Inductance, Capacitance and Resistance in Series and Parallel Questions in Hindi

(A) धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,$X_C$ निरंतर घटता है। इसलिए,$(A)-(iv)$.
प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे $\omega$ बढ़ता है,$X_L$ निरंतर बढ़ता है। इसलिए,$(B)-(i)$.
प्रतिरोध $R$ कोणीय आवृत्ति $\omega$ से स्वतंत्र है। इसलिए,$(C)-(ii)$.
$LCR$ श्रेणी परिपथ में कुल प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है। अनुनाद (resonance) पर,$X_L = X_C$,इसलिए $Z$ न्यूनतम होता है। जैसे-जैसे $\omega$ शून्य से बढ़ता है,$Z$ पहले अनुनाद तक घटता है और फिर बढ़ता है। इसलिए,$(D)-(iii)$.

(D) एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में, कुल आरोपित वोल्टेज $V$ व्यक्तिगत घटकों के सिरों पर वोल्टेज का फेजर योग होता है।
कुल वोल्टेज के लिए सूत्र है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिया गया है:
$V_L = 50 \,V$
$V_C = 20 \,V$
$V_R = 40 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$V = \sqrt{1600 + (30)^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$
अतः, आरोपित $A.C.$ वोल्टेज $50 \,V$ है।

(B) श्रेणी $LR$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ द्वारा दी जाती है।
जब इस परिपथ में एक संधारित्र को श्रेणी क्रम में जोड़ा जाता है,तो नई प्रतिबाधा $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ हो जाती है।
चूंकि $(X_L - X_C)^2 < X_L^2$ (यह मानते हुए कि $X_C$ शून्य नहीं है),इसलिए नई प्रतिबाधा $Z_2$ मूल प्रतिबाधा $Z_1$ से कम है।
$AC$ परिपथ के लिए ओम के नियम के अनुसार,$I = \frac{V}{Z}$ होता है।
चूंकि प्रतिबाधा $Z$ घट जाती है,इसलिए परिपथ में बहने वाली धारा $I$ बढ़ जाती है।

(D) $50 \, Hz$ पर इंडक्टर कॉइल के लिए:
$X_L = \frac{V}{I} = \frac{100}{8} = 12.5 \, \Omega$.
प्रतिरोधक के लिए:
$R = \frac{V}{I} = \frac{100}{10} = 10 \, \Omega$.
नई आवृत्ति $f' = 40 \, Hz$ पर, नया इंडक्टिव रिएक्टेंस $X_L'$:
$X_L' = X_L \times \frac{f'}{f} = 12.5 \times \frac{40}{50} = 10 \, \Omega$.
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो प्रतिबाधा $Z$:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2} = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, \Omega$.
श्रेणी परिपथ में धारा $I$:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \, A$.

(C) परिपथ में $r.m.s.$ धारा $I$ का मान $I = \frac{V}{Z}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $V = 220 \ V$ और $Z = 33 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $I = \frac{220}{33} = \frac{20}{3} \ A$ प्राप्त होता है।
$a.c.$ परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र $P = I^2 R$ है।
मान रखने पर,$P = \left(\frac{20}{3}\right)^2 \times 18$.
$P = \frac{400}{9} \times 18 = 400 \times 2 = 800 \ W$.

(B) दिया गया है: $R=200 \Omega$, $L=663 \text{ mH}$, $C=26.5 \mu F$, $V_{0}=50 \text{ V}$, $X_{L}=250 \Omega$, $X_{C}=100 \Omega$.
श्रेणी $LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$.
मान रखने पर: $Z = \sqrt{200^{2} + (250 - 100)^{2}} = \sqrt{40000 + 150^{2}}$.
$Z = \sqrt{40000 + 22500} = \sqrt{62500} = 250 \Omega$.
शिखर धारा $i_{0} = \frac{V_{0}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
$i_{0} = \frac{50}{250} = 0.2 \text{ A}$.

