Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(D) સદિશો $u, v, w$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,જે તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય સ્તંભમાંથી અનુક્રમે $a, b, c$ સામાન્ય લેતા:
$abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} = 0$
આ નિશ્ચાયક એ પ્રમાણિત વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે:
$abc(a-b)(b-c)(c-a) = 0$
આ ગુણાકાર શૂન્ય થાય જો $a=0$ અથવા $b=0$ અથવા $c=0$ હોય,અથવા જો $a=b$ અથવા $b=c$ અથવા $c=a$ હોય.
આમ,સદિશો સમતલીય છે જો $a, b, c$ માંથી કોઈ એક શૂન્ય હોય,અથવા $a, b, c$ માંથી કોઈપણ બે સમાન હોય.

(D) સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે: $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $a(bc - 1) - 1(c - 1) + 1(1 - b) = 0$.
$abc - a - c + 1 + 1 - b = 0 \Rightarrow abc - (a + b + c) + 2 = 0$.
વૈકલ્પિક રીતે,હાર પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3 - R_1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right| = 0$.
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$.
$(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા (કારણ કે $a, b, c \neq 1$):
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
$\frac{a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
કારણ કે $\frac{a}{1-a} = \frac{a-1+1}{1-a} = -1 + \frac{1}{1-a}$,આ કિંમત મૂકતા:
$-1 + \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો:
$P = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
$Q = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$R = -\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$S = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \lambda \hat{k}$
બિંદુઓ $P, Q, R, S$ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{PQ} = Q - P = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = R - P = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{PS} = S - P = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
હવે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ શોધો:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 24\hat{i} + 15\hat{j} + 17\hat{k}$
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$:
$1(24) + 7(15) + 17(\lambda+1) = 0$
$24 + 105 + 17\lambda + 17 = 0$
$146 + 17\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(A) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$,$b=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,અને $c=\hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $(u \times v) \times w = (u \cdot w)v - (v \cdot w)u$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times b) \times (b \times c) = [a b c]b$
$(b \times c) \times (c \times a) = [b c a]c = [a b c]c$
$(c \times a) \times (a \times b) = [c a b]a = [a b c]a$
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b c]$ ની ગણતરી કરીએ:
$[a b c] = \begin{vmatrix} 1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = 1(-2+3) + 2(-4+1) - 3(6-1) = 1 - 6 - 15 = -20$.
ધારો કે $k = [a b c] = -20$. તો પદાવલિ $[kb, kc, ka]$ બને છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[kb, kc, ka] = k^3 [b c a] = k^3 [a b c] = k^3 \cdot k = k^4$.
$k = -20$ મૂકતા:
$(-20)^4 = 160000$.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $A = 2a + 3b - c$,$B = a - 2b + 3c$,$C = 3a + 4b - 2c$,અને $D = ka - 6b + 6c$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = B - A = -a - 5b + 4c$
$\vec{AC} = C - A = a + b - c$
$\vec{AD} = D - A = (k-2)a - 9b + 7c$
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ k-2 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(7 - 9) + 5(7 - (-k+2)) + 4(-9 - (k-2)) = 0$
$2 + 5(5+k) + 4(-7-k) = 0$
$2 + 25 + 5k - 28 - 4k = 0$
$k - 1 = 0 \Rightarrow k = 1$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ છે અને ત્રીજો સદિશ $\vec{c} = \hat{k}$ લેતા.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right| = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1 \cdot \left|\begin{array}{cc} 1 & -3 \\ \lambda & 3 \end{array}\right| = 0$
$1(3 - (-3\lambda)) = 0$
$3 + 3\lambda = 0$
$\lambda = -1$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = 3 \hat{i} + 3 \hat{j} + \sqrt{3} \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \sqrt{3} \hat{i} + \sqrt{3} \hat{j} + \lambda \hat{k}$.
આ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 3 & 3 & \sqrt{3} \\ 1 & 0 & 1 \\ \sqrt{3} & \sqrt{3} & \lambda \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3(0 - \sqrt{3}) - 3(\lambda - \sqrt{3}) + \sqrt{3}(\sqrt{3} - 0) = 0$
$-3\sqrt{3} - 3\lambda + 3\sqrt{3} + 3 = 0$
$-3\lambda + 3 = 0$
$3\lambda = 3$
$\lambda = 1$

