Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(A) $L-C$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર થાય ત્યારે અનુનાદ (resonance) થાય છે.
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નીચે મુજબ મળે છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$

(C) $L-C-R$ શ્રેણી સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય,એટલે કે $X_L = X_C$ થાય,ત્યારે રેઝોનન્સ (અનુનાદ) થાય છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,$Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ થાય છે.
પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સનો ગુણોત્તર છે: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
$Z = R$ મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
તેથી,રેઝોનન્સ સમયે પાવર ફેક્ટર એકમ (unity) હોય છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ $rms$ વોલ્ટેજ છે,$R$ એ અવરોધ છે,$X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ છે.
પ્રવાહ મહત્તમ થવા માટે,ઇમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે $X_L = X_C$ હોય.
આ સ્થિતિને રેઝોનન્સ કહેવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ થાય છે.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$L = \frac{1}{\omega^2 C}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\omega = 1000 \ s^{-1}$ અને $C = 10 \ \mu F = 10 \times 10^{-6} \ F$.
આ કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10} = 0.1 \ H$.
મિલીહેન્રીમાં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \ H = 100 \ mH$.

(D) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R} = \frac{0}{R} = 0$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\phi = 0$,જેનો અર્થ છે કે રેઝોનન્સ સમયે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે. આ સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે અને પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે $R = 20 \ \Omega$.
તેથી,$Z = R = 20 \ \Omega$.
આપેલ વોલ્ટેજ $V_{rms} = 220 \ V$ છે. મહત્તમ વોલ્ટેજ $e_0 = V_{rms} \sqrt{2} = 220 \sqrt{2} \ V$ થાય.
મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{e_0}{Z} = \frac{220 \sqrt{2}}{20} = 11 \sqrt{2} \ A$ મળે.
આપણે $11 \sqrt{2} = \sqrt{11^2 \times 2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242} \ A$ લખી શકીએ.
આને $\sqrt{x} \ A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 242$ મળે છે.

(A) સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટમાં,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_{C})$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_{L})$ સમાન હોય છે $(X_{L} = X_{C})$.
ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે.
તેથી,પ્રવાહના મૂલ્યો સમાન હોય છે: $i_{L} = i_{C} = \frac{e}{X_{L}} = \frac{e}{X_{C}}$.
જોકે,ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે,અને કેપેસિટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે.
આમ,પ્રવાહ $i_{L}$ અને $i_{C}$ એકબીજાથી $180^{\circ}$ ના ફેઝ તફાવત પર હોય છે.
સર્કિટમાં કુલ પ્રવાહ $i$ એ $i_{L}$ અને $i_{C}$ નો ફેઝર સરવાળો છે,જે $i = |i_{L} - i_{C}| = 0$ થાય છે.
તેથી,શરત $i = 0$ અને $i_{L} = i_{C} \neq 0$ છે.

(D) $LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટમાં,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ પર ઈમ્પીડન્સ મહત્તમ હોય છે અને રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ પર પ્રવાહ લઘુત્તમ હોય છે.
આલેખ $(4)$ દર્શાવે છે કે રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_r$ પર પ્રવાહ લઘુત્તમ છે,જે $LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટ માટે સાચી લાક્ષણિકતા છે.

(A) $LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
આ સ્થિતિમાં સર્કિટનો કુલ ઈમ્પિડન્સ ખૂબ જ વધી જાય છે (આદર્શ સર્કિટમાં સૈદ્ધાંતિક રીતે અનંત).
ઈમ્પિડન્સ ખૂબ જ ઉચ્ચ હોવાને કારણે,સ્ત્રોતમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ ન્યૂનતમ હોય છે.
તેથી,$LC$ સમાંતર રેઝોનન્ટ સર્કિટ રેઝોનન્સ સમયે ઉચ્ચ ઈમ્પિડન્સ સર્કિટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી પરિપથમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-C$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ છે. તેથી,$X_C = \sqrt{3}R$.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $R-L$ પરિપથ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ છે. તેથી,$X_L = \sqrt{3}R$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 0 = 1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \ \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 3 \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = 27 \ \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \text{ F}$.
બેન્ડવિડ્થ $(\Delta \omega) = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \text{ rad/s}$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q) = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{3}{27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}} = \frac{100}{3}$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર = $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = 10 \text{ s}$.