(C) $LCR$ श्रेणी परिपथ में खपत वास्तविक शक्ति $P$ का सूत्र है: $P = V_{rms} \cdot I_{rms} \cdot \cos \phi$,जहाँ $\cos \phi$ शक्ति गुणांक है।
हम जानते हैं कि शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ होता है।
साथ ही,$r.m.s.$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ द्वारा दी जाती है।
इन मानों को शक्ति के सूत्र में रखने पर: $P = V_{rms} \cdot \left( \frac{V_{rms}}{Z} \right) \cdot \left( \frac{R}{Z} \right) = \frac{V_{rms}^2 \cdot R}{Z^2}$.
दिए गए मान: $V_{rms} = 220 \ V$,$R = 18 \ \Omega$,$Z = 33 \ \Omega$.
$P = \frac{220^2 \cdot 18}{33^2} = \frac{48400 \cdot 18}{1089}$.
$P = \frac{871200}{1089} = 800 \ W$.
अतः,खपत वास्तविक शक्ति $800 \ W$ है।

(C) दिया गया परिपथ एक श्रेणी $LCR$ परिपथ है जहाँ बल्ब एक प्रतिरोध $R$ के रूप में कार्य करता है।
परिपथ में धारा $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुनाद (resonance) पर,कोणीय आवृत्ति $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ होती है। इस आवृत्ति पर,प्रतिबाधा $Z$ न्यूनतम $(Z = R)$ होती है और धारा $I$ अधिकतम $(I = \frac{V}{R})$ होती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति कम मान से बढ़ती है,प्रतिबाधा $Z$ तब तक घटती है जब तक वह अनुनाद आवृत्ति तक नहीं पहुँच जाती,जिससे धारा $I$ और बल्ब की चमक बढ़कर अधिकतम हो जाती है।
जैसे-जैसे आवृत्ति अनुनाद आवृत्ति से आगे बढ़ती है,प्रतिबाधा $Z$ फिर से बढ़ जाती है,जिससे धारा $I$ और बल्ब की चमक घटने लगती है।
अतः,चमक बढ़ती है,अनुनाद पर अधिकतम तक पहुँचती है और फिर घटती है।

(A) रिजेक्टर सर्किट,जिसे समानांतर अनुनादी परिपथ के रूप में भी जाना जाता है,एक ऐसा परिपथ है जिसमें एक प्रेरक $(L)$ और एक संधारित्र $(C)$ समानांतर में जुड़े होते हैं। अनुनादी आवृत्ति पर,इस समानांतर संयोजन का प्रतिबाधा (impedance) अधिकतम हो जाता है,जो उस विशिष्ट आवृत्ति पर धारा को प्रभावी ढंग से अस्वीकार या अवरुद्ध करता है। इसलिए,रिजेक्टर सर्किट बनाने के लिए $L-C-R$ घटकों को समानांतर में जोड़ा जाता है।

(C) $LR$ परिपथ का शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $X_L = 3R$,तो शक्ति गुणांक $X_1 = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (3R)^2}} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + 9R^2}} = \frac{R}{\sqrt{10R^2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.
जब $X_C = R$ वाला संधारित्र श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ $LCR$ परिपथ बन जाता है।
$LCR$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
यहाँ $X_L = 3R$ और $X_C = R$ है,इसलिए $X_L - X_C = 3R - R = 2R$.
अतः,$Z' = \sqrt{R^2 + (2R)^2} = \sqrt{R^2 + 4R^2} = \sqrt{5R^2} = R\sqrt{5}$.
नया शक्ति गुणांक $X_2 = \frac{R}{Z'} = \frac{R}{R\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
$X_1 : X_2$ का अनुपात $\frac{X_1}{X_2} = \frac{1/\sqrt{10}}{1/\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।

(D) परिपथ में आभासी शक्ति $P_{app} = V_{rms} I_{rms} = I_{rms}^2 Z$ द्वारा दी जाती है।
a.c. परिपथ में वास्तविक शक्ति (या औसत शक्ति) $P_{true} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = I_{rms}^2 R$ द्वारा दी जाती है।
आभासी शक्ति और वास्तविक शक्ति का अनुपात $\frac{P_{app}}{P_{true}} = \frac{I_{rms}^2 Z}{I_{rms}^2 R} = \frac{Z}{R}$ है।
चूंकि $\cos \phi = \frac{R}{Z}$,इसलिए $\frac{Z}{R} = \frac{1}{\cos \phi} = \sec \phi$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया एसी वोल्टेज स्रोत $V = 300 \sqrt{2} \sin(\omega t)$ है।
शिखर वोल्टेज $V_m = 300 \sqrt{2} \text{ V}$ है।
आरएमएस $(RMS)$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = 300 \text{ V}$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
यहाँ $R = 30 \Omega$, $X_L = 10 \Omega$, और $X_C = 10 \Omega$ दिया गया है।
$Z = \sqrt{30^2 + (10 - 10)^2} = \sqrt{30^2 + 0^2} = 30 \Omega$.
आरएमएस $(RMS)$ धारा $I_{rms}$ का मान $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z}$ है।
$I_{rms} = \frac{300}{30} = 10 \text{ A}$.

