Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(B) ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય તે માટે સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC},$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (4-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{AD} = (2-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (x-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + (x+1)\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2[(-1)(x+1) - (5)(-1)] - (-2)[(2)(x+1) - (5)(0)] + 1[(2)(-1) - (-1)(0)] = 0$
$-2[-x-1+5] + 2[2x+2] + 1[-2] = 0$
$-2[4-x] + 4x + 4 - 2 = 0$
$-8 + 2x + 4x + 2 = 0$
$6x - 6 = 0$
$6x = 6$
$x = 1$

(D) આપેલ ત્રણ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતો નિશ્ચાયક:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 0 & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & c & b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
આ દર્શાવે છે કે $c$ એ $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક ($G$.$M$.) છે.

(A) સદિશો સમતલીય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}]$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ હોય,તો સદિશો સમતલીય છે. જો તે શૂન્ય ન હોય,તો તેઓ અસમતલીય છે.
આપેલ છે કે $\bar{a} = 3\hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k}$,$\bar{b} = 2\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 7\hat{k}$,અને $\bar{c} = 7\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 23\hat{k}$.
$[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 7 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$
$= 3((-1)(23) - (7)(-1)) - 1((2)(23) - (7)(7)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$
$= 3(-23 + 7) - 1(46 - 49) - 1(-2 + 7)$
$= 3(-16) - 1(-3) - 1(5)$
$= -48 + 3 - 5 = -50$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $-50 \neq 0$ હોવાથી,સદિશો $\bar{a}, \bar{b},$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે. તેથી,વિધાન $A$ સત્ય છે.

(C) જો બિંદુઓ $O(0,0,0)$,$P(2,3,4)$,$Q(1,2,3)$ અને $R(x, y, z)$ સમતલીય હોય,તો સદિશો $\vec{OR}$,$\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\implies [\vec{OR} \quad \vec{OP} \quad \vec{OQ}] = 0$
નિશ્ચાયક સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા:
$\left| \begin{array}{ccc} x & y & z \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$x(3 \times 3 - 4 \times 2) - y(2 \times 3 - 4 \times 1) + z(2 \times 2 - 3 \times 1) = 0$
$x(9 - 8) - y(6 - 4) + z(4 - 3) = 0$
$x(1) - y(2) + z(1) = 0$
$x - 2y + z = 0$
આમ,સાચું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{c} = 3\hat{i} + \lambda\hat{j} + 5\hat{k}$.
જો આ સદિશો સમતલીય હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થશે:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) - 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 - \lambda + 6 = 0$
$5\lambda + 40 = 0$
$5\lambda = -40$
$\lambda = -8$.

(B) સદિશો $a$,$b$ અને $c$ સમતલીય હોવાથી,એવા અદિશો $x$,$y$ અને $z$ (જે બધા એકસાથે શૂન્ય ન હોય) અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $x a + y b + z c = 0$ $(i)$ થાય.
સમીકરણ $(i)$ ની બંને બાજુએ અનુક્રમે $a$ અને $b$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x(a \cdot a) + y(a \cdot b) + z(a \cdot c) = 0$ $(ii)$
$x(b \cdot a) + y(b \cdot b) + z(b \cdot c) = 0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$,$(ii)$ અને $(iii)$ ને $x$,$y$ અને $z$ ચલોમાં સુરેખ સમીકરણોની સંહતિ તરીકે લેતા,કારણ કે શૂન્યતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે,તેથી સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\left|\begin{array}{ccc} a & b & c \\ a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \end{array}\right| = 0$.

