Inductance, Capacitance and Resistance in Series and Parallel Questions in Hindi

(C) परिपथ का कुल प्रतिरोध $R = R_1 + R_2 = 44\,\Omega + 36\,\Omega = 80\,\Omega$ है।
परिपथ का कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 90\,\Omega - 30\,\Omega = 60\,\Omega$ है।
परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X^2} = \sqrt{80^2 + 60^2} = \sqrt{6400 + 3600} = \sqrt{10000} = 100\,\Omega$ है।
श्रेणी परिपथ में प्रवाहित धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{200\, V}{100\,\Omega} = 2\, A$ है।
कुंडली में व्यय होने वाली शक्ति उसके आंतरिक प्रतिरोध $R_2 = 36\,\Omega$ के कारण होती है। इसलिए,$P = I^2 R_2 = (2)^2 \times 36 = 4 \times 36 = 144\, W$।

(C) समांतर क्रम में जुड़े प्रेरक और संधारित्र वाले $AC$ परिपथ में,प्रेरक से प्रवाहित धारा $(I_L)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ पीछे होती है,और संधारित्र से प्रवाहित धारा $(I_C)$ वोल्टेज से $90^{\circ}$ आगे होती है।
इस प्रकार,धाराएं $I_L$ और $I_C$ विपरीत कला (opposite phases) में होती हैं,अर्थात उनके बीच का कलांतर $180^{\circ}$ होता है।
जनरेटर द्वारा ली गई कुल धारा $I$ इन धाराओं का सदिश योग है:
$I = |I_L - I_C|$
दिया गया है कि $I_L = 0.9\,A$ और $I_C = 0.4\,A$ है।
अतः,$I = |0.9 - 0.4| = 0.5\,A$।

(A) परिपथ की प्रतिबाधा ज्ञात करने के लिए,हम पहले $X_{L}$ और $X_{C}$ की गणना करते हैं।
$X_{L} = 2 \pi \nu L = 2 \times 3.14 \times 50 \times 25.48 \times 10^{-3} \; \Omega = 8 \; \Omega$.
$X_{C} = \frac{1}{2 \pi \nu C} = \frac{1}{2 \times 3.14 \times 50 \times 796 \times 10^{-6}} = 4 \; \Omega$.
अतः,$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = \sqrt{3^{2} + (8 - 4)^{2}} = 5 \; \Omega$.
$(b)$ कलांतर,$\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_{L} - X_{C}}{R} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{8 - 4}{3} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.1^{\circ}$.
चूंकि $\phi$ धनात्मक है,धारा वोल्टेज से पीछे है।
$(c)$ परिपथ में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^{2} R$ है।
$I_{rms} = \frac{V_{m}}{\sqrt{2} Z} = \frac{283}{\sqrt{2} \times 5} \approx 40 \; A$.
अतः,$P = (40)^{2} \times 3 = 4800 \; W$.
$(d)$ शक्ति गुणांक = $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{3}{5} = 0.6$.

(N/A) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 80 \; mH = 80 \times 10^{-3} \; H$,धारिता $C = 60 \; \mu F = 60 \times 10^{-6} \; F$,प्रतिरोध $R = 15 \; \Omega$,वोल्टेज $V = 230 \; V$,आवृत्ति $f = 50 \; Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \; rad/s \approx 314.16 \; rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times 80 \times 10^{-3} \approx 25.13 \; \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 60 \times 10^{-6}} \approx 53.05 \; \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{15^2 + (25.13 - 53.05)^2} = \sqrt{225 + (-27.92)^2} = \sqrt{225 + 779.53} = \sqrt{1004.53} \approx 31.69 \; \Omega$.
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{230}{31.69} \approx 7.26 \; A$.
प्रेरक को स्थानांतरित औसत शक्ति $P_L = 0 \; W$ (क्योंकि कलांतर $90^\circ$ है)।
संधारित्र को स्थानांतरित औसत शक्ति $P_C = 0 \; W$ (क्योंकि कलांतर $90^\circ$ है)।
प्रतिरोधक को स्थानांतरित औसत शक्ति $P_R = I^2 R = (7.26)^2 \times 15 \approx 790.5 \; W$.
परिपथ द्वारा अवशोषित कुल शक्ति $P_{total} = P_R + P_L + P_C = 790.5 + 0 + 0 = 790.5 \; W$.

(N/A) मान लीजिए कि एक श्रेणी $LCR$ परिपथ एक $AC$ स्रोत से जुड़ा है,जिसका विद्युत वाहक बल $\varepsilon = V_m \sin \omega t$ है।
मान लीजिए कि $q$ संधारित्र पर आवेश है और $I$ किसी समय $t$ पर परिपथ में धारा है। किरचॉफ के वोल्टेज नियम (लूप नियम) के अनुसार,प्रेरक $(V_L)$,प्रतिरोधक $(V_R)$ और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर विभवांतर का योग प्रयुक्त स्रोत वोल्टेज $V$ के बराबर होना चाहिए।
$V = V_L + V_R + V_C$
विभवांतर के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V = L \frac{dI}{dt} + IR + \frac{q}{C}$
जहाँ:
$V_L = L \frac{dI}{dt}$ प्रेरक के सिरों पर विभवांतर है।
$V_R = IR$ प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर है।
$V_C = \frac{q}{C}$ संधारित्र के सिरों पर विभवांतर है।

(N/A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,किसी भी क्षण सभी घटकों से प्रवाहित धारा $I$ समान होती है।
माना धारा $I = I_m \sin(\omega t)$ है।
प्रतिरोधक के सिरों पर वोल्टेज $V_R$,धारा $I$ के साथ समान कला (in phase) में होता है।
प्रेरक (inductor) के सिरों पर वोल्टेज $V_L$,धारा $I$ से $\pi/2$ आगे होता है।
संधारित्र (capacitor) के सिरों पर वोल्टेज $V_C$,धारा $I$ से $\pi/2$ पीछे होता है।
कुल वोल्टेज $V$,$V_R$,$V_L$ और $V_C$ का फेजर योग है। चूंकि $V_L$ और $V_C$ विपरीत दिशाओं में हैं,उनका परिणामी $(V_L - V_C)$ होता है।
फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,परिणामी वोल्टेज $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ प्राप्त होता है।
स्रोत वोल्टेज और धारा के बीच कला कोण $\phi$,$\tan \phi = \frac{V_L - V_C}{V_R} = \frac{I_m X_L - I_m X_C}{I_m R} = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,कला संबंध $\phi = \tan^{-1} \left( \frac{X_L - X_C}{R} \right)$ है।