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot \{(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})\}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદને સરળ બનાવો: $(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{a} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{b} - (\bar{a}-\bar{b}) \times \bar{c}$
$= (\bar{a} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$:
$= (0 + \bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{b} - 0) - (\bar{a} \times \bar{c} - \bar{b} \times \bar{c})$
$= \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{c}$
$= \bar{b} \times \bar{c} - \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}$.
હવે,આને પદાવલિ $E$ માં મૂકો:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}-\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) - \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) - \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = \bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] - 0 - 0$
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a}=2 \hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{c}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે ડોટ પ્રોડક્ટ્સની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \cdot \vec{a} = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$
$\vec{b} \cdot \vec{b} = (1)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 1 + 9 + 1 = 11$
$\vec{c} \cdot \vec{c} = (3)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 + 3 - 3 = 2$
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = (2)(3) + (1)(-1) + (3)(-2) = 6 - 1 - 6 = -1$
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (3)(-1) + (-1)(-2) = 3 - 3 + 2 = 2$
હવે,આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 14 & 2 & -1 \\ 2 & 11 & 2 \\ -1 & 2 & 14 \end{array}\right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 14(154 - 4) - 2(28 + 2) - 1(4 + 11)$
$\Delta = 14(150) - 2(30) - 1(15)$
$\Delta = 2100 - 60 - 15 = 2025$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $a(\alpha \times \beta)+b(\beta \times \gamma)+c(\gamma \times \alpha)=0$.
આખા સમીકરણનો સદિશ $\gamma$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma + b(\beta \times \gamma) \cdot \gamma + c(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$.
પુનરાવર્તિત ઘટકો ધરાવતા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવાથી,$(\beta \times \gamma) \cdot \gamma = 0$ અને $(\gamma \times \alpha) \cdot \gamma = 0$ થાય.
આથી સમીકરણ $a(\alpha \times \beta) \cdot \gamma = 0$ માં પરિણમે છે,જે $a[\alpha \beta \gamma] = 0$ છે.
તે જ રીતે,$\alpha$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા $b[\beta \gamma \alpha] = 0$ મળે છે,અને $\beta$ સાથે લેતા $c[\gamma \alpha \beta] = 0$ મળે છે.
$a, b, c$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણક $[\alpha \beta \gamma]$ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,સદિશો $\alpha, \beta, \gamma$ સમતલીય છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}$,$\vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6 \hat{i} - 3x \hat{j} + xy \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = z \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$z=6$,$3x=3 \Rightarrow x=1$,અને $xy=1 \Rightarrow y=1$ મળે છે.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ થાય.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$.
$x=1, y=1, z=6$ મૂકતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (6)(1) + (-3)(1) + (1)(6) = 6 - 3 + 6 = 9$.