(B) રેઝોનન્ટ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q$-ફેક્ટર) એ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{\omega_{0} L}{R}$.
રેઝોનન્સ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_{0}$ ની કિંમત $Q$-ફેક્ટરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot \frac{L}{R} = \frac{1}{R} \cdot \frac{\sqrt{L}}{\sqrt{C}} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.

(B) આપેલ છે: $L = \frac{3}{\pi^2} \ H$ અને $f = 50 \ Hz$.
જ્યારે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું થાય છે,તેથી $X_C = X_L$.
$\frac{1}{\omega C} = \omega L \implies C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(2\pi f)^2 L} = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
કિંમતો મૂકતા:
$C = \frac{1}{4 \pi^2 \times (50)^2 \times \frac{3}{\pi^2}} = \frac{1}{4 \times 2500 \times 3} = \frac{1}{30000} \ F$.
$C = \frac{1}{3} \times 10^{-4} \ F \approx 0.33 \times 10^{-4} \ F$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમતને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Z = R$ મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
તેથી,અનુનાદ સમયે પાવર ફેક્ટર $1$ હોય છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે $Q$ ફેક્ટરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો $L = 2 \ H$,$C = 18 \ \mu F = 18 \times 10^{-6} \ F$ અને $R = 10 \ \Omega$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2}{18 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{9 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1}{3 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1000}{3}$
$Q = \frac{100}{3} \approx 33.33$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ $v_{0}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આપેલ કિંમતો $L = 25 \times 10^{-3} \, H$, $C = 62.5 \times 10^{-6} \, F$ છે.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{25 \times 10^{-3} \times 62.5 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{1562.5 \times 10^{-9}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times \sqrt{1.5625 \times 10^{-6}}}$
$v_{0} = \frac{1}{2 \times 3.14159 \times 1.25 \times 10^{-3}}$
$v_{0} = \frac{1}{7.85398 \times 10^{-3}}$
$v_{0} \approx 127.39 \, Hz$
આમ, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલો હોય છે.
તેથી,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદની સ્થિતિ $X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ મળે છે.
અહીં $R = 3 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,અનુનાદ સમયે ઇમ્પિડન્સ $Z = 3 \ \Omega$ થશે.

(D) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથ માટે $Q$-ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 9 \ H$
$R = 10 \ \Omega$
$C = 100 \ \mu F = 100 \times 10^{-6} \ F = 10^{-4} \ F$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{9}{10^{-4}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{3}{10^{-2}}$
$Q = \frac{1}{10} \times 300$
$Q = 30$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $L-C-R$ સર્કિટનો $Q$-ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) એ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Q = \frac{f_0}{f_2 - f_1}$
આપેલ છે:
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f_0 = 5000 \ Hz$
હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી $f_1 = 4950 \ Hz$ અને $f_2 = 5050 \ Hz$
બેન્ડવિડ્થ $\Delta f = f_2 - f_1 = 5050 \ Hz - 4950 \ Hz = 100 \ Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{5000}{100} = 50$
તેથી,$Q$-ફેક્ટર $50$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે $Q$ ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો $R = 6 \Omega$,$L = 1 \text{ H}$,અને $C = 17.36 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{1}{17.36 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{10^6}{17.36}}$
$Q = \frac{1}{6} \times \sqrt{57603.68}$
$Q \approx \frac{1}{6} \times 240$
$Q \approx 40$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં, કુલ લાગુ પાડવામાં આવેલ વોલ્ટેજ $V$ એ ઘટકો પરના વ્યક્તિગત વોલ્ટેજના ફેઝર સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \sqrt{V_R^2 + (V_L - V_C)^2}$
આપેલ કિંમતો $V_R = 5 \,V$, $V_L = 10 \,V$ અને $V_C = 10 \,V$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$V = \sqrt{5^2 + (10 - 10)^2}$
$V = \sqrt{25 + 0^2}$
$V = \sqrt{25}$
$V = 5 \,V$
તેથી, લાગુ પાડવામાં આવેલ $AC$ વોલ્ટેજ $5 \,V$ છે.