(D) આપેલા ત્રણ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) શૂન્ય થાય.
તેથી,તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$

(B) ધારો કે $\bar{v} = (2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b})]$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ નિત્યસમ $(\bar{x} \times \bar{y}) \times \bar{z} = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \bar{y} - (\bar{y} \cdot \bar{z}) \bar{x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{a}$.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે $(|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 1)$,ધારો કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = \cos \theta$.
તેથી $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ અને $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$.
આમ,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}$.
હવે,$(2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}] = 2(1 + 2 \cos \theta)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2(\cos \theta + 2)(\bar{a} \cdot \bar{a}) - (1 + 2 \cos \theta)(\bar{b} \cdot \bar{b}) + (\cos \theta + 2)(\bar{b} \cdot \bar{a})$.
$= 2(1 + 2 \cos \theta) \cos \theta - 2(\cos \theta + 2) - (1 + 2 \cos \theta) + (\cos \theta + 2) \cos \theta$.
$= 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta - 2 \cos \theta - 4 - 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta$.
$= 5 \cos^2 \theta - 5 = 5(\cos^2 \theta - 1) = -5 \sin^2 \theta$.
આપેલ છે કે $\bar{a} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i} + \hat{k})$ અને $\bar{b} = \frac{1}{7}(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$,તેથી $\cos \theta = \bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 + 0 - 6) = 0$.
આમ,$\sin^2 \theta = 1 - 0^2 = 1$.
તેથી કિંમત $-5(1) = -5$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,અને $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$.
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,સદિશ $\bar{d}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ સાથે સમતલીય હોવો જોઈએ.
તેથી,$\bar{d} = x\bar{b} + y\bar{c} = x(\hat{j} - \hat{k}) + y(\hat{k} - \hat{i}) = -y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,તેથી $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (-y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}) = 0$.
$-y - x = 0 \implies y = -x$.
$\bar{d}$ માં $y = -x$ મૂકતા,આપણને $\bar{d} = x\hat{i} + x\hat{j} - 2x\hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.
$\bar{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\bar{d}| = 1 \implies |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |x| \sqrt{6} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.

(B) આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot [(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c})]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c}) = \overline{a} \times \overline{a} + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c} = 0 + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c}$.
હવે,$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[\overline{x} \overline{y} \overline{z}] = \overline{x} \cdot (\overline{y} \times \overline{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\overline{a} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{c}]$.
કોઈપણ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર જેમાં બે સદિશો સમાન હોય તે $0$ થાય છે:
$= 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] - [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 + 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 - 6) = 0$ ગણો.
કારણ કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = 0$,$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લંબ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1, |\hat{b}| = 1$ અને $\hat{a} \times \hat{b}$ એ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
આપણે $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot [(\hat{a} \times \hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b})]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $[2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a} \times \hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ બને છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = -[\vec{v} \quad \vec{u} \quad \vec{w}]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-[\hat{a} \times \hat{b} \quad 2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ મળે છે.
અંદરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(2 \hat{a}-\hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b}) = 2(\hat{a} \times \hat{a}) + 4(\hat{a} \times \hat{b}) - (\hat{b} \times \hat{a}) - 2(\hat{b} \times \hat{b})$.
કારણ કે $\hat{a} \times \hat{a} = 0$,$\hat{b} \times \hat{b} = 0$,અને $\hat{b} \times \hat{a} = -(\hat{a} \times \hat{b})$,આ $0 + 4(\hat{a} \times \hat{b}) + (\hat{a} \times \hat{b}) - 0 = 5(\hat{a} \times \hat{b})$ બને છે.
આમ,પદ $-(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot [5(\hat{a} \times \hat{b})] = -5 |\hat{a} \times \hat{b}|^2$ થાય છે.
કારણ કે $\hat{a} \perp \hat{b}$ અને તે એકમ સદિશો છે,$|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}| |\hat{b}| \sin(90^{\circ}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
તેથી,$-5(1)^2 = -5$.