(B) આપણને પદાવલિ $(a+b) \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ આપેલ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું વિસ્તરણ કરીએ: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
કોઈ સદિશનો તેની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$) અને $c \times b = -(b \times c)$,આપણને મળે:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
હવે,$(a+b)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (કારણ કે બે સદિશ સમાન છે).
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a]$.
કારણ કે $[b c a] = [a b c]$,અંતિમ પરિણામ $[a b c]$ મળે છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}-4\hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,અને $\vec{d} = 4\hat{i}+5\hat{j}+\lambda\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
હવે,આ સદિશોના નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(3(\lambda+1) - 21) - 5(-4(\lambda+1) - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-31) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(6,2,4)$,$B(1,3,5)$,$C(1,-2,3)$ અને $D(6, k, 2)$ છે.
આ ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$ અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરો:
$\vec{AB} = -5\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = -5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (k-2)\hat{j} - 2\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} -5 & 1 & 1 \\ -5 & -4 & -1 \\ 0 & k-2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-5[8 + k - 2] - 1[10] + 1[-5k + 10] = 0$
$-5[k + 6] - 10 - 5k + 10 = 0$
$-5k - 30 - 5k = 0$
$-10k = 30$
$k = -3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{P} = 2\bar{a}+3\bar{b}-\bar{c}$,$\vec{Q} = \bar{a}-2\bar{b}+3\bar{c}$,$\vec{R} = 3\bar{a}+4\bar{b}-2\bar{c}$,અને $\vec{S} = \bar{a}-6\bar{b}+6\bar{c}$ છે.
આ બિંદુઓ સમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સદિશો $\vec{PQ}$,$\vec{PR}$,અને $\vec{PS}$ ધ્યાનમાં લઈએ.
$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = -\bar{a}-5\bar{b}+4\bar{c}$.
$\vec{PR} = \vec{R} - \vec{P} = \bar{a}+\bar{b}-\bar{c}$.
$\vec{PS} = \vec{S} - \vec{P} = -\bar{a}-9\bar{b}+7\bar{c}$.
જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}] = 0$ હોય,તો ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે.
નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = -1(7-9) + 5(7-1) + 4(-9+1) = 2 + 30 - 32 = 0$.
તેથી,આ ચાર બિંદુઓ સમતલીય છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{A} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = 2\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{C} = \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{D} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A} = 2\hat{j} + (\lambda-1)\hat{k}$.
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(2(\lambda-1) - 2) - 1(-1(\lambda-1) - 0) - 2(-2 - 0) = 0$.
$1(2\lambda - 4) + 1(\lambda - 1) + 4 = 0$.
$3\lambda - 1 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
હવે,સદિશ $6\lambda\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 6\hat{k}$ થાય.
તેનું માન $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{b}-\vec{a}$,$\vec{c}-\vec{a}$,અને $\vec{d}-\vec{a}$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a})) = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત એ છે કે આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-14(3(-4) - (-7)(3)) - 0 + (-6)(-3(3) - 3(\lambda-2)) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108 \implies \lambda = 6$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ થાય.
કારણ કે $\vec{d}$ એ $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ને લંબ છે,તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ છે.
તેથી,$[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{d} = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{d}| \cos 0^{\circ} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 30^{\circ} (1) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
આપેલ સમીકરણ $\frac{1}{2} \vec{c} - 0 \cdot \vec{d} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ બને છે.
તેથી,$\vec{c} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
આમ,$|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

(B) ધારો કે $A, B, C$ અને $D$ એ $\vec{A} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{B} = 2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{C} = -3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\vec{D} = a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ છે.
બનતા સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \hat{i} + 5\hat{j} - 7\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = -4\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$
$\overrightarrow{AD} = \vec{D} - \vec{A} = (a-1)\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 5 & -7 \\ -4 & 3 & -8 \\ a-1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(a-1)(-40 + 21) + 1(3 + 20) = 0$
$(a-1)(-19) + 23 = 0$
$-19a + 19 + 23 = 0$
$-19a + 42 = 0$
$a = \frac{42}{19}$

(C) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A = (1, -1, -2)$,$B = (-2, 1, -2)$,$C = (-1, -2, 1)$,અને $D = (2, 2, a)$ છે.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{b}-\vec{a}) \cdot ((\vec{c}-\vec{a}) \times (\vec{d}-\vec{a}))|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = -2\hat{i} - 1\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{AD} = 1\hat{i} + 3\hat{j} + (a+2)\hat{k}$
ઘનફળ $\frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = \frac{20}{3}$ હોવાથી,$|\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 40$ થાય.
નિશ્ચાયકની ગણતરી:
$\det = \begin{vmatrix} -3 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & a+2 \end{vmatrix} = 7a + 47$.
$|7a + 47| = 40$ લેતા:
કિસ્સો $1$: $7a + 47 = 40 \implies 7a = -7 \implies a = -1$.
કિસ્સો $2$: $7a + 47 = -40 \implies 7a = -87 \implies a = -87/7$ (પૂર્ણાંક નથી).
તેથી,$a$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય $-1$ છે.

