Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(1, 1, 1)$,$B(-2, 3, 2)$,$C(x, -5, 3)$,અને $D(1, y, -1)$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{AB} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (x-1)\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} + (y-1)\hat{j} - 2\hat{k}$
નિશ્ચાયકને શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} -3 & 2 & 1 \\ x-1 & -6 & 2 \\ 0 & y-1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-3[12 - 2(y-1)] - (x-1)[-4 - (y-1)] = 0$
$-3[14 - 2y] - (x-1)[-y - 3] = 0$
$-42 + 6y + xy + 3x - y - 3 = 0$
$xy + 3x + 5y - 45 = 0$
બંને બાજુ $15$ ઉમેરતા:
$xy + 3x + 5y + 15 = 60$
$(x+5)(y+3) = 60$

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(1, -2, -1)$,$B(4, 0, -3)$,$C(1, 2, -1)$ અને $D(2, -4, -5)$ છે.
સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{b} = \vec{AB} = (4-1)\hat{i} + (0-(-2))\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{c} = \vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (2-(-2))\hat{j} + (-1-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{d} = \vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (-4-(-2))\hat{j} + (-5-(-1))\hat{k} = 1\hat{i} - 2\hat{j} - 4\hat{k}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \end{vmatrix} = 3(-16) - 2(0) - 2(-4) = -48 + 8 = -40$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[\vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{d}, \vec{d} \times \vec{b}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}]^2 = (-40)^2 = 1600$.
તેમજ,$[\vec{b}+\vec{c}, \vec{c}+\vec{d}, \vec{d}+\vec{b}] = 2[\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}] = 2(-40) = -80$.
તેથી,જરૂરી કિંમત $\frac{1600}{-80} = -20$ છે.

(B) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ છે. કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$.
આપેલ છે કે $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
આપણે $S = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b}+\vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c}+\vec{a}) \cdot \vec{r}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પદોને મૂકતા:
$S = \frac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{(\vec{c}+\vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
ગુણધર્મ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ અને $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]} + \frac{[\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + 0}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.
કારણ કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}]$,તેથી:
$S = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) આપેલ સદિશો $a = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $b = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a \ b \ c]$ ને $(a \times b) \cdot c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ શોધો:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 3) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 4) = -5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}$.
તેનું માન $|a \times b| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
કારણ કે $[a \ b \ c] = (a \times b) \cdot c = |a \times b| |c| \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $(a \times b)$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર મહત્તમ થવા માટે,$\cos \theta = 1$ હોવું જોઈએ (એટલે કે $\theta = 0^\circ$),જેનો અર્થ છે કે $c$ એ $(a \times b)$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ.
કારણ કે $c$ એક એકમ સદિશ છે,$c = \frac{a \times b}{|a \times b|} = \frac{-5\hat{i} + 5\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$.

(D) ત્રણ અસમતલીય સદિશો $p, q, r$ માટે,સદિશોની વ્યસ્ત પ્રણાલી $a, b, c$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$a = \frac{q \times r}{[p \ q \ r]}$,$b = \frac{r \times p}{[p \ q \ r]}$,$c = \frac{p \times q}{[p \ q \ r]}$
આપેલ છે કે $b = p \times q$,તેથી $c = \frac{b}{[p \ q \ r]}$ થાય.
$a, b, c$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = [a \ b \ c] = \frac{1}{[p \ q \ r]}$ છે.
$a$ અને $c$ સદિશો દ્વારા બનતા આધારવાળા સમાંતરફલકની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર:
$h = \frac{[a \ b \ c]}{|a \times c|}$
$a, b, c$ એ $p, q, r$ ની વ્યસ્ત પ્રણાલી હોવાથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $a \times c = \frac{q}{[p \ q \ r]}$.
આ કિંમતો ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$h = \frac{1/[p \ q \ r]}{|q / [p \ q \ r]|} = \frac{1}{|q|}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) આપેલ છે,$V = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $W = \hat{i} + 3\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[U V W]$ ને $U \cdot (V \times W)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $V \times W$ ની ગણતરી કરો:
$V \times W = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|V \times W| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ છે.
કારણ કે $U$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|U| = 1$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $U \cdot (V \times W) = |U| |V \times W| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $U$ અને $(V \times W)$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જે $|U| |V \times W| = 1 \times \sqrt{59} = \sqrt{59}$ આપે છે.

