Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે: $L = 2 \ H$,$C = 32 \ \mu F = 32 \times 10^{-6} \ F$,$R = 10 \ \Omega$.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_r$ નું સૂત્ર $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{2 \times 32 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{64 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{8 \times 10^{-3}} = \frac{1000}{8} = 125 \ rad \ s^{-1}$.
ક્વોલિટી ફેક્ટર ($Q$-ફેક્ટર) ની વ્યાખ્યા $Q = \frac{\omega_r L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{125 \times 2}{10} = \frac{250}{10} = 25$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે કેપેસિટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા મળે છે. આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_L = R\sqrt{3}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટર દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. ફેઝ એંગલ $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા મળે છે. આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_C = R\sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \Omega$ થાય છે.
$LCR$ પરિપથમાં વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R} = \frac{(200)^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 W$ થાય છે.

(C) આપેલ છે: $L=2 \text{ H}$,$C=32 \mu\text{F} = 32 \times 10^{-6} \text{ F}$,$R=10 \Omega$.
શ્રેણી $\text{LCR}$ પરિપથ માટે ક્વોલિટી ફેક્ટર $(Q)$ નું સૂત્ર $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{2}{32 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{1}{16 \times 10^{-6}}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1}{4 \times 10^{-3}}$
$Q = \frac{1}{10} \times \frac{1000}{4}$
$Q = \frac{100}{4} = 25$.

(D) આ પરિપથ એક શ્રેણી $LCR$ પરિપથ છે જે $75 \ V$ અને $500 \ Hz$ ના $AC$ સ્ત્રોત સાથે જોડાયેલ છે.
વોલ્ટમીટર અવરોધ $R$ ની આસપાસ જોડાયેલ છે,અને તે $75 \ V$ વાંચે છે. સ્ત્રોત વોલ્ટેજ પણ $75 \ V$ હોવાથી,અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ સ્ત્રોત વોલ્ટેજ જેટલો છે $(V_R = V_{source} = 75 \ V)$.
આનો અર્થ એ છે કે ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટરના સંયોજન પરનો વોલ્ટેજ શૂન્ય હોવો જોઈએ $(V_L - V_C = 0)$,જે અનુનાદ (resonance) પર થાય છે.
અનુનાદ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ છે $f = 500 \ Hz$ અને $L = 10 \ mH = 10 \times 10^{-3} \ H = 10^{-2} \ H$.
કિંમતો મૂકતા: $500 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{10^{-2} \times C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $250000 = \frac{1}{4 \pi^2 \times 10^{-2} \times C}$.
$\pi^2 = 10$ નો ઉપયોગ કરતા: $250000 = \frac{1}{4 \times 10 \times 10^{-2} \times C} = \frac{1}{0.4 \times C}$.
$C = \frac{1}{250000 \times 0.4} = \frac{1}{100000} = 10^{-5} \ F$.
$\mu F$ માં ફેરવતા: $C = 10^{-5} \times 10^6 \ \mu F = 10 \ \mu F$.

(A) શ્રેણી $RLC$ સર્કિટની બેન્ડવિડ્થ $(BW)$ નું સૂત્ર $BW = \frac{f_r}{Q}$ છે,જ્યાં $Q = \frac{X_L}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $Q = \frac{300 \text{ } \Omega}{5 \text{ } \Omega} = 60$.
હવે,$BW = \frac{12000 \text{ Hz}}{60} = 200 \text{ Hz}$.
હાફ-પાવર ફ્રીક્વન્સી $f_1 = f_r - \frac{BW}{2}$ અને $f_2 = f_r + \frac{BW}{2}$ છે.
$f_1 = 12000 - 100 = 11900 \text{ Hz}$.
$f_2 = 12000 + 100 = 12100 \text{ Hz}$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નું સૂત્ર $f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અનુનાદિત આવૃત્તિ માત્ર સર્કિટના ઇન્ડક્ટન્સ $L$ અને કેપેસિટન્સ $C$ પર આધાર રાખે છે.
અવરોધ $R$ અનુનાદિત આવૃત્તિના સૂત્રમાં આવતો નથી.
તેથી,અવરોધ $R$ ને તેના મૂળ મૂલ્યના $1/3$ ગણો કરવાથી સર્કિટની અનુનાદિત આવૃત્તિ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
આમ,અનુનાદિત આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ મહત્તમ થવા માટે,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ. અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે: $X_L = X_C$,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
આપેલ છે કે $f = 50 \ Hz$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (50) = 100 \pi \ rad/s$.
અનુનાદની શરત મુજબ $C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(100 \pi)^2 \times 2.5} = \frac{1}{10000 \times 10 \times 2.5} = \frac{1}{250000} \ F$.
$C = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,તેથી $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_0}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
આમ,$C$ નું મૂલ્ય $4 \ \mu F$ અને મહત્તમ પ્રવાહ $20 \ A$ છે.