(A) ત્રણ સદિશો ત્રિકોણ બનાવે જો તેમનો સરવાળો શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.
સરવાળો ગણતા: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2+6+3)\hat{i} + (3-2-6)\hat{j} + (-6+3-2)\hat{k} = 11\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} \neq \vec{0}$,સદિશો ત્રિકોણ બનાવતા નથી. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
તેઓ અસમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ ગણીએ.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & -2 & 3 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+18) - \hat{j}(-12-9) + \hat{k}(-36+6) = 22\hat{i} + 21\hat{j} - 30\hat{k}$.
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (2)(22) + (3)(21) + (-6)(-30) = 44 + 63 + 180 = 287 \neq 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય ન હોવાથી,સદિશો અસમતલીય છે. તેથી,$(R)$ સાચું છે.
સદિશો અસમતલીય હોવાથી,તેઓ કોઈ સમતલમાં ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. તેથી,$(R)$ એ $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{b} = -12 \hat{i}-\hat{j}-3 \hat{k}$,$\vec{c} = -\hat{i}+2 \hat{j}-4 \hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\vec{b}-\vec{a} = -14\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -3\hat{i} + 3\hat{j} - 7\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = (\lambda-2)\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} -14 & 0 & -6 \\ -3 & 3 & -7 \\ \lambda-2 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-14(-12 + 21) - 6(-9 - 3\lambda + 6) = 0$
$-14(9) - 6(-3 - 3\lambda) = 0$
$-126 + 18 + 18\lambda = 0$
$18\lambda = 108$
$\lambda = 6$.

(B) ધારો કે ત્રણ સદિશો $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની ગણતરી કરીએ છીએ,જે આ સદિશો દ્વારા રચાયેલ શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 2((-2)(-2) - (3)(1)) - (-3)((1)(-2) - (3)(3)) + 1((1)(1) - (-2)(3))$
$\Delta = 2(4 - 3) + 3(-2 - 9) + 1(1 + 6)$
$\Delta = 2(1) + 3(-11) + 1(7)$
$\Delta = 2 - 33 + 7 = -24$
અહીં અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\Delta \neq 0$ હોવાથી,આપેલા સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2 \hat{j}$,$\vec{b} = 3 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{c} = \lambda \hat{i}+3 \hat{j}$ માટે:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ \lambda & 3 & 0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - 3) + 2(0 - \lambda) = 0$
$-3 - 2\lambda = 0$
$2\lambda = -3$
$\lambda = -3/2$.

(B) વિધાન $A$ સાચું છે કારણ કે ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો એવા અદિશો $x, y$ અસ્તિત્વ ધરાવે કે જેથી $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$ થાય (ધારી લઈએ કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ અસમરેખ છે).
વિધાન $R$ સાચું છે કારણ કે $3D$ અવકાશમાં કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશોનો સમૂહ રેખીય રીતે આધારિત હોય છે,કારણ કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
જોકે,$R$ એ સમતલીય સદિશોનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે અને તે $A$ માં જણાવેલ ચોક્કસ શરત માટે વ્યાખ્યા અથવા સીધી તાર્કિક સમજૂતી તરીકે કામ કરતું નથી. તેથી,$R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ $\frac{\pi}{3}$ ના ખૂણા ધરાવતા એકમ સદિશો છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ થાય છે.
સમીકરણ $x \bar{a} + y \bar{b} + z \bar{c} = p(\bar{b} \times \bar{c}) + q(\bar{c} \times \bar{a}) + r(\bar{a} \times \bar{b})$ માં સદિશોની સંમિતિનો ઉપયોગ કરતા,$x=y=z$ અને $p=q=r$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{x+y+z}{p+q+r} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(A) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય તે $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{a} = \bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$,$\vec{b} = 2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$,અને $\vec{c} = 3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & 1 & -3 \\ 3 & -1 & p \end{vmatrix}$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(p-3) - 2(2p+9) - 3(-2-3) = p-3 - 4p-18 + 15 = -3p-6$.
આપેલ ઘનફળ $V = 2$ હોવાથી,$\frac{1}{6} |-3p-6| = 2$.
$|-3p-6| = 12$.
આથી $-3p-6 = 12$ અથવા $-3p-6 = -12$.
કિસ્સો $1$: $-3p = 18 \implies p = -6$.
કિસ્સો $2$: $-3p = -6 \implies p = 2$.
$p$ ની કિંમતો $2$ અને $-6$ છે.
જે સમીકરણના બીજ $2$ અને $-6$ હોય તે $(x-2)(x+6) = 0$ છે.
$x^2+6x-2x-12 = 0 \implies x^2+4x-12 = 0$.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}$,$\vec{b}=2 \hat{j}-\hat{k}$,$\vec{c}=-\hat{i}+2 \hat{k}$.
ધારો કે $\vec{d} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ એક એકમ સદિશ છે જેથી $x^2+y^2+z^2=1$.
કારણ કે $\vec{d} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{d} \cdot \vec{c} = 0 \Rightarrow -x + 2z = 0 \Rightarrow x = 2z$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{d}$ સમતલીય છે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $2(2z + y) - (-1)(0 + x) = 0 \Rightarrow 4z + 2y + x = 0$.
$x = 2z$ મૂકતા: $4z + 2y + 2z = 0 \Rightarrow 2y = -6z \Rightarrow y = -3z$.
હવે,એકમ સદિશની શરત $x^2+y^2+z^2=1$ નો ઉપયોગ કરતા: $(2z)^2 + (-3z)^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 4z^2 + 9z^2 + z^2 = 1 \Rightarrow 14z^2 = 1 \Rightarrow z^2 = \frac{1}{14}$.
આપણે $|\vec{d} \cdot \vec{b}| = |(x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (2 \hat{j} - \hat{k})| = |2y - z|$ શોધવાનું છે.
$y = -3z$ મૂકતા: $|2(-3z) - z| = |-7z| = 7|z|$.
$z^2 = \frac{1}{14}$ હોવાથી,$|z| = \frac{1}{\sqrt{14}}$.
તેથી,$|\vec{d} \cdot \vec{b}| = 7 \times \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{49}{14}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$.