(D) આપેલ સદિશો $a=2u+3v+7w$,$b=u+v-2w$ અને $c=-u-2v-3w$ છે.
પ્રથમ,સરવાળો $a+b+c$ શોધો:
$a+b+c = (2+1-1)u + (3+1-2)v + (7-2-3)w = 2u+2v+2w = 2(u+v+w)$.
ત્યારબાદ,અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a, b, c]$ શોધો:
$[a, b, c] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 1 & -2 \\ -1 & -2 & -3 \end{vmatrix}$
$= 2(-3 - 4) - 3(-3 - 2) + 7(-2 + 1)$
$= 2(-7) - 3(-5) + 7(-1)$
$= -14 + 15 - 7 = -6$.
તેનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|[a, b, c]| = |-6| = 6$ થાય.
પદાવલિ $\left|\frac{[u, v, w]}{[a, b, c]}\right|(a+b+c) = \frac{1}{|[a, b, c]|} (a+b+c)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} \times 2(u+v+w) = \frac{1}{3}(u+v+w)$.

(D) સહ-અંતિમ ધાર $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = \begin{vmatrix} 6 & 3 & -4 \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 6(4 - (-1)) - 3(0 - 5) - 4(0 - 10) = 6(5) - 3(-5) - 4(-10) = 30 + 15 + 40 = 85$.
$\vec{OB}$ અને $\vec{OC}$ દ્વારા બનતા પાયાનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{OB} \times \vec{OC}|$ છે.
$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-1)) - \hat{j}(0 - 5) + \hat{k}(0 - 10) = 5 \hat{i} + 5 \hat{j} - 10 \hat{k}$.
પાયાના ક્ષેત્રફળનું મૂલ્ય $|\vec{OB} \times \vec{OC}| = \sqrt{5^2 + 5^2 + (-10)^2} = \sqrt{25 + 25 + 100} = \sqrt{150} = 5 \sqrt{6}$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી સમાંતરફલકની ઊંચાઈ $h = \frac{|\text{ઘનફળ}|}{\text{પાયાનું ક્ષેત્રફળ}} = \frac{85}{5 \sqrt{6}} = \frac{17}{\sqrt{6}}$ થાય.

(B) ધારો કે આપેલા શિરોબિંદુઓ $P(4, 5, 1)$,$Q(0, -1, 1)$,$R(3, 9, 4)$,અને $S(-2, 4, 4)$ છે.
શિરોબિંદુ $P$ માંથી નીકળતી ધાર દર્શાવતા સદિશો:
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = -4\hat{i} - 6\hat{j}$
$\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = -\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$
$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OP} = -6\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}]|$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$[\overrightarrow{PQ}, \overrightarrow{PR}, \overrightarrow{PS}] = \begin{vmatrix} -4 & -6 & 0 \\ -1 & 4 & 3 \\ -6 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= -4(12 + 3) + 6(-3 + 18) = -4(15) + 6(15) = -60 + 90 = 30$.
તેથી,ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{1}{6} \times 30 = 5$ ઘન એકમ થાય.