(B) આપેલ $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = 100 \ V$ છે અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = 100 \ V$ છે.
અહીં $V_L = V_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) ની સ્થિતિમાં છે.
શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટર અને કેપેસિટર પરનો કુલ વોલ્ટેજ શૂન્ય થાય છે $(V_L - V_C = 0)$.
તેથી,સ્ત્રોતનો સંપૂર્ણ વોલ્ટેજ $V$ એ અવરોધ $R$ પર જોવા મળે છે.
આપેલ છે કે $V = 300 \ V$ અને $R = 50 \ \Omega$.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{300 \ V}{50 \ \Omega} = 6 \ A$.
આમ,એમીટરનું અવલોકન $6 \ A$ છે.

(D) રેઝોનન્સ સમયે,સર્કિટમાં પ્રવાહ $I = V_R / R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $V_R = 200 \ V$ અને $R = 800 \ \Omega$,તેથી $I = 200 / 800 = 0.25 \ A$.
રેઝોનન્સ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,જ્યાં $X_C = 1 / (\omega C)$.
આપેલ છે કે $\omega = 250 \ rad/s$ અને $C = 2 \times 10^{-6} \ F$,તેથી $X_C = 1 / (250 \times 2 \times 10^{-6}) = 1 / (500 \times 10^{-6}) = 10^6 / 500 = 2000 \ \Omega$.
રેઝોનન્સ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી,$X_L = 2000 \ \Omega$.
ઇન્ડક્ટન્સ પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$V_L = 0.25 \times 2000 = 500 \ V$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં પ્રવાહ મહત્તમ થાય તે માટે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવો જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
અહીં $L = 2.5 \ H$ અને $f = 50 \ Hz$ આપેલ છે,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 2 \pi f L = 2 \pi (50) (2.5) = 250 \pi \ \Omega$.
$\pi^2 = 10$ લેતા,$X_L = 250 \times \sqrt{10} \approx 790.5 \ \Omega$.
અનુનાદની શરત મુજબ,$\frac{1}{2 \pi f C} = 2 \pi f L$.
તેથી,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L} = \frac{1}{4 \times 10 \times (50)^2 \times 2.5} = \frac{1}{40 \times 2500 \times 2.5} = \frac{1}{250000} = 4 \times 10^{-6} \ F = 4 \ \mu F$.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R = 11.5 \ \Omega$.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_{max} = \frac{V_{peak}}{Z} = \frac{230}{11.5} = 20 \ A$.
આમ,$C$ અને મહત્તમ પ્રવાહના મૂલ્યો અનુક્રમે $4 \ \mu F$ અને $20 \ A$ છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં, અનુનાદ (resonance) સમયે સર્કિટમાંથી મહત્તમ પ્રવાહ વહે છે.
અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે, જ્યાં $V_C = I_{max} X_C$.
અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી, $U_L = U_C$ થાય છે, તેથી ગુણોત્તર $1:1$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો પ્રશ્નની શરતો સાથે મેળ ખાતા નથી.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ સમાન કળામાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલો હોય છે.
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
આપેલ છે: $L = \frac{2}{\pi^2} \text{ H}$,$f = 50 \text{ Hz}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times \pi \times 50 = 100\pi \text{ rad/s}$.
કિંમતો મૂકતા:
$100\pi \times \frac{2}{\pi^2} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$\frac{200}{\pi} = \frac{1}{100\pi \times C}$
$C = \frac{1}{100\pi \times (200/\pi)} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu \text{F}$.