(D) ધારો કે $\bar{r} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$.
$\bar{r}$ એ $\bar{q}$ ને લંબ હોવાથી,$\bar{r} \cdot \bar{q} = 0$.
આથી $a - 2b + c = 0$ ... $(i)$.
$\bar{r}$ એ $\bar{p}$ અને $\bar{q}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{p} \ \bar{q} \ \bar{r}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ a & b & c \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(-2c - b) - 1(c - a) + 1(b + 2a) = 0$.
$-2c - b - c + a + b + 2a = 0 \Rightarrow 3a - 3c = 0 \Rightarrow a = c$ ... $(ii)$.
$(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $a - 2b + a = 0 \Rightarrow 2a = 2b \Rightarrow a = b$.
તેથી,$\bar{r} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\bar{r}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ છે.
માગેલ સદિશનું માન $5\sqrt{3}$ હોવાથી,$\text{સદિશ} = 5\sqrt{3} \times \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.

(C) આપેલ છે કે $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta|$,જ્યાં $\theta$ એ $(\vec{a} \times \vec{b})$ અને $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેથી,$|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi$ મૂકતા,જ્યાં $\phi$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,આપણને મળે: $|\vec{a}||\vec{b}| \sin \phi |\vec{c}| |\cos \theta| = |\vec{a}||\vec{b}||\vec{c}|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\sin \phi = 1$ અને $|\cos \theta| = 1$.
આમ,$\phi = 90^{\circ}$ (એટલે કે $\vec{a} \perp \vec{b}$) અને $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $180^{\circ}$ (એટલે કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમતલના લંબને સમાંતર છે).
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\vec{c} \perp \vec{a}$ અને $\vec{c} \perp \vec{b}$ થાય.
તેથી,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,અને $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{d}$ શોધો:
$\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(-2 - 0) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ $\bar{c} - \bar{a}$ શોધો:
$\bar{c} - \bar{a} = (4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - (\hat{i} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
અંતે,અદિશ ગુણાકાર $(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})$ શોધો:
$(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d}) = (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$
$= (3)(3) + (-1)(3) + (-3)(-2) = 9 - 3 + 6 = 12$

(A) સહ-અંતિમ ધાર $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = 12$,તેથી $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 12$,જેનો અર્થ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 72$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\bar{b} \times \bar{c}$ પર $\bar{a}$ નો અદિશ પ્રક્ષેપ $\frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{b} \times \bar{c}|} = 4$ છે.
ધારો કે $X = |\bar{b} \times \bar{c}|$. તો $\frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{X} = 4$,તેથી $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4X$.
આ કિંમતને ઘનફળના સમીકરણમાં મૂકતા: $|4X| = 72$.
તેથી,$4X = 72$,જે આપણને $X = \frac{72}{4} = 18$ આપે છે.
આમ,$|\bar{b} \times \bar{c}| = 18$.

(A) સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ ધાર ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક જેટલું છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \lambda & 1 & 1-\lambda \\ \mu & \lambda & 1+\lambda-\mu \end{bmatrix}|$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1(1(1+\lambda-\mu) - \lambda(1-\lambda)) - 0 + (-1)(\lambda(\lambda) - 1(\mu))|$.
$V = |(1+\lambda-\mu - \lambda + \lambda^2) - (\lambda^2 - \mu)|$.
$V = |1 + \lambda^2 - \mu - \lambda - \lambda^2 + \mu|$.
$V = |1 - \lambda|$.
આમ,ઘનફળ $V = |1 - \lambda|$ માત્ર $\lambda$ પર આધાર રાખે છે અને $\mu$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = 1$ અને $|\bar{c}| = 1$. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}| |\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
આને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $((\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$.
કારણ કે $(\bar{a} \times \bar{c})$ એ $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$.
આમ,સમીકરણ $(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ માં સરળ બને છે.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} [\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 10$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય હોવાથી,$[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 10$.

(B) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ એ તેની ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+x \hat{k}$,અને $\vec{c} = x \hat{i}+\hat{k}$ છે.
ઘનફળ એ નિશ્ચાયક છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1(1-0) - x(0-x^2) + 1(0-x)| = |1 + x^3 - x|$.
ધારો કે $f(x) = x^3 - x + 1$. મહત્તમ/ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
આમ,મહત્તમ કિંમત $1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$ છે.

