Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદની તીક્ષ્ણતા ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
$Q$ ને અનુનાદિત આવૃત્તિ અને પરિપથની બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
$Q$ નું ઉચ્ચ મૂલ્ય વધુ તીક્ષ્ણ અનુનાદ વક્ર સૂચવે છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ વધુ પસંદગીયુક્ત છે.
તેથી,અનુનાદની તીક્ષ્ણતા સીધી રીતે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ પર આધાર રાખે છે.

(N/A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ એ બે હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી,$\omega_{1}$ અને $\omega_{2}$ વચ્ચેની આવૃત્તિનો ગાળો છે,જ્યાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર તેના મહત્તમ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો થાય છે.
આપેલ છે કે $I_{max} = 1.0 \ A$,તેથી હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી પર પ્રવાહ $I = \frac{I_{max}}{\sqrt{2}} = \frac{1.0}{1.414} \approx 0.707 \ A$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી,$I = 0.707 \ A$ પર,અનુરૂપ કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_{1} = 0.8 \ rad/s$ અને $\omega_{2} = 1.2 \ rad/s$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \omega = \omega_{2} - \omega_{1}$
$\Delta \omega = 1.2 \ rad/s - 0.8 \ rad/s = 0.4 \ rad/s$.

(B) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો $R = 100 \, \Omega$,$L = 80 \, mH = 80 \times 10^{-3} \, H$,અને $C = 2 \, \mu F = 2 \times 10^{-6} \, F$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{80 \times 10^{-3}}{2 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{40 \times 10^{3}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{40000}$
$Q = \frac{200}{100} = 2$
આમ,સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $2$ છે.

(D) શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ સર્કિટમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RC$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RL$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{X_C}{R} = \frac{X_L}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
કારણ કે $X_L = X_C$,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1.0$ છે.

(A) આપેલ છે: વોલ્ટેજ $V = 10 \, V$,અવરોધ $R = 10 \, \Omega$ અને ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \, H$.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,તેથી $Z = R = 10 \, \Omega$.
રેઝોનન્સ સમયે પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A$ દ્વારા મળે છે.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $E_L = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$E_L = \frac{1}{2} \times 1 \, H \times (1 \, A)^2 = 0.5 \, J$.

(B) રેઝોનન્સ પર,$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ સંપૂર્ણપણે અવરોધક હોય છે,એટલે કે $Z = R = 8\, \Omega$.
પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 250\, V$ છે. રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વોલ્ટેજ $V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}} = \frac{250}{\sqrt{2}}\, V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ પર વપરાતો પાવર $P = \frac{(V_{rms})^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{(250 / \sqrt{2})^2}{8} = \frac{62500 / 2}{8} = \frac{31250}{8} = 3906.25\, W$.
$kW$ માં રૂપાંતરિત કરતા: $P = 3.90625\, kW$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $x = 4$ મળે છે.

(A) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ આવૃત્તિ $\omega_0 = 1 / \sqrt{LC}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તે ફક્ત $L$ અને $C$ પર આધારિત હોવાથી,જ્યારે અવરોધ $R$ બદલાય છે ત્યારે તે અચળ રહે છે.
$LCR$ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega = R / L$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega$ એ અવરોધ $R$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(\Delta \omega \propto R)$,અવરોધ $R$ વધારવાથી બેન્ડવિડ્થ વધશે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ $Q = \omega_0 L / R = 1 / R \sqrt{L/C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $Q \propto 1/R$ હોવાથી,અવરોધ $R$ વધારવાથી ક્વોલિટી ફેક્ટર ઘટશે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે રેઝોનન્સ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ વધશે.

(A) આપેલ છે:
$L = 2 \times 10^{-4} \ H$
$R = 6.28 \ \Omega$
$f = 10 \ MHz = 10^7 \ Hz$
શ્રેણી રેઝોનન્સ સર્કિટ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{2 \pi f L}{R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{2 \times 3.14 \times 10^7 \times 2 \times 10^{-4}}{6.28}$
$Q = \frac{6.28 \times 10^7 \times 2 \times 10^{-4}}{6.28}$
$Q = 2 \times 10^3 = 2000$
તેથી,ક્વોલિટી ફેક્ટરનું મૂલ્ય $2000$ છે.