(C) આપેલ સર્કિટમાં,$L$ ઇન્ડક્ટન્સ ધરાવતા બે ઇન્ડક્ટર સમાંતર જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{L_{eq}} = \frac{1}{L} + \frac{1}{L} = \frac{2}{L} \implies L_{eq} = \frac{L}{2}$
$C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા બે કેપેસિટર શ્રેણી જોડાણમાં છે. સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C_{eq} = \frac{C}{2}$
$LC$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_{eq} C_{eq}}}$
$L_{eq}$ અને $C_{eq}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(\frac{L}{2}) (\frac{C}{2})}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{\frac{LC}{4}}} = \frac{1}{2 \pi \frac{\sqrt{LC}}{2}} = \frac{1}{\pi \sqrt{LC}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહ અને વોલ્ટેજ સમાન કળામાં હોય,ત્યારે પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે $L = \frac{4}{\pi^2} \text{ H}$ અને $f = 50 \text{ Hz}$.
$X_L = 2\pi f L = 2 \times \pi \times 50 \times \frac{4}{\pi^2} = \frac{400}{\pi} \Omega$.
$X_L = X_C$ હોવાથી,$\frac{1}{2\pi f C} = \frac{400}{\pi}$.
$f = 50 \text{ Hz}$ મૂકતા: $\frac{1}{2 \times \pi \times 50 \times C} = \frac{400}{\pi} \implies \frac{1}{100 \pi C} = \frac{400}{\pi} \implies C = \frac{1}{40000} = 2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પિડન્સ $Z = R = 100 \Omega$.
વ્યય થતો પાવર $P = \frac{V^2}{R} = \frac{200^2}{100} = \frac{40000}{100} = 400 \text{ W}$.
આમ,કેપેસિટન્સ $2.5 \times 10^{-5} \text{ F}$ અને વ્યય થતો પાવર $400 \text{ W}$ છે.

(B) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
આ કિંમતને ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા:
$Z = \sqrt{R^2 + (0)^2} = R$.
અહીં $R = 12 \text{ } \Omega$ આપેલ છે,તેથી અનુનાદ સમયે ઈમ્પિડન્સ $Z = 12 \text{ } \Omega$ થાય છે.

(D) અનુનાદ સમયે,સર્કિટનો ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ હોય છે.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = I \times R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- $(i)$
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I \times X_L = I \times \omega L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે --- (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{I \times \omega L}{I \times R}$
$\frac{V_L}{V_R} = \frac{\omega L}{R}$
$L$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$

(C) સર્કિટમાં મહત્તમ પ્રવાહ વહે તે માટે સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોવી જોઈએ.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે: $X_L = X_C$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$.
કેપેસિટન્સ $C$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$C = \frac{1}{4 \pi^2 f^2 L}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $L = 2 \mu H = 2 \times 10^{-6} \text{ H}$,$f = 5 \text{ kHz} = 5 \times 10^3 \text{ Hz}$,અને $\pi^2 = 10$.
કિંમતો મૂકતા: $C = \frac{1}{4 \times 10 \times (5 \times 10^3)^2 \times 2 \times 10^{-6}}$.
$C = \frac{1}{40 \times 25 \times 10^6 \times 2 \times 10^{-6}} = \frac{1}{40 \times 25 \times 2} = \frac{1}{2000} \text{ F}$.
આને $\frac{1}{x} \text{ F}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2000$ મળે છે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે અને $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું પ્રભુત્વ હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,અને ઈમ્પીડન્સ $Z$ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે,જે અવરોધ $R$ જેટલી હોય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી આગળ વધે છે,તેમ $X_L$ નું પ્રભુત્વ વધે છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધવા લાગે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,અનુનાદ પર ન્યૂનતમ થાય છે અને ત્યારબાદ વધે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$f_r = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ સમાન રહે તે માટે,$LC$ નો ગુણાકાર અચળ રહેવો જોઈએ:
$L_1 C_1 = L_2 C_2$
અહીં $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $C_2 = 3C$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \cdot C = L_2 \cdot (3C)$
$L_2 = \frac{L \cdot C}{3C}$
$L_2 = \frac{L}{3}$
તેથી,ઇન્ડક્ટન્સને બદલીને $\frac{L}{3}$ કરવું જોઈએ.

