Alternating Current, Voltage (rms and Average) Questions in Hindi

(D) दी गई धारा $i = i_1 + i_2$ है,जहाँ $i_1 = 2\sin(100\pi t)$ और $i_2 = 2\sin(100\pi t + 30^\circ)$ है।
फेजर योग विधि का उपयोग करते हुए,परिणामी धारा $i = I_0 \sin(100\pi t + \phi)$ है।
आयाम $I_0$ का मान $I_0 = \sqrt{I_{01}^2 + I_{02}^2 + 2I_{01}I_{02}\cos(\theta)}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $I_{01} = 2$,$I_{02} = 2$,और $\theta = 30^\circ$ है।
$I_0 = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2(2)(2)\cos(30^\circ)} = \sqrt{4 + 4 + 8(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \sqrt{8 + 4\sqrt{3}}$.
$I_0 = \sqrt{4(2 + \sqrt{3})} = 2\sqrt{2 + \sqrt{3}}$.
$RMS$ मान (प्रभावी मान) $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3} + 1 \, A$ है।
चूंकि यह मान विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) धारा का $r.m.s.$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ के रूप में परिभाषित होता है।
स्थिति $I$ और $II$ के लिए,धारा एक रेक्टिफाइड साइन वेव है: $i = |I_0 \sin(\omega t)|$। इसका $r.m.s.$ मान $I_1 = I_2 = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0$ है।
स्थिति $III$ के लिए,धारा एक स्क्वायर वेव है: आधे चक्र के लिए $i = I_0$ और बाकी आधे के लिए $-I_0$। इसका $r.m.s.$ मान $I_3 = \sqrt{\frac{1}{T} (I_0^2 \cdot \frac{T}{2} + (-I_0)^2 \cdot \frac{T}{2})} = I_0$ है।
स्थिति $IV$ के लिए,धारा एक त्रिकोणीय वेव है: $0 < t < T/2$ के लिए $i = \frac{2I_0}{T} t$। इसका $r.m.s.$ मान $I_4 = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt} = \frac{I_0}{\sqrt{3}} \approx 0.577 I_0$ है।
मानों की तुलना करने पर: $I_3 = I_0$,$I_1 = I_2 = 0.707 I_0$,और $I_4 = 0.577 I_0$।
अतः,सही संबंध $I_3 > I_1 = I_2 > I_4$ है।

(D) दिया गया वोल्टेज $e(t) = 5[\cos \omega t + \sqrt{3} \sin \omega t]$ है।
$2$ से गुणा और भाग करने पर,$e(t) = 10[\frac{1}{2} \cos \omega t + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \omega t]$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर,$e(t) = 10 \sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$ प्राप्त होता है।
धारा $i(t) = 5 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ दी गई है।
वोल्टेज की कला $\phi_v = \frac{\pi}{3}$ है और धारा की कला $\phi_i = \frac{\pi}{4}$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \phi_v - \phi_i = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$ है।
अतः,वोल्टेज धारा से $\frac{\pi}{12}$ आगे है।

(A) दिए गए स्क्वायर वेव के लिए,वोल्टेज $V(t)$,$0 < t < T/2$ के लिए $V_0$ है और $T/2 < t < T$ के लिए $-V_0$ है।
$1$. आधे चक्र ($0$ से $T/2$) के लिए माध्य मान:
$V_{mean} = \frac{1}{T/2} \int_0^{T/2} V_0 dt = \frac{2}{T} [V_0 t]_0^{T/2} = \frac{2}{T} \cdot V_0 \cdot \frac{T}{2} = V_0$.
$2$. पूर्ण चक्र (या आधे चक्र) के लिए $rms$ मान:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt} = \sqrt{\frac{1}{T} [\int_0^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^T (-V_0)^2 dt]} = \sqrt{\frac{1}{T} [V_0^2 \cdot \frac{T}{2} + V_0^2 \cdot \frac{T}{2}]} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot V_0^2 \cdot T} = V_0$.
अतः,माध्य और $rms$ मान क्रमशः $V_0$ और $V_0$ हैं।

(B) $ac$ परिपथ में तात्कालिक वोल्टेज $V = V_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\omega = 2\pi n$ और $n$ स्रोत की आवृत्ति है।
परिपथ में तात्कालिक शक्ति $P$ का मान $P = V \cdot I = V_0 \sin(\omega t) \cdot I_0 \sin(\omega t + \phi) = V_0 I_0 \sin(\omega t) \sin(\omega t + \phi)$ होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{V_0 I_0}{2} [\cos(\phi) - \cos(2\omega t + \phi)]$
चूंकि शक्ति के व्यंजक में $2\omega$ वाला पद है,इसलिए शक्ति के परिवर्तन की आवृत्ति $2n$ है।

(D) वोल्टेज तरंग $T$ आवर्तकाल के साथ आवर्ती है। आइए $t = 0$ से $t = T$ तक एक चक्र पर विचार करें।
$t = 0$ से $t = T$ के अंतराल में,वोल्टेज $V(t)$,$-V_0$ से $+V_0$ तक रैखिक रूप से बदलता है।
$(0, -V_0)$ और $(T, V_0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$V(t) = \frac{V_0 - (-V_0)}{T - 0} t - V_0 = \frac{2V_0}{T} t - V_0$
$RMS$ मान $V_{rms}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$
$V(t)$ का मान रखने पर:
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \frac{2V_0}{T} t - V_0 \right)^2 dt$
मान लीजिए $u = \frac{2V_0}{T} t - V_0$,तो $du = \frac{2V_0}{T} dt$,इसलिए $dt = \frac{T}{2V_0} du$.
जब $t=0, u=-V_0$; जब $t=T, u=V_0$.
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{-V_0}^{V_0} u^2 \left( \frac{T}{2V_0} \right) du = \frac{1}{2V_0} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-V_0}^{V_0} = \frac{1}{2V_0} \left( \frac{V_0^3}{3} - \frac{(-V_0)^3}{3} \right) = \frac{1}{2V_0} \left( \frac{2V_0^3}{3} \right) = \frac{V_0^2}{3}$
अतः,$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{3}}$.