(D) આપણને ચાર સદિશો $a, b, c$ અને $d$ આપેલા છે કે જેથી $a \cdot b = 0$,$|a \times c| = |a||c|$,અને $|a \times d| = |a||d|$ છે.
શરતો $|a \times c| = |a||c|$ અને $|a \times d| = |a||d|$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $a, c$ અને $a, d$ વચ્ચેના ખૂણાઓ માટે $\sin \theta = 1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a \perp c$ અને $a \perp d$.
કારણ કે $c$ અને $d$ બંને $a$ ને લંબ છે,તેથી સદિશ $(c \times d)$ એ $a$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
તેથી,આપણે $c \times d = \lambda a$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એ કોઈ અચળાંક છે.
હવે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[b c d] = b \cdot (c \times d)$ ની ગણતરી કરીએ.
$c \times d = \lambda a$ મૂકતા,આપણને $[b c d] = b \cdot (\lambda a) = \lambda (b \cdot a)$ મળે છે.
કારણ કે $a \cdot b = 0$,તેથી $b \cdot a = 0$ થાય.
આમ,$[b c d] = \lambda \times 0 = 0$.

(A) આપેલ છે કે,$a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$.
કારણ કે $c$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલને લંબ છે,તેથી $c$ એ $a \times b$ ને સમાંતર છે.
પ્રથમ,$a \times b$ ની ગણતરી કરીએ:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-9)) - \hat{j}(4 - (-3)) + \hat{k}(6 - 1) = 11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
તેનું માન $|a \times b| = \sqrt{11^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{121 + 49 + 25} = \sqrt{195}$.
કારણ કે $c$ એ $a \times b$ ને સમાંતર છે અને $|c|=2$,તેથી $c = \pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|} = \pm \frac{2}{\sqrt{195}} (11 \hat{i} - 7 \hat{j} + 5 \hat{k})$.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot c|$ દ્વારા મળે છે.
$|[a, b, c]| = |(a \times b) \cdot (\pm 2 \frac{a \times b}{|a \times b|})| = |\pm 2 \frac{|a \times b|^2}{|a \times b|}| = 2 |a \times b|$.
$|a \times b| = \sqrt{195}$ મૂકતા,ઘનફળ $2 \sqrt{195}$ મળે છે.

(D) આપેલ સદિશો $a=2 \hat{i}-3 \hat{j}+5 \hat{k}$,$b=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $c=5 \hat{i}-3 \hat{j}-2 \hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સમાંતરફલકની ધારની ગણતરી કરીએ:
$a+b = 5 \hat{i}-7 \hat{j}+10 \hat{k}$
$b+c = 8 \hat{i}-7 \hat{j}+3 \hat{k}$
$c+a = 7 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$
સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a+b, b+c, c+a]$ દ્વારા મળે છે,જે આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$V = \begin{vmatrix} 5 & -7 & 10 \\ 8 & -7 & 3 \\ 7 & -6 & 3 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = 5(-21 + 18) + 7(24 - 21) + 10(-48 + 49)$
$V = 5(-3) + 7(3) + 10(1)$
$V = -15 + 21 + 10 = 16$
આમ,સમાંતરફલકનું ઘનફળ $16$ ઘન એકમ છે.

(C) ધારો કે એકમ સદિશ $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{r}, \vec{a}, \vec{b}] = 0$ થાય.
$\left|\begin{matrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right| = 0 \Rightarrow x(1-9) - y(1-3) + z(3-1) = 0 \Rightarrow -8x + 2y + 2z = 0 \Rightarrow -4x + y + z = 0$ $(i)$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{r} \cdot \vec{c} = 0$ થાય.
$x + y + z = 0$ (ii).
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(x + y + z) - (-4x + y + z) = 0 \Rightarrow 5x = 0 \Rightarrow x = 0$.
(ii) માં $x=0$ મૂકતા,આપણને $y + z = 0 \Rightarrow y = -z$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{r}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
$0^2 + y^2 + (-y)^2 = 1 \Rightarrow 2y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તો $z = -\frac{1}{\sqrt{2}}$. જો $y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$,તો $z = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$\vec{r} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$. વિકલ્પ $(C)$ એ $\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{j} - \hat{k})$ છે.