(B) $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{LC}}$.
પ્રારંભિક કિંમતો $L_1 = L$ અને $C_1 = C$ લેતા,પ્રારંભિક આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
નવી કિંમતો $L_2 = 3L$ અને $C_2 = C + 3C = 4C$ છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(4C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}$.
બંને આવૃત્તિઓની સરખામણી કરતા: $\frac{f'}{f} = \frac{\frac{1}{2 \pi \sqrt{12LC}}}{\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}} = \sqrt{\frac{LC}{12LC}} = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$.
તેથી,$f' = \frac{f}{2 \sqrt{3}}$.

(D) શ્રેણી $LC$ પરિપથની અનુનાદિત આવૃત્તિનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L' = 3L$ અને કેપેસિટન્સ $C' = 6C$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f'$ નીચે મુજબ મળે:
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L' C'}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(3L)(6C)}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{18 LC}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{9 \cdot 2 \cdot LC}}$
$f' = \frac{1}{2 \pi \cdot 3 \sqrt{2} \sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$,તેથી કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{f}{3 \sqrt{2}}$

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = L\omega = 2\pi fL$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{C\omega} = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ રેખીય રીતે વધે છે જ્યારે $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું મૂલ્ય વધારે હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
રેઝોનન્ટ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,જેનાથી ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ બને છે,જે તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી વધે છે,તેમ $X_L$ નું મૂલ્ય પ્રભાવી બને છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,રેઝોનન્સ પર ન્યૂનતમ બને છે અને પછી વધે છે.

(C) અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $C = \frac{1}{\omega^2 L}$.
શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ $V_R = IR$ છે,તેથી $I = \frac{V_R}{R}$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L = I \omega L$ છે.
$V_L$ ના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V_L = \left( \frac{V_R}{R} \right) \omega L$ મળે છે.
$L$ માટે ઉકેલતા,આપણને $L = \frac{V_L R}{V_R \omega}$ મળે છે.
હવે,$C$ ના સમીકરણમાં $L$ ની કિંમત મૂકતા:
$C = \frac{1}{\omega^2 \left( \frac{V_L R}{V_R \omega} \right)} = \frac{V_R \omega}{V_L R \omega^2} = \frac{V_R}{V_L R \omega}$.

(D) આપેલ છે:
ઇન્ડક્ટન્સ $L = 2 \text{ mH} = 2 \times 10^{-3} \text{ H}$
કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$
અવરોધ $R = 50 \Omega$
રેઝોનન્સ માટેની શરત: ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું છે.
$X_L = X_C = \omega L = \frac{1}{\omega C}$
આથી,$\omega^2 = \frac{1}{LC}$.
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{2 \times 10^{-3} \times 20 \times 10^{-6}}} = \frac{1}{\sqrt{40 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{4 \times 10^{-8}}} = \frac{1}{2 \times 10^{-4}} = 5000 \text{ rad/s}$.
હવે,રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ ની ગણતરી કરીએ:
$X_L = 5000 \times 2 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
તેથી,બંનેમાંથી કોઈપણનું રિએક્ટન્સ $10 \Omega$ થશે.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ એ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $X_L = 2\pi fL$ અને $X_C = \frac{1}{2\pi fC}$ છે.
જેમ આવૃત્તિ $f$ વધે છે,તેમ $X_L$ વધે છે અને $X_C$ ઘટે છે.
ઓછી આવૃત્તિઓ પર,$X_C$ નું મૂલ્ય પ્રભાવી હોય છે,તેથી જેમ $f$ વધે છે તેમ $Z$ ઘટે છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$ પર,$X_L = X_C$ થાય છે,જેનાથી ઈમ્પીડન્સ $Z$ ન્યૂનતમ બને છે અને તે $R$ જેટલો થાય છે.
જેમ આવૃત્તિ $f_0$ થી વધે છે,તેમ $X_L$ પ્રભાવી બને છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ફરીથી વધવા લાગે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે,અનુનાદ પર ન્યૂનતમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને પછી વધે છે.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે,જ્યાં $V_C = I X_C$.
અનુનાદ સમયે,બંને ઘટકોમાંથી સમાન પ્રવાહ $I$ વહે છે. $X_L = X_C$ હોવાથી,ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ $V_L = I X_L$ અને કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V_C = I X_C$ થાય છે.
$X_C = X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ મૂકતા,આપણને $U_C = \frac{1}{2} C (I X_C)^2 = \frac{1}{2} C I^2 (\frac{1}{\omega C})^2 = \frac{1}{2} \frac{I^2}{\omega^2 C}$ મળે છે.
અનુનાદ સમયે $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ હોવાથી,$U_C = \frac{1}{2} \frac{I^2}{(1/LC) C} = \frac{1}{2} L I^2$ થાય છે.
આમ,$U_L = U_C$,અને સંગ્રહિત ઉર્જાનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(B) ખ્યાલ: $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં, અનુનાદ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ના મૂલ્યો સમાન હોય, એટલે કે $X_L = X_C$.
આ સ્થિતિમાં, કુલ રિએક્ટન્સ $X = X_L - X_C = 0$ થાય છે.
ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ લઘુત્તમ બને છે, જે $R$ જેટલું હોય છે.
$Z$ લઘુત્તમ હોવાથી, પ્રવાહ $I = V/Z$ તેનું મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે.
કુલ રિએક્ટન્સ શૂન્ય હોવાથી, પરિપથ સંપૂર્ણપણે અવરોધક (purely resistive) તરીકે વર્તે છે, ઇન્ડક્ટિવ તરીકે નહીં.
તેથી, અનુનાદ સમયે પરિપથ સંપૂર્ણપણે ઇન્ડક્ટિવ હોય છે તે વિધાન ખોટું છે.