(N/A) यदि $X_C > X_L$ है,तो कला कोण $\phi$ धनात्मक होता है और परिपथ कैपेसिटिव हो जाता है; परिणामस्वरूप,परिपथ में धारा स्रोत वोल्टेज से आगे होती है।
यदि $X_C < X_L$ है,तो कला कोण $\phi$ ऋणात्मक होता है और परिपथ इंडक्टिव हो जाता है; परिणामस्वरूप,परिपथ में स्रोत वोल्टेज धारा से आगे होता है।
$X_C > X_L$ स्थिति के लिए फेजर आरेख और $\omega t$ के साथ $V$ और $I$ में परिवर्तन को चित्र में दिखाया गया है।
इस प्रकार,हमने फेजर की तकनीक का उपयोग करके $LCR$ श्रेणी परिपथ के लिए धारा का आयाम और कला प्राप्त कर ली है,लेकिन इस विधि की कुछ कमियां हैं:
$1$. फेजर आरेख प्रारंभिक स्थितियों के बारे में कोई जानकारी नहीं देता है।
$2$. कोई भी $t$ का मनमाना मान चुनकर अलग-अलग फेजर खींचे जा सकते हैं। इस प्रकार प्राप्त समाधान को स्टेडी-स्टेट समाधान कहा जाता है,जो एक सामान्य समाधान नहीं है।
$3$. इसके अलावा,एक ट्रांजिएंट समाधान भी मौजूद होता है जो $V = 0$ के लिए भी बना रहता है।
सामान्य समाधान ट्रांजिएंट समाधान और स्टेडी-स्टेट समाधान का योग है। पर्याप्त लंबे समय के बाद,ट्रांजिएंट समाधान के प्रभाव समाप्त हो जाते हैं और परिपथ का व्यवहार स्टेडी-स्टेट समाधान द्वारा वर्णित किया जाता है।

(N/A) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए वोल्टेज समीकरण किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार है:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V$
$V = V_m \sin \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$L \frac{dI}{dt} + RI + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$ ... $(1)$
चूंकि $I = \frac{dq}{dt}$,इसलिए $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$। इसे $(1)$ में रखने पर:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_m \sin \omega t$
$L$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R}{L} \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = \frac{V_m}{L} \sin \omega t$ ... $(2)$
यह एक बलपूर्वक,अवमंदित दोलक के समीकरण के समान है। मान लीजिए समाधान $q = q_m \sin(\omega t + \theta)$ है ... $(3)$
तब $\frac{dq}{dt} = q_m \omega \cos(\omega t + \theta)$ ... $(4)$ और $\frac{d^2q}{dt^2} = -q_m \omega^2 \sin(\omega t + \theta)$ ... $(5)$
$(3), (4)$ और $(5)$ के मान $(2)$ में रखने पर:
$-q_m \omega^2 L \sin(\omega t + \theta) + R q_m \omega \cos(\omega t + \theta) + \frac{q_m}{C} \sin(\omega t + \theta) = V_m \sin \omega t$
$q_m \omega [R \cos(\omega t + \theta) + (\frac{1}{\omega C} - \omega L) \sin(\omega t + \theta)] = V_m \sin \omega t$
$X_C = \frac{1}{\omega C}$ और $X_L = \omega L$ तथा प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ का उपयोग करते हुए,हम $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ और $\sin \phi = \frac{X_L - X_C}{Z}$ परिभाषित करते हैं।
यह उस कला संबंध की ओर ले जाता है जहाँ धारा $I = I_m \sin(\omega t + \phi)$ वोल्टेज से $\phi = \tan^{-1}(\frac{X_L - X_C}{R})$ कला कोण से आगे या पीछे होती है।

(A) $L-C-R$ श्रेणी $AC$ परिपथ में,प्रतिरोध $(R)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_R)$ धारा $(I)$ के साथ समान कला (phase) में होता है।
प्रेरक $(L)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_L)$ धारा से $90^\circ$ आगे होता है,और संधारित्र $(C)$ के सिरों पर वोल्टेज $(V_C)$ धारा से $90^\circ$ पीछे होता है।
परिपथ का कुल प्रतिघात (reactance) $(X_L - X_C)$ है।
फेजर आरेख का उपयोग करते हुए,कुल वोल्टेज $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ है।
चूंकि $V = IZ$,$V_R = IR$,$V_L = IX_L$,और $V_C = IX_C$,इन्हें समीकरण में रखने पर:
$IZ = \sqrt{(IR)^2 + (IX_L - IX_C)^2}$
$IZ = I \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
अतः,प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।

(N/A) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में,प्रेरक $(L)$,प्रतिरोधक $(R)$ और संधारित्र $(C)$ के सिरों पर विभवांतर का योग आरोपित विद्युत वाहक बल $(E(t))$ के बराबर होता है।
किरचॉफ के वोल्टेज नियम के अनुसार:
$L \frac{dI}{dt} + IR + \frac{q}{C} = E(t)$
चूंकि धारा $I = \frac{dq}{dt}$ है,इसलिए धारा के परिवर्तन की दर $\frac{dI}{dt} = \frac{d^2q}{dt^2}$ होती है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$L \frac{d^2q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E(t)$
यह $L-C-R$ श्रेणी परिपथ में आवेश $q$ के लिए द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।