(C) અદિશ ત્રિગુણિતને $[u v w] = u \cdot (v \times w)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $u$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|u| = 1$.
ડોટ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$|u \cdot (v \times w)| \leq |u| |v \times w| = |v \times w|$.
સૌ પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $v \times w$ ની ગણતરી કરો:
$v \times w = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 0) - j(6 - (-1)) + k(0 - 1) = 3i - 7j - k$.
હવે,મળેલા સદિશનું માન શોધો:
$|v \times w| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
તેથી,$[u v w]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{59}$ છે.

(A) ધારો કે $\overrightarrow{OA} = \vec{a}, \overrightarrow{OB} = \vec{b}, \overrightarrow{OC} = \vec{c}$. સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ છે.
લંબઘન સમાંતરફલકમાં $P$ એ $O$ ની સામેનું શિરોબિંદુ હોવાથી,$P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ થાય.
હવે,$\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{BP}, \overrightarrow{CP}$ સદિશોને $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$\overrightarrow{AP} = \vec{p} - \vec{a} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$
$\overrightarrow{BP} = \vec{p} - \vec{b} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{b} = \vec{a} + \vec{c}$
$\overrightarrow{CP} = \vec{p} - \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - \vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$
આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}] = [(\vec{b} + \vec{c}) (\vec{a} + \vec{c}) (\vec{a} + \vec{b})]$ શોધવાનો છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[\vec{x}+\vec{y}, \vec{y}+\vec{z}, \vec{z}+\vec{x}] = 2[\vec{x} \vec{y} \vec{z}]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$[\overrightarrow{AP} \overrightarrow{BP} \overrightarrow{CP}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2V$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદને સરળ બનાવો: $(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}) \times (\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})$.
$= (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$.
કારણ કે $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}$ અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$,અને $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a} = -(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \overrightarrow{0} - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{0} + (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$.
હવે,$E = (\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}) \cdot ((\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા $[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}] = \overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{w})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) + 2\overrightarrow{b} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) - \overrightarrow{c} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})$.
નોંધો કે પુનરાવર્તિત સદિશો ધરાવતું કોઈપણ સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $0$ થાય છે (દા.ત.,$\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = 0$).
$E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 0 + 0 + 2[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 0 - 0$.
કારણ કે $[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$,તેથી $E = [\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] + 2[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 3[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$.

(A) ધારો કે ધાર $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$ છે.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(\lambda + 1) - 2(\lambda - 1) - 1(-1 - 1) = \lambda + 1 - 2\lambda + 2 + 2 = 5 - \lambda$.
આમ,$\frac{2}{3} = \frac{1}{6} |5 - \lambda|$.
$4 = |5 - \lambda|$.
આનો અર્થ એ છે કે $5 - \lambda = 4$ અથવા $5 - \lambda = -4$.
જો $5 - \lambda = 4$,તો $\lambda = 1$.
જો $5 - \lambda = -4$,તો $\lambda = 9$.
આપેલા વિકલ્પોમાં ફક્ત $1$ હોવાથી,સાચો જવાબ $\lambda = 1$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 3\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$ શોધો:
$\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 0) - \hat{j}(6 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = 3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = \overrightarrow{a} \cdot (3\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$.
કારણ કે $\overrightarrow{a}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$.
અદિશ ગુણાકાર $|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}| \cos \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ નું માન $\sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ છે.
તેથી,$[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 1 \cdot \sqrt{59} \cdot \cos \theta$.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જે $\sqrt{59}$ છે.

(B) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$,અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ ધાર ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
અહીં,$\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$|\vec{a} \vec{b} \vec{c}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
આમ,ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ઘન એકમ થાય.