(D) સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 61$.
$\begin{vmatrix} \lambda & 3 & 4 \\ 3 & -1 & \lambda \\ \lambda & 1 & -3 \end{vmatrix} = \pm 61$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\lambda(3 - \lambda) - 3(-9 - \lambda^2) + 4(3 + \lambda) = \pm 61$.
$3\lambda - \lambda^2 + 27 + 3\lambda^2 + 12 + 4\lambda = \pm 61$.
$2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = \pm 61$.
કિસ્સો $1$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = 61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda - 22 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\lambda = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(2)(-22)}}{2(2)} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{-7 \pm \sqrt{225}}{4} = \frac{-7 \pm 15}{4}$.
$\lambda = \frac{8}{4} = 2$ અથવા $\lambda = \frac{-22}{4} = -5.5$.
કારણ કે $\lambda$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $\lambda = 2$ એ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $2\lambda^2 + 7\lambda + 39 = -61 \Rightarrow 2\lambda^2 + 7\lambda + 100 = 0$.
વિવેચક $D = 7^2 - 4(2)(100) = 49 - 800 = -751 < 0$. આ કિસ્સા માટે કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ,$\lambda$ માટે માત્ર એક જ શક્ય પૂર્ણાંક મૂલ્ય $2$ છે. શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $a=\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$ અને $b=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(1 - 2) = 3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b p] = p \cdot (a \times b)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$p$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$|p| = 1$. ધારો કે $p$ અને $(a \times b)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તેથી $[a b p] = |p| |a \times b| \cos \theta = |a \times b| \cos \theta$.
આ પદ ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જેનો અર્થ છે કે $p$ એ $(a \times b)$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ.
આમ,$p = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{14}}(3\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.

(B) ધારો કે $d = d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}$.
$d$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $a \cdot d = 0$,જ્યાં $a = \hat{i} + \hat{j}$,તેથી $(\hat{i} + \hat{j}) \cdot (d_1 \hat{i} + d_2 \hat{j} + d_3 \hat{k}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $d_1 + d_2 = 0$,એટલે કે $d_2 = -d_1$ (ii).
આપેલ છે કે $b \cdot (c \times d) = 0$,જે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b, c, d] = 0$ છે.
નિશ્ચાયક ગણતા:
$[b, c, d] = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ d_1 & d_2 & d_3 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$0(0 - d_2) - 1(d_3 - d_1) + 1(d_2 - 0) = 0$.
$-d_3 + d_1 + d_2 = 0$.
આ સમીકરણમાં $d_2 = -d_1$ મૂકતા,આપણને $-d_3 + d_1 - d_1 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $d_3 = 0$ (iii).
સમીકરણ (ii) અને (iii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$d_1^2 + (-d_1)^2 + 0^2 = 1 \Rightarrow 2d_1^2 = 1 \Rightarrow d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$d_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $d_2 = \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$d = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{i} - \hat{j})$.