(D) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 960\, m$,કેપેસિટન્સ $C = 2.56\, \mu F = 2.56 \times 10^{-6}\, F$,પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^{8}\, m/s$.
રેઝોનન્સ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
$\omega_{0} = 2\pi f_{0}$ અને $f_{0} = \frac{c}{\lambda}$ હોવાથી,$2\pi \frac{c}{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4\pi^{2} \frac{c^{2}}{\lambda^{2}} = \frac{1}{LC}$.
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $L = \frac{\lambda^{2}}{4\pi^{2}c^{2}C}$.
$\pi^{2} \approx 10$ લેતા: $L = \frac{(960)^{2}}{4 \times 10 \times (3 \times 10^{8})^{2} \times 2.56 \times 10^{-6}}$.
ગણતરી કરતા $L = 10 \times 10^{-8}\, H$ મળે છે.

(NONE) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$.
શરૂઆતમાં,$Q = 100$ છે.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને બે ગણું વધારવામાં આવે $(L' = 2L)$ અને અવરોધ $R$ ને બે ગણો ઘટાડવામાં આવે $(R' = R/2)$,ત્યારે નવો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q'$ નીચે મુજબ થશે:
$Q' = \frac{1}{R'} \sqrt{\frac{L'}{C}} = \frac{1}{(R/2)} \sqrt{\frac{2L}{C}} = 2 \times \sqrt{2} \times \left( \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}} \right)$.
$Q$ ની પ્રારંભિક કિંમત મૂકતા:
$Q' = 2 \sqrt{2} \times Q = 2 \times 1.414 \times 100 = 282.8$.

(D) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે,જેનો અર્થ છે કે સર્કિટનો કુલ ઈમ્પિડન્સ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે,એટલે કે $Z = R$ થાય છે.
અનુનાદ સમયે $LCR$ સર્કિટમાં વપરાતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{V^{2}}{R}$
આપેલ મૂલ્યો છે:
$P = 16 \, W$
$V = 120 \, V$
$R$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$R = \frac{V^{2}}{P}$
મૂલ્યો મૂકતા:
$R = \frac{(120)^{2}}{16}$
$R = \frac{14400}{16}$
$R = 900 \, \Omega$
આમ,અવરોધ $R$ નું મૂલ્ય $900 \, \Omega$ છે.

(A) $LCR$ સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર મહત્તમ કરવા માટે, સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_{L} = X_{C}$.
આપેલ છે કે $X_{L} = 250 \pi \, \Omega$ અને આવૃત્તિ $f = 50 \, Hz$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $250 \pi = \frac{1}{2 \pi (50) C}$.
$250 \pi = \frac{1}{100 \pi C}$.
$C = \frac{1}{250 \pi \times 100 \pi} = \frac{1}{25000 \pi^{2}}$.
આપેલ છે કે $\pi^{2} = 10$, તેથી $C = \frac{1}{25000 \times 10} = \frac{1}{250000} \, F$.
$C = 4 \times 10^{-6} \, F = 4 \, \mu F$.

(C) આપેલ છે: $L = 5.0 \, H$,$C = 80 \, \mu F = 80 \times 10^{-6} \, F$,$R = 40 \, \Omega$.
પ્રથમ,અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ ની ગણતરી કરો:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{5.0 \times 80 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{400 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{0.02} = 50 \, rad/s$.
ત્યારબાદ,બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega$ ની ગણતરી કરો:
$\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{40}{5.0} = 8 \, rad/s$.
જે આવૃત્તિઓ પર પાવર મહત્તમ પાવર કરતા અડધો હોય (હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સીઝ) તે $\omega = \omega_0 \pm \frac{\Delta \omega}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_1 = \omega_0 - \frac{\Delta \omega}{2} = 50 - \frac{8}{2} = 50 - 4 = 46 \, rad/s$.
$\omega_2 = \omega_0 + \frac{\Delta \omega}{2} = 50 + \frac{8}{2} = 50 + 4 = 54 \, rad/s$.
આમ,કોણીય આવૃત્તિઓ $46 \, rad/s$ અને $54 \, rad/s$ છે.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,તેથી પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે.
$Z = R = 5 \, \Omega$.
રૂટ મીન સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{\text{rms}}$ એ $I_{\text{rms}} = \frac{V}{Z} = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે વ્યય થતો પાવર $P = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V}{R}\right)^2 R = \frac{V^2}{R}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{250 \times 250}{5} = \frac{62500}{5} = 12500 \, \text{W}$.
આને $..... \times 10^2 \, \text{W}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,આપણને $125 \times 10^2 \, \text{W}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે $\omega L > \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L > X_C$, ત્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ હોય છે। વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રવાહ લાગુ પાડેલ $emf$ કરતા પાછળ રહે છે. તેથી, $(a) - (ii)$.
$(b)$ જ્યારે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L = X_C$, ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં હોય છે। ઈમ્પિડન્સ લઘુત્તમ $(Z = R)$ હોય છે, અને પ્રવાહ લાગુ પાડેલ $emf$ સાથે સમાન કળામાં હોય છે. તેથી, $(b) - (i)$.
$(c)$ જ્યારે $\omega L < \frac{1}{\omega C}$, એટલે કે $X_L < X_C$, ત્યારે પરિપથ કેપેસિટીવ હોય છે। પ્રવાહ વોલ્ટેજ $(emf)$ કરતા આગળ હોય છે. તેથી, $(c) - (iv)$.
$(d)$ અનુનાદ આવૃત્તિ પર, $X_L = X_C$ હોય છે, ઈમ્પિડન્સ લઘુત્તમ હોય છે, જેના પરિણામે મહત્તમ પ્રવાહ મળે છે. તેથી, $(d) - (iii)$.
આમ, સાચી જોડ $(a) - (ii), (b) - (i), (c) - (iv), (d) - (iii)$ છે.