(D) $L-C-R$ श्रेणी परिपथ के लिए,कलांतर $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{|X_C - X_L|}{R}$ है।
यहाँ $\phi = 45^{\circ}$ और $R = 100 \ \Omega$ दिया गया है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = 1 = \frac{|X_C - X_L|}{R}$,जिसका अर्थ है कि $|X_C - X_L| = R = 100 \ \Omega$ है।
परिपथ का प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 100\sqrt{2} \ \Omega$ होगा।
शिखर वोल्टेज $V_m = 240 \ V$ है। अतः $rms$ वोल्टेज $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{240}{\sqrt{2}} \ V$ होगा।
$rms$ धारा $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{240 / \sqrt{2}}{100\sqrt{2}} = \frac{240}{100 \times 2} = \frac{240}{200} = 1.2 \ A$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: $X_L = 24 \ \Omega$,$X_C = 16 \ \Omega$,$R = 6 \ \Omega$,$V = 100 \ V$.
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रतिबाधा (impedance) $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
$Z = \sqrt{6^2 + (24 - 16)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $i$ है:
$i = \frac{V}{Z} = \frac{100}{10} = 10 \ A$.
प्रेरक और संधारित्र के श्रेणी संयोजन के सिरों पर विभवांतर:
$V_{LC} = i |X_L - X_C|$
$V_{LC} = 10 \times |24 - 16| = 10 \times 8 = 80 \ V$.

(C) एक श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में,परिपथ धारिता (capacitive) तब होता है जब धारिता प्रतिघात $X_C$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ से अधिक होता है (अर्थात $X_C > X_L$)।
दिए गए ग्राफ से,प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ अनुनाद आवृत्ति को दर्शाता है जहाँ $X_L = X_C$ होता है।
अनुनाद आवृत्ति से कम आवृत्तियों के लिए (अर्थात बिंदु $B$ के बाईं ओर),$X_C$ का वक्र $X_L$ के वक्र के ऊपर स्थित है,जिसका अर्थ है कि $X_C > X_L$ है।
दिए गए विकल्पों में से,बिंदु $A$ बिंदु $B$ के बाईं ओर स्थित है,जहाँ $X_C > X_L$ है। इसलिए,बिंदु $A$ पर परिपथ धारिता (capacitive) है।

(C) दिया गया है,शिखर वोल्टेज $V_{C}=30 \,V$,$V_{L}=110 \,V$ और $V_{R}=60 \,V$ हैं।
श्रेणी $L-C-R$ परिपथ में शिखर वोल्टेज $(V_{0})$ का सूत्र है:
$V_{0} = \sqrt{V_{R}^{2} + (V_{L} - V_{C})^{2}}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$V_{0} = \sqrt{(60)^{2} + (110 - 30)^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{60^{2} + 80^{2}}$
$V_{0} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \,V$
आरोपित वोल्टेज का rms मान शिखर वोल्टेज से $V_{\text{rms}} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$ द्वारा संबंधित है।
$V_{\text{rms}} = \frac{100}{\sqrt{2}} \approx 70.7 \,V$.

(A) विद्युत परिपथ में व्यय होने वाली तात्क्षणिक शक्ति $P = I^2 R$ द्वारा दी जाती है।
श्रेणी $LCR$ परिपथ में,प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ प्रतिक्रियाशील घटक हैं जो क्रमशः चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों में ऊर्जा का भंडारण करते हैं,लेकिन वे ऊष्मा के रूप में ऊर्जा का क्षय नहीं करते हैं।
केवल प्रतिरोध $(R)$ ही वह घटक है जो विद्युत ऊर्जा को ऊष्मा में परिवर्तित करके उसका क्षय करता है।
अतः,श्रेणी $LCR$ परिपथ में शक्ति का क्षय केवल प्रतिरोध $R$ के माध्यम से होता है।