(B) આપેલ છે કે $a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
આપણે પદાવલિ $E = (a \times \hat{i}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) + (a \times \hat{j}) \cdot (\hat{j} + \hat{k}) + (a \times \hat{k}) \cdot (\hat{k} + \hat{i})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદાવલિને નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$E = [a, \hat{i}, \hat{i}] + [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
કારણ કે જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $[a, \hat{i}, \hat{i}] = [a, \hat{j}, \hat{j}] = [a, \hat{k}, \hat{k}] = 0$.
આમ,$E = [a, \hat{i}, \hat{j}] + [a, \hat{j}, \hat{k}] + [a, \hat{k}, \hat{i}]$.
ચક્રીય ગુણધર્મ $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$E = a \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + a \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) + a \cdot (\hat{k} \times \hat{i})$.
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,તેથી:
$E = a \cdot \hat{k} + a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$E = (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = x + y + z$.

(B) આપેલ છે કે $a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે, તેથી $a$ એ સદિશ $b \times c$ ને સમાંતર છે. આમ, આપણે $a = k(b \times c)$ લખી શકીએ.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $c \cdot (a \times b)$ ને ચક્રીય ક્રમના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકાય: $c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c)$.
કારણ કે $a$ એ $b \times c$ ને સમાંતર છે, $a$ અને $b \times c$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ અથવા $\pi$ છે. $|a|=2$ આપેલ હોવાથી, $a = \pm 2 \frac{b \times c}{|b \times c|}$.
પ્રથમ, ક્રોસ પ્રોડક્ટ $b \times c$ નું માન શોધો:
$|b \times c| = |b| |c| \sin\left(\frac{2 \pi}{3}\right) = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$.
હવે, આ કિંમતને અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$c \cdot (a \times b) = a \cdot (b \times c) = |a| |b \times c| \cos(0) = 2 \times 6 \sqrt{3} = 12 \sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6\hat{i} - 3x\hat{j} + xy\hat{k}$.
આને આપેલ $\vec{a} \times \vec{b} = z\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$6 = z$,$-3x = -3 \Rightarrow x = 1$,અને $xy = 1$.
$x=1$ હોવાથી,$1 \cdot y = 1 \Rightarrow y = 1$.
તેથી,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ એ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના ઘટકોનો નિશ્ચાયક છે:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-3) - 2(0-3) + 0(0-1) = 3 + 6 = 9$.

(B) સમાંતરફલકનું ઘનફળ તેની ત્રણ ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) ના માનાંક જેટલું હોય છે,એટલે કે $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
અહીં ધાર $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 0 \hat{i} - 1 \hat{j} + 1 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3 \hat{i} + 9 \hat{j} + p \hat{k}$ છે.
ઘનફળ $= |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 34$.
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & p \end{array}\right| = \pm 34$.
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$4(-p - 9) - 5(0 - 3) + 1(0 - (-3)) = \pm 34$.
$4(-p - 9) - 5(-3) + 1(3) = \pm 34$.
$-4p - 36 + 15 + 3 = \pm 34$.
$-4p - 18 = \pm 34$.
કિસ્સો $1$: $-4p - 18 = 34 \Rightarrow -4p = 52 \Rightarrow p = -13$.
કિસ્સો $2$: $-4p - 18 = -34 \Rightarrow -4p = -16 \Rightarrow p = 4$.
વિકલ્પોમાં $-13$ આપેલ હોવાથી,સાચો જવાબ $-13$ છે.