(N/A) मान लीजिए परिपथ $(a)$ में $rms$ धारा $I_{a}$ है और परिपथ $(b)$ में $rms$ धारा $I_{b}$ है।
परिपथ $(a)$ के लिए,प्रतिबाधा $Z_{a} = R$ है। अतः,$I_{a} = \frac{V_{rms}}{R}$।
परिपथ $(b)$ के लिए,प्रतिबाधा $Z_{b} = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ है। अतः,$I_{b} = \frac{V_{rms}}{\sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}}$।
$(a)$ $I_{a} = I_{b}$ के लिए,$Z_{a} = Z_{b}$ होना चाहिए।
$\therefore R = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^{2} = R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}$,जिसका अर्थ है $(X_{L} - X_{C})^{2} = 0$,या $X_{L} = X_{C}$।
यह विद्युत अनुनाद (resonance) की स्थिति है।
$(b)$ चूंकि $Z_{b} = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$,यह स्पष्ट है कि $X_{L}$ और $X_{C}$ के सभी मानों के लिए $Z_{b} \geq R$ होता है।
चूंकि $I_{b} = \frac{V_{rms}}{Z_{b}}$ और $I_{a} = \frac{V_{rms}}{R}$,और $Z_{b} \geq R$,इसलिए $I_{b} \leq I_{a}$ होता है।
अतः,परिपथ $(b)$ में $rms$ धारा कभी भी परिपथ $(a)$ से अधिक नहीं हो सकती है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ में आपूर्ति वोल्टेज,धारा से जिस कला कोण $\phi$ से आगे रहता है,वह इस संबंध द्वारा दिया जाता है: $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{2 \pi \nu L - \frac{1}{2 \pi \nu C}}{R}$.
बहुत कम आवृत्तियों $(\nu \to 0)$ पर,धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C = \frac{1}{2 \pi \nu C}$ बहुत बड़ा होता है,जिससे $X_L - X_C$ ऋणात्मक हो जाता है। अतः,$\tan \phi$ ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि वोल्टेज धारा से पीछे है (या कला कोण ऋणात्मक है)।
जैसे-जैसे आवृत्ति $\nu$ बढ़ती है और अनुनादी आवृत्ति (resonant frequency) $\nu_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ तक पहुँचती है,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ धारिता प्रतिघात $X_C$ के बराबर हो जाता है,इसलिए $X_L - X_C = 0$ और $\phi = 0$ होता है।
बहुत उच्च आवृत्तियों $(\nu \to \infty)$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi \nu L$ बहुत बड़ा हो जाता है,जिससे $X_L - X_C$ धनात्मक हो जाता है। अतः,$\tan \phi$ धनात्मक है,जिसका अर्थ है कि वोल्टेज धारा से आगे है (या कला कोण धनात्मक है)।
इसलिए,जैसे-जैसे आवृत्ति बहुत कम मान से बहुत उच्च मान तक बढ़ती है,कला कोण $\phi$ का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में बदल जाता है।

(N/A) यह परिपथ एक प्रतिरोधक $R$ और एक संधारित्र $C$ तथा प्रेरक $L$ के श्रेणी संयोजन के समानांतर जुड़ा हुआ है। दोनों शाखाओं पर वोल्टेज $V = V_m \sin \omega t$ है।
$1$. प्रतिरोधक शाखा से प्रवाहित धारा $(i_R)$:
$i_R = \frac{V}{R} = \frac{V_m}{R} \sin \omega t$.
$2$. $LC$ शाखा से प्रवाहित धारा $(i_{LC})$:
$LC$ श्रेणी शाखा की प्रतिबाधा $Z_{LC} = j(\omega L - \frac{1}{\omega C})$ है।
धारा $i_{LC} = \frac{V}{Z_{LC}} = \frac{V_m \sin \omega t}{j(\omega L - \frac{1}{\omega C})} = \frac{V_m \sin(\omega t - \pi/2)}{\omega L - 1/(\omega C)}$ (यदि $\omega L > 1/\omega C$ हो)।
$3$. कुल धारा $i$:
$i = i_R + i_{LC} = \frac{V_m}{R} \sin \omega t + \frac{V_m}{\omega L - 1/(\omega C)} \sin(\omega t - \pi/2)$.
फेजर योग का उपयोग करते हुए,कुल धारा $i = I_m \sin(\omega t + \phi)$ है,जहाँ $I_m = V_m \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{\omega L - 1/(\omega C)})^2}$.
$4$. प्रतिबाधा $Z$:
चूँकि $i = V/Z$,कुल प्रतिबाधा $Z$ के लिए $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{R})^2 + (\frac{1}{\omega L - 1/(\omega C)})^2}$.
अतः,$Z = \frac{R |\omega L - 1/(\omega C)|}{\sqrt{R^2 + (\omega L - 1/(\omega C))^2}}$.

(C) दिया गया है: $f = 750\, Hz$,$V_{rms} = 20\, V$,$R = 100\, \Omega$,$L = 0.1803\, H$,$C = 10\, \mu F = 10 \times 10^{-6}\, F$,$S = 2\, J/^{\circ}C$,$\Delta T = 10^{\circ}C$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ और धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_L = 2\pi fL = 2 \times 3.14159 \times 750 \times 0.1803 \approx 849.6\, \Omega$.
$X_C = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 750 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 21.2\, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z$ की गणना करें:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{100^2 + (849.6 - 21.2)^2} = \sqrt{10000 + (828.4)^2} \approx \sqrt{10000 + 686246} \approx \sqrt{696246} \approx 834.4\, \Omega$.
प्रतिरोधक में व्ययित शक्ति $P = I_{rms}^2 R = \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right)^2 R = \left(\frac{20}{834.4}\right)^2 \times 100 \approx (0.02397)^2 \times 100 \approx 0.05746\, W$ (या $J/s$)।
आवश्यक ऊष्मा $Q = S \cdot \Delta T = 2\, J/^{\circ}C \times 10^{\circ}C = 20\, J$.
आवश्यक समय $t = \frac{Q}{P} = \frac{20}{0.05746} \approx 348.07\, s$.
अतः,समय लगभग $348\, s$ है।

(D) दिया गया है: $P = 400 \ W$,$V_{rms} = 250 \ V$,$f = 50 \ Hz$,$\cos \phi = 0.8$.
$1$. प्रतिबाधा $Z$ की गणना:
$P = \frac{V_{rms}^2}{Z} \cos \phi$
$400 = \frac{250^2}{Z} \times 0.8$
$Z = \frac{62500 \times 0.8}{400} = 125 \ \Omega$.
$2$. प्रतिरोध $R$ और प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना:
$R = Z \cos \phi = 125 \times 0.8 = 100 \ \Omega$.
$X_L = Z \sin \phi = 125 \times 0.6 = 75 \ \Omega$.
$3$. शक्ति गुणांक को इकाई बनाने के लिए,परिपथ को अनुनाद (resonance) में होना चाहिए,अतः $X_C = X_L = 75 \ \Omega$.
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = 75$
$C = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times 75} = \frac{1}{7500 \pi} \ F = \frac{10^6}{7500 \pi} \ \mu F = \frac{400}{3 \pi} \ \mu F$.
$(\frac{n}{3 \pi}) \ \mu F$ से तुलना करने पर,$n = 400$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \, rad/s$ है।
$1$. संधारित्र शाखा के लिए:
$60 \, \Omega$ प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $I_C = \frac{V_R}{R} = \frac{15 \, V}{60 \, \Omega} = 0.25 \, A = \frac{1}{4} \, A$ है।
चूंकि संधारित्र इस प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए समान धारा संधारित्र से होकर गुजरती है।
$V_C = I_C X_C = I_C \cdot \frac{1}{\omega C}$ का उपयोग करते हुए:
$10 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{100 \cdot C}$
$10 = \frac{1}{400 C} \Rightarrow C = \frac{1}{4000} \, F = 0.25 \times 10^{-3} \, F = 250 \, \mu F$.
$2$. प्रेरक (इंडक्टर) शाखा के लिए:
$40 \, \Omega$ प्रतिरोध से गुजरने वाली धारा $I_{R'} = \frac{V_{R'}}{R'} = \frac{20 \, V}{40 \, \Omega} = 0.5 \, A = \frac{1}{2} \, A$ है।
प्रेरक इस शाखा के समानांतर है। प्रेरक पर वोल्टेज $20 \, V$ है।
$V_L = I_L X_L = I_L \cdot \omega L$
$20 = I_L \cdot 100 \cdot L$.
यदि प्रेरक से बहने वाली धारा $I_L = 0.25 \, A$ है:
$20 = 0.25 \cdot 100 \cdot L$
$20 = 25 \cdot L \Rightarrow L = \frac{20}{25} = 0.8 \, H$.