(A) प्रारंभ में, प्रत्येक घटक पर विभवांतर $V_R = V_L = V_C = 20 \, V$ है। चूंकि $V_L = V_C$, परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z = R$ है। स्रोत वोल्टेज $V = V_R = 20 \, V$ है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना करके $2R$ कर दिया जाता है, तो नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (X_L - X_C)^2}$ हो जाती है। अनुनाद पर $X_L = X_C$ होने के कारण, $Z' = 2R$ होता है।
परिपथ में नई धारा $I' = V / Z' = V / (2R) = I / 2$ है, जहाँ $I$ मूल धारा है।
प्रतिरोधक पर नया विभवांतर $V_R' = I' \times (2R) = (I/2) \times (2R) = IR = 20 \, V$ है।
प्रेरक (inductor) पर नया विभवांतर $V_L' = I' X_L = (I/2) X_L = V_L / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ है।
संधारित्र (capacitor) पर नया विभवांतर $V_C' = I' X_C = (I/2) X_C = V_C / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ है।
अतः, नया विभवांतर $20 \, V, 10 \, V, 10 \, V$ है।

(B) $LCR$ श्रेणी परिपथ में धारा $I$ और वोल्टेज $V$ के बीच कला कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{X_L - X_C}{R}$
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) $X_L$ की गणना करें:
$X_L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \left( \frac{200}{\pi} \times 10^{-3} \right) = 20 \, \Omega$
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात (capacitive reactance) $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times (10^{-3} / \pi)} = \frac{1}{0.1} = 10 \, \Omega$
दिया गया प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$ है।
इन मानों को कला कोण के सूत्र में रखने पर:
$\tan \theta = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ रेडियन।
अतः,परिपथ का कला कोण $\frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया है: प्रेरकत्व $L = 1 \text{ H}$,धारिता $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,प्रतिरोध $R = 300 \Omega$,आवृत्ति $f = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_{L}$ की गणना करें:
$X_{L} = 2 \pi f L = 2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 1 = 100 \Omega$.
इसके बाद,धारिता प्रतिघात $X_{C}$ की गणना करें:
$X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
श्रेणी $L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ इस प्रकार है:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}$.
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{(300)^{2} + (500 - 100)^{2}} = \sqrt{300^{2} + 400^{2}} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.

(D) संधारित्र युक्त $AC$ परिपथ में धारा $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + X_C^2}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ धारिता प्रतिघात (capacitive reactance) है।
जब संधारित्र की प्लेटों के बीच एक परावैद्युत पदार्थ डाला जाता है,तो धारिता $C$ बढ़ जाती है $(C = K C_0)$।
जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ कम हो जाता है।
चूंकि प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ कम हो जाती है,इसलिए परिपथ में धारा $i$ बढ़ जाती है।
परिणामस्वरूप,बल्ब की चमक,जो व्यय होने वाली शक्ति $(P = i^2 R)$ पर निर्भर करती है,बढ़ जाती है।

(C) श्रेणी $LCR$ परिपथ में,कुल प्रत्यावर्ती emf $(V)$ प्रतिरोधक $(V_R)$,प्रेरक $(V_L)$,और संधारित्र $(V_C)$ के सिरों पर व्यक्तिगत वोल्टेज का फेजर योग होता है।
सूत्र इस प्रकार है:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
दिए गए मान:
$V_R = 80 \ V$
$V_L = 40 \ V$
$V_C = 100 \ V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{(80)^2 + (40 - 100)^2}$
$V = \sqrt{6400 + (-60)^2}$
$V = \sqrt{6400 + 3600}$
$V = \sqrt{10000}$
$V = 100 \ V$
अतः,प्रत्यावर्ती emf का मान $100 \ V$ है।

(D) $LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ है।
दिया गया है: $R = 40 \ \Omega$,$X_C = 20 \ \Omega$,$X_L = 50 \ \Omega$,और $V = 100 \ V$.
मान रखने पर:
$Z = \sqrt{40^2 + (50 - 20)^2}$
$Z = \sqrt{1600 + 30^2} = \sqrt{1600 + 900} = \sqrt{2500} = 50 \ \Omega$.
परिपथ में धारा $i$ का मान $i = \frac{V}{Z}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$i = \frac{100 \ V}{50 \ \Omega} = 2 \ A$.