(A) અમને પદાવલિ $c \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(b+c) \times (a+b+c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$
કોઈપણ સદિશનો તેની પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$),પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$b \times a + b \times c + c \times a + c \times b$
હવે,$c$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$c \cdot (b \times a + b \times c + c \times a + c \times b)$
$= c \cdot (b \times a) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (c \times b)$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[x \ y \ z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં જો કોઈપણ બે સદિશ સમાન હોય તો ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$= [c \ b \ a] + [c \ b \ c] + [c \ c \ a] + [c \ c \ b]$
$= [c \ b \ a] + 0 + 0 + 0$
$= c \cdot (b \times a)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય તે $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ધાર $\vec{a} = \hat{i}-\lambda \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \lambda \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ છે.
ઘનફળ $2$ છે,તેથી $\frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 2$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = 12$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\det \begin{bmatrix} 1 & -\lambda & 1 \\ \lambda & -1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{bmatrix}| = 12$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(-\lambda - (-1)) -(-\lambda)(\lambda^2 - (-1)) + 1(\lambda - (-1)) = \pm 12$.
$(1-\lambda) + \lambda(\lambda^2+1) + (\lambda+1) = \pm 12$.
$2 + \lambda^3 + \lambda = \pm 12$.
કિસ્સો $1$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = 12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda - 10 = 0$. $\lambda = 2$ માટે,$8 + 2 - 10 = 0$. તેથી $\lambda = 2$ ઉકેલ છે.
કિસ્સો $2$: $\lambda^3 + \lambda + 2 = -12 \Rightarrow \lambda^3 + \lambda + 14 = 0$. આ સમીકરણ માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ નથી.
આમ,$\lambda = 2$.
આપણે $|\lambda \hat{i} - 3\lambda \hat{j} + 3\hat{k}| = |2\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}|$ શોધવાનું છે.
માન $= \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

(B) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=\hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,અને $\vec{d}=2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$l = \vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (-2)(3) + (1)(-2) = 1 - 6 - 2 = -7$ ગણો.
ત્યારબાદ,$m = \vec{b} \cdot \vec{a} = (1)(1) + (-2)(1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0$ ગણો.
આપણે અદિશ ત્રિગુણિત $[(m\vec{b}+l\vec{a}) \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$m=0$ અને $l=-7$ મૂકતા,પદાવલિ $[-7\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ બને છે.
અદિશ ત્રિગુણિતના ગુણધર્મો મુજબ,આ $-7 [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}]$ બરાબર થાય છે.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત $[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{d}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d})$ ગણો.
$\vec{b} \times \vec{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેથી,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{d}) = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = 1(1) + 1(3) + 1(5) = 1 + 3 + 5 = 9$.
અંતે,કિંમત $-7 \times 9 = -63$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલ પદ $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot \{(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c})\}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું સાદું રૂપ આપો: $(\vec{a}-\vec{b}) \times (\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}) = (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a}-\vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
કારણ કે $\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$,આ પદ $0 + \vec{a} \times \vec{b} - \vec{a} \times \vec{b} + 0 - \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ બને છે.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદમાં મૂકતા: $E = (\vec{a}+2 \vec{b}-\vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ અને $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$ થાય છે.
તેથી,$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - 2[\vec{b} \vec{a} \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 3[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.

(C) કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{b}=3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{r}$ તેમના સદિશ ગુણાકારને સમાંતર હોવો જોઈએ: $\vec{r}=\lambda(\vec{a} \times \vec{b})$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$,ધારો કે $\vec{c}=3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$. તેથી $\lambda(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = 5$,જે $\lambda[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]=5$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 4 \end{vmatrix} = 2(-4+3) - 3(12-3) - 4(-9+3) = 2(-1) - 3(9) - 4(-6) = -2 - 27 + 24 = -5$.
આમ,$\lambda(-5) = 5 \Rightarrow \lambda = -1$.
હવે,$\vec{r} = -(\vec{a} \times \vec{b}) = -\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -4 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = -[\hat{i}(3-4) - \hat{j}(2+12) + \hat{k}(-2-9)] = -[-\hat{i} - 14\hat{j} - 11\hat{k}] = \hat{i} + 14\hat{j} + 11\hat{k}$.
અંતે,$|\vec{r}| = \sqrt{1^2 + 14^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 196 + 121} = \sqrt{318}$.