(B) एक आवर्ती फलन का $r.m.s.$ मान $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$ द्वारा दिया जाता है।
चित्र से,वोल्टेज $V$,$0 \le t < \frac{T}{4}$ के लिए $V_0$ है और $\frac{T}{4} \le t < T$ के लिए $0$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_0^{T/4} V_0^2 dt + \int_{T/4}^T 0^2 dt \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( V_0^2 [t]_0^{T/4} + 0 \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot V_0^2 \cdot \frac{T}{4}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{4}}$
$V_{rms} = \frac{V_0}{2}$

(A) दिया गया तरंग रूप एक वर्गाकार तरंग (square wave) है जिसका आयाम $V_0 = 10 \ V$ और $-V_0 = -10 \ V$ है।
एक वर्गाकार तरंग के लिए,तात्कालिक वोल्टेज $V(t)$ आधे समय के लिए $10 \ V$ और शेष आधे समय के लिए $-10 \ V$ होता है।
$r.m.s.$ वोल्टेज को $V_{r.m.s.} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V^2(t) \ dt}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि पूरे समय अंतराल $T$ के दौरान $V^2(t) = (10)^2 = 100$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$V_{r.m.s.} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 100 \ dt} = \sqrt{\frac{1}{T} \cdot 100 \cdot T} = \sqrt{100} = 10 \ V$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) धारा का $r.m.s.$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$ द्वारा परिभाषित होता है।
दिया गया है $I = I_0 + I_1 \sin \omega t$,इसलिए $I^2 = I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t$ है।
एक पूर्ण समयावधि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ पर समाकलन करने पर:
$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt$ प्राप्त होता है।
पूर्ण चक्र पर $\sin \omega t$ का औसत मान $0$ होता है,इसलिए पद $\int_{0}^{T} 2 I_0 I_1 \sin \omega t dt = 0$ होगा।
पूर्ण चक्र पर $\sin^2 \omega t$ का औसत मान $\frac{1}{2}$ होता है।
अतः,$I_{rms}^2 = I_0^2 + I_1^2 \left( \frac{1}{2} \right) + 0 = I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}$ है।
इसलिए,$I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}}$।

(C) दिया गया समीकरण: $V = 100 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$V = 50 \times (2 \sin(100 \pi t) \cos(100 \pi t))$
$V = 50 \sin(200 \pi t)$.
इसे मानक रूप $V = V_0 \sin(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $V_0$ शिखर वोल्टेज है और $\omega = 2 \pi f$ है:
शिखर वोल्टेज $V_0 = 50 \text{ V}$.
कोणीय आवृत्ति $\omega = 200 \pi \text{ rad/s}$.
चूँकि $\omega = 2 \pi f$,इसलिए $200 \pi = 2 \pi f$,जिससे $f = 100 \text{ Hz}$ प्राप्त होता है।
अतः,शिखर वोल्टेज $50 \text{ V}$ है और आवृत्ति $100 \text{ Hz}$ है। इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(D) दिया गया वोल्टेज $e = e_1 \sin \omega t + e_2 \cos \omega t$ है।
हम इसे $e = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $E_0 = \sqrt{e_1^2 + e_2^2}$ शिखर (पीक) वोल्टेज है।
प्रत्यावर्ती वोल्टेज $e = E_0 \sin(\omega t + \phi)$ का वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ मान $V_{rms} = \frac{E_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$E_0$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_{rms} = \frac{\sqrt{e_1^2 + e_2^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{e_1^2 + e_2^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा (Alternating Current) का रूट मीन स्क्वायर $(I_{\text{rms}})$ मान एक पूर्ण चक्र के दौरान तात्कालिक धारा के वर्गों के औसत का वर्गमूल होता है।
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ द्वारा दी गई ज्यावक्रीय (sinusoidal) प्रत्यावर्ती धारा के लिए,$I_{\text{rms}}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^{2} dt}$
$I = I_{0} \sin(\omega t)$ रखने पर:
$I_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos(2\omega t)}{2} dt}$
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{1}{2T} [t - \frac{\sin(2\omega t)}{2\omega}]_{0}^{T}}$
चूंकि $\sin(2\omega T) = \sin(4\pi) = 0$ है,इसलिए:
$I_{\text{rms}} = I_{0} \sqrt{\frac{T}{2T}} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$
अतः,सही संबंध $I_{\text{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2}} I_{0}$ है।

(B) वर्ग माध्य मूल $(RMS)$ धारा का सूत्र $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T_2 - T_1} \int_{T_1}^{T_2} i^2 dt}$ है।
यहाँ $i = 2\sqrt{t}$ दिया गया है,इसलिए $i^2 = 4t$ होगा।
समय अंतराल $T_1 = 2\,s$ से $T_2 = 4\,s$ है,इसलिए $T_2 - T_1 = 4 - 2 = 2\,s$ है।
अब,समाकलन (integral) की गणना करते हैं: $\int_{2}^{4} 4t \,dt = [2t^2]_{2}^{4} = 2(4^2 - 2^2) = 2(16 - 4) = 2(12) = 24$।
इन मानों को $RMS$ सूत्र में रखने पर:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{24}{2}} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\,A$।