(C) $L-C-R$ परिपथ में,अनुनादी आवृत्ति $f_0$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
अनुनादी आवृत्ति समान रहने के लिए,$LC$ का गुणनफल स्थिर रहना चाहिए।
मान लीजिए कि नया प्रेरकत्व $L^{\prime}$ है और नई धारिता $C^{\prime} = 4C$ है।
चूंकि $f_0 = f_0^{\prime}$ है,इसलिए हमारे पास है:
$L C = L^{\prime} C^{\prime}$
समीकरण में $C^{\prime} = 4C$ रखने पर:
$L C = L^{\prime} (4 C)$
दोनों पक्षों को $4C$ से विभाजित करने पर:
$L^{\prime} = \frac{L}{4}$
अतः,प्रेरकत्व को $L$ से बदलकर $\frac{L}{4}$ किया जाना चाहिए।

(D) $R-L-C$ श्रेणी परिपथ में,दिए गए मान हैं:
$R = 150 \Omega$
$C = 20 \mu F = 2 \times 10^{-5} F$
$L = 500 mH = 0.5 H$
$\omega = 400 rad s^{-1}$
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ की गणना करें:
$X_L = \omega L = 400 \times 0.5 = 200 \Omega$
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C$ की गणना करें:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{400 \times 2 \times 10^{-5}} = 125 \Omega$
कला कोण $\phi$ का सूत्र है:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
मान रखने पर:
$\tan \phi = \frac{200 - 125}{150} = \frac{75}{150} = 0.5$
अतः,कला कोण $\phi = \tan^{-1}(0.5)$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में, प्रयुक्त वोल्टेज $V$ घटकों के सिरों पर विभवांतर के फेजर योग द्वारा दिया जाता है।
प्रयुक्त वोल्टेज का सूत्र $V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$ है।
दिए गए मान हैं:
$V_R = 40 \,V$
$V_L = 60 \,V$
$V_C = 30 \,V$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \sqrt{40^2 + (60 - 30)^2}$
$V = \sqrt{40^2 + 30^2}$
$V = \sqrt{1600 + 900}$
$V = \sqrt{2500}$
$V = 50 \,V$.
अतः, प्रयुक्त $AC$ वोल्टेज $50 \,V$ है।

(C) एक $L-C-R$ परिपथ में,हमें दिया गया है:
$X_L = 2R$ और $X_C = \frac{X_L}{3}$।
$X_L = 2R$ को $X_C$ के व्यंजक में रखने पर,हमें $X_C = \frac{2R}{3}$ प्राप्त होता है।
$L-C-R$ परिपथ की प्रतिबाधा (impedance) $Z$ का सूत्र है:
$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$।
$X_L$ और $X_C$ के मान रखने पर:
$Z = \sqrt{R^2 + (2R - \frac{2R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + (\frac{4R}{3})^2} = \sqrt{R^2 + \frac{16R^2}{9}} = \sqrt{\frac{25R^2}{9}} = \frac{5R}{3}$।
शक्ति गुणांक को $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$Z$ का मान रखने पर:
$\cos \phi = \frac{R}{5R/3} = \frac{3}{5} = 0.6$।

(C) $LR$ श्रेणी परिपथ का शक्ति गुणांक $(\cos \phi)$ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $R$ प्रतिरोध है और $Z$ प्रतिबाधा (impedance) है。
दिया गया है, $\cos \phi = 0.5 = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$, जहाँ $X_L$ प्रेरणिक प्रतिघात (inductive reactance) है。
अतः, $\frac{R}{\sqrt{R^2 + X_L^2}} = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें $\frac{R^2}{R^2 + X_L^2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है。
$4R^2 = R^2 + X_L^2$.
$3R^2 = X_L^2$.
वर्गमूल लेने पर, $\sqrt{3}R = X_L$.
इसलिए, प्रतिरोध और प्रतिघात का अनुपात $\frac{R}{X_L} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है。

(A) श्रेणी $LCR$ परिपथ में धारा और वोल्टेज के बीच कलांतर $\phi$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$
एक श्रेणी $LCR$ परिपथ में,धारा स्रोत वोल्टेज से आगे तब होती है जब परिपथ की प्रकृति धारिता (capacitive) होती है।
यह तब होता है जब धारिता प्रतिघात $X_C$,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ से अधिक होता है,अर्थात $X_C > X_L$।
इस स्थिति में,कला कोण $\phi$ ऋणात्मक हो जाता है,जो यह दर्शाता है कि धारा वोल्टेज से आगे है।