(D) $LC$ સમાંતર રેઝોનન્સ સર્કિટમાં,રેઝોનન્સ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ સમાન હોય.
આ સ્થિતિમાં,સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ મહત્તમ હોય છે,જેના પરિણામે સર્કિટમાંથી વહેતો પ્રવાહ લઘુત્તમ હોય છે.
રેઝોનન્સ માટેની શરત $X_L = X_C$ છે,જેનો અર્થ છે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
કોણીય આવૃત્તિ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ મળે છે.
તેથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ વિકલ્પમાં રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $= \sqrt{LC}$ આપેલ હોવાથી,આ વિધાન ખોટું છે.

(B) મહત્તમ પ્રવાહની સ્થિતિમાં,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $X_L = X_C$.
ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_L = \frac{1}{2} L I_{max}^2$ છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U_C = \frac{1}{2} C V_C^2$ છે.
અનુનાદ પર $V_C = I_{max} X_C$ અને $V_L = I_{max} X_L$ હોવાથી,$V_C = V_L$ થાય છે.
ગણતરી મુજબ,$U_L = U_C$ હોવું જોઈએ,પરંતુ આપેલ વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $5:1$ છે.

(C) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ સમાન હોય છે:
$X_L = X_C$
$\omega L = \frac{1}{\omega C}$
$\omega^2 = \frac{1}{LC}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2 \pi f$,તેથી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f$ માટેનું સૂત્ર:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આપેલ કિંમતો: $L = 0.16 H$ અને $C = 25 \times 10^{-6} F$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{0.16 \times 25 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4 \times 10^{-6}}}$
$f = \frac{1}{2 \pi \times 2 \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1}{4 \pi \times 10^{-3}}$
$f = \frac{1000}{4 \pi} Hz = \frac{250}{\pi} Hz$.

(B) અનુનાદ આવૃત્તિ $f_R$ પર, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ અને કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ સમાન હોય છે, તેથી $X_L = X_C = X_0$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરીને $f' = 2 f_R$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L_1} = 2 \pi (2 f_R) L = 2 X_L = 2 X_0$ થાય છે.
નવો કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C_1} = \frac{1}{2 \pi (2 f_R) C} = \frac{1}{2} X_C = \frac{1}{2} X_0$ થાય છે.
$X_{L_1} = 2 X_0$ પરથી, આપણને $X_0 = \frac{X_{L_1}}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત $X_{C_1}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા, $X_{C_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{X_{L_1}}{2} \right) = \frac{X_{L_1}}{4}$ મળે છે.