(C) दिया गया समीकरण $i = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$ है।
हम इसे $i = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \sin(\omega t) + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos(\omega t) \right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
मान लीजिए $\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \cos \phi$ और $\frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sin \phi$ है।
तब $i = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\omega t + \phi)$ होगा।
धारा का अधिकतम मान (आयाम) $i_0 = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
प्रत्यावर्ती धारा का $rms$ मान $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$i_0$ का मान रखने पर,हमें $i_{rms} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(D) धारा के लिए दिया गया समीकरण $I = I_0 \sin(\omega t)$ है,जहाँ $I_0 = 100 \, A$ और $\omega = 200 \pi \, rad/s$ है।
धारा को अपने चरम मान $(I = I_0)$ तक पहुँचने के लिए,ज्या (sine) फलन का कोण $\frac{\pi}{2}$ होना चाहिए।
अतः,$\omega t = \frac{\pi}{2}$।
$\omega$ का मान रखने पर: $200 \pi t = \frac{\pi}{2}$।
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{\pi}{2 \times 200 \pi} = \frac{1}{400} \, s$।

(C) दी गई धारा का समीकरण: $i = 2\sin(100\pi t) + 2\cos(100\pi t + 30^{\circ})$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करके,दूसरे पद का विस्तार करने पर:
$i = 2\sin(100\pi t) + 2[\cos(100\pi t)\cos(30^{\circ}) - \sin(100\pi t)\sin(30^{\circ})]$.
$\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ मान रखने पर:
$i = 2\sin(100\pi t) + 2[\cos(100\pi t) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin(100\pi t) \cdot \frac{1}{2}]$.
$i = 2\sin(100\pi t) + \sqrt{3}\cos(100\pi t) - \sin(100\pi t)$.
$i = \sin(100\pi t) + \sqrt{3}\cos(100\pi t)$.
यह समीकरण $i = I_m \sin(100\pi t + \phi)$ के रूप में है,जहाँ आयाम $I_m = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\,A$ है।
प्रभावी मान ($RMS$ मान) $I_{\text{rms}} = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$I_{\text{rms}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\,A$.

(B) प्रत्यावर्ती धारा के लिए दिया गया समीकरण $I = I_0 \cos(\omega t)$ है।
इसे मानक समीकरण $I = I_{peak} \cos(\omega t)$ के साथ तुलना करने पर,धारा का शिखर (peak) मान $I_{peak} = I_0$ प्राप्त होता है।
प्रत्यावर्ती धारा का रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ मान $I_{rms} = \frac{I_{peak}}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$I_{peak}$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$rms$ मान $\frac{I_0}{\sqrt{2}}$ है और शिखर मान $I_0$ है।

(B) धारा का $rms$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T_2 - T_1} \int_{T_1}^{T_2} I^2 dt}$ के रूप में परिभाषित होता है।
दिया गया है $I = 2\sqrt{t}$,इसलिए $I^2 = 4t$ है।
अंतराल $T_1 = 2 \, s$ से $T_2 = 4 \, s$ तक है,इसलिए समय का अंतर $T_2 - T_1 = 4 - 2 = 2 \, s$ है।
समाकलन की गणना करने पर: $\int_{2}^{4} 4t \, dt = [2t^2]_{2}^{4} = 2(4^2 - 2^2) = 2(16 - 4) = 2(12) = 24$ प्राप्त होता है।
अब,माध्य वर्ग मान $\langle I^2 \rangle = \frac{1}{2} \times 24 = 12 \, A^2$ है।
अतः,$I_{rms} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, A$ होगा।

(B) एक मानक $DC$ वोल्टमीटर $AC$ वोल्टेज को नहीं माप सकता है क्योंकि एक पूर्ण चक्र पर प्रत्यावर्ती वोल्टेज का औसत मान शून्य होता है, जिससे उपकरण शून्य रीडिंग दिखाता है।
$AC$ वोल्टेज को मापने के लिए, हम ऐसे उपकरण का उपयोग करते हैं जो धारा के ऊष्मीय प्रभाव पर काम करता है, जो धारा की दिशा से स्वतंत्र होता है।
हॉट वायर वोल्टमीटर धारा के ऊष्मीय प्रभाव $(H = I^2Rt)$ के सिद्धांत पर काम करता है, जहाँ विक्षेप धारा (या वोल्टेज) के वर्ग के समानुपाती होता है। इसलिए, यह $AC$ वोल्टेज के $RMS$ मान को माप सकता है।

(C) दी गई धारा $i = I_0 + I_1 \sin \omega t$ है,जहाँ $I_0 = 3$ और $I_1 = 4$ है।
धारा का प्रभावी $(RMS)$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ द्वारा परिभाषित होता है।
$i = I_0 + I_1 \sin \omega t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T (I_0^2 + I_1^2 \sin^2 \omega t + 2 I_0 I_1 \sin \omega t) dt}$.
पूर्ण चक्र पर समाकलन के गुणों का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{T} \int_0^T dt = 1$,$\frac{1}{T} \int_0^T \sin^2 \omega t dt = \frac{1}{2}$,और $\frac{1}{T} \int_0^T \sin \omega t dt = 0$.
अतः,$I_{rms} = \sqrt{I_0^2 + \frac{I_1^2}{2}}$.
$I_0 = 3$ और $I_1 = 4$ मान रखने पर:
$I_{rms} = \sqrt{3^2 + \frac{4^2}{2}} = \sqrt{9 + \frac{16}{2}} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17}$.