(D) $L-C-R$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\nu_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અનુનાદ આવૃત્તિ એ કેપેસીટન્સ $C$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$\nu_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\nu_{0}$ છે અને કેપેસીટન્સ $C$ છે,અને નવી આવૃત્તિ $\nu_{0}'$ છે જ્યાં કેપેસીટન્સ $C' = 4C$ છે.
બંને આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\nu_{0}}{\nu_{0}'} = \sqrt{\frac{C'}{C}}$
સમીકરણમાં $C' = 4C$ મૂકતા:
$\frac{\nu_{0}}{\nu_{0}'} = \sqrt{\frac{4C}{C}} = \sqrt{4} = 2$
તેથી,નવી અનુનાદ આવૃત્તિ:
$\nu_{0}' = \frac{\nu_{0}}{2}$

(A) $L-C-R$ શ્રેણી $AC$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ છે,જ્યાં $X_{L} = \omega L$ અને $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_{L} = X_{C}$ અથવા $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આ કિંમતને ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા: $Z = \sqrt{R^{2} + (0)^{2}} = \sqrt{R^{2}} = R$.
તેથી,અનુનાદ સમયે સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.

(C) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે અનુનાદ આવૃત્તિ એ કેપેસીટન્સના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$f_0 \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$
જેમ કેપેસીટન્સ $C$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ ઘટે છે. આ સંબંધ એક હાયપરબોલિક વક્ર દર્શાવે છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ આલેખ પરથી,આપણે અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_r$ અને હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ $\omega_1$ અને $\omega_2$ ઓળખી શકીએ છીએ જ્યાં ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{2} Z_{\text{min}}$ છે.
$1$. અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega_r = 500 \text{ rad/s}$ છે.
$2$. નીચલી હાફ-પાવર આવૃત્તિ $\omega_1 = 400 \text{ rad/s}$ છે.
$3$. ઉપલી હાફ-પાવર આવૃત્તિ $\omega_2 = 600 \text{ rad/s}$ છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ને અનુનાદિત આવૃત્તિ અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Q = \frac{\omega_r}{\omega_2 - \omega_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{500}{600 - 400}$
$Q = \frac{500}{200}$
$Q = 2.5$

(A) $L-C-R$ શ્રેણી અનુનાદ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે.
આમ,$X_L = X_C$.
કળા તફાવત $\phi$ એ સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $\tan \phi = \frac{0}{R} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\phi = 0^{\circ}$.