(A) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
તેથી,પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C}) = 0$ થાય છે.
આ કિંમત ઈમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0} = R$ મળે છે.
પ્રવાહ $i$ નું સૂત્ર $i = \frac{e_0}{Z}$ છે.
આમ,અનુનાદ સમયે,$i = \frac{e_0}{R}$ થાય છે.

(C) શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી બદલાતી ન હોવાથી,$f = f'$ થાય.
તેથી,$\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C'}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$LC = L'C'$ મળે.
અહીં કેપેસીટન્સ $C$ થી બદલીને $C' = 2C$ કરવામાં આવે છે,તેથી:
$LC = L'(2C)$.
બંને બાજુ $2C$ વડે ભાગતા,$L' = \frac{L}{2}$ મળે.
આમ,ઇન્ડક્ટન્સને બદલીને $\frac{L}{2}$ કરવું જોઈએ.

(B) અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે,અને પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે: $R = 2 \ \Omega$,$L = 100 \ \mu H = 100 \times 10^{-6} \ H$,$C = 400 \ pF = 400 \times 10^{-12} \ F$,અને $V_{rms} = 0.1 \ V$.
અનુનાદ સમયે પરિપથમાં પ્રવાહ $i = \frac{V_{rms}}{Z} = \frac{V_{rms}}{R} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \ A$ છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_L = i X_L = i \omega L = i \left(\frac{1}{\sqrt{LC}}\right) L = i \sqrt{\frac{L}{C}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_L = 0.05 \times \sqrt{\frac{100 \times 10^{-6}}{400 \times 10^{-12}}} = 0.05 \times \sqrt{\frac{100}{400} \times 10^6} = 0.05 \times \sqrt{0.25 \times 10^6} = 0.05 \times 0.5 \times 10^3 = 0.05 \times 500 = 25 \ V$.

(C) આ પરિપથ એક $LCR$ શ્રેણી પરિપથ છે જેમાં અવરોધ $R = 6 \Omega + 4 \Omega = 10 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 50 \text{ } \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
આપેલ છે કે $\omega = 2000 \text{ rad/s}$,તેથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$ થાય.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$ થાય.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = R = 10 \Omega$ મળે.
આમ,પ્રવાહનું કંપનવિસ્તાર $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{10} = 2 \text{ A}$ થાય.

(D) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટમાં અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ જેટલો હોય છે.
$X_L = X_C$
$2 \pi f L = \frac{1}{2 \pi f C}$
અનુનાદિત આવૃત્તિ $(f)$ માટે સૂત્ર મેળવતા:
$f^2 = \frac{1}{4 \pi^2 LC}$
$f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અનુનાદિત આવૃત્તિ $(f)$ માત્ર ઇન્ડક્ટન્સ $(L)$ અને કેપેસિટન્સ $(C)$ પર આધાર રાખે છે.
તે અવરોધ $(R)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જો અવરોધ અડધો કરવામાં આવે,તો અનુનાદિત આવૃત્તિ અપરિવર્તિત રહેશે.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જ્યારે પરિપથ ઇન્ડક્ટિવ સ્વભાવનો હોય ત્યારે પ્રવાહ વોલ્ટેજ કરતા પાછળ રહે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ કરતા વધારે હોય.
$X_L > X_C$
$\Rightarrow \omega L > \frac{1}{\omega C}$
$\Rightarrow \omega^2 > \frac{1}{LC}$
$\Rightarrow \omega > \frac{1}{\sqrt{LC}}$
કારણ કે $\omega = 2\pi N$ અને $N_R = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$,તેથી શરત નીચે મુજબ બને છે:
$N > N_R$

(D) જ્યારે કેપેસીટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે. ફેઝ તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_L}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_L = R\sqrt{3}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $RC$ પરિપથ બને છે. ફેઝ તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\phi = 60^{\circ}$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{X_C}{R} = \sqrt{3}$,એટલે કે $X_C = R\sqrt{3}$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઇમ્પિડન્સ $Z = R$ થાય છે.
$R = 500 \ \Omega$ આપેલ હોવાથી,ઇમ્પિડન્સ $Z = 500 \ \Omega$ થશે.