(B) $AC$ परिपथ में,व्यय होने वाली औसत शक्ति का सूत्र है:
$P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$
जहाँ $\phi$ वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर है।
एक आदर्श प्रेरक $(L)$ और संधारित्र $(C)$ के लिए,वोल्टेज और धारा के बीच का कलान्तर $90^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$L$ या $C$ द्वारा व्यय की गई शक्ति:
$P_{L \text{ or } C} = V I \cos 90^{\circ} = 0$ (चूंकि $\cos 90^{\circ} = 0$)।
प्रतिरोधक $(R)$ के लिए,वोल्टेज और धारा समान कला में होते हैं,इसलिए कलान्तर $\phi = 0^{\circ}$ होता है।
अतः,प्रतिरोधक द्वारा व्यय की गई शक्ति $P_R = V I \cos 0^{\circ} = V I$ है।
इसलिए,$L-C-R$ परिपथ में केवल प्रतिरोधक $(R)$ ही ऊर्जा का अपव्यय करता है।

(A) दिया गया है,आरोपित विद्युत वाहक बल (emf) $E = 30 \sin 200 t$ है।
इसे $E = E_{\max} \sin \omega t$ के साथ तुलना करने पर,हमें $E_{\max} = 30 \text{ V}$ और $\omega = 200 \text{ rad s}^{-1}$ प्राप्त होता है।
परिपथ आरेख से,हमारे पास प्रतिरोध $R = 10 \Omega$,प्रेरकत्व $L = 0.05 \text{ H}$,और धारिता $C = 500 \mu\text{F} = 500 \times 10^{-6} \text{ F}$ है।
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात की गणना करें: $X_L = L \omega = 0.05 \times 200 = 10 \Omega$.
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात की गणना करें: $X_C = \frac{1}{C \omega} = \frac{1}{500 \times 10^{-6} \times 200} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
चूंकि $X_L = X_C$,परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है।
अनुनाद में,परिपथ की प्रतिबाधा $Z = R = 10 \Omega$ होती है।
धारा का आयाम $I_{\max} = \frac{E_{\max}}{Z} = \frac{30}{10} = 3 \text{ A}$ द्वारा प्राप्त होता है।

(A) इस सर्किट में एक प्रतिरोधक $R$ श्रेणीक्रम में एक प्रेरक $L$ और संधारित्र $C$ के समानांतर संयोजन के साथ जुड़ा हुआ है।
दी गई आवृत्ति $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$ पर,कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ है।
यह $L-C$ समानांतर सर्किट की अनुनादी आवृत्ति है।
इस आवृत्ति पर,प्रेरक प्रतिघात $X_L = \omega L$ और धारिता प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C}$ बराबर होते हैं,अर्थात $X_L = X_C$।
समानांतर $L-C$ सर्किट के लिए,समानांतर संयोजन का कुल प्रतिघात अनंत हो जाता है $(Z_{LC} \to \infty)$।
इसलिए,समानांतर $L-C$ संयोजन एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है।
परिणामस्वरूप,प्रतिरोधक $R$ सहित पूरे सर्किट से बहने वाली धारा शून्य हो जाती है।

(A) दिया गया है: $R = 10 \, \Omega$, $L = 6.0 \, \mu H = 6.0 \times 10^{-6} \, H$, $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F$, $f = 50 \, Hz$, $V_m = 280 \, V$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \times 3.14 \times 50 = 314 \, rad/s$ है।
धारितीय प्रतिघात: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314 \times 10 \times 10^{-6}} \approx 318.47 \, \Omega$.
प्रेरकीय प्रतिघात: $X_L = \omega L = 314 \times 6.0 \times 10^{-6} = 1.884 \times 10^{-3} \, \Omega$.
परिपथ की प्रतिबाधा: $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2} = \sqrt{10^2 + (318.47 - 0.001884)^2} \approx 318.63 \, \Omega$.
$RMS$ वोल्टेज: $V_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = \frac{280}{1.414} \approx 198 \, V$.
$RMS$ धारा: $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{198}{318.63} \approx 0.621 \, A$.
प्रतिरोध में ऊष्मा के रूप में व्यय औसत शक्ति: $P = I_{rms}^2 R = (0.621)^2 \times 10 \approx 3.86 \, W$.
अतः, सही उत्तर $3.8 \, W$ है।

