LC Oscillations Questions in Gujarati

(B) $LC$ સર્કિટની કુદરતી આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે કે,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = 120 \ kHz$ છે.
જ્યારે $K$ ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક ધરાવતો પદાર્થ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 20 \ kHz = 120 - 20 = 100 \ kHz$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L(KC)}} = \frac{1}{\sqrt{K}} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = \frac{f}{\sqrt{K}}$.
તેથી,$\frac{f}{f'} = \sqrt{K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120}{100} = \sqrt{K} \Rightarrow 1.2 = \sqrt{K}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $K = (1.2)^2 = 1.44$.

(C) $L-C$ સર્કિટની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
જ્યારે કેપેસિટર $C$ ને $K$ અચળાંક ધરાવતા ડાયઇલેક્ટ્રિક માધ્યમવાળા કેપેસિટર $C'$ દ્વારા બદલવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
નવી આવૃત્તિ $f' = f - 25 \text{ kHz} = 125 \text{ kHz} - 25 \text{ kHz} = 100 \text{ kHz}$ છે.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{f'}{f} = \sqrt{\frac{C}{C'}} = \sqrt{\frac{C}{KC}} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{100}{125} = \frac{1}{\sqrt{K}}$.
$\frac{4}{5} = \frac{1}{\sqrt{K}} \implies \sqrt{K} = \frac{5}{4} = 1.25$.
તેથી,$K = (1.25)^2 = 1.5625 \approx 1.56$.

(B) $1$. શરૂઆતમાં,સ્વીચ $S_1$ બંધ છે અને $S_2$ ખુલ્લી છે. કેપેસિટર $C$ બેટરીના પોટેન્શિયલ $V$ સુધી ચાર્જ થાય છે.
$2$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V^2$ છે.
$3$. જ્યારે $S_1$ ખોલવામાં આવે છે અને $S_2$ બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કેપેસિટર ઇન્ડક્ટર $L$ દ્વારા ડિસ્ચાર્જ થાય છે,જે $LC$ ઓસિલેશન સર્કિટ બનાવે છે.
$4$. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જ્યારે પ્રવાહ મહત્તમ $(i_{max})$ હોય ત્યારે કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાં ચુંબકીય ઉર્જા તરીકે સ્થાનાંતરિત થાય છે.
$5$. $\frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} L i_{max}^2$
$6$. $i_{max}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $i_{max}^2 = \frac{C V^2}{L}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i_{max} = V \sqrt{\frac{C}{L}}$.

(B) કેપેસિટર $V = 50 \ V$ ના પોટેન્શિયલ તફાવત સુધી ચાર્જ થયેલ છે. જ્યારે બેટરી દૂર કરવામાં આવે છે અને કેપેસિટરને ઇન્ડક્ટર સાથે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LC$ ઓસિલેટર બનાવે છે.
$t=0$ સમયે,કેપેસિટર પરનો ચાર્જ મહત્તમ હોય છે,તેથી તેની આસપાસનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V_{max} = 50 \ V$ છે.
ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વોલ્ટેજ $V_L = L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LC$ સર્કિટમાં,પોટેન્શિયલ તફાવતોનો સરવાળો શૂન્ય હોય છે: $V_C + V_L = 0$,જેનો અર્થ છે કે $|V_L| = |V_C|$.
$t=0$ સમયે,પ્રવાહ $I=0$ હોય છે,તેથી કેપેસિટરનો સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ ઇન્ડક્ટરની આસપાસ દેખાય છે.
આમ,$L \left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = V_{max}$.
આપેલ છે કે $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H$ અને $V_{max} = 50 \ V$.
$\left( \frac{dI}{dt} \right)_{max} = \frac{50}{10 \times 10^{-3}} = \frac{50}{0.01} = 5000 \ A s^{-1}$.

(A) $LC$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી (અનુનાદ આવૃત્તિ) નું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં,$\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ દર્શાવે છે,જેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[T^{-1}]$ છે.
તેથી,$(LC)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \omega$.
કોણીય આવૃત્તિનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^0 L^0 T^{-1}]$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) જ્યારે સ્વીચ સ્થિતિ $a$ માં હોય છે,ત્યારે કેપેસિટર $E$ જેટલા પોટેન્શિયલ સુધી ચાર્જ થાય છે. કેપેસિટર પરનો ચાર્જ $q = CE$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{q^2}{2C} = \frac{(CE)^2}{2C} = \frac{1}{2} CE^2$ છે.
જ્યારે સ્વીચને સ્થિતિ $b$ પર ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $LC$ ઓસિલેટર બની જાય છે. કુલ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે,જે કેપેસિટરના વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ઇન્ડક્ટરના ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે દોલન કરે છે.
ધારો કે $I_0$ એ ઓસિલેટિંગ પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર છે. ઇન્ડક્ટરમાં મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા $\frac{1}{2} L I_0^2$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ વિદ્યુત ઉર્જા એ મહત્તમ ચુંબકીય ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$\frac{1}{2} CE^2 = \frac{1}{2} L I_0^2$
$CE^2 = L I_0^2$
$I_0^2 = \frac{C}{L} E^2$
$I_0 = E \sqrt{\frac{C}{L}}$

(B) $LC$ પરિપથમાં મુક્ત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ માટેનું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
અહીં આપેલ કિંમતો $L = 27 \text{ mH} = 27 \times 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 30 \mu\text{F} = 30 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{27 \times 10^{-3} \times 30 \times 10^{-6}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{810 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-8}}}$
$\omega = \frac{1}{9 \times 10^{-4}}$
$\omega = \frac{10^4}{9} \approx 1111.11 \text{ rad/s}$.
સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $1100 \text{ rad/s}$ છે.