(B) ग्राफ से,तरंग $M$ के लिए आवर्तकाल $T$ (एक पूर्ण चक्र पूरा करने में लगा समय) $0.4 \, s$ है।
अतः,आवृत्ति $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0.4} = 2.5 \, Hz$ है।
तरंग $M$,$t=0$ पर $0$ मान से शुरू होती है,जबकि तरंग $N$ उसी बिंदु पर $t=0.1 \, s$ पर पहुँचती है।
दोनों तरंगों के बीच समय का अंतर $\Delta t = 0.1 \, s$ है।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{T} \times \Delta t = \frac{2\pi}{0.4} \times 0.1 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि तरंग $N$,तरंग $M$ से पीछे है,इसलिए $M$ के सापेक्ष $N$ का कलांतर $-\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(B) परिणामी धारा $I = a + b \sin \omega t$ है।
धारा का प्रभावी $(RMS)$ मान $I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2 dt}$ द्वारा परिभाषित होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (a + b \sin \omega t)^2 dt$ प्राप्त होता है।
पद का विस्तार करने पर: $I_{rms}^2 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (a^2 + b^2 \sin^2 \omega t + 2ab \sin \omega t) dt$।
एक पूर्ण समयावधि $T$ पर समाकलन करने पर:
$\int_{0}^{T} a^2 dt = a^2 T$
$\int_{0}^{T} b^2 \sin^2 \omega t dt = b^2 \int_{0}^{T} \frac{1 - \cos 2\omega t}{2} dt = \frac{b^2 T}{2}$
$\int_{0}^{T} 2ab \sin \omega t dt = 0$ (क्योंकि एक पूर्ण चक्र में साइन तरंग का औसत शून्य होता है)।
इन मानों को रखने पर: $I_{rms}^2 = \frac{1}{T} (a^2 T + \frac{b^2 T}{2} + 0) = a^2 + \frac{b^2}{2}$।
अतः,$I_{rms} = \sqrt{a^2 + \frac{b^2}{2}}$।

(C) दी गई धारा $i = i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t$ है।
धारा का $r.m.s.$ मान $i_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T i^2 dt}$ द्वारा परिभाषित होता है।
सबसे पहले,$i^2 = (i_1 \cos \omega t + i_2 \sin \omega t)^2 = i_1^2 \cos^2 \omega t + i_2^2 \sin^2 \omega t + 2 i_1 i_2 \sin \omega t \cos \omega t$ की गणना करें।
पूर्ण समयावधि $T = \frac{2\pi}{\omega}$ पर समाकलन करने पर:
$\int_0^T \cos^2 \omega t dt = \frac{T}{2}$,$\int_0^T \sin^2 \omega t dt = \frac{T}{2}$,और $\int_0^T \sin \omega t \cos \omega t dt = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,माध्य वर्ग मान $i_{rms}^2 = \frac{1}{T} [i_1^2 (\frac{T}{2}) + i_2^2 (\frac{T}{2}) + 0] = \frac{i_1^2 + i_2^2}{2}$ है।
इसलिए,$i_{rms} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (i_1^2 + i_2^2)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(A) समय अंतराल $[t_1, t_2]$ पर धारा $I$ का औसत मान $I_{av} = \frac{1}{t_2 - t_1} \int_{t_1}^{t_2} I \, dt$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$t_1 = 0$ और $t_2 = \frac{\pi}{\omega}$ है।
$I_{av} = \frac{1}{\frac{\pi}{\omega} - 0} \int_0^{\frac{\pi}{\omega}} I_0 \sin \omega t \, dt$
$I_{av} = \frac{\omega}{\pi} I_0 \left[ \frac{-\cos \omega t}{\omega} \right]_0^{\frac{\pi}{\omega}}$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-\cos(\omega \cdot \frac{\pi}{\omega}) - (-\cos(0))]$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-\cos(\pi) + \cos(0)]$
$I_{av} = \frac{I_0}{\pi} [-(-1) + 1] = \frac{I_0}{\pi} [1 + 1] = \frac{2I_0}{\pi}$.

(D) तात्क्षणिक धारा $I = I_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
शून्य से अधिकतम मान तक बदलने के लिए,धारा को $I = 0$ से $I = I_0$ तक जाना चाहिए।
अतः,$\sin(\omega t) = 1$.
इसका अर्थ है $\omega t = \frac{\pi}{2}$.
$\omega = 2\pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2\pi f t = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
दी गई आवृत्ति $f = 50\,Hz$ है,इसलिए समीकरण $2\pi(50)t = \frac{\pi}{2}$ हो जाता है।
$100\pi t = \frac{\pi}{2}$.
$t = \frac{1}{200}\,s = 0.005\,s = 5\,ms$.