(A) $LCR$ श्रेणी परिपथ में,वोल्टेज और धारा के बीच कलांतर $\phi$,$\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा वोल्टेज से आगे है,इसलिए कला कोण $\phi = -45^{\circ}$ है।
अतः,$\tan(-45^{\circ}) = \frac{X_C - X_L}{R} = -1$ है।
इसका अर्थ है $X_C - X_L = -R$ या $X_L - X_C = R$।
धारा के आगे होने की स्थिति के लिए मानक सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ का उपयोग करने पर,$\tan(-45^{\circ}) = -1 = \frac{X_L - X_C}{R}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $X_C - X_L = R$।
$X_C = \frac{1}{2 \pi f C}$ और $X_L = 2 \pi f L$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2 \pi f C} - 2 \pi f L = R$
$\frac{1}{2 \pi f C} = R + 2 \pi f L$
$C = \frac{1}{2 \pi f (R + 2 \pi f L)}$।

(C) दिया गया है: धारिता $C = \frac{10^{-3}}{2 \pi} F$,प्रेरकत्व $L = \frac{100}{\pi} mH = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} H$,प्रतिरोध $R = 10 \Omega$,और आवृत्ति $f = 50 Hz$.
सबसे पहले,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 10 \Omega$ की गणना करें।
इसके बाद,धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{2 \pi}} = \frac{1}{50 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{50} = 20 \Omega$ की गणना करें।
कला कोण $\phi$ का सूत्र $\tan \phi = \frac{X_C - X_L}{R}$ है।
मान रखने पर: $\tan \phi = \frac{20 - 10}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
अतः,$\phi = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$।

(D) दिया गया है: पीक emf, $V_0 = 8 \, V$, आवृत्ति $f = \frac{30}{\pi} \, Hz$, प्रतिरोध $R = 8 \, \Omega$, औसत शक्ति $P_{avg} = 0.4 \, W$।
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \, V$।
औसत शक्ति का सूत्र $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} \left(\frac{V_{rms}}{Z}\right) \left(\frac{R}{Z}\right) = \frac{V_{rms}^2 R}{Z^2}$ है।
मान रखने पर: $0.4 = \frac{(8/\sqrt{2})^2 \times 8}{Z^2} = \frac{32 \times 8}{Z^2} = \frac{256}{Z^2}$।
$Z^2 = \frac{256}{0.4} = 640 \, \Omega^2$।
चूंकि $Z^2 = R^2 + X_L^2$, इसलिए $640 = 8^2 + X_L^2 = 64 + X_L^2$।
$X_L^2 = 640 - 64 = 576$, अतः $X_L = 24 \, \Omega$।
$X_L = 2 \pi f L$ का उपयोग करने पर, $24 = 2 \pi (\frac{30}{\pi}) L = 60 L$।
$L = \frac{24}{60} = 0.4 \, H$।

(D) श्रेणी $LCR$ परिपथ के लिए प्रतिबाधा $Z$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$।
यहाँ,$R = 5 \ \Omega$,$L = 20 \ mH = 20 \times 10^{-3} \ H$,और $C = 500 \ \mu F = 500 \times 10^{-6} \ F$ है।
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 50 = 100 \pi \ rad/s$ है।
प्रेरकीय प्रतिघात $X_L = \omega L = 100 \pi \times 20 \times 10^{-3} = 2 \pi \approx 6.28 \ \Omega$ है।
धारितीय प्रतिघात $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \pi \times 500 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.05 \pi} = \frac{20}{\pi} \approx 6.37 \ \Omega$ है।
अब,$Z = \sqrt{5^2 + (6.28 - 6.37)^2} = \sqrt{25 + (-0.09)^2} = \sqrt{25 + 0.0081} = \sqrt{25.0081} \approx 5 \ \Omega$ होगा।

(B) शक्ति गुणांक $\cos \phi = \frac{R}{Z} = 0.5$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $R = 100 \text{ } \Omega$,इसलिए $Z = \frac{R}{0.5} = \frac{100}{0.5} = 200 \text{ } \Omega$ है।
$LCR$ श्रेणी परिपथ की प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$Z^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$200^2 = 100^2 + (X_L - X_C)^2$ है।
$40000 = 10000 + (X_L - X_C)^2$ है।
$(X_L - X_C)^2 = 30000$ है।
$|X_L - X_C| = \sqrt{30000} = 100\sqrt{3} \text{ } \Omega$ है।
यह दिया गया है कि अंतर $\sqrt{3}\alpha \text{ } \Omega$ है,इसलिए $\sqrt{3}\alpha = 100\sqrt{3}$ की तुलना करने पर।
अतः,$\alpha = 100$ प्राप्त होता है।