Half Power Frequency , Quality Factor ,Resonance in AC Circuit Questions in Gujarati

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f$ નું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$f_1 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
અંતે,કેપેસીટન્સ $C$ ને $C^{\prime}$ માં બદલવાથી રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સી $f_2 = 2f_1$ થાય છે.
તેથી,$f_2 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}}$.
સમીકરણમાં $f_2 = 2f_1$ મૂકતા:
$\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC^{\prime}}} = 2 \times \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $2 \pi$ અને $\sqrt{L}$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{\sqrt{C^{\prime}}} = \frac{2}{\sqrt{C}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{C^{\prime}} = \frac{4}{C}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{C}{C^{\prime}} = 4$ મળે છે.
નોંધ: અવરોધ $R$ માં થતો ફેરફાર $LCR$ સર્કિટની રેઝોનન્સ ફ્રીક્વન્સીને અસર કરતું નથી.

(D) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જો કેપેસીટન્સ $C$ અચળ રહે,તો અનુનાદ આવૃત્તિ $f$ એ ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $f \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ છે અને ઇન્ડક્ટન્સ $L$ છે. તેથી,$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$.
જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સને $\sqrt{3}$ ગણું વધારવામાં આવે,ત્યારે નવું ઇન્ડક્ટન્સ $L' = \sqrt{3}L$ થાય છે. અવરોધ $R$ માં થતો ફેરફાર અનુનાદ આવૃત્તિને અસર કરતું નથી.
નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f'$ આ મુજબ મળે: $f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L'C}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{(\sqrt{3}L)C}}$.
$f'$ ને $f_0$ વડે ભાગતા: $\frac{f'}{f_0} = \frac{\frac{1}{2\pi\sqrt{\sqrt{3}LC}}}{\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}} = \frac{1}{\sqrt{\sqrt{3}}} = \left(\frac{1}{3^{1/2}}\right)^{1/2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4}$.
તેથી,નવી અનુનાદ આવૃત્તિ $f' = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/4} f_0$ થશે.

(D) $R-L-C$ શ્રેણી સર્કિટનો ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ એ અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટર (અથવા કેપેસિટર) પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપ અને રઝિસ્ટર પરના વોલ્ટેજ ડ્રોપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$Q = \frac{V_L}{V_R} = \frac{I X_L}{I R} = \frac{\omega_0 L}{R}$.
અનુનાદ સમયે,અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\sqrt{LC} = \frac{1}{\omega_0}$ મૂકતા,આપણે $Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}$ પણ લખી શકીએ છીએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,ક્વોલિટી ફેક્ટર માટેનું સૂત્ર $\frac{\omega_0 L}{R}$ છે.

(C) શ્રેણી $R-L-C$ સર્કિટમાં,અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 100 \Omega$,$L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$,$f_0 = \frac{1250}{\pi} \text{ Hz}$.
અનુનાદ સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1250}{\pi} = \frac{1}{2\pi\sqrt{20 \times 10^{-3} \times C}}$
$1250 = \frac{1}{2\sqrt{0.02 \times C}}$
$2500 = \frac{1}{\sqrt{0.02 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$6.25 \times 10^6 = \frac{1}{0.02 \times C}$
$C = \frac{1}{0.02 \times 6.25 \times 10^6} = \frac{1}{0.125 \times 10^6} = 8 \times 10^{-6} \text{ F} = 8 \mu\text{F}$.
જ્યારે $V = 25 \text{ V}$ ના $DC$ સ્ત્રોત દ્વારા ચાર્જ કરવામાં આવે,ત્યારે સંગ્રહિત વિદ્યુતભાર $Q$:
$Q = C \times V = 8 \times 10^{-6} \text{ F} \times 25 \text{ V} = 200 \times 10^{-6} \text{ C} = 0.2 \times 10^{-3} \text{ C} = 0.2 \text{ mC}$.