(C) एक आवर्ती फलन का औसत मान एक पूर्ण समयावधि में वक्र के नीचे के क्षेत्रफल को समयावधि से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
चित्र से,विभवांतर $V$,$T$ समयावधि के एक चक्र में केवल $t = 0$ से $t = T/2$ तक ही शून्यतर है।
एक चक्र के लिए $V-t$ ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल $T/2$ आधार और $V_0$ ऊंचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \frac{T}{2} \times V_0 = \frac{V_0 T}{4}$.
औसत मान $\langle V \rangle$ है:
$\langle V \rangle = \frac{\text{क्षेत्रफल}}{T} = \frac{\frac{V_0 T}{4}}{T} = \frac{V_0}{4}$.

(B) $(1)$ $x = x_0 \sin \omega t$ के लिए,$r.m.s.$ मान $I_{rms} = \frac{x_0}{\sqrt{2}}$ है। अतः,$(A \to ii)$.
$(2)$ $x = x_0 \sin \omega t \cos \omega t = \frac{x_0}{2} \sin(2\omega t)$ के लिए,शिखर मान $\frac{x_0}{2}$ है। $r.m.s.$ मान $\frac{x_0/2}{\sqrt{2}} = \frac{x_0}{2\sqrt{2}}$ होता है। अतः,$(B \to iii)$.
$(3)$ $x = x_0 \sin \omega t + x_0 \cos \omega t = \sqrt{2} x_0 \sin(\omega t + \frac{\pi}{4})$ के लिए,शिखर मान $\sqrt{2} x_0$ है। $r.m.s.$ मान $\frac{\sqrt{2} x_0}{\sqrt{2}} = x_0$ होता है। अतः,$(C \to i)$.

(B) दी गई धारा $i = i_1 \sin \omega t + i_2 \cos \omega t$ है।
हम इसे $i = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ $I_0$ शिखर धारा है।
शिखर धारा का वर्ग $I_0^2 = i_1^2 + i_2^2$ होता है।
अतः,$I_0 = \sqrt{i_1^2 + i_2^2}$।
ज्यावक्रीय (sinusoidal) धारा का $r.m.s.$ मान $I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$I_0$ का मान रखने पर,हमें $I_{rms} = \frac{\sqrt{i_1^2 + i_2^2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{i_1^2 + i_2^2}{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया तरंग रूप एक हाफ-वेव रेक्टिफाइड $A.C.$ सिग्नल को दर्शाता है।
$T$ आवर्तकाल के एक पूर्ण चक्र के लिए,वोल्टेज $V(t)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ जहाँ $0 \le t \le T/2$
$V(t) = 0$ जहाँ $T/2 < t \le T$
जहाँ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ है।
$r.m.s.$ मान को $V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} V^2(t) dt}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$V_{rms}^2 = \frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} (V_0 \sin(\omega t))^2 dt + \int_{T/2}^{T} 0^2 dt \right]$
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{T} \int_{0}^{T/2} \sin^2(\frac{2\pi t}{T}) dt$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{T} \int_{0}^{T/2} \frac{1 - \cos(\frac{4\pi t}{T})}{2} dt = \frac{V_0^2}{2T} \left[ t - \frac{T}{4\pi} \sin(\frac{4\pi t}{T}) \right]_{0}^{T/2}$
$V_{rms}^2 = \frac{V_0^2}{2T} \left[ (\frac{T}{2} - 0) - (0 - 0) \right] = \frac{V_0^2}{2T} \cdot \frac{T}{2} = \frac{V_0^2}{4}$
अतः,$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{4}} = \frac{V_0}{2}$.

(C) दी गई धारा $i = 3 + 4 \sin \omega t$ है।
$RMS$ मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य वर्ग मान $i^2_{rms} = \overline{i^2}$ की गणना करते हैं।
$i^2 = (3 + 4 \sin \omega t)^2 = 9 + 16 \sin^2 \omega t + 24 \sin \omega t$.
एक पूर्ण चक्र पर औसत लेने पर:
$\overline{i^2} = \overline{9} + 16 \overline{\sin^2 \omega t} + 24 \overline{\sin \omega t}$.
हम जानते हैं कि एक पूर्ण चक्र के लिए $\overline{\sin^2 \omega t} = 1/2$ और $\overline{\sin \omega t} = 0$ होता है।
इसलिए,$i^2_{rms} = 9 + 16(1/2) + 0 = 9 + 8 = 17$.
अतः,$RMS$ मान $i_{rms} = \sqrt{\overline{i^2}} = \sqrt{17}$ है।

(B) दी गई धारा तरंग $i = 5 + 5 \sin(100 \omega t)$ है।
एक समयावधि $T$ पर औसत मान ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} i \, dt$ का उपयोग करते हैं।
$i$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} (5 + 5 \sin(100 \omega t)) \, dt$.
इसे दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:
$\langle i \rangle = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 5 \, dt + \frac{1}{T} \int_{0}^{T} 5 \sin(100 \omega t) \, dt$.
एक पूर्ण चक्र पर ज्या (sine) फलन का औसत मान $0$ होता है,अर्थात $\langle \sin(100 \omega t) \rangle = 0$.
इसलिए,$\langle i \rangle = 5 + 0 = 5 \text{ A}$.