(C) સહ-અંતિમ કિનારીઓ $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$.
આપેલ છે કે $V = 570$,તેથી $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 6 \times 570 = 3420$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ એ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} -12 & 0 & p \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = -12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + p(0(1) - 3(2))$
$= -12(-45 + 1) + p(-6)$
$= -12(-44) - 6p = 528 - 6p$.
તેથી $|528 - 6p| = 3420$,જેના બે કિસ્સાઓ છે:
કિસ્સો $1$: $528 - 6p = 3420 \implies -6p = 2892 \implies p = -482$.
કિસ્સો $2$: $528 - 6p = -3420 \implies -6p = -3948 \implies p = 658$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$p = -482$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ સહ-અંતિમ ધાર ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_{tetra} = \frac{64}{3}$,તેથી $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = \frac{64}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 128$.
$\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ સહ-અંતિમ ધાર ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})]|$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})] = 2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આમ,ઘનફળ $|2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 2 \times 128 = 256$ ઘન એકમ થાય છે.

(NONE) સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - (-1)) - 1(6 - (-1)) + 1(2 - 4) = 1(13) - 1(7) + 1(-2) = 13 - 7 - 2 = 4$.
તેથી,ઘનફળ $V = 4$.
$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ દ્વારા બનતા પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ છે.
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 4) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(4 - 2) = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
પાયાનું ક્ષેત્રફળ = $|-5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.
ઊંચાઈ $h = V / \text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ} = 4 / \sqrt{38} = 4\sqrt{38}/38 = 2\sqrt{38}/19$.

(B) આપેલ નિશ્ચાયક સમીકરણ:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$
આને બે નિશ્ચાયકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array}\right| = 0$
બીજા નિશ્ચાયકમાંથી $abc$ સામાન્ય લેતા:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
$(1 + abc) \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|$ એ વેન્ડરમોન્ડ નિશ્ચાયક છે,જેની કિંમત $(a-b)(b-c)(c-a)$ થાય છે.
સદિશો $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ અસમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્યતર છે,જેનો અર્થ છે કે $a, b, c$ ભિન્ન છે,તેથી $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$.
તેથી,$1 + abc = 0$,જે આપણને $abc = -1$ આપે છે.

(D) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \\ m & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - m(0 - m^2) + 1(0 - m) = 1 + m^3 - m$.
ઘનફળ ન્યૂનતમ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dV}{dm} = 3m^2 - 1$.
$\frac{dV}{dm} = 0$ લેતા,આપણને $3m^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે ઘનફળ (જે ધન હોવું જોઈએ) શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $m > 0$ માટે $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈએ.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2V}{dm^2} = 6m$.
$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{dm^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે સાબિત કરે છે કે $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ છે.

(A) આપેલ પદ: $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$
ક્રોસ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}) = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{b} + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{b} + \overline{c} \times \overline{c}$
કારણ કે $\overline{x} \times \overline{x} = 0$ અને $\overline{c} \times \overline{b} = -(\overline{b} \times \overline{c})$,તેથી:
$= \overline{b} \times \overline{a} + 0 + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} - (\overline{b} \times \overline{c}) + 0 = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}$
હવે,$\overline{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a}) + \overline{a} \cdot (\overline{c} \times \overline{a})$
$= [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારમાં જો બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= 0 + 0 = 0$

(D) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = |\overline{c}| = 1$ અને $\overline{a}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $((\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
કારણ કે $(\overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = 0$ (કારણ કે બે સમાન સદિશો સાથેનો અદિશ ત્રિગુણન શૂન્ય થાય છે),તેથી સમીકરણ સરળ બને છે:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
$\frac{1}{2} [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 5 \Rightarrow [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 10$.
અદિશ ત્રિગુણનના ગુણધર્મ મુજબ,$[\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = -[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.
તેથી,$-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 10 \Rightarrow [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = -10$.
અંતે,$5[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 5 \times (-10) = -50$.