(A) આપેલ સર્કિટમાં,$V_{1}$ એ અવરોધ $R$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,$V_{2}$ એ ઇન્ડક્ટર $L$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે,અને $V_{3}$ એ કેપેસિટર $C$ પરનો વોલ્ટેજ માપે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ $(X_{L} = X_{C})$ જેટલું હોય છે.
કારણ કે $R, L$ અને $C$ ના શ્રેણી જોડાણમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે,તેથી ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_{L} = I X_{L}$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_{C} = I X_{C}$ થાય છે.
તેથી,અનુનાદ સમયે,$V_{L} = V_{C}$ થાય છે.
જેથી $V_{2}$ એ $V_{L}$ માપે છે અને $V_{3}$ એ $V_{C}$ માપે છે,તેથી $V_{2}$ અને $V_{3}$ ના રીડિંગ સમાન હોય છે.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં પ્રવાહ $i = \frac{V_R}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $i = \frac{100 \, V}{1000 \, \Omega} = 0.1 \, A$.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે, અને ઇન્ડક્ટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L$ એ કેપેસિટરની આસપાસના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V_C$ જેટલો હોય છે.
કેપેસિટરની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C = i X_C = i \left( \frac{1}{\omega C} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{200 \times 2 \times 10^{-6}} \right)$.
$V_C = 0.1 \times \left( \frac{1}{400 \times 10^{-6}} \right) = 0.1 \times \left( \frac{10^6}{400} \right) = 0.1 \times 2500 = 250 \, V$.
અનુનાદ સમયે $V_L = V_C$ હોવાથી, ઇન્ડક્ટન્સ કોઈલની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $250 \, V$ છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ ની બરાબર હોય છે.
અનુનાદ સમયે,વોલ્ટેજ અને કરંટ વચ્ચેનો કળા તફાવત (phase difference) $\phi = 0^{\circ}$ હોય છે.
$1$. પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos 0^{\circ} = 1$ થાય છે. તેથી,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
$2$. સરેરાશ પાવર $P_{avg} = V_{rms} I_{rms} \cos \phi = V_{rms} I_{rms} (1) = V_{rms} I_{rms}$,જે એપેરન્ટ પાવર જેટલો જ છે. તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
$3$. કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત મહત્તમ ઉર્જા $\frac{1}{2} C V_0^2$ અને ઇન્ડક્ટરમાં $\frac{1}{2} L I_0^2$ છે. અનુનાદ સમયે આ મૂલ્યો સમાન હોય છે. તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
$4$. વોટલેસ કરંટ $I_{rms} \sin \phi$ છે. $\phi = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\sin 0^{\circ} = 0$ થાય,એટલે કે વોટલેસ કરંટ શૂન્ય છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,જે વિધાન સાચું નથી તે એ છે કે પાવર ફેક્ટર શૂન્ય છે.

(D) કોમ્યુનિકેશનમાં વપરાતા $L-C-R$ સર્કિટના વધુ સારા ટ્યુનિંગ માટે,ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ઊંચો હોવો જોઈએ.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
$Q$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણને નાનો અવરોધ $R$,મોટું ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને નાનું કેપેસિટન્સ $C$ જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પોની સરખામણી કરતા:
$A: R=20, L=1.5, C=35$
$B: R=25, L=2.5, C=45$
$C: R=25, L=1.5, C=45$
$D: R=15, L=3.5, C=30$
વિકલ્પ $D$ માં ન્યૂનતમ અવરોધ $(15 \Omega)$,મહત્તમ ઇન્ડક્ટન્સ $(3.5 \text{ H})$ અને ન્યૂનતમ કેપેસિટન્સ $(30 \mu\text{F})$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સંયોજન સૌથી વધુ ક્વોલિટી ફેક્ટર આપે છે,જે વધુ સારું ટ્યુનિંગ પ્રદાન કરે છે.

(D) $LCR$ સર્કિટમાં રેઝોનન્સ (અનુનાદ) આવૃત્તિ પર મહત્તમ પાવર વ્યય થાય છે.
આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \ mH = 5 \times 10^{-3} \ H$,કેપેસિટન્સ $C = 2 \ \mu F = 2 \times 10^{-6} \ F$.
રેઝોનન્સ આવૃત્તિ $f_R$ માટેનું સૂત્ર:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-6}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-8}}}$
$f_R = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-4}}$
$f_R = \frac{10^4}{2 \pi} = \frac{10 \times 10^3}{2 \pi} = \frac{5 \times 10^3}{\pi} \ Hz$.