(A) दिया गया $AC$ वोल्टेज $rms$ मान है,इसलिए $E_{rms} = 220\,V$ है।
पीक वोल्टेज $E_{0}$ और $E_{rms}$ के बीच संबंध $E_{rms} = \frac{E_{0}}{\sqrt{2}}$ है,जिससे $E_{0} = E_{rms} \times \sqrt{2} = 220\sqrt{2}\,V$ प्राप्त होता है।
धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान औसत $emf$ का सूत्र $E_{avg} = \frac{2}{\pi} E_{0}$ है।
$E_{0}$ का मान रखने पर,$E_{avg} = \frac{2}{\pi} \times 220\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\pi \approx 3.14$ और $\sqrt{2} \approx 1.414$ लेने पर,$E_{avg} = \frac{2}{3.14} \times 220 \times 1.414 \approx 0.637 \times 311.13 \approx 198.18\,V$ प्राप्त होता है।
निकटतम पूर्णांक में,औसत $emf$ $198\,V$ है।

(B) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ को एक ऐसी धारा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समय के साथ अपनी दिशा को आवधिक रूप से बदलती है और अपना परिमाण भी बदलती है।
दिए गए ग्राफ में,चारों स्थितियों $(a), (b), (c)$ और $(d)$ में $EMF$ (और परिणामस्वरूप धारा) समय अक्ष को पार करती है,जिसका अर्थ है कि $EMF$ अपनी ध्रुवीयता (चिह्न) को आवधिक रूप से बदलता है।
चूंकि चारों ग्राफ में $EMF$ की ध्रुवीयता बदल रही है,इसलिए वे सभी प्रत्यावर्ती $EMF$ या $AC$ तरंगों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(N/A) दिया गया पावर $P = 100\;W$ और rms वोल्टेज $V = 220\;V$ है।
बल्ब का प्रतिरोध इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$R = \frac{V^2}{P} = \frac{(220\;V)^2}{100\;W} = 484\;\Omega$
$(b)$ स्रोत का शिखर वोल्टेज $(V_m)$ इस प्रकार है:
$V_m = \sqrt{2} \times V = 1.414 \times 220\;V \approx 311\;V$
$(c)$ बल्ब से होकर बहने वाली rms धारा $(I)$ की गणना $P = I \times V$ का उपयोग करके की जाती है:
$I = \frac{P}{V} = \frac{100\;W}{220\;V} \approx 0.454\;A$

(N/A) दिया गया है,शिखर वोल्टेज $V_{0} = 300 \; V$ है।
$rms$ वोल्टेज संबंध $V_{rms} = \frac{V_{0}}{\sqrt{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $V_{rms} = \frac{300}{1.414} \approx 212.1 \; V$ प्राप्त होता है।
$(b)$ दिया गया है,$rms$ धारा $I_{rms} = 10 \; A$ है।
शिखर धारा $I_{0}$ संबंध $I_{0} = \sqrt{2} \times I_{rms}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $I_{0} = 1.414 \times 10 = 14.14 \; A$ प्राप्त होता है।

(N/A) $DC$ सिग्नल (धारा या वोल्टेज) समय के साथ अपनी दिशा नहीं बदलते हैं। वे एकदिशीय सिग्नल होते हैं।
यदि किसी स्रोत से प्राप्त वोल्टेज समय के साथ साइन फलन (sine function) की तरह बदलता है,तो ऐसे वोल्टेज को प्रत्यावर्ती वोल्टेज ($AC$ वोल्टेज) कहा जाता है।
$AC$ वोल्टेज द्वारा परिपथ में प्रवाहित धारा को प्रत्यावर्ती धारा ($AC$ करंट) कहा जाता है।
निम्नलिखित कारणों से $DC$ की तुलना में $AC$ को प्राथमिकता दी जाती है:
$1$. $AC$ वोल्टेज को ट्रांसफार्मर की मदद से आसानी से और कुशलतापूर्वक एक वोल्टेज स्तर से दूसरे वोल्टेज स्तर में परिवर्तित किया जा सकता है,जो $DC$ के साथ संभव नहीं है।
$2$. $AC$ का उपयोग करके विद्युत ऊर्जा को $DC$ की तुलना में लंबी दूरी तक अधिक किफायती रूप से प्रेषित और वितरित किया जा सकता है।

(N/A) $A.C.$ (प्रत्यावर्ती धारा) सिग्नल एक विद्युत धारा या वोल्टेज है जो समय-समय पर अपनी दिशा बदलता है और समय के साथ लगातार अपना परिमाण बदलता रहता है।
$D.C.$ (दिष्ट धारा) के विपरीत,जो एक ही दिशा में बहती है,$A.C.$ अधिकांश बिजली अनुप्रयोगों में एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) तरंग रूप का पालन करती है।
$A.C.$ वोल्टेज के लिए गणितीय व्यंजक आमतौर पर $V(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_m$ शिखर वोल्टेज है,$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,और $\phi$ फेज स्थिरांक है।
$A.C.$ का उपयोग बिजली वितरण के लिए व्यापक रूप से किया जाता है क्योंकि ट्रांसफार्मर का उपयोग करके इसके वोल्टेज को आसानी से बढ़ाया या घटाया जा सकता है।

(N/A) प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ के रूट मीन स्क्वायर (rms) मान को उस स्थिर दिष्ट धारा $(DC)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जो किसी दिए गए प्रतिरोधक से प्रवाहित होने पर,एक पूर्ण चक्र में उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी प्रत्यावर्ती धारा करती है।
rms धारा को $I$ या $I_{rms}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
rms धारा $I$ और शिखर धारा $I_{m}$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$I = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_{m}$
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I_{rms} = \sqrt{\overline{I}^{2}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{m}^{2} \sin^{2}(\omega t) dt} = \sqrt{\frac{1}{2} I_{m}^{2}} = \frac{I_{m}}{\sqrt{2}}$
इसी प्रकार,वोल्टेज के लिए:
$V = \frac{V_{m}}{\sqrt{2}} \approx 0.707 V_{m}$
ये संबंध दर्शाते हैं कि $DC$ सर्किट की तरह ही $AC$ सर्किट में भी rms मानों का उपयोग करके $V = IR$ संबंध मान्य रहता है।
धारा बनाम $\omega t$ का ग्राफ शिखर मान $I_{m}$ के साथ धारा का ज्यावक्रीय (sinusoidal) विचलन दर्शाता है और स्थिर rms मान $I$ को एक क्षैतिज रेखा के रूप में दर्शाया गया है।