(C) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ એ સદિશો $\overline{a}, \overline{b},$ અને $\overline{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1+1 \\ x & 1 & 1-x+x \\ y & x & 1+x-y+y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$= 1 \times ((1+x) - x) = 1 \times 1 = 1$
પરિણામ $1$ મળે છે,જે અચળ છે અને $x$ કે $y$ પર આધારિત નથી,તેથી $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ એ $x$ કે $y$ બંનેમાંથી કોઈ પણ પર આધાર રાખતું નથી.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ અને તેમના માન $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$.
હવે,આ કિંમત મૂકતા: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$.
કારણ કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ છે,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
તેમજ,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ અને $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$.
તેવી જ રીતે,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$.
આ પદાવલિ $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,અંતિમ મૂલ્ય $2 \times 6 = 12$ મળે છે.

(A) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, k)$,$D(7, -4, 7)$.
સદિશો:
$\vec{AB} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (k-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
ઘનફળ $= \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 11$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $= \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & k-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22k - 88$.
તેથી,$\frac{1}{6} |22k - 88| = 11 \Rightarrow |22k - 88| = 66$.
કિસ્સો $1$: $22k - 88 = 66 \Rightarrow 22k = 154 \Rightarrow k = 7$.
કિસ્સો $2$: $22k - 88 = -66 \Rightarrow 22k = 22 \Rightarrow k = 1$.
વિકલ્પો મુજબ,$k=7$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ છે.
આપણે $(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot [(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w})]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(\bar{u}-\bar{v}) \times (\bar{v}-\bar{w}) = \bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} - \bar{v} \times \bar{v} + \bar{v} \times \bar{w}$.
કારણ કે $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,તેથી આ $\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w}$ માં પરિણમે છે.
હવે,$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(\bar{u}+\bar{v}-\bar{w}) \cdot (\bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} + \bar{v} \times \bar{w})$
$= \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનો ગુણધર્મ વાપરતા કે જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો તે શૂન્ય થાય છે:
$= 0 - 0 + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + 0 - [\bar{v} \bar{u} \bar{w}] + 0 - [\bar{w} \bar{u} \bar{v}] + 0 - 0$.
$= [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] - [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{x} \quad \bar{y} \quad \bar{z}] = (\bar{x} \times \bar{y}) \cdot \bar{z}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આપેલ પદાવલિ: $[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ((\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
સદિશ નિત્યસમ $(\bar{u} \times \bar{v}) \times \bar{w} = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{v} \cdot \bar{w})\bar{u}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{b} \times \bar{c}) = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = ([\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]\bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] (\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય હોવાથી,$[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
તેથી,$[\bar{a} \times \bar{b} \quad \bar{b} \times \bar{c} \quad \bar{c} \times \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$.
આને $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 1$ મળે છે.

(A) કારણ કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ સમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 0$.
ધારો કે $\overline{\alpha} = 2 \overline{a} - \overline{b}$,$\overline{\beta} = 2 \overline{b} - \overline{c}$,અને $\overline{\gamma} = 2 \overline{c} - \overline{a}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}]$ ને સહગુણકોના નિશ્ચાયક અને $[\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$ ના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય:
$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{vmatrix} [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}]$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા: $2(4 - 0) - (-1)(0 - 1) + 0 = 2(4) + 1(-1) = 8 - 1 = 7$.
આમ,$[\overline{\alpha}, \overline{\beta}, \overline{\gamma}] = 7 \times [\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}] = 7 \times 0 = 0$.