(D) આપેલ છે કે,$[a, b, c] = 3$.
$2a+b$,$2b+c$ અને $2c+a$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $[2a+b, 2b+c, 2c+a]$ દ્વારા મળે છે.
$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot ((2b+c) \times (2c+a)) + b \cdot ((2b+c) \times (2c+a))$.
ક્રોસ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2b+c) \times (2c+a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + 2(c \times c) + (c \times a) = 4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)$ (કારણ કે $c \times c = 0$).
હવે,$[2a+b, 2b+c, 2c+a] = 2a \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a)) + b \cdot (4(b \times c) + 2(b \times a) + (c \times a))$.
ડોટ ગુણાકારનું વિતરણ કરતા:
$= 8[a, b, c] + 4[a, b, a] + 2[a, c, a] + 4[b, b, c] + 2[b, b, a] + [b, c, a]$.
કોઈપણ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારમાં બે સમાન સદિશો હોય તો તેનું મૂલ્ય $0$ થાય છે:
$[a, b, a] = 0, [a, c, a] = 0, [b, b, c] = 0, [b, b, a] = 0$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ:
$8[a, b, c] + [b, c, a]$.
કારણ કે $[b, c, a] = [a, b, c]$,તેથી:
$8[a, b, c] + [a, b, c] = 9[a, b, c]$.
$[a, b, c] = 3$ આપેલ હોવાથી,ઘનફળ $9 \times 3 = 27$ ઘન એકમ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp \vec{b}$ અને $\vec{a} \perp \vec{c}$,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,આ સમીકરણ $2(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$ માં પરિણમે છે,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.
હવે,સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ધ્યાનમાં લો: $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c})\vec{a}$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ હોવાથી,આપણને $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ મળે છે,તેથી $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = 0$.
આગળ,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ છે.
$\vec{a} \perp \vec{b}$,$\vec{a} \perp \vec{c}$ અને $\vec{b} \perp \vec{c}$ હોવાથી,સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$.
આમ,$|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|+|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}| = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| + 0 = |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[abc]$ એ સદિશો $a$,$b$,અને $c$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[abc] = \begin{vmatrix} p & p & p \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$[abc] = p(1(2) - (-2)(-1)) - p(1(2) - (-2)(2)) + p(1(-1) - 1(2))$
$[abc] = p(2 - 2) - p(2 + 4) + p(-1 - 2)$
$[abc] = p(0) - p(6) + p(-3) = -9p$
આપેલ છે કે $-5 \leq [abc] \leq 15$,તેથી $[abc] = -9p$ મૂકતા:
$-5 \leq -9p \leq 15$
$-9$ વડે ભાગતા અને અસમતાની નિશાની બદલતા:
$\frac{15}{-9} \leq p \leq \frac{-5}{-9}$
$\frac{-5}{3} \leq p \leq \frac{5}{9}$
આમ,$p \in \left[\frac{-5}{3}, \frac{5}{9}\right]$.

(A) ધારો કે $\vec{x} = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) + (\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) + (\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$.
સદિશ નિત્યસમ $(\vec{p} \times \vec{q}) \times \vec{r} = (\vec{p} \cdot \vec{r})\vec{q} - (\vec{q} \cdot \vec{r})\vec{p}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$1$. $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{c} \times \vec{d}) = [\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} - [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$
$2$. $(\vec{a} \times \vec{c}) \times(\vec{d} \times \vec{b}) = [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} - [\vec{c} \vec{d} \vec{b}]\vec{a}$
$3$. $(\vec{a} \times \vec{d}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} - [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$\vec{x} = ([\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d}) - ([\vec{b} \vec{c} \vec{d}] + [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] + [\vec{d} \vec{b} \vec{c}])\vec{a}$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય હોવાથી,$[\vec{b} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{c} \vec{d} \vec{b}] = [\vec{d} \vec{b} \vec{c}]$.
આમ,$\vec{a}$ નો સહગુણક $-3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,$[\vec{a} \vec{c} \vec{d}]\vec{b} + [\vec{a} \vec{d} \vec{b}]\vec{c} + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{d} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\vec{x} = [\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} - 3[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a} = -2[\vec{b} \vec{c} \vec{d}]\vec{a}$.
તેથી,$\vec{x}$ એ $\vec{a}$ નો અદિશ ગુણિત હોવાથી,તે $\vec{a}$ ને સમાંતર છે.