(C) શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ (આકૃતિ $a$) માં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_a = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$LCR$ શ્રેણી સર્કિટ (આકૃતિ $b$) માં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P_b = I_{\text{rms}}^2 R = \left(\frac{V_{\text{rms}}}{Z}\right)^2 R = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2}$ છે,જ્યાં $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
આપેલ છે કે બંને સર્કિટમાં સરેરાશ પાવર સમાન છે,તેથી $P_a = P_b$:
$\frac{V_{\text{rms}}^2}{R} = \frac{V_{\text{rms}}^2 R}{Z^2}$
આનો અર્થ એ છે કે $R^2 = Z^2$,એટલે કે $Z = R$.
$Z$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$R^2 = R^2 + (X_L - X_C)^2$
$(X_L - X_C)^2 = 0$
$X_L = X_C$
આ અનુનાદ (resonance) માટેની શરત છે,જ્યાં $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ થાય.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{1}{LC} = \frac{1}{0.1 \times 40 \times 10^{-6}}$
$\omega^2 = \frac{1}{4 \times 10^{-6}} = 0.25 \times 10^6 = 250000$
$\omega = \sqrt{250000} = 500\,rad/s$.

(D) આપેલ છે:
અવરોધ $R = 100 \, \Omega$
કેપેસિટન્સ $C = 0.1 \, \mu \text{F} = 10^{-7} \, \text{F}$
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = 60 \, \text{Hz}$
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે:
$X_L = X_C$
$2 \pi f_0 L = \frac{1}{2 \pi f_0 C}$
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ માટે સૂત્ર:
$L = \frac{1}{4 \pi^2 f_0^2 C}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{1}{4 \times (3.14)^2 \times (60)^2 \times 10^{-7}}$
$L \approx 70.43 \, \text{H}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $70.3 \, \text{H}$ છે.

(A) આપેલ છે: $L = 10\,H$,$C = 10 \times 10^{-6}\,F$,$R = 50\,\Omega$,અને $V = 200 \sin(100t)$.
$V = V_{m} \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100\,rad/s$ મળે છે.
$AC$ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $\nu = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$.
$LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ $\nu_{0}$ નું સૂત્ર $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\nu_{0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-4}}} = \frac{1}{2\pi \times 10^{-2}} = \frac{100}{2\pi} = \frac{50}{\pi}\,Hz$.
આમ,$\nu_{0} = \nu = \frac{50}{\pi}\,Hz$.

(A) આપેલ પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $L$ અને કેપેસિટર $C$ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,અને આ સમાંતર જોડાણ $R = 55 \; \Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે.
સમાંતર $LC$ પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\frac{1}{Z_{LC}} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_C})^2}$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમત ઇમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\frac{1}{Z_{LC}} = \sqrt{(\frac{1}{X_L} - \frac{1}{X_L})^2} = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $Z_{LC} \rightarrow \infty$.
કારણ કે સમાંતર $LC$ જોડાણ અનુનાદ સમયે ઓપન સર્કિટ (અનંત ઇમ્પિડન્સ) તરીકે વર્તે છે,તેથી પરિપથમાં કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,$55 \; \Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = 0 \; A$ છે.