(B) સૌ પ્રથમ,નોંધો કે જમણી બાજુનો નિશ્ચાયક એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ બરાબર છે.
$\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
હવે,ડાબી બાજુના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$[3 \bar{a}+\bar{b} \quad 3 \bar{b}+\bar{c} \quad 3 \bar{c}+\bar{a}] = (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot ((3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}))$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(3 \bar{b}+\bar{c}) \times (3 \bar{c}+\bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a}) = 9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
હવે $(3 \bar{a}+\bar{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$= (3 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (9(\bar{b} \times \bar{c}) + 3(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a}))$
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 9[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + 3[\bar{a} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] + 9[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 3[\bar{b} \quad \bar{b} \quad \bar{a}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.
કોઈપણ બે સમાન સદિશો સાથેનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આનું સાદું રૂપ:
$= 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = 27[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 28[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$.
આને $\lambda [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\lambda = 28$ મળે છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને $\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\bar{a}$ એ $\bar{b} \times \bar{c}$ સદિશને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\hat{n}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ને લંબ એકમ સદિશ છે. તો $\bar{b} \times \bar{c} = |\bar{b}||\bar{c}| \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \hat{n} = 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{n} = 6\sqrt{3} \hat{n}$.
કારણ કે $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ અને $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\bar{a} = |\bar{a}| \hat{n} = 2 \hat{n}$.
તેથી,$\left[\bar{a} \bar{b} \bar{c}\right] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = (2 \hat{n}) \cdot (6\sqrt{3} \hat{n}) = 12\sqrt{3} (\hat{n} \cdot \hat{n}) = 12\sqrt{3} \times 1 = 12\sqrt{3}$.

(B) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]| = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \pm 1$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = \pm 1$
$-2 + 5 - \lambda = \pm 1$
$3 - \lambda = \pm 1$.
કિસ્સો $1$: $3 - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = 2$.
કિસ્સો $2$: $3 - \lambda = -1 \Rightarrow \lambda = 4$.
અહીં $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + \lambda \hat{k}$ અને $\bar{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\lambda = 2$ માટે: $\bar{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{\bar{u} \cdot \bar{w}}{|\bar{u}| |\bar{w}|} = \frac{(1)(2) + (1)(1) + (2)(1)}{\sqrt{1^2+1^2+2^2} \sqrt{2^2+1^2+1^2}} = \frac{2+1+2}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.

(C) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = V$ છે.
આપેલ પદાવલિ $[(\overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}) \times(\overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a})] \cdot(\overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}) = 54$ છે.
આ સદિશો $\overline{u} = \overline{a}+2 \overline{b}+3 \overline{c}$,$\overline{v} = \overline{b}+2 \overline{c}+3 \overline{a}$,અને $\overline{w} = \overline{c}+2 \overline{a}+3 \overline{b}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને સહગુણકોના નિશ્ચાયક તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$1(1-6) - 2(3-4) + 3(9-2) = 1(-5) - 2(-1) + 3(7) = -5 + 2 + 21 = 18$.
આમ,$18 [\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = 54$.
તેથી,$[\overline{a} \ \overline{b} \ \overline{c}] = \frac{54}{18} = 3$.

(A) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \left| \begin{vmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{vmatrix} \right| = |1(1-0) - \alpha(0-\alpha^2) + 1(0-\alpha)| = |1 + \alpha^3 - \alpha|$.
ધારો કે $f(\alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે $f(\alpha)$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(\alpha) = 3\alpha^2 - 1$.
$f'(\alpha) = 0$ લેતા,$3\alpha^2 = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $f''(\alpha) = 6\alpha$.
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\alpha) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$ (સ્થાનિક ન્યૂનતમ).
$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\alpha) = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$ (સ્થાનિક મહત્તમ).
આમ,$\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ મહત્તમ થાય છે.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot [(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c})]$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટના ભાગને સરળ બનાવો:
$(\bar{a}-\bar{b}) \times (\bar{a}-\bar{b}-\bar{c}) = (\bar{a} \times \bar{a}) - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) - (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{b} \times \bar{b}) + (\bar{b} \times \bar{c})$.
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$,$\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,આપણને મળે છે:
$= 0 - (\bar{a} \times \bar{b}) - (\bar{a} \times \bar{c}) + (\bar{a} \times \bar{b}) + 0 + (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) - (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$E = (\bar{a}+2 \bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ અને $\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$ જેવા પદો શૂન્ય થઈ જાય છે.
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 2[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + 0 + 0$.
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,આપણને મળે છે:
$E = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.