(C) આપેલ $ LCR $ શ્રેણી પરિપથમાં, ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $ V_L = 50 \, V $ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $ V_C = 50 \, V $ છે.
અહીં $ V_L = V_C $ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદિત $ LCR $ પરિપથમાં, કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય $( X_L - X_C = 0 )$ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ તરીકે વર્તે છે.
તેથી, સ્ત્રોતનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ અવરોધ $ R $ પર મળે છે.
આમ, વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $ V_R = V_{source} = 220 \, V $ થશે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $ I = \frac{V_R}{R} = \frac{220 \, V}{100 \, \Omega} = 2.2 \, A $ છે.
તેથી, એમીટરનું અવલોકન $ 2.2 \, A $ અને વોલ્ટમીટરનું અવલોકન $ 220 \, V $ મળે છે.

(D) ટ્યુન્ડ એમ્પ્લીફાયર સર્કિટ ($LC$ સર્કિટ) ની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $ f $ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} $.
$ \sqrt{LC} $ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi f} $.
આપેલ કેરિયર ફ્રીક્વન્સી $ f = 2 \text{ MHz} = 2 \times 10^{6} \text{ Hz} $ છે.
સૂત્રમાં $ f $ નું મૂલ્ય મૂકતા: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{2 \pi \times (2 \times 10^{6})} $.
છેદની ગણતરી કરતા: $ \sqrt{LC} = \frac{1}{4 \pi \times 10^{6}} $.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C = 1/(\omega C))$ સમાન હોય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,$Z = R$ થાય છે,જે લઘુત્તમ શક્ય ઇમ્પિડન્સ છે.
કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવાથી,કળા તફાવત $\phi = \tan^{-1}((X_L - X_C)/R) = 0$ થાય છે.
તેથી,અનુનાદ સમયે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટના વધુ સારા ટ્યુનિંગ માટે,ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ શક્ય તેટલો ઊંચો હોવો જોઈએ.
ક્વોલિટી ફેક્ટરનું સૂત્ર છે: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
$Q$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણને નાનો અવરોધ $(R)$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ તથા કેપેસિટન્સ $(C)$ નો મોટો ગુણોત્તર જોઈએ.
દરેક વિકલ્પ માટે $F = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ ની ગણતરી કરીએ:
$A: F = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1.5}{35 \times 10^{-6}}} \approx 10.35$
$B: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{3.5}{30 \times 10^{-6}}} \approx 22.79$
$C: F = \frac{1}{25} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 9.43$
$D: F = \frac{1}{15} \sqrt{\frac{2.5}{45 \times 10^{-6}}} \approx 15.71$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $B$ સૌથી વધુ ક્વોલિટી ફેક્ટર આપે છે,જે વધુ સારું ટ્યુનિંગ સૂચવે છે.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં વિખેરાયેલ પાવર $P = I_{rms}^2 R = \frac{1}{2} I_0^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ પીક કરંટ છે.
અનુનાદ સમયે,વિખેરાયેલ પાવર મહત્તમ હોય છે,જે $P_{max} = \frac{1}{2} I_{max}^2 R$ છે.
આપણે પાવરને મહત્તમ પાવરના અડધા કરવા માંગીએ છીએ: $P = \frac{1}{2} P_{max}$.
સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2} I^2 R = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I_{max}^2 R)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $I^2 = \frac{1}{2} I_{max}^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{max}$ મળે છે.
આમ,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર તેના મહત્તમ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો હોવો જોઈએ.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,આપેલ કિંમતો નીચે મુજબ છે:
$L = 10 \ H$,$C = 40 \ \mu F$,$R = 60 \ \Omega$,અને $V = 240 \ V$.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલું હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ એ અવરોધ $(R)$ જેટલો થાય છે.
$Z = R = 60 \ \Omega$.
અનુનાદ સમયે પ્રવાહ $(I)$ ઓહ્મના નિયમ દ્વારા મળે છે:
$I = \frac{V}{Z} = \frac{240 \ V}{60 \ \Omega} = 4 \ A$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય.
આપેલ છે કે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2R$.
અનુનાદની સ્થિતિમાં, $X_C = X_L = 2R$.
અનુનાદ સમયે પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે, કારણ કે $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + 0} = R$.
પાવર ફેક્ટરને $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$.
તેથી, પાવર ફેક્ટર $1$ છે અને $X_C = 2R$ છે.