(D) શ્રેણી $L-C-R$ પરિપથમાં,જો બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ $f_1$ અને $f_2$ પર પ્રવાહ સમાન હોય,તો આ આવૃત્તિઓ અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ થી ભૌમિતિક રીતે સમાન અંતરે હોય છે.
અનુનાદ આવૃત્તિ $f_0$ એ બે આવૃત્તિઓના ભૌમિતિક મધ્યક દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં પ્રવાહ સમાન હોય છે:
$f_0 = \sqrt{f_1 \times f_2}$
આપેલ છે:
$f_1 = 200 \ Hz$
$f_2 = 800 \ Hz$
કિંમતો મૂકતા:
$f_0 = \sqrt{200 \times 800}$
$f_0 = \sqrt{160000}$
$f_0 = 400 \ Hz$
આમ,પરિપથની અનુનાદ આવૃત્તિ $400 \ Hz$ છે.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$.
ખૂબ જ ઓછી આવૃત્તિઓ $(\omega \to 0)$ પર,કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C = \frac{1}{\omega C}$ ખૂબ મોટું હોય છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ ખૂબ વધારે હોય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $\omega$ વધે છે,તેમ પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે રેઝોનન્સ આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ પર શૂન્ય ન થાય. આ બિંદુએ,$Z = R$ થાય છે,જે લઘુત્તમ મૂલ્ય છે.
જેમ જેમ આવૃત્તિ $\omega_0$ થી આગળ વધે છે,તેમ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega L$ પ્રભાવી બને છે,અને પદ $(\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ ફરીથી વધે છે,જેના કારણે ઈમ્પીડન્સ $Z$ વધે છે.
તેથી,ઈમ્પીડન્સ પહેલા ઘટે છે અને પછી વધે છે.

(B) $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વોલ્ટેજ સમીકરણ $V = 5 \sin(100t)$ પરથી,આપણને $\omega = 100 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આપેલ $L = 2 \text{ H}$ છે,આપણે આ મૂલ્યોને અનુનાદના સૂત્રમાં મૂકી શકીએ છીએ:
$100 = \frac{1}{\sqrt{2 \times C}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$10000 = \frac{1}{2C}$
$C = \frac{1}{2 \times 10000} = \frac{1}{20000} \text{ F}$
$C = 0.5 \times 10^{-4} \text{ F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F} = 50 \mu\text{F}$.

(A) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં,જ્યારે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ $(X_L = X_C)$ જેટલું થાય ત્યારે અનુનાદ થાય છે.
આ સ્થિતિમાં,કુલ ઇમ્પિડન્સ $Z$ એ અવરોધ $R$ જેટલો હોય છે,જેનો અર્થ છે કે પરિપથ શુદ્ધ અવરોધક તરીકે વર્તે છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે,$Z = R$ હોવાથી,$\cos \phi = \frac{R}{R} = 1$ થાય છે.

(D) અનુનાદની સ્થિતિમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલો હોય છે.
અનુનાદ કોણીય આવૃત્તિ $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અનુનાદ સમયે ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = \omega_0 L = \frac{1}{\sqrt{LC}} \times L = \sqrt{\frac{L}{C}}$ થાય.
આપેલ છે: $L = 1.6 \ \text{H}$ અને $C = 40 \ \mu\text{F} = 40 \times 10^{-6} \ \text{F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$X_L = \sqrt{\frac{1.6}{40 \times 10^{-6}}} = \sqrt{\frac{1.6 \times 10^6}{40}} = \sqrt{0.04 \times 10^6} = \sqrt{40000} = 200 \ \Omega$.
તેથી,અનુનાદ આવૃત્તિએ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $200 \ \Omega$ છે.

(A) $LCR$ શ્રેણી સર્કિટની અનુનાદ આવૃત્તિ $f_r$ માટેનું સૂત્ર: $f_r = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}$ છે.
આપેલ કિંમતો: $L = 1 \text{ mH} = 10^{-3} \text{ H}$ અને $C = 0.1 \mu\text{F} = 0.1 \times 10^{-6} \text{ F} = 10^{-7} \text{ F}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sqrt{LC} = \sqrt{10^{-3} \times 10^{-7}} = \sqrt{10^{-10}} = 10^{-5}$.
હવે,$f_r = \frac{1}{2 \pi \times 10^{-5}} = \frac{10^5}{2 \times 3.14159} \approx \frac{100000}{6.283} \approx 15915.5 \text{ Hz}$.
kHz માં ફેરવતા,$f_r \approx 15.9 \text{ kHz}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.