(D) લાઇનની કુલ લંબાઈ $l = 100 \, km$ છે। એકમ લંબાઈ દીઠ કેપેસિટન્સ $C' = 0.01 \, \mu F/km$ છે।
લાઇનનું કુલ કેપેસિટન્સ $C = C' \times l = 0.01 \times 100 = 1 \, \mu F = 10^{-6} \, F$ છે।
આવૃત્તિ $f = 0.5 \, kHz = 500 \, Hz$ છે।
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \times \sqrt{10} \times 500 = 1000 \sqrt{10} \, rad/s$ છે।
$LCR$ સર્કિટમાં લઘુત્તમ ઈમ્પીડન્સ માટે, સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ, જે ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સની બરાબર હોય:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$L = \frac{1}{\omega^2 C}$
કિંમતો મૂકતા:
$L = \frac{1}{(1000 \sqrt{10})^2 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10^6 \times 10 \times 10^{-6}}$
$L = \frac{1}{10} \, H = 0.1 \, H = 100 \, mH$.

(B) જ્યારે $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ emf સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે. અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
આપેલ છે: $L = 0.5 \,mH = 0.5 \times 10^{-3} \,H$,$C = 200 \,\mu F = 200 \times 10^{-6} \,F = 2 \times 10^{-4} \,F$.
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.5 \times 10^{-3} \times 2 \times 10^{-4}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1.0 \times 10^{-7}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10 \times 10^{-8}}}$
$f = \frac{10^4}{2 \pi \sqrt{10}} \approx 503.29 \,Hz$.
વિકલ્પો મુજબ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,$f \approx 500 \,Hz = 5 \times 10^{2} \,Hz$.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $\omega_{r}$ એ $X_{C} = X_{L}$ ની શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $X_{C} = \frac{1}{\omega C}$ અને $X_{L} = \omega L$ છે.
$1$. $\omega < \omega_{r}$ માટે,આપણી પાસે $\frac{1}{\omega C} > \omega L$ છે,જેનો અર્થ છે કે $X_{C} > X_{L}$. આમ,સર્કિટ મુખ્યત્વે કેપેસિટીવ છે. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$2$. $\omega > \omega_{r}$ માટે,$X_{L} > X_{C}$ હોય છે,તેથી સર્કિટ મુખ્યત્વે ઇન્ડક્ટિવ છે.
$3$. રેઝોનન્સ પર $\omega = \omega_{r}$,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}}$ છે. કારણ કે $X_{L} = X_{C}$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + 0} = R$. આમ,ઇમ્પિડન્સ એ અવરોધ જેટલો છે. વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$4$. વિધાન $(D)$ ખોટું છે કારણ કે રેઝોનન્સ પર,ઇમ્પિડન્સ ન્યૂનતમ હોય છે અને તે $R$ જેટલો હોય છે,$0$ નહીં.
તેથી,વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) મેટલ ડિટેક્ટરમાં એક $LC$ સર્કિટ હોય છે જે ચોક્કસ રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી પર ટ્યુન કરેલી હોય છે. જ્યારે કોઈ ધાતુની વસ્તુ કોઈલ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સમાં ફેરફાર કરે છે,જેનાથી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી બદલાય છે. આ ફેરફાર સર્કિટ દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે,જે એલાર્મ ટ્રિગર કરે છે. આમ,આ ઉપકરણ $AC$ સર્કિટમાં રેઝોનન્સના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ વધારવા માટે,$LC$ નો ગુણાકાર ઘટવો જોઈએ.
જ્યારે કેપેસિટરને અસ્તિત્વમાં રહેલા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આના પરિણામે કુલ કેપેસિટન્સમાં ઘટાડો થાય છે $(C_{eq} < C_1)$.
કારણ કે $f_r \propto \frac{1}{\sqrt{C}}$,તેથી કુલ કેપેસિટન્સમાં ઘટાડો થવાથી અનુનાદિત આવૃત્તિમાં વધારો થાય છે.