(B) પાવર ફેક્ટર એકમ $(\cos \phi = 1)$ થાય તે માટે,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જ્યાં $\omega = 2 \pi f$.
કિંમતો મૂકતા: $2 \pi f = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
અહીં $f = 50 \text{ Hz}$,$L = 10 \text{ mH} = 10 \times 10^{-3} \text{ H}$ આપેલ છે.
$2 \pi \times 50 = \frac{1}{\sqrt{10 \times 10^{-3} \times C}}$.
$100 \pi = \frac{1}{\sqrt{0.01 \times C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(100 \pi)^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$10000 \times \pi^2 = \frac{1}{0.01 \times C}$.
$C = \frac{1}{10000 \times \pi^2 \times 0.01} = \frac{1}{100 \times \pi^2} \approx \frac{1}{100 \times 9.8696} \approx \frac{1}{986.96} \approx 1.0132 \times 10^{-3} \text{ F}$.
આમ,જરૂરી કેપેસિટન્સનું મૂલ્ય આશરે $1.014 \times 10^{-3} \text{ F}$ છે.

(B) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 16 \ \mu F = 16 \times 10^{-6} \ F$.
ઇન્ડક્ટન્સ $L = \frac{10}{\pi^2} \ mH = \frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3} \ H$.
રિએક્ટન્સ સમાન હોવા માટે,$X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટિવ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સના સૂત્રો મૂકતા: $L \omega = \frac{1}{C \omega}$.
$\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,$L(2 \pi f) = \frac{1}{C(2 \pi f)}$.
આવૃત્તિ $f$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
કિંમતો મૂકતા: $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{1}{(\frac{10}{\pi^2} \times 10^{-3}) \times (16 \times 10^{-6})}}$.
ગણતરી કરતા: $f = \frac{1}{2 \pi} \times \frac{\pi}{4 \times 10^{-4}} = \frac{10^4}{8} = 1250 \ Hz = 1.25 \ kHz$.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અનુનાદ આવૃત્તિ (resonant frequency) પર ન્યૂનતમ હોય છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે $(X_L = X_C)$.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $L = \frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \text{ H}$, $C = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-3} \times 0.1 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{2.5}{\pi^2} \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{25}{\pi^2} \times 10^{-10}}} = \frac{\pi}{5 \times 10^{-5}} = \frac{\pi}{5} \times 10^5 \text{ rad/s}$.
કારણ કે $\omega = 2\pi f$, તેથી $2\pi f = \frac{\pi}{5} \times 10^5$.
$f = \frac{10^5}{10} = 10^4 \text{ Hz} = 10 \text{ kHz}$.

(B) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \quad \dots (i)$
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ ઘટાડીને $L^{\prime} = \frac{L}{4}$ અને કેપેસિટન્સ વધારીને $C^{\prime} = 16 C$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0^{\prime}$:
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L^{\prime} C^{\prime}}}$
નવી કિંમતો મૂકતા:
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{4}) \times (16 C)}}$
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 L C}}$
$f_0^{\prime} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f_0^{\prime} = \frac{f_0}{2}$