(C) કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b c] \neq 0$ થાય.
ધારો કે $V = [a b c]$. સદિશો $b \times c, c \times a, a \times b$ એ અવકાશ માટે આધાર (basis) બનાવે છે.
કોઈપણ સદિશ $d$ ને $d = x(b \times c) + y(c \times a) + z(a \times b)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $a \cdot d = x(a \cdot (b \times c)) = x[a b c] \Rightarrow x = \frac{a \cdot d}{[a b c]}$.
તે જ રીતે,$y = \frac{b \cdot d}{[a b c]}$ અને $z = \frac{c \cdot d}{[a b c]}$.
આ કિંમતો $d$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$d = \frac{(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)}{[a b c]}$.
તેથી,$(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b) = d [a b c]$.
બંને બાજુ માન (magnitude) લેતા:
$|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = |d| |[a b c]|$.
$d$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|d| = 1$.
તેથી,આ પદાવલિનું મૂલ્ય $|[a b c]|$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $p = \frac{b \times c}{[a b c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a b c]}$,અને $r = \frac{a \times b}{[a b c]}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[a b c] = a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$.
હવે,$(a+b) \cdot p$ ની ગણતરી કરીએ:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a b c]} = \frac{[a b c]}{[a b c]} + 0 = 1$.
તે જ રીતે,$(b+c) \cdot q$ ની ગણતરી કરીએ:
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a b c]} = \frac{[b c a]}{[a b c]} + 0 = 1$.
તે જ રીતે,$(c+a) \cdot r$ ની ગણતરી કરીએ:
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a b c]} = \frac{[c a b]}{[a b c]} + 0 = 1$.
તેથી,$(a+b) \cdot p + (b+c) \cdot q + (c+a) \cdot r = 1 + 1 + 1 = 3$.

(A) અદિશ ત્રિગુણક $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$,$\vec{b} = 0\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = -\hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$ છે.
$[\hat{i}-\hat{j}, \hat{j}-\hat{k}, \hat{k}-\hat{i}] = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1(1 \times 1 - (-1) \times 0) - (-1)(0 \times 1 - (-1) \times (-1)) + 0(0 \times 0 - 1 \times (-1))$
$= 1(1 - 0) + 1(0 - 1) + 0(0 + 1)$
$= 1(1) + 1(-1) + 0$
$= 1 - 1 = 0$.

(C) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}, \vec{p_4}$ છે. જો સદિશો $\vec{p_2}-\vec{p_1}$,$\vec{p_3}-\vec{p_1}$,અને $\vec{p_4}-\vec{p_1}$ સમતલીય હોય તો બિંદુઓ સમતલીય કહેવાય.
આ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{v_1} = \vec{p_2}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - (\lambda+3)\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{v_2} = \vec{p_3}-\vec{p_1} = (3-\lambda)\vec{a} + 1\vec{b} + (1-\lambda)\vec{c}$
$\vec{v_3} = \vec{p_4}-\vec{p_1} = (1-\lambda)\vec{a} - 9\vec{b} + 7\vec{c}$
આ સદિશો સમતલીય હોવા માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1-\lambda & -(\lambda+3) & 4 \\ 3-\lambda & 1 & 1-\lambda \\ 1-\lambda & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે કે $\lambda = 2$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P_1 = 2a+3b-c, P_2 = a-2b+3c, P_3 = 3a+\lambda b-2c$ અને $P_4 = a-6b+6c$ છે.
સદિશો $\vec{P_1P_2}, \vec{P_1P_3}$ અને $\vec{P_1P_4}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
$\vec{P_1P_2} = -a-5b+4c$
$\vec{P_1P_3} = a+(\lambda-3)b-c$
$\vec{P_1P_4} = -a-9b+7c$
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & \lambda-3 & -1 \\ -1 & -9 & 7 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $-1(7(\lambda-3) - 9) + 5(7-1) + 4(-9 + (\lambda-3)) = 0$.
$-1(7\lambda - 21 - 9) + 5(6) + 4(\lambda - 12) = 0$.
$-7\lambda + 30 + 30 + 4\lambda - 48 = 0$.
$-3\lambda + 12 = 0 \Rightarrow \lambda = 4$.
સદિશ $4\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ મળે છે.
તેનું માન $\sqrt{4^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 64 + 1} = \sqrt{81} = 9$ છે.
દિક્કોસાઇન $\frac{4}{9}, \frac{-8}{9}, \frac{1}{9}$ છે.