(B) $LR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{X_{L}^{2} + R^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $X_{L} = R$,તેથી $Z = \sqrt{R^{2} + R^{2}} = \sqrt{2}R$.
પાવર ફેક્ટર $P_{1} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{2}R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે કેપેસિટર એવી રીતે ઉમેરવામાં આવે છે કે $X_{L} = X_{C}$ થાય,ત્યારે સર્કિટ રેઝોનન્સ સ્થિતિમાં $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ બને છે.
રેઝોનન્સમાં,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
પાવર ફેક્ટર $P_{2} = \cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જે આવૃત્તિઓ પર પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર તેના મહત્તમ મૂલ્યના $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો થાય છે,તેને હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સીઝ કહેવામાં આવે છે,જેને $\omega_1$ અને $\omega_2$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
પરિપથની બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\omega_1 = 212\,rad\,s^{-1}$ અને $\omega_2 = 232\,rad\,s^{-1}$,તેથી બેન્ડવિડ્થ $\Delta\omega = 232 - 212 = 20\,rad\,s^{-1}$ થાય.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથ માટે બેન્ડવિડ્થનું સૂત્ર $\Delta\omega = \frac{R}{L}$ છે.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા: $20 = \frac{5}{L}$.
$L$ માટે ઉકેલતા: $L = \frac{5}{20} = 0.25\,H$.
મિલીહેનરી $(mH)$ માં રૂપાંતર કરતા: $L = 0.25 \times 1000 = 250\,mH$.

(B) અનુનાદ પરિપથની બેન્ડવિડ્થ એ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે જ્યાં પાવર અથવા આઉટપુટ વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્યના ચોક્કસ ભાગ સુધી ઘટી જાય છે.
$L-C-R$ શ્રેણી પરિપથમાં,અવરોધ પરનો આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{out} = I_{rms} R = \frac{V_0 R}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ છે.
અનુનાદ સમયે,$V_{out}$ મહત્તમ $(V_0)$ હોય છે.
જે આવૃત્તિઓ પર આઉટપુટ વોલ્ટેજ તેના મહત્તમ મૂલ્યના અડધા સુધી ઘટી જાય છે તે $f_1 = 200 \,Hz$ અને $f_2 = 800 \,Hz$ છે.
બેન્ડવિડ્થને આ બે હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ વચ્ચેના તફાવત તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\text{Bandwidth} = f_2 - f_1$.
આપેલ મૂલ્યો મૂકતા:
$\text{Bandwidth} = 800 \,Hz - 200 \,Hz = 600 \,Hz$.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આના પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ફ્રીક્વન્સી $f_1 = 500 \,kHz$ છે,જેમાં ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ છે.
આપેલ નવા મૂલ્યો: $L' = 2L$ અને $C' = \frac{1}{8}C$.
નવી ફ્રીક્વન્સી $f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L'C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(\frac{1}{8}C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{1}{4}LC}}$.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC} \cdot \sqrt{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC} \cdot \frac{1}{2}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} = 2f_1$ મળે છે.
$f_1$ નું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $f_2 = 2 \times 500 \,kHz = 1000 \,kHz$ મળે છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટ માટે અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0$ નું સૂત્ર: $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો $L = 8.0 \, H$,$C = 0.5 \, \mu F = 0.5 \times 10^{-6} \, F$ અને $R = 100 \, \Omega$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{8.0 \times 0.5 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{4.0 \times 10^{-6}}}$
$\omega_0 = \frac{1}{2.0 \times 10^{-3}}$
$\omega_0 = \frac{1000}{2} = 500 \, rad/s$.
તેથી,અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $500 \, rad/s$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે.
વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ ત્યારે હોય છે જ્યારે ફેઝ એંગલ $\phi$ ધન હોય,જેનો અર્થ છે કે $X_L > X_C$.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L = \omega L)$ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C = \frac{1}{\omega C})$ માટેના સૂત્રો મૂકતા,આપણને $\omega L > \frac{1}{\omega C}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\omega^2 > \frac{1}{LC}$ મળે છે.
અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ હોવાથી,આપણી પાસે $\omega_0^2 = \frac{1}{LC}$ છે.
તેથી,વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા આગળ હોય તે માટેની શરત $\omega^2 > \omega_0^2$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega > \omega_0$.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $(V_L)$ એ કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ $(V_C)$ જેટલો હોય છે,અને સ્ત્રોતનો કુલ વોલ્ટેજ એ અવરોધક પરના વોલ્ટેજ $(V_R)$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $V_C = 200 \, V$ (કેપેસિટર પરના વોલ્ટમીટરનું રીડિંગ) અને $V_R = 50 \, V$ (અનુનાદ સમયે સ્ત્રોત વોલ્ટેજ).
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ એ અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટર અથવા કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ અને અવરોધક પરના વોલ્ટેજના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{V_C}{V_R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{200 \, V}{50 \, V} = 4$
તેથી,સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $4$ છે.