(B) $L-C$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f_1 = f$ અને પ્રારંભિક કેપેસીટન્સ $C_1 = C$ છે.
ધારો કે નવી આવૃત્તિ $f_2$ અને નવું કેપેસીટન્સ $C_2 = 4C$ છે.
પ્રમાણસરતા $f \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{C_1}{C_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{C}{4C}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2}$ થશે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{E_0}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ થવા માટે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ હોવો જોઈએ.
આ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં થાય છે,જ્યાં $X_L = X_C$ હોય છે.
આપેલ $emf$ સમીકરણ $e = 200 \sin(100 \pi t) \ V$ પરથી,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \pi \ rad/s$ છે.
અનુનાદ માટેની શરત $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $100 \pi \times L = \frac{1}{100 \pi \times 1 \times 10^{-6}}$.
$L = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10000 \pi^2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-2} \pi^2} = \frac{100}{\pi^2} \ H$.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ અનુનાદ આવૃત્તિ અને પરિપથની બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર છે.
ગાણિતિક રીતે,તે સૂત્ર $Q = \frac{\omega_0 L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega_0$ એ અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે,અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આ કિંમતને $Q$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{R} \cdot \frac{1}{\sqrt{LC}} \cdot L$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L^2}{LC}}$
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
$Q = \sqrt{\frac{L}{CR^2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,કુલ ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક બને તે માટે,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલો હોવો જોઈએ.
તેથી,$X_L - X_C = 0$,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
આ સ્થિતિમાં,પરિપથ અનુનાદ (resonance) માં છે તેમ કહેવાય છે,અને ઈમ્પિડન્સ $Z$ એ $R$ જેટલો થાય છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે $Q$-ફેક્ટર (ક્વોલિટી ફેક્ટર) નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો:
$L = 2 \ H$
$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$
$R = 20 \ \Omega$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{20} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{250}{20} = 12.5$
આમ,$Q$-મૂલ્ય $12.5$ છે.

(D) $L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Z$ એ પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઈમ્પીડન્સના સૂત્રમાં $X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
હવે,કળા તફાવતના સૂત્રમાં $Z = R$ મૂકતા,આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
કારણ કે $\cos \phi = 1$,તેથી $\phi = 0^{\circ}$ થાય.
આમ,અનુનાદ સમયે,લાગુ પાડેલ વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં, પ્રવાહ emf સાથે સમાન કળામાં છે, જેનો અર્થ છે કે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે। અનુનાદ સમયે, સર્કિટનું ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ ઇન્ડક્ટર કોઈલના અવરોધ $R$ જેટલું હોય છે $(Z = R)$.
આપેલ છે કે, rms વોલ્ટેજ $V_{\text{rms}} = 8 \, V$ અને rms પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = 16 \, A$ છે।
ઇન્ડક્ટર કોઈલનો અવરોધ $R = \frac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}} = \frac{8}{16} = 0.5 \, \Omega$ છે।
જ્યારે ઇન્ડક્ટર કોઈલને $6 \, V$ ની $DC$ બેટરી સાથે જોડવામાં આવે છે, ત્યારે કેપેસિટર $DC$ માટે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે, પરંતુ પ્રશ્ન ઇન્ડક્ટર કોઈલમાંથી વહેતા સ્થાયી પ્રવાહ વિશે છે। ઇન્ડક્ટર કોઈલનો અવરોધ $R = 0.5 \, \Omega$ હોવાથી, ઓહ્મના નિયમ મુજબ સ્થાયી પ્રવાહ $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = \frac{V_{\text{DC}}}{R} = \frac{6 \, V}{0.5 \, \Omega} = 12 \, A$.

(A) મુખ્ય વિચાર: શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર અનુનાદ (resonance) સમયે મહત્તમ હોય છે, જ્યાં ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે: $L = 0.5 \text{ H}$, $R = 10 \Omega$, $V_{rms} = 200 \text{ V}$, અને $f = \frac{150}{\pi} \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times \frac{150}{\pi} = 300 \text{ rad/s}$.
અનુનાદ સમયે, ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{200}{10} = 20 \text{ A}$.
ઇન્ડક્ટર પરનો $rms$ વોલ્ટેજ $V_L = I_{rms} \times X_L$ છે, જ્યાં $X_L = \omega L$.
$V_L = 20 \times (300 \times 0.5) = 20 \times 150 = 3000 \text{ V}$.