(N/A) $AC$ वोल्टेज वह वोल्टेज है जो समय के साथ अपनी दिशा को आवधिक रूप से बदलता है और अपने परिमाण को निरंतर परिवर्तित करता है।
$AC$ वोल्टेज के लिए समीकरण इस प्रकार है:
$v(t) = V_m \sin(\omega t + \phi)$
जहाँ:
$v(t)$ समय $t$ पर तात्कालिक वोल्टेज है।
$V_m$ शिखर या अधिकतम वोल्टेज (आयाम) है।
$\omega$ कोणीय आवृत्ति है,जहाँ $\omega = 2\pi f$ ($f$ आवृत्ति है)।
$t$ समय है।
$\phi$ फेज स्थिरांक (कला नियतांक) है।

(A) $AC$ परिपथ में तात्कालिक धारा $I(t) = I_{max} \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
समय अवधि $T$ के एक पूर्ण चक्र पर तात्कालिक धारा मानों का योग (या समाकलन) ज्ञात करने के लिए,हम $\int_{0}^{T} I(t) dt$ की गणना करते हैं।
$\int_{0}^{T} I_{max} \sin(\omega t) dt = I_{max} [-\frac{\cos(\omega t)}{\omega}]_{0}^{T}$।
चूंकि $\omega = \frac{2\pi}{T}$,इसलिए $\omega T = 2\pi$ होता है।
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $I_{max} [-\frac{\cos(2\pi)}{\omega} - (-\frac{\cos(0)}{\omega})] = I_{max} [-\frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega}] = 0$।
अतः,एक पूर्ण $AC$ चक्र में तात्कालिक धारा मानों का योग $0$ होता है।

(N/A) प्रत्यावर्ती धारा का $rms$ (रूट मीन स्क्वायर) मान एक पूर्ण चक्र के दौरान तात्कालिक धाराओं के वर्गों के औसत का वर्गमूल होता है।
इसे प्रत्यावर्ती धारा का आभासी या प्रभावी मान भी कहा जाता है।
यह एक ऐसी स्थिर दिष्ट धारा $(DC)$ के मान को दर्शाता है जो,जब किसी प्रतिरोधक से एक निश्चित समय के लिए गुजारी जाती है,तो उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी प्रत्यावर्ती धारा उसी प्रतिरोधक में उसी समय में उत्पन्न करती है।
पीक धारा $(I_0)$ के संदर्भ में $rms$ धारा $(I_{rms})$ का सूत्र इस प्रकार है:
$I_{rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_0$

(B) दिया गया वोल्टेज $V_{rms} = 220\, V$ प्रत्यावर्ती वोल्टेज के रूट मीन स्क्वायर (rms) मान को दर्शाता है।
पीक वोल्टेज $(V_0)$ और रूट मीन स्क्वायर वोल्टेज $(V_{rms})$ के बीच का संबंध इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $V_0 = V_{rms} \times \sqrt{2}$।
दी गई मान को रखने पर: $V_0 = 220 \times 1.414$।
$V_0 \approx 311.08\, V$।
अतः,अधिकतम वोल्टेज लगभग $311\, V$ है।

(B) भारत में,$AC$ आपूर्ति की आवृत्ति $f = 50 \ Hz$ है।
इसका अर्थ है कि धारा $1$ $sec$ में $50$ चक्र पूर्ण करती है।
साइन तरंग के एक पूर्ण चक्र में,वोल्टेज दो बार शून्य से गुजरता है (एक बार शुरुआत/अंत में और एक बार आधे चक्र के बिंदु पर)।
इसलिए,$1$ $sec$ में वोल्टेज के शून्य होने की संख्या $2 \times f$ है।
गणना: $2 \times 50 = 100$ बार।

(N/A) दिया गया तरंग रूप एक आवर्ती वर्गाकार तरंग (square wave) है। धारा $I(t)$ समय अंतराल $0 < t < T/2$ के लिए $I_1 = 1 \text{ A}$ और समय अंतराल $T/2 < t < T$ के लिए $I_2 = -2 \text{ A}$ का मान लेती है।
रूट मीन स्क्वायर धारा $I_{rms}$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I^2(t) dt}$
मान रखने पर:
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ \int_{0}^{T/2} (1)^2 dt + \int_{T/2}^{T} (-2)^2 dt \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ (1 \times T/2) + (4 \times T/2) \right]}$
$I_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left[ \frac{T}{2} + 2T \right]} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \frac{5T}{2} \right)}$
$I_{rms} = \sqrt{2.5} \approx 1.58 \text{ A}$.