(C) આપેલ છે:
કેપેસિટન્સ, $C = 250\,\mu F = 250 \times 10^{-6}\,F$
ઇન્ડક્ટન્સ, $L = 0.16\,mH = 0.16 \times 10^{-3}\,H$
અવરોધ, $R = 20\,\Omega$
$LC$ સર્કિટ માટે અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{250 \times 10^{-6} \times 0.16 \times 10^{-3}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{40 \times 10^{-9}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 20 \times 10^{-5}}$
$f \approx 796\,Hz$
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ગણતરી કરતા $f \approx 796\,Hz$ મળે છે. પ્રશ્નમાં એકમોમાં તફાવત હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 10 \, \Omega$, ઇન્ડક્ટન્સ $L = 3.0 \, \text{H}$, કેપેસિટન્સ $C = 27 \, \mu\text{F} = 27 \times 10^{-6} \, \text{F}$.
રેઝોનન્ટ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{3 \times 27 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{81 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{9 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{9} \, \text{rad/s}$ છે.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega = \frac{R}{L} = \frac{10}{3} \, \text{rad/s}$ છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = \frac{\omega_0}{\Delta \omega} = \frac{1000/9}{10/3} = \frac{1000}{9} \times \frac{3}{10} = \frac{100}{3}$ છે.
આપણે ક્વોલિટી ફેક્ટર અને બેન્ડવિડ્થનો ગુણોત્તર શોધવાનો છે: $\frac{Q}{\Delta \omega} = \frac{100/3}{10/3} = \frac{100}{10} = 10 \, \text{s}$.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $f = 2.0 \, kHz = 2000 \, Hz$,$C = 62.5 \, nF = 62.5 \times 10^{-9} \, F$,અને $\pi^2 = 10$.
$L$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $L = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 C}$.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{1}{4 \times 10 \times (2000)^2 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{40 \times 4 \times 10^6 \times 62.5 \times 10^{-9}}$.
$L = \frac{1}{160 \times 62.5 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10000 \times 10^{-3}} = \frac{1}{10} = 0.1 \, H$.
$mH$ માં રૂપાંતર કરતા: $0.1 \, H = 100 \, mH$.

(B) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્સ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
$2\pi fL = \frac{1}{2\pi fC}$.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર: $C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}$.
આપેલ છે: $L = 2\,\mu\text{H} = 2 \times 10^{-6}\text{ H}$,$f = 7\,\text{kHz} = 7 \times 10^3\text{ Hz}$,અને $\pi = \frac{22}{7}$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times (\frac{22}{7})^2 \times (7 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times \frac{484}{49} \times 49 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{4 \times 484 \times 2} = \frac{1}{3872}\text{ F}$.
આને $\frac{1}{x}\text{ F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3872$ મળે છે.

(A) $AC$ પરિપથમાં પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતના $LR$ પરિપથ માટે, $Z_1 = \sqrt{R^2 + X_L^2}$. આપેલ છે કે $X_L = R$, તેથી $Z_1 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
આમ, $P_1 = \frac{R}{R\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે $X_C = X_L$ ધરાવતો કેપેસિટર શ્રેણીમાં ઉમેરવામાં આવે છે, ત્યારે પરિપથ અનુનાદની સ્થિતિમાં $LCR$ પરિપથ બને છે.
અનુનાદ સમયે, $X_L - X_C = 0$, તેથી ઈમ્પીડન્સ $Z_2 = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R$.
નવો પાવર ફેક્ટર $P_2 = \frac{R}{Z_2} = \frac{R}{R} = 1$.
ગુણોત્તર $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(A) જ્યારે પ્રવાહ $EMF$ સાથે સમાન કળામાં હોય,ત્યારે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો થાય છે,એટલે કે $Z = R = 20\,\Omega$.
સર્કિટમાં $RMS$ પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{220\,V}{20\,\Omega} = 11\,A$ દ્વારા મળે છે.
કંપવિસ્તાર (પીક કરંટ) $I_0$ એ $RMS$ પ્રવાહ સાથે $I_0 = I_{rms} \sqrt{2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
કિંમત મૂકતા,$I_0 = 11 \sqrt{2} = \sqrt{121 \times 2} = \sqrt{242}\,A$.
આને $\sqrt{x}\,A$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 242$ મળે છે.