(D) दिया गया है: $R = 110 \, \Omega$,$V = 220 \, V$,$\omega = 300 \, rad/s$.
जब धारिता को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है। कला कोण (phase angle) $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा $45^{\circ}$ पीछे है,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_L}{R} = 1$,इसलिए $X_L = R$.
जब प्रेरक को हटा दिया जाता है,तो परिपथ एक $RC$ परिपथ बन जाता है। कला कोण $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि धारा $45^{\circ}$ आगे है,$\tan 45^{\circ} = \frac{X_C}{R} = 1$,इसलिए $X_C = R$.
चूंकि $X_L = R$ और $X_C = R$,इसका अर्थ है कि $X_L = X_C$.
$LCR$ परिपथ में,जब $X_L = X_C$ होता है,तो परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में होता है।
अनुनाद पर,प्रतिबाधा (impedance) $Z = R$ होती है।
rms धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{R} = \frac{220}{110} = 2 \, A$.

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{(X_{L} - X_{C})^{2} + R^{2}}$.
दिया गया है कि $X_{L} = R$ और $X_{C} = R$,इसलिए $X_{L} = X_{C}$ है।
इन मानों को प्रतिबाधा के सूत्र में रखने पर:
$Z = \sqrt{(R - R)^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{0^{2} + R^{2}}$
$Z = \sqrt{R^{2}}$
$Z = R$.
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $R$ है।

(D) दिया गया है:
धारा का आयाम,$I_{0} = 10 \sqrt{2} \, A$.
प्रेरक के सिरों पर विभवांतर,$V_{L} = 40 \, V$.
संधारित्र के सिरों पर विभवांतर,$V_{C} = 10 \, V$.
प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर,$V_{R} = 40 \, V$.
चरण $1$: $RMS$ धारा $(I_{RMS})$ की गणना करें।
$I_{RMS} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}} = \frac{10 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10 \, A$.
चरण $2$: स्रोत के $RMS$ वोल्टेज $(V_{RMS})$ की गणना करें।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में,कुल वोल्टेज इस प्रकार दिया जाता है:
$V_{RMS} = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
$V_{RMS} = \sqrt{(40)^{2} + (40 - 10)^{2}}$
$V_{RMS} = \sqrt{40^{2} + 30^{2}} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \, V$.
चरण $3$: परिपथ की प्रतिबाधा $(Z)$ की गणना करें।
$Z = \frac{V_{RMS}}{I_{RMS}} = \frac{50 \, V}{10 \, A} = 5 \, \Omega$.
अतः,परिपथ की प्रतिबाधा $5 \, \Omega$ है।

(D) दिया गया है: $L = 100 \, mH = 0.1 \, H$,$C = 100 \, \mu F = 10^{-4} \, F$,$R = 10 \, \Omega$,$V = 220 \, V$,$f = 50 \, Hz$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \, rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times 0.1 = 10 \pi \approx 31.4 \, \Omega$.
धारतीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 10^{-4}} = \frac{100}{\pi} \approx 31.8 \, \Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{10^2 + (31.4 - 31.8)^2} = \sqrt{100 + (-0.4)^2} = \sqrt{100 + 0.16} \approx \sqrt{100} = 10 \, \Omega$.
धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{220}{10} = 22 \, A$.

(A) लैंप की रेटिंग $V_L = 25 \; V$ और $P_L = 5 \; W$ है।
अपनी निर्धारित शक्ति पर लैंप से प्रवाहित होने वाली धारा $I$,$P_L = V_L \times I$ द्वारा दी जाती है।
$I = \frac{P_L}{V_L} = \frac{5 \; W}{25 \; V} = 0.2 \; A$.
चूंकि लैंप और प्रतिरोध $R$ श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए समान धारा $I = 0.2 \; A$ प्रतिरोध $R$ से प्रवाहित होगी।
प्रतिरोध $R$ के सिरों पर वोल्टेज $V_R = V_{source} - V_L = 220 \; V - 25 \; V = 195 \; V$ है।
प्रतिरोध $R$ के लिए ओम के नियम का उपयोग करते हुए,$V_R = I \times R$.
$195 \; V = 0.2 \; A \times R$.
$R = \frac{195}{0.2} = 975 \; \Omega$.

(D) दिया गया है: $V_{L} = V_{C} = 2V_{R}$.
चूंकि $V = IR$,इसलिए $I X_{L} = I X_{C} = 2(IR)$ होगा।
अतः,$X_{L} = X_{C} = 2R$.
यहाँ $R = 5\,\Omega$ दिया गया है,इसलिए $X_{L} = 2 \times 5 = 10\,\Omega$.
हम जानते हैं कि $X_{L} = 2\pi f L$.
मान रखने पर: $10 = 2 \times \pi \times 50 \times L$.
$10 = 100 \pi L$.
$L = \frac{10}{100\pi} = \frac{1}{10\pi}\,H$.
$mH$ में बदलने के लिए,$L = \frac{1}{10\pi} \times 1000\,mH = \frac{100}{\pi}\,mH$.
इसकी तुलना $\frac{1}{K\pi}\,mH$ से करने पर,$\frac{1}{K\pi} = \frac{100}{\pi}$ प्राप्त होता है।
अतः,$K = \frac{1}{100} = 0.01$.