(B) કારણ કે $\vec{e}$ એ $\vec{u} = \hat{i} - 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{v} = 3 \hat{i} + \hat{j} - 5 \hat{k}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ 1 & -3 & 5 \\ 3 & 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$a(15 - 5) - b(-5 - 15) + c(1 + 9) = 0$
$10a + 20b + 10c = 0 \Rightarrow a + 2b + c = 0$ ...$(i)$
આપેલ છે કે $\vec{e} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,તેથી:
$a + b + c = 0$ ...$(ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $(a + 2b + c) - (a + b + c) = 0 \Rightarrow b = 0$.
$(ii)$ માં $b = 0$ મૂકતા,$c = -a$ મળે.
$\vec{e}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,$a^2 + b^2 + c^2 = 1 \Rightarrow a^2 + 0^2 + (-a)^2 = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$ અને $c^2 = \frac{1}{2}$.
હવે,$2a^2 + 3b^2 + 4c^2 = 2(\frac{1}{2}) + 3(0) + 4(\frac{1}{2}) = 1 + 0 + 2 = 3$.

(A) આપેલ છે કે,$\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ અને $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$.
ચૂંક $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એક જ સમતલમાં આવેલા છે,તેથી સદિશ $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ આ સમતલને લંબ છે.
આપેલ છે કે સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ ને સમાવતા સમતલને સમાંતર છે,તેથી સદિશ $\overrightarrow{c}$ એ લંબ સદિશ $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})$ અને $\overrightarrow{c}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{c} = 0$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ શોધો:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(3 + 4) = -7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}$.
હવે,$\overrightarrow{c}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર કરો:
$(-7\hat{i} + 7\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i} + \hat{j} + (2\lambda - 1)\hat{k}) = 0$.
$-7\lambda + 7(1) + 7(2\lambda - 1) = 0$.
$-7\lambda + 7 + 14\lambda - 7 = 0$.
$7\lambda = 0$.
આમ,$\lambda = 0$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{c}=x\hat{i}+(x-2)\hat{j}-\hat{k}$ છે.
સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) ધારો કે સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$ અને $\vec{d} = 4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય છે જો સદિશો $\vec{BA}, \vec{CA}, \vec{DA}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય.
$\vec{BA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{CA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (5\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}) = -2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{DA} = (3\hat{i}-2\hat{j}-\hat{k}) - (4\hat{i}-\hat{j}-\lambda\hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} - (1+\lambda)\hat{k}$
નિશ્ચાયક શૂન્ય લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & -(1+\lambda) \end{vmatrix} = 0$
ગણતરી કરતા:
$-1(\lambda-2) + 1(2\lambda-1) + 3 = 0$
$-\lambda + 2 + 2\lambda - 1 + 3 = 0$
$\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = -4$.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = -2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j}-\hat{k}$,અને $\vec{d} = \lambda\hat{j}+\hat{k}$ છે.
જો ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ સમતલીય હોય,જેનો અર્થ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[(\vec{b}-\vec{a}), (\vec{c}-\vec{a}), (\vec{d}-\vec{a})] = 0$.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (\lambda-1)\hat{j} + 0\hat{k}$
નિશ્ચાયક દ્વારા અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & \lambda-1 & 0 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$3(0 - (-2)(\lambda-1)) = 0$
$3(2(\lambda-1)) = 0$
$6(\lambda-1) = 0$
$\lambda-1 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણન સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે '$a$' ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ:
$\frac{d\Delta}{da} = 3a^2 - 1 = 0 \implies a^2 = \frac{1}{3} \implies a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$