(C) સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+\alpha \hat{k}$,અને $\vec{c} = \alpha \hat{i}+\hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \alpha & 1 \\ 0 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \end{array}\right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = 1(1 - 0) - \alpha(0 - \alpha^2) + 1(0 - \alpha) = 1 + \alpha^3 - \alpha$
ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dV}{d\alpha} = 3\alpha^2 - 1 = 0$
$\alpha^2 = \frac{1}{3} \implies \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ:
$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6\alpha$
$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{d\alpha^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$\alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-6 \hat{j}+10 \hat{k}$,$\vec{b} = -\hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$,$\vec{c} = 5 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k}$,અને $\vec{d} = 7 \hat{i}-4 \hat{j}+7 \hat{k}$ છે.
ધાર દર્શાવતા સદિશો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}]|$ છે.
$V = 11$ આપેલ છે,તેથી $11 = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|$.
$66 = |\det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix}|$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$-2(-15 - 2\lambda + 20) - 3(-12 - 6\lambda + 60) - 3(8 - 30) = 22\lambda - 88$.
$|22\lambda - 88| = 66$ હોવાથી,$22\lambda - 88 = 66$ અથવા $22\lambda - 88 = -66$.
કિસ્સો $1$: $22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$.
કિસ્સો $2$: $22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$\lambda = 7$ સાચો જવાબ છે.

(A) સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે,ઘનફળ $= 158$.
$|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = \left|\begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix}\right| = 158$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4) = \pm 158$.
$(12 + n^2) - (6 + n) + (2n^2 - 4n) = \pm 158$.
$3n^2 - 5n + 6 = \pm 158$.
કિસ્સો $1$: $3n^2 - 5n + 6 = 158 \Rightarrow 3n^2 - 5n - 152 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$n = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(3)(-152)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{1849}}{6} = \frac{5 \pm 43}{6}$.
$n \geq 0$ હોવાથી,$n = \frac{48}{6} = 8$.
કિસ્સો $2$: $3n^2 - 5n + 6 = -158 \Rightarrow 3n^2 - 5n + 164 = 0$.
અહીં વિવેચક $D < 0$ હોવાથી,કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
તેથી,$n = 8$.

(C) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD}|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સદિશો મેળવતા:
$\vec{AB} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = 1\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = -2\hat{i} + 0\hat{j} + (x-3)\hat{k}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} -4 & -3 & -2 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & 0 & x-3 \end{vmatrix} = 7x - 17$
આપેલ છે કે $V = \frac{11}{6}$,તેથી $\frac{1}{6} |7x - 17| = \frac{11}{6} \implies |7x - 17| = 11$.
કિસ્સો $1$: $7x - 17 = 11 \implies 7x = 28 \implies x = 4$.
કિસ્સો $2$: $7x - 17 = -11 \implies 7x = 6 \implies x = \frac{6}{7}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$x = 4$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{a}$ ને લંબ છે.
$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{b}|$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta = 1$,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{r}$ અને $\overrightarrow{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે. આમ,$\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{b}$ ને લંબ છે.
તે જ રીતે,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{r}| |\overrightarrow{c}|$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $\overrightarrow{r}$ એ $\overrightarrow{c}$ ને લંબ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{r}$ એ શૂન્યતર સદિશ છે જે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ ત્રણેયને લંબ છે,તેથી આ ત્રણેય સદિશો $\overrightarrow{r}$ ને લંબ સમતલમાં આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ અને $\overrightarrow{c}$ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
આમ,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ સદિશને સમાંતર હોવો જોઈએ.
આમ,$\vec{a}$ અને $\vec{b} \times \vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0$ અથવા $\pi$ છે.
ધારો કે $\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ ની દિશામાં છે,તો આપણને મળે:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = |\vec{a}| |\vec{b} \times \vec{c}| \cos(0) = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 5 \times 3 \times 4 \times \sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right)$.
કારણ કે $\sin\left(\frac{5 \pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 60 \times \frac{1}{2} = 30$.