(B) उत्पन्न ऊष्मा ऊर्जा $H = \frac{V^2}{R} t$ द्वारा दी जाती है। चूंकि उत्पन्न ऊष्मा $H$ और वोल्टेज $V$ दोनों स्थितियों के लिए समान हैं,इसलिए हमारे पास $H = \frac{V^2}{R_1} t_1 = \frac{V^2}{R_2} t_2$ है।
दिया गया है कि $t_1 = 20 \ min$ और $t_2 = 60 \ min$,तो $\frac{20}{R_1} = \frac{60}{R_2}$,जिसका अर्थ है $R_2 = 3R_1$।
जब समानांतर क्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ को $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{3R_1} = \frac{4}{3R_1}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$R_{eq} = \frac{3R_1}{4}$।
समानांतर संयोजन द्वारा $t$ समय में समान ऊष्मा $H$ उत्पन्न करने के लिए,हमारे पास $H = \frac{V^2}{R_{eq}} t$ है।
इसे पहली कुंडली द्वारा उत्पन्न ऊष्मा के साथ बराबर करने पर: $\frac{V^2}{R_1} \times 20 = \frac{V^2}{(3R_1/4)} \times t$।
$20 = \frac{4}{3} t \Rightarrow t = \frac{20 \times 3}{4} = 15 \ min$।

(A) दिया गया है: शिखर वोल्टेज $V_0 = 220 \,V$,आवृत्ति $f = 50 \,Hz$,प्रतिरोध $R = 400 \,\Omega$,धारिता $C = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F$,और प्रेरकत्व $L = 6 \,H$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \,rad/s$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100\pi \times 6 = 600\pi \,\Omega \approx 1884.96 \,\Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100\pi \times 200 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.02\pi} = \frac{50}{\pi} \,\Omega \approx 15.92 \,\Omega$.
प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{400^2 + (1884.96 - 15.92)^2} = \sqrt{160000 + (1869.04)^2} \approx \sqrt{160000 + 3493310} \approx \sqrt{3653310} \approx 1911.36 \,\Omega$.
अधिकतम धारा $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{220}{1911.36} \approx 0.115 \,A$.
निकटतम मान लेने पर,अधिकतम धारा लगभग $0.12 \,A$ है।

(C) मान लीजिए $AC$ मेन्स का वोल्टेज $V$ है। बल्ब का प्रतिरोध $R_b = \frac{V_{rated}^2}{P_{rated}}$ द्वारा दिया जाता है।
$50 \,W$ के बल्ब के लिए,$R_1 = \frac{V_{rated}^2}{50}$।
$100 \,W$ के बल्ब के लिए,$R_2 = \frac{V_{rated}^2}{100} = \frac{R_1}{2}$।
मान लीजिए हीटर कॉइल का प्रतिरोध $R_h$ है। हीटर का पावर आउटपुट $P = I^2 R_h = \left( \frac{V}{R_b + R_h} \right)^2 R_h$ है।
पहले मामले में,$P_1 = \left( \frac{V}{R_1 + R_h} \right)^2 R_h$।
दूसरे मामले में,$P_2 = \left( \frac{V}{R_2 + R_h} \right)^2 R_h = \left( \frac{V}{R_1/2 + R_h} \right)^2 R_h$।
चूंकि $R_1/2 < R_1$,$P_2$ के व्यंजक में हर $P_1$ की तुलना में छोटा है,जिसका अर्थ है कि $P_2 > P_1$।
अतः,हीटर का आउटपुट बढ़ेगा।

(A) दिया गया है: प्रतिरोध $R = 10 \,\Omega$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 8 \,\Omega$,और धारितीय प्रतिघात $X_C = 6 \,\Omega$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ में कुल प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
सूत्र में मान रखने पर:
$Z = \sqrt{10^2 + (8 - 6)^2}$
$Z = \sqrt{100 + 2^2}$
$Z = \sqrt{100 + 4}$
$Z = \sqrt{104}$
$Z \approx 10.198 \,\Omega \approx 10.2 \,\Omega$.
अतः,कुल प्रतिबाधा $10.2 \,\Omega$ है।

(D) आरोपित वोल्टेज का समीकरण दिया गया है: $\varepsilon = 500 \sqrt{2} \sin \omega t$.
इसे $\varepsilon = \varepsilon_0 \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर,शिखर वोल्टेज $\varepsilon_0 = 500 \sqrt{2} \,V$ है।
$r.m.s.$ वोल्टेज $\varepsilon_{rms} = \frac{\varepsilon_0}{\sqrt{2}} = \frac{500 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 500 \,V$ है।
एक श्रेणी $RLC$ परिपथ में,$r.m.s.$ वोल्टेज के बीच संबंध $\varepsilon_{rms} = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V_R = 400 \,V$ और $V_L = 700 \,V$ दिए गए हैं,इसलिए:
$(500)^2 = (400)^2 + (700 - V_C)^2$
$250000 = 160000 + (700 - V_C)^2$
$(700 - V_C)^2 = 90000$
$700 - V_C = \pm 300$.
इससे दो संभावनाएं मिलती हैं: $V_C = 700 - 300 = 400 \,V$ या $V_C = 700 + 300 = 1000 \,V$.
मानक स्थिति में जहाँ $V_C = 400 \,V$ $r.m.s.$ वोल्टेज है,संधारित्र पर शिखर वोल्टेज $V_{C,peak} = V_C \sqrt{2} = 400 \sqrt{2} \,V$ होगा।

(D) दिया गया है: $E_0 = 200 \, V$,$R = 20 \, \Omega$,$L = 0.1 \, H$,$C = 10.6 \, F$।
$1$. आवृत्ति $f = 0$ ($DC$ स्रोत) पर:
प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L = 0 \, \Omega$ होता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \infty$ होता है।
चूंकि घटक श्रेणीक्रम में हैं,कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \infty$ होगी।
अतः,धारा $I = \frac{E_0}{Z} = 0 \, A$ प्राप्त होगी।
$2$. आवृत्ति $f = \infty$ पर:
प्रेरक प्रतिघात $X_L = 2 \pi f L = \infty$ होता है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = 0 \, \Omega$ होता है।
चूंकि घटक श्रेणीक्रम में हैं,कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \infty$ होगी।
अतः,धारा $I = \frac{E_0}{Z} = 0 \, A$ प्राप्त होगी।
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में धारा शून्य है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
यहाँ,$X_L = 2 \pi f L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है और $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है,जबकि $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का प्रभाव अधिक होता है,इसलिए $f$ बढ़ने पर $Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) $f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो इसका न्यूनतम मान है।
जैसे ही $f$ का मान $f_0$ से अधिक होता है,$X_L$ का प्रभाव बढ़ जाता है,जिससे $Z$ फिर से बढ़ने लगता है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,अनुनाद पर न्यूनतम होती है और फिर बढ़ती है।