(N/A) दिष्ट धारा $(DC)$ के लिए,$1$ एम्पीयर को प्रति सेकंड प्रवाहित होने वाले $1$ कूलम्ब आवेश के रूप में परिभाषित किया जाता है।
प्रत्यावर्ती धारा $(AC)$ स्रोत की आवृत्ति के साथ समय-समय पर अपनी दिशा बदलती है। यदि हम औसत धारा को मापें,तो यह एक पूर्ण चक्र में शून्य होगी,जो शक्ति मापन के लिए उपयोगी नहीं है।
इसलिए,$AC$ एम्पीयर को एक ऐसे गुण के आधार पर परिभाषित किया जाता है जो धारा की दिशा से स्वतंत्र है,जो कि तापीय प्रभाव (जूल का तापीय प्रभाव) है।
$AC$ का $1$ एम्पीयर उस प्रत्यावर्ती धारा के मान के रूप में परिभाषित है जो किसी दिए गए प्रतिरोधक में उतनी ही ऊष्मा उत्पन्न करती है जितनी $1$ एम्पीयर की $DC$ धारा समान समय अंतराल में उसी प्रतिरोधक में उत्पन्न करती है। इसे धारा का रूट-मीन-स्क्वायर $(RMS)$ मान कहा जाता है।

(B) दी गई धारा $I = I_{1} \sin \omega t + I_{2} \cos \omega t$ है।
इसे $I = I_{0} \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $I_{0}$ शिखर धारा है।
आयाम $I_{0} = \sqrt{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}$ द्वारा दिया जाता है।
हॉट वायर एमीटर धारा का रूट मीन स्क्वायर $(RMS)$ मान मापता है।
$RMS$ मान को $I_{rms} = \frac{I_{0}}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$I_{0}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I_{rms} = \sqrt{\frac{I_{1}^{2} + I_{2}^{2}}{2}}$ प्राप्त होता है।

(A) $AC$ परिपथ में तात्क्षणिक धारा $i = i_{0} \cos(\omega t)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $i_{0}$ शिखर धारा है।
$t = 0$ पर,धारा अपने अधिकतम मान पर है,$i = i_{0}$।
धारा का $rms$ मान $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ होता है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $i = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ हो।
$\cos(\omega t) = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,हमें $\omega t = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$\omega = 2\pi f$ प्रतिस्थापित करने पर,$2\pi f t = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$t$ के लिए हल करने पर,$t = \frac{1}{8f}$।
चूँकि $f = 50\, Hz$ दिया गया है,$t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400}\, s$।
$t = 0.0025\, s = 2.5\, ms$।

(A) दिया गया समीकरण $i = i_{1} \sin \omega t + i_{2} \cos \omega t$ है।
हम $\cos \omega t$ को $\sin(\omega t + 90^{\circ})$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$i = i_{1} \sin \omega t + i_{2} \sin(\omega t + 90^{\circ})$।
यह $90^{\circ}$ के कलांतर वाले दो ज्यावक्रीय (sinusoidal) धाराओं का अध्यारोपण है।
परिणामी शिखर धारा $i_{0}$ का मान $i_{0} = \sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2} + 2i_{1}i_{2} \cos(90^{\circ})}$ होता है।
चूंकि $\cos(90^{\circ}) = 0$ है,इसलिए $i_{0} = \sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2}}$ प्राप्त होता है।
रूट मीन स्क्वायर (rms) धारा को $i_{rms} = \frac{i_{0}}{\sqrt{2}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसलिए,$i_{rms} = \frac{\sqrt{i_{1}^{2} + i_{2}^{2}}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(i_{1}^{2} + i_{2}^{2})^{1/2}$।

(A) दी गई धारा $i = i_1 + i_2$ है,जहाँ $i_1 = \sqrt{42} \sin \left(\frac{2 \pi}{T} t\right)$ और $i_2 = 10$ है।
संयुक्त धारा $i = i_1 + i_2$ का $r.m.s.$ मान $I_{rms} = \sqrt{I_{1,rms}^2 + I_{2,rms}^2}$ द्वारा दिया जाता है।
ज्यावक्रीय (sinusoidal) घटक $i_1$ के लिए,$r.m.s.$ मान $I_{1,rms} = \frac{I_0}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{2}} = \sqrt{21}$ है।
स्थिर घटक $i_2 = 10$ के लिए,$r.m.s.$ मान $I_{2,rms} = 10$ है।
अतः,$I_{rms} = \sqrt{(\sqrt{21})^2 + 10^2} = \sqrt{21 + 100} = \sqrt{121} = 11 \text{ A}$ होगा।

(A) $AC$ परिपथ में तात्कालिक धारा $i = i_0 \sin(\omega t)$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम मान पर,$i = i_0$,इसलिए $i_0 = i_0 \sin(\omega t_1) \Rightarrow \omega t_1 = \frac{\pi}{2}$.
$rms$ मान पर,$i = \frac{i_0}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{i_0}{\sqrt{2}} = i_0 \sin(\omega t_2) \Rightarrow \omega t_2 = \frac{\pi}{4}$.
अधिकतम मान से $rms$ मान तक बदलने में लगा समय $\Delta t = t_1 - t_2$ है।
$\Delta t = \frac{\pi}{2\omega} - \frac{\pi}{4\omega} = \frac{\pi}{4\omega}$.
चूंकि $\omega = 2\pi f$,इसलिए $\Delta t = \frac{\pi}{4(2\pi f)} = \frac{1}{8f}$.
यहाँ $f = 50\, Hz$ दिया गया है,इसलिए $\Delta t = \frac{1}{8 \times 50} = \frac{1}{400}\, s$.
मिलीसेकंड में बदलने पर: $\Delta t = \frac{1}{400} \times 1000\, ms = 2.5\, ms$.