(D) $LCR$ શ્રેણી અનુનાદિત પરિપથમાં,ઇન્ડક્ટર $(V_L)$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ આગળ હોય છે,જ્યારે કેપેસિટર $(V_C)$ પરનો વોલ્ટેજ પ્રવાહ કરતા $90^{\circ}$ પાછળ હોય છે.
તેથી,$V_L$ અને $V_C$ વચ્ચેનો કળા તફાવત $90^{\circ} - (-90^{\circ}) = 180^{\circ}$ છે.
તેઓ $180^{\circ}$ કળા તફાવતે હોવાથી,તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે $(X_L = X_C)$,જેનો અર્થ છે કે $V_L = V_C$.
તેઓ મૂલ્યમાં સમાન અને $180^{\circ}$ કળા તફાવતે હોવાથી,તેઓ એકબીજાને નાબૂદ કરે છે.

(D) શ્રેણી $LCR$ પરિપથમાં,ઈમ્પિડન્સ $Z$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}$.
$r.m.s.$ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{V}{\sqrt{R^2 + (2\pi fL - \frac{1}{2\pi fC})^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું થાય છે,જે ઈમ્પિડન્સ $Z$ ને ન્યૂનતમ $(Z = R)$ બનાવે છે.
પરિણામે,અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ પર પ્રવાહ $I$ મહત્તમ બને છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $f$ શૂન્યથી વધે છે,તેમ પ્રવાહ પહેલા વધે છે,અનુનાદ પર મહત્તમ મૂલ્ય પ્રાપ્ત કરે છે અને ત્યારબાદ ઘટે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $S$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(C) આપેલ વોલ્ટેજ $V = 20 \cos (2000 t)$,ને $V = V_0 \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને મહત્તમ વોલ્ટેજ $V_0 = 20 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2000 \text{ rad/s}$ મળે છે.
સર્કિટ પરથી,કુલ અવરોધ $R = 10 \Omega + 5 \Omega = 15 \Omega$,ઇન્ડક્ટન્સ $L = 5 \text{ mH} = 5 \times 10^{-3} \text{ H}$,અને કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L = 2000 \times 5 \times 10^{-3} = 10 \Omega$.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{0.1} = 10 \Omega$.
અહીં $X_L = X_C$ હોવાથી,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે,અને ઈમ્પીડન્સ $Z = R = 15 \Omega$ થાય.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0 = \frac{V_0}{Z} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \text{ A}$.
r.m.s. પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{4/3}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \text{ A}$.

(D) શ્રેણી $RLC$ સર્કિટ માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંને સર્કિટ સમાન અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ ધરાવે છે,તેથી:
$\omega_r = \frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} \implies L_1 C_1 = L_2 C_2$.
જ્યારે બંને સર્કિટને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય ઇન્ડક્ટન્સ $L_{eq} = L_1 + L_2$ અને સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}$ થાય છે.
નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{L_{eq} C_{eq}}} = \frac{1}{\sqrt{(L_1 + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}}$
$L_1 = \frac{L_2 C_2}{C_1}$ મૂકતા:
$\omega' = \frac{1}{\sqrt{(\frac{L_2 C_2}{C_1} + L_2) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2 (\frac{C_2 + C_1}{C_1}) \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} = \omega_r$.
આમ,નવી અનુનાદિત આવૃત્તિ $f_r$ જ રહેશે.

(A) અનુનાદ સમયે,પરિપથનો ઇમ્પિડન્સ અવરોધ જેટલો હોય છે,$Z = R$.
શ્રેણી પરિપથ હોવાથી,પ્રવાહ $I$ બધા ઘટકોમાંથી સમાન વહે છે.
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{60 \ V}{120 \ \Omega} = 0.5 \ A$.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \frac{V_L}{I}$ દ્વારા મળે છે.
$X_L = \frac{40 \ V}{0.5 \ A} = 80 \ \Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $X_L = \omega L$,જ્યાં $\omega = 4 \times 10^5 \ rad \ s^{-1}$.
$L = \frac{X_L}{\omega} = \frac{80}{4 \times 10^5} = 20 \times 10^{-5} \ H$.
$L = 2 \times 10^{-4} \ H = 0.2 \times 10^{-3} \ H = 0.2 \ mH$.