(A) दिए गए परिपथ आरेख से, संधारित्र $(X_C = 2 \, \Omega)$ और प्रेरक $(X_L = 2 \, \Omega)$ एक-दूसरे के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं, और यह संयोजन वोल्टमीटर के साथ समांतर क्रम में जुड़ा है। हालाँकि, अमीटर प्रतिरोध $(R = 55 \, \Omega)$ और $AC$ स्रोत $(110 \, V)$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
चूंकि संधारित्र और प्रेरक श्रेणीक्रम में हैं, उनका कुल प्रतिघात $X = X_L - X_C = 2 \, \Omega - 2 \, \Omega = 0 \, \Omega$ है।
इसका अर्थ है कि संधारित्र और प्रेरक वाली शाखा $AC$ स्रोत के लिए शॉर्ट सर्किट (शून्य प्रतिबाधा) के रूप में कार्य करती है।
इसलिए, स्रोत का पूरा वोल्टेज $(110 \, V)$ प्रतिरोध $(R = 55 \, \Omega)$ पर लागू होता है।
अमीटर द्वारा मापी गई धारा $I$ ओम के नियम द्वारा दी जाती है:
$I = \frac{V}{R} = \frac{110 \, V}{55 \, \Omega} = 2 \, A$.

(C) दिए गए परिपथ में,प्रतिरोधक $R$,प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ के समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है।
प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_R$ स्रोत द्वारा प्रदान की गई कुल धारा है।
समानांतर $LC$ परिपथ में,प्रेरक $(i_L)$ और संधारित्र $(i_C)$ से प्रवाहित धाराएं एक-दूसरे से $180^{\circ}$ के कलांतर (phase difference) पर होती हैं।
इसलिए,समानांतर $LC$ संयोजन से प्रवाहित कुल धारा,प्रेरक और संधारित्र की धाराओं के परिमाणों के अंतर के बराबर होती है:
$I_{LC} = |i_L - i_C|$
यहाँ $i_L = 0.8 \,A$ और $i_C = 0.4 \,A$ दिया गया है:
$I_{LC} = |0.8 \,A - 0.4 \,A| = 0.4 \,A$
चूंकि प्रतिरोधक इस समानांतर संयोजन के साथ श्रेणीक्रम में है,इसलिए प्रतिरोधक से प्रवाहित धारा $I_R$ का मान $LC$ शाखा से प्रवाहित कुल धारा के बराबर होगा।
अतः,$I_R = 0.4 \,A$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(C) बल्ब $B_1$ एक संधारित्र $C$ के साथ श्रेणीक्रम में है,और बल्ब $B_2$ एक प्रेरक $L$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ द्वारा दिया जाता है,जो आवृत्ति $f$ बढ़ने पर घटता है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = 2\pi f L$ द्वारा दिया जाता है,जो आवृत्ति $f$ बढ़ने पर बढ़ता है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,$X_C$ घटता है,जिससे $B_1$ वाली शाखा में अधिक धारा प्रवाहित होती है,और इसकी चमक बढ़ जाती है।
इसके विपरीत,जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$X_L$ बढ़ता है,जिससे $B_2$ वाली शाखा में धारा कम हो जाती है,और इसकी चमक घट जाती है।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) अनुनाद (resonance) पर,$\omega L = \frac{1}{\omega C}$,परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = R$ होती है। इसलिए,धारा $I_0 = \frac{\varepsilon_0}{R}$ है।
जब कोणीय आवृत्ति को बदलकर $\omega^{\prime}$ कर दिया जाता है,तो नई धारा $I^{\prime} = \frac{I_0}{2} = \frac{\varepsilon_0}{2R}$ हो जाती है।
आवृत्ति $\omega^{\prime}$ पर प्रतिबाधा $Z^{\prime} = \sqrt{R^2 + \left(\omega^{\prime} L - \frac{1}{\omega^{\prime} C}\right)^2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I^{\prime} = \frac{\varepsilon_0}{Z^{\prime}}$,हमारे पास $\frac{\varepsilon_0}{2R} = \frac{\varepsilon_0}{\sqrt{R^2 + \left(\omega^{\prime} L - \frac{1}{\omega^{\prime} C}\right)^2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $4R^2 = R^2 + \left(\omega^{\prime} L - \frac{1}{\omega^{\prime} C}\right)^2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\left(\omega^{\prime} L - \frac{1}{\omega^{\prime} C}\right)^2 = 3R^2$।
वर्गमूल लेने पर,हमें $\left|\omega^{\prime} L - \frac{1}{\omega^{\prime} C}\right| = \sqrt{3} R$ प्राप्त होता है।

(A) परिपथ $(a)$ में,प्रतिबाधा $Z_a = R = 40\,\Omega$ है। rms धारा $I_a = \frac{V}{Z_a} = \frac{220}{40} = 5.5\,A$ है।
परिपथ $(b)$ में,प्रतिबाधा $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $Z_b = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \geq R$ है,इसलिए $Z_b \geq Z_a$ होता है।
अतः,धारा $I_b = \frac{V}{Z_b} \leq \frac{V}{Z_a} = I_a$ होती है।
इसका अर्थ है कि परिपथ $(b)$ में rms धारा कभी भी परिपथ $(a)$ की rms धारा से अधिक नहीं हो सकती।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = \frac{50}{\pi} \text{ mH} = \frac{50}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,धारिता $C = \frac{10^3}{\pi} \text{ }\mu\text{F} = \frac{10^3}{\pi} \times 10^{-6} \text{ F}$,प्रतिरोध $R = 10 \,\Omega$,आवृत्ति $f = 50 \text{ Hz}$।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{50}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 100 \times 50 \times 10^{-3} = 5 \,\Omega$।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \left( \frac{10^3}{\pi} \times 10^{-6} \right)} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \,\Omega$।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की कुल प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{10^2 + (5 - 10)^2}$
$Z = \sqrt{100 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125}$
$Z = 5 \sqrt{5} \,\Omega$।

(D) दिया गया है: $L = 1 \text{ H}$,$C = 20 \mu F = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R = 300 \Omega$,$V = 50 \sqrt{2} \sin 100 t$.
$1$. कोणीय आवृत्ति $\omega = 100 \text{ rad/s}$.
$2$. $RMS$ वोल्टेज $V_{\text{rms}} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{50 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 50 \text{ V}$.
$3$. प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \times 1 = 100 \Omega$.
$4$. धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
$5$. प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{300^2 + (100 - 500)^2} = \sqrt{300^2 + (-400)^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.
$6$. $RMS$ धारा $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z} = \frac{50}{500} = 0.1 \text{ A}$.
$7$. संधारित्र के सिरों पर $RMS$ विभवांतर $V_C = I_{\text{rms}} \times X_C = 0.1 \times 500 = 50 \text{ V}$.