(B) ઉર્જા પૂરી પાડવાનો સરેરાશ દર મહત્તમ કરવા માટે,સર્કિટમાં પાવર મહત્તમ હોવો જોઈએ.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં પાવર મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આપેલ છે $X_L = 79.6\,\Omega$ અને આવૃત્તિ $f = 50\,Hz$.
કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સનું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$ છે.
$X_L$ અને $X_C$ ને સરખાવતા: $79.6 = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 50 \times C}$.
$C = \frac{1}{314.16 \times 79.6} \approx \frac{1}{25007} \approx 3.998 \times 10^{-5}\,F$.
$C \approx 40 \times 10^{-6}\,F = 40\,\mu F$.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથ માટે અનુનાદ સમયે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$
આપેલ કિંમતો:
અવરોધ $R = 100\,\Omega$
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1\,H$
કેપેસિટન્સ $C = 6.25 \times 10^{-6}\,F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{1}{6.25 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{100} \sqrt{\frac{10^6}{6.25}}$
$Q = \frac{1}{100} \times \frac{1000}{2.5}$
$Q = \frac{10}{2.5} = 4$
આમ,પરિપથનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $4$ છે.

(C) $AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\cos \phi$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
શ્રેણી $LCR$ સર્કિટ માટે, ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે, $X_L = X_C$ થાય છે, જે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ને ન્યૂનતમ $(Z = R)$ બનાવે છે અને કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય છે. આમ, $\cos \phi = 1$ થાય છે, અને પાવરનો વ્યય મહત્તમ થાય છે. તેથી, વિધાન $I$ સાચું છે.
શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટમાં, પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય છે $(\phi = 0)$, તેથી $\cos \phi = 1$ થાય છે. આના પરિણામે આપેલ વોલ્ટેજ માટે મહત્તમ પાવરનો વ્યય થાય છે. તેથી, વિધાન $II$ સાચું છે.
આમ, બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) વિધાન $I$ સાચું છે: શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L = 2\pi fL$ વધે છે અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ ઘટે છે. અનુનાદ સમયે,$X_L = X_C$ થાય છે,ઈમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ $(Z = R)$ થાય છે,અને પ્રવાહ $I$ મહત્તમ થાય છે. આમ,પ્રવાહ પહેલા વધીને મહત્તમ થાય છે અને પછી ઘટે છે.
વિધાન $II$ સાચું છે: અનુનાદ સમયે,પરિપથ સંપૂર્ણપણે અવરોધક (resistive) હોય છે,જેનો અર્થ છે કે ફેઝ એંગલ $\phi = 0$ છે. પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \cos(0) = 1$ થાય છે.

(A) આપેલ છે:
$L = 10\,mH = 10 \times 10^{-3}\,H$
$C = 1\,\mu F = 1 \times 10^{-6}\,F$
$R = 100\,\Omega$
અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,$X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$,જ્યાં $\omega = 2\pi f$.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \times 3.14 \times \sqrt{10 \times 10^{-3} \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times \sqrt{10^{-8}}}$
$f = \frac{1}{6.28 \times 10^{-4}}$
$f = \frac{10^4}{6.28} \approx 1592.36\,Hz$
$f \approx 1.59\,kHz$

(B) આપેલ છે: $L = \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} \text{ H}$,$C = \frac{10^{-3}}{\pi} \text{ F}$,$R = 10 \ \Omega$,$f = 50 \text{ Hz}$.
પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ ની ગણતરી કરો:
$X_L = \omega L = 2\pi f L = 2\pi \times 50 \times \frac{100}{\pi} \times 10^{-3} = 100 \times 100 \times 10^{-3} = 10 \ \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી કરો:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \times 50 \times \frac{10^{-3}}{\pi}} = \frac{1}{100 \times 10^{-3}} = \frac{1}{0.1} = 10 \ \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 10 \ \Omega$ થાય.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{10}{10} = 1$.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી અપરિવર્તિત રાખવા માટે,$\omega' = \omega$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\sqrt{L'C'}} = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $L'C' = LC$ મળે છે.
આપેલ છે કે નવું કેપેસીટન્સ $C' = 4C$ છે,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $L'(4C) = LC$.
$L'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L' = \frac{L}{4}$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટન્સમાં ફેરફાર $\Delta L = L - L' = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$ છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને $\frac{3}{4} L$ જેટલું ઘટાડવું જોઈએ.