(A) અદિશ ત્રિગુણક $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (1+x) - x = 1$
પરિણામ $1$ મળે છે,જે અચળ છે,તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ ની કિંમત $x$ કે $y$ બંનેમાંથી એક પણ પર આધાર રાખતી નથી.

(D) $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,$C(x_3, y_3, z_3)$,અને $D(x_4, y_4, z_4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \\ x_4-x_1 & y_4-y_1 & z_4-z_1 \end{bmatrix} \right|$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, \lambda)$,અને $D(7, -4, 7)$ છે.
સદિશોની ગણતરી કરતા:
$\vec{AB} = (-2, 3, -3)$,$\vec{AC} = (4, 5, \lambda-10)$,$\vec{AD} = (6, 2, -3)$
ઘનફળ $11$ છે,તેથી:
$11 = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{bmatrix} \right|$
$66 = | 22\lambda - 88 |$
$22$ વડે ભાગતા: $3 = | \lambda - 4 |$
આથી $\lambda - 4 = 3 \Rightarrow \lambda = 7$ અથવા $\lambda - 4 = -3 \Rightarrow \lambda = 1$.
વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\lambda = 7$ છે.

(A) સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશો $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ અને $\vec{w} = (a, 0, 1)$ છે.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$V(a) = \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{array}\right|$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V(a) = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a = a^3 - a + 1$.
ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,વિકલન $V'(a)$ શોધીને તેને $0$ સાથે સરખાવો:
$V'(a) = 3a^2 - 1 = 0$.
$3a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $V''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$V''(a) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે ન્યૂનતમ કિંમત દર્શાવે છે.
તેથી,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(C) ધાર $\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\overline{u} \overline{v} \overline{w}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ધાર $\overline{a}+\overline{b}, \overline{b}+\overline{c}, \overline{c}+\overline{a}$ છે.
તેથી,$24 = \frac{1}{6} |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot ((\overline{b}+\overline{c}) \times (\overline{c}+\overline{a}))|$.
$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
$\overline{c} \times \overline{c} = 0$ હોવાથી,$144 = |(\overline{a}+\overline{b}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a})|$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{a}]$ જેવા પદો $0$ થાય છે કારણ કે બે સદિશો સમાન છે.
તેથી,$144 = |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]|$.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = [\overline{b} \overline{c} \overline{a}]$ હોવાથી,$144 = 2 |[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]|$.
તેથી,$|[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]| = 72$,જે સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{w}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 2) = 6\hat{i} - 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{6^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89}$ છે.
કારણ કે $\vec{u}$ એક એકમ સદિશ છે $(|\vec{u}| = 1)$,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = |\vec{u}| |\vec{v} \times \vec{w}| \cos \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{u}$ અને $(\vec{v} \times \vec{w})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,તેથી મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{v} \times \vec{w}| = \sqrt{89}$ છે.

(D) આપણને પદ $\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c})]$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,કૌંસની અંદરના પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}$.
હવે,$\bar{a}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$\bar{a} \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b} + (\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}]$
$= \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $\bar{x} \cdot (\bar{y} \times \bar{z}) = [\bar{x} \bar{y} \bar{z}]$ નો ઉપયોગ કરતા,જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેની કિંમત $0$ થાય છે.
$1$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{a}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{a}] = 0$ (કારણ કે $\bar{a}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
$2$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{b}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{b}] = 0$ (કારણ કે $\bar{b}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
$3$. $\bar{a} \cdot ((\bar{b} \times \bar{c}) \times \bar{c}) = [\bar{a} (\bar{b} \times \bar{c}) \bar{c}] = 0$ (કારણ કે $\bar{c}$ પુનરાવર્તિત થાય છે).
આમ,સમગ્ર પદની કિંમત $0+0+0 = 0$ થાય છે.