(A, C, D) दिया गया है: $V_{rms} = 20 \ V$,$\omega = 100 \ rad/s$,$C = 100 \ \mu F$,$L = 0.5 \ H$.
$1$. ऊपरी शाखा का प्रतिबाधा (impedance) ($RC$ श्रेणी):
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 100 \times 10^{-6}} = 100 \ \Omega$.
$Z_1 = \sqrt{R_1^2 + X_C^2} = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{1,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_1} = \frac{20}{100\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} \ A$.
$100 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R1} = I_{1,rms} \times R_1 = \frac{1}{5\sqrt{2}} \times 100 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $C$ सही है)।
$2$. निचली शाखा का प्रतिबाधा ($RL$ श्रेणी):
$X_L = \omega L = 100 \times 0.5 = 50 \ \Omega$.
$Z_2 = \sqrt{R_2^2 + X_L^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$I_{2,rms} = \frac{V_{rms}}{Z_2} = \frac{20}{50\sqrt{2}} = \frac{2}{5\sqrt{2}} \ A$.
$50 \ \Omega$ प्रतिरोधक पर वोल्टेज: $V_{R2} = I_{2,rms} \times R_2 = \frac{2}{5\sqrt{2}} \times 50 = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \ V$. (विकल्प $D$ सही है)।
$3$. कुल धारा $I_{rms}$:
फेज कोण $\phi_1 = \tan^{-1}(\frac{-X_C}{R_1}) = -45^\circ$ और $\phi_2 = \tan^{-1}(\frac{X_L}{R_2}) = 45^\circ$.
$I_1$ और $I_2$ के बीच फेज अंतर $90^\circ$ है।
$I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2} = \sqrt{(\frac{1}{5\sqrt{2}})^2 + (\frac{2}{5\sqrt{2}})^2} = \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{4}{50}} = \sqrt{\frac{5}{50}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.316 \ A \approx 0.3 \ A$. (विकल्प $A$ सही है)।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $R = 50 \ \Omega$, $X_L = 100 \ \Omega$, और $X_C = 50 \ \Omega$ दिए गए हैं।
$Z = \sqrt{50^2 + (100 - 50)^2} = \sqrt{50^2 + 50^2} = \sqrt{2500 + 2500} = \sqrt{5000} = 50\sqrt{2} \ \Omega$.
$AC$ परिपथ में व्ययित औसत शक्ति $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ होती है, जहाँ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक है।
$P = V_{rms} \times \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$.
यहाँ $V_{rms} = 10 \ V$ दिया गया है।
$P = \frac{10^2 \times 50}{(50\sqrt{2})^2} = \frac{100 \times 50}{2500 \times 2} = \frac{5000}{5000} = 1 \ W$.

(B) दिया गया है: $V_{rms} = 220 \ V$,$R = 20 \ \Omega$,$X_C = 25 \ \Omega$,$X_L = 45 \ \Omega$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Z = \sqrt{20^2 + (45 - 25)^2} = \sqrt{400 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \ \Omega$.
$RMS$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220}{20\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \approx 7.778 \ A \approx 7.8 \ A$.
कलांतर $\phi$ के लिए $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ होता है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{45 - 25}{20} = \frac{20}{20} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ सभी घटकों में समान होती है।
$1$. प्रतिरोधक के सिरों पर विभवांतर $(V_R)$ धारा $I$ के साथ समान कला में होता है।
$2$. प्रेरक के सिरों पर विभवांतर $(V_L)$ धारा $I$ से $\pi / 2$ आगे होता है।
$3$. संधारित्र के सिरों पर विभवांतर $(V_C)$ धारा $I$ से $\pi / 2$ पीछे होता है।
अतः,$V_L$ और $V_C$ के बीच कलांतर $\pi / 2 - (-\pi / 2) = \pi$ होता है।
विकल्प $A$ गलत है क्योंकि अनुप्रयुक्त $e.m.f.$ $V$ सामान्यतः $I$ के साथ $\theta$ कोण पर होता है।
विकल्प $B$ गलत है क्योंकि अनुप्रयुक्त $e.m.f.$ और $V_L$ के बीच कलांतर परिपथ के मापदंडों पर निर्भर करता है।
विकल्प $C$ गलत है क्योंकि $V_L$ और $V_C$ के बीच कलांतर $\pi$ है।
विकल्प $D$ सही है क्योंकि $V_R$ धारा $I$ के साथ समान कला में है और $V_C$ धारा $I$ के साथ $\pi / 2$ के कलांतर पर है,इसलिए $V_R$ और $V_C$ के बीच कलांतर $\pi / 2$ है।

(B) $LR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_L = \omega L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है।
जब एक संधारित्र को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) है।
यदि परिपथ प्रारंभ में प्रेरणिक $(X_L > X_C)$ था,तो संधारित्र जोड़ने से $X_C$ शामिल हो जाता है,जो $X_L$ के प्रभाव को आंशिक रूप से कम कर देता है,जिससे कुल प्रतिबाधा $Z$ कम हो जाती है।
चूंकि धारा $I = \frac{V}{Z}$ होती है,इसलिए प्रतिबाधा $Z$ में कमी होने से परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।