(B) મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ રેઝોનન્સમાં હોવી જોઈએ.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિનું સૂત્ર:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L \times C}}$
આપેલ મૂલ્યો:
$L = 100 \ mH = 0.1 \ H$
$C = 2.5 \ nF = 2.5 \times 10^{-9} \ F$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.1 \times 2.5 \times 10^{-9}}}$
$f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{25 \times 10^{-11}}} = \frac{1}{2 \pi \times 5 \times 10^{-5.5}}$
ગણતરી કરતા:
$f_0 = 10 \times 10^3 \ Hz$.

(B) અનુનાદ સમયે,$LCR$ સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $Z = R$ થાય.
અનુનાદ સમયે પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I$ એ $I = \frac{V}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ મહત્તમ વોલ્ટેજ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને અડધો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો અવરોધ $R' = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવો પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I'$ એ $I' = \frac{V}{R'} = \frac{V}{R/2} = 2 \left( \frac{V}{R} \right) = 2I$ થાય છે.
તેથી,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર મૂળ મૂલ્ય કરતા બમણો થઈ જાય છે.

(B) આપેલ છે: $V_0 = 45 \text{ V}$, $L = 50 \times 10^{-3} \text{ H}$, $\omega_0 = 10^5 \text{ rad/s}$.
અનુનાદ સમયે, $\omega_0 = 1/\sqrt{LC} \Rightarrow C = 1/(L \omega_0^2) = 1/(50 \times 10^{-3} \times 10^{10}) = 2 \times 10^{-9} \text{ F}$.
જ્યારે $\omega = 8 \times 10^4 \text{ rad/s}$ હોય, ત્યારે $I = 0.05 I_0 = I_0/20$. કારણ કે $I = V_0/Z$ અને $I_0 = V_0/R$, તેથી $Z = 20R$.
$X_L = \omega L = 8 \times 10^4 \times 50 \times 10^{-3} = 4000 \text{ } \Omega$.
$X_C = 1/(\omega C) = 1/(8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-9}) = 6250 \text{ } \Omega$.
$Z^2 = R^2 + (X_C - X_L)^2 \Rightarrow (20R)^2 = R^2 + (6250 - 4000)^2$.
$399 R^2 = (2250)^2 \Rightarrow R = 2250 / \sqrt{399} \approx 2250 / 19.97 \approx 112.6 \text{ } \Omega$.
$R \approx 112.5 \text{ } \Omega$ લેતા, $I_0 = V_0/R = 45 / 112.5 = 0.4 \text{ A} = 400 \text{ mA}$. તેથી $P \rightarrow 3$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q = (1/R) \sqrt{L/C} = (1/112.5) \sqrt{50 \times 10^{-3} / 2 \times 10^{-9}} = (1/112.5) \times 5000 \approx 44.4$. તેથી $Q \rightarrow 1$.
બેન્ડવિડ્થ $\Delta \omega = \omega_0 / Q = 10^5 / 44.4 \approx 2250 \text{ rad/s}$. તેથી $R \rightarrow 4$.
મહત્તમ પાવર $P_{max} = I_0^2 R = (0.4)^2 \times 112.5 = 0.16 \times 112.5 = 18 \text{ W}$. તેથી $S \rightarrow 2$.
સાચી જોડી: $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 4, S \rightarrow 2$.

(B) રેઝોનન્સ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,તેથી સર્કિટનો કુલ ઈમ્પીડન્સ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
શરૂઆતમાં,પ્રવાહનો કંપવિસ્તાર $I_0 = \frac{\varepsilon_m}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\varepsilon_m$ એ પીક emf છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને બમણો કરીને $2R$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે રેઝોનન્સ પર નવો પ્રવાહ કંપવિસ્તાર $I_0' = \frac{\varepsilon_m}{2R}$ થાય છે.
પ્રારંભિક સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $I_0' = \frac{I_0}{2}$ મળે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ માટે,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે: $L = 100 \ \text{mH} = 100 \times 10^{-3} \ \text{H} = 0.1 \ \text{H}$ અને $C = 25 \ \text{nF} = 25 \times 10^{-9} \ \text{F}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \frac{1}{\sqrt{0.1 \times 25 \times 10^{-9}}}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{25 \times 10^{-10}}}$
$\omega = \frac{1}{5 \times 10^{-5}}$
$\omega = 0.2 \times 10^5 \ \text{rad s}^{-1} = 2 \times 10^4 \ \text{rad s}^{-1}$.
આમ,જવાબ $2$ છે.