(A) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,ઇમ્પિડન્સ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \sqrt{R^2 + (\omega L - 1/\omega C)^2}$ છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે,એટલે કે $\omega L = 1/\omega C$.
તેથી,ચોખ્ખો રિએક્ટન્સ $(\omega L - 1/\omega C)$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આ કિંમત ઇમ્પિડન્સના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $Z = \sqrt{R^2 + 0^2} = R$ મળે છે.
મહત્તમ પ્રવાહ $I_0$ નું સૂત્ર $I_0 = E_0 / Z$ છે.
$Z = R$ મૂકતા,આપણને $I_0 = E_0 / R$ મળે છે.

(A) અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ પર,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ અને કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ સમાન હોય છે: $X_L = X_C \implies 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરીને $f' = 2f$ કરવામાં આવે,ત્યારે નવો ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L' = 2\pi(2f)L = 2(2\pi f L) = 2X_L$ થાય.
નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C' = \frac{1}{2\pi(2f)C} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2\pi f C} \right) = \frac{1}{2} X_C$ થાય.
$X_L = X_C$ હોવાથી,આપણે $X_C = X_L$ લખી શકીએ.
આ કિંમત $X_C'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,$X_C' = \frac{1}{2} X_L$ મળે.
$X_L = \frac{1}{2} X_L'$ હોવાથી,$X_C' = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} X_L') = \frac{1}{4} X_L'$ થાય.

(C) $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર: $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ છે.
રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી સમાન રહેતી હોવાથી: $\omega_1 = \omega_2$.
તેથી,$\frac{1}{\sqrt{L_1 C_1}} = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}$,જેનો અર્થ છે કે $L_1 C_1 = L_2 C_2$.
અહીં $L_1 = L$,$C_1 = C$,અને $L_2 = 9 L$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$L \times C = 9 L \times C_2$.
$C_2$ માટે ઉકેલતા: $C_2 = \frac{L \times C}{9 L} = \frac{C}{9}$.

(B) અનુનાદ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે, એટલે કે $X_{L} = X_{C}$.
$LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં અનુનાદ સમયે, ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે.
તેથી, પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{V}{R} = \frac{0.2 \, V}{4 \, \Omega} = 0.05 \, A$ મળે છે.
ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L} = \omega L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $X_{L} = \sqrt{\frac{200 \times 10^{-3} \, H}{80 \times 10^{-6} \, F}} = \sqrt{\frac{200000}{80}} = \sqrt{2500} = 50 \, \Omega$.
ઇન્ડક્ટર પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V_{L} = I \times X_{L}$ થાય.
$V_{L} = 0.05 \, A \times 50 \, \Omega = 2.5 \, V$.

(B) રેઝોનન્સ સમયે, ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $(X_L)$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $(X_C)$ ની બરાબર હોય છે, એટલે કે $X_L = X_C$.
તેથી, $L-C-R$ સર્કિટનો કુલ ઇમ્પિડન્સ $(Z)$ એ અવરોધ $(R)$ ની બરાબર થાય છે, એટલે કે $Z = R$.
પાવર ફેક્ટર $(\cos \phi)$ એ અવરોધ અને ઇમ્પિડન્સનો ગુણોત્તર છે: $\cos \phi = \frac{R}{Z}$.
$Z = R$ મૂકતા, આપણને $\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ મળે છે.
આમ, રેઝોનન્સ સમયે, $L-C-R$ સર્કિટ શુદ્ધ અવરોધક સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને પાવર ફેક્ટર $1$ હોય છે.

(A) $L-C-R$ સર્કિટની રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સીનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$v_{0} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}$
આ સૂત્ર પરથી કહી શકાય કે $v_{0} \propto \frac{1}{\sqrt{L C}}$.
જો ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને બમણું $(L' = 2L)$ અને કેપેસિટન્સ $C$ ને બમણું $(C' = 2C)$ કરવામાં આવે,તો નવી રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી $v_{0}'$ નીચે મુજબ થશે:
$v_{0}' = \frac{1}{2 \pi \sqrt{(2L)(2C)}} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{4LC}} = \frac{1}{2 \pi \cdot 2 \sqrt{LC}}$
$v_{0}' = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \right) = \frac{1}{2} v_{0}$
તેથી,રેઝોનન્ટ ફ્રીક્વન્સી મૂળ મૂલ્યના અડધા જેટલી ઘટશે.