(D) दिए गए परिपथ में,दो प्रेरक $L$ और $2L$ श्रेणीक्रम (series) में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य प्रेरकत्व $L_{eq}$ इस प्रकार है:
$L_{eq} = L + 2L = 3L$
दो संधारित्र $C$ और $2C$ समांतर क्रम (parallel) में जुड़े हुए हैं। इसलिए,तुल्य धारिता $C_{eq}$ इस प्रकार है:
$C_{eq} = C + 2C = 3C$
$L-C$ परिपथ की अनुनादी आवृत्ति $f$ का सूत्र है:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
सूत्र में $L_{eq}$ और $C_{eq}$ का मान रखने पर:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(3C)}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9LC}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{LC}}$
$f = \frac{1}{6 \pi \sqrt{LC}}$

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,आरोपित प्रत्यावर्ती e.m.f. $(E)$ को प्रेरक $(V_L)$,संधारित्र $(V_C)$,और प्रतिरोधक $(V_R)$ के सिरों पर व्यक्तिगत विभवांतर के फेजर योग द्वारा ज्ञात किया जाता है।
कुल e.m.f. के लिए सूत्र है:
$E = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
परिपथ आरेख से दिए गए मान:
$V_L = 20 \ V$
$V_C = 50 \ V$
$V_R = 40 \ V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$E = \sqrt{40^2 + (20 - 50)^2}$
$E = \sqrt{1600 + (-30)^2}$
$E = \sqrt{1600 + 900}$
$E = \sqrt{2500}$
$E = 50 \ V$
अतः,प्रत्यावर्ती e.m.f. का मान $50 \ V$ है।

(A) परिपथ $(A)$ में,प्रतिबाधा $Z_A = R = 40 \ \Omega$ है।
परिपथ $(B)$ में,प्रतिबाधा $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
चूंकि $Z_B = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \ge R$,इसलिए $Z_B \ge Z_A$ होता है।
r.m.s. धारा $I = V/Z$ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों परिपथों के लिए वोल्टेज $V$ समान $(220 \ V)$ है,इसलिए $I_B = V/Z_B$ और $I_A = V/Z_A$ होगा।
चूंकि $Z_B \ge Z_A$,इसका अर्थ है कि $I_B \le I_A$। अतः,परिपथ $(B)$ में r.m.s. धारा कभी भी परिपथ $(A)$ की धारा से अधिक नहीं हो सकती।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा $I$ का सूत्र $I = \frac{E}{Z} = \frac{E}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ है।
यहाँ,$X_L = 2 \pi f L$ और $X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ है।
दिए गए वोल्टेज $E$ और प्रतिरोध $R$ के लिए धारा $I$ को स्थिर रखने हेतु,प्रतिबाधा $Z$ को स्थिर रहना चाहिए।
इसके लिए प्रतिघात $X_L$ और $X_C$ में कोई परिवर्तन नहीं होना चाहिए।
यदि आवृत्ति $f$ को दोगुना $(f' = 2f)$ किया जाता है,तो $X_L$ को स्थिर रखने के लिए: $2 \pi (2f) L' = 2 \pi f L \implies L' = \frac{L}{2}$।
इसी प्रकार,$X_C$ को स्थिर रखने के लिए: $\frac{1}{2 \pi (2f) C'} = \frac{1}{2 \pi f C} \implies C' = \frac{C}{2}$।
अतः,$L$ और $C$ दोनों को एक साथ आधा किया जाना चाहिए।

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ है।
दिया गया है: $L = \frac{300}{\pi} \text{ mH} = \frac{0.3}{\pi} \text{ H}$,$C = \frac{1}{\pi} \text{ mF} = \frac{1}{\pi} \times 10^{-3} \text{ F}$,$R = 20 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100 \pi \text{ rad/s}$.
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times \frac{0.3}{\pi} = 30 \ \Omega$.
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times \frac{1}{\pi} \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\tan \phi = \frac{30 - 10}{20} = \frac{20}{20} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1)$.

(B) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ को सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (2 \pi v L - \frac{1}{2 \pi v C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
बहुत कम आवृत्तियों $(v \to 0)$ पर,धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{2 \pi v C}$ अनंत की ओर जाता है,इसलिए $Z \to \infty$ होता है।
अनुनादी आवृत्ति $v_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ पर,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारिता प्रतिघात $X_C$ के बराबर हो जाता है,जिससे कुल प्रतिघात शून्य हो जाता है। इस प्रकार,$Z = R$ होता है,जो प्रतिबाधा का न्यूनतम मान है।
अनुनादी आवृत्ति $(v > v_r)$ से अधिक आवृत्तियों के लिए,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = 2 \pi v L$ प्रभावी हो जाता है,और जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है,$Z$ बढ़ता है।
इसलिए,$Z$ बनाम $v$ का ग्राफ एक उच्च मान से शुरू होता है,$v_r$ पर न्यूनतम मान $R$ तक घटता है,और फिर से बढ़ता है। इस व्यवहार को ग्राफ $(B)$ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) समानांतर $LC$ परिपथ में,कुल प्रतिबाधा $Z$ को $\frac{1}{Z} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$ द्वारा दिया जाता है।
अनुनाद (resonance) पर,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$,जिसका अर्थ है कि $X_L = X_C$ है।
इस आवृत्ति पर,स्रोत से ली गई कुल धारा न्यूनतम होती है क्योंकि प्रतिबाधा $Z$ अनंत हो जाती है।
चूंकि परिपथ समानांतर में जुड़ा है,इसलिए प्रेरकत्व $L$ और धारिता $C$ के सिरों पर वोल्टेज स्रोत वोल्टेज के समान होता है।
हालाँकि,अनुनाद पर एक समानांतर $LC$ परिपथ में,$L$ और $C$ के बीच प्रवाहित होने वाली धारा अधिकतम होती है,जिससे घटकों पर वोल्टेज अधिकतम प्राप्त होता है।

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का मान $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$X_L = L\omega = 2\pi fL$ और $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ है।
जैसे-जैसे आवृत्ति $f$ बढ़ती है,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ रैखिक रूप से बढ़ता है,जबकि धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ घटता है।
कम आवृत्तियों पर,$X_C$ का प्रभाव अधिक होता है,इसलिए जैसे-जैसे $f$ बढ़ता है,$Z$ घटता है।
अनुनाद आवृत्ति $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ पर,$X_L = X_C$ हो जाता है,जिससे प्रतिबाधा $Z = R$ हो जाती है,जो इसका न्यूनतम मान है।
जैसे ही $f$ का मान $f_0$ से अधिक होता है,$X_L$ का प्रभाव बढ़ जाता है,जिससे $Z$ बढ़ने लगता है।
अतः,प्रतिबाधा पहले घटती है,न्यूनतम मान तक पहुँचती है और फिर बढ़ती है।