્કિટની કુદરતી આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટરને $K$ ડાયલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતા પદાર્થથી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} f$ થાય છે.
આપેલ છે કે $f = 125 \ kHz$ અને આવૃત્તિમાં $25 \ kHz$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $f' = 125 \ kHz - 25 \ kHz = 100 \ kHz$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \Rightarrow \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$.
તેથી,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$.

(D) દોલિત $LC$ સર્કિટમાં,કુલ ઉર્જા $U$ અચળ રહે છે અને તે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$.
જ્યારે ઉર્જા વિદ્યુત ક્ષેત્ર (કેપેસિટર) અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (ઇન્ડક્ટર) વચ્ચે સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય,ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_E$ એ કુલ ઉર્જા $U$ ના અડધા જેટલી હોય છે.
$U_E = \frac{1}{2} U$
ઉર્જાના સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} \frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C} \right)$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{q^2}{C} = \frac{1}{2} \frac{Q^2}{C}$
$q^2 = \frac{Q^2}{2}$
$q = \frac{Q}{\sqrt{2}}$
તેથી,જ્યારે ઉર્જા સમાન રીતે વહેંચાયેલી હોય ત્યારે કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{Q}{\sqrt{2}}$ હશે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટર ઓસિલેટર યુનિટના ટ્યુન કરેલા સર્કિટ માટે,આપેલ મૂલ્યો છે:
$L = 5 mH = 5 \times 10^{-3} H$
$C = 5 pF = 5 \times 10^{-12} F$
ઓસિલેટરની કુદરતી આવૃત્તિ $f$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
મૂલ્યો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-12}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-15}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 5 \times 10^{-7.5}}$
ગણતરી કરતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{2.5 \times 10^{-14}}} = \frac{1}{2 \pi \times 1.581 \times 10^{-7}}$
$f = \frac{10^7}{9.93} \approx 1.006 \times 10^6 Hz = 1 MHz$.