દ્વિતીય વિકલન કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{d^2\Delta}{da^2} = 6a$
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2\Delta}{da^2} = -\frac{6}{\sqrt{3}} < 0$,જે સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય સૂચવે છે.
આમ,'$a$' ની કિંમત જેના માટે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણન મહત્તમ છે તે $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) સમાંતરફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $9$ છે, તેથી:
$|[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})]| = 9$
આપણે જાણીએ છીએ કે $[(\vec{a} \times \vec{b}) \quad (\vec{b} \times \vec{c}) \quad (\vec{c} \times \vec{a})] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$.
તેથી, $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$.
હવે, આપણે $\vec{u}' = (\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c})$, $\vec{v}' = (\vec{b} \times \vec{c}) \times(\vec{c} \times \vec{a})$, અને $\vec{w}' = (\vec{c} \times \vec{a}) \times(\vec{a} \times \vec{b})$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
ગુણધર્મ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times(\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\vec{u}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}$, $\vec{v}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}$, $\vec{w}' = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a}$.
ઘનફળ $|[\vec{u}' \vec{v}' \vec{w}']| = |[([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{b}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{c}) \quad ([\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \vec{a})]|$.
$= |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^3 [\vec{b} \vec{c} \vec{a}]| = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4|$.
કારણ કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 9$, તેથી $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^4 = (9)^2 = 81$.
તેથી, ઘનફળ $81 \text{ ઘન એકમ}$ છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણનફળ (scalar triple product) ની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \times \vec{\gamma})$ છે.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{\beta} \times \vec{\gamma}$ શોધો:
$\vec{\beta} \times \vec{\gamma} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 0) - \hat{j}(1 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,$[\vec{\alpha} \vec{\beta} \vec{\gamma}] = \vec{\alpha} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k})$.
કારણ કે $\vec{\alpha}$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી અદિશ ગુણાકાર $\vec{\alpha} \cdot \vec{v}$ નું મૂલ્ય ત્યારે મહત્તમ થાય જ્યારે $\vec{\alpha}$ એ $\vec{v}$ ની દિશામાં હોય,અને તેનું મહત્તમ મૂલ્ય $|\vec{v}|$ જેટલું થાય.
અહીં,$\vec{v} = \hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{6}$ છે.

(B) ધારો કે ત્રણ રેખાઓના દિક્-ગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, -1, 1)$,$\vec{b} = (2, -3, 0)$ અને $\vec{c} = (1, 0, 3)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,તેઓ ત્યારે જ સમતલીય હોય જો તેમના દિક્-સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$.
આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધીએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= 1((-3)(3) - (0)(0)) - (-1)((2)(3) - (0)(1)) + 1((2)(0) - (-3)(1))$
$= 1(-9 - 0) + 1(6 - 0) + 1(0 + 3)$
$= -9 + 6 + 3 = 0$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ હોવાથી,ત્રણેય સદિશો સુરેખ રીતે આધારિત છે,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય રેખાઓ એક જ સમતલમાં આવેલી છે.
તેથી,રેખાઓ સમતલીય છે.

(A) આપણને $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ આપેલ છે.
આપણે $\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})$ ની કિંમત શોધવી છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b})$ મળે છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$,તેથી $\vec{c} \cdot \vec{a} = 3$ થાય.
હવે,$\vec{c} \cdot \vec{b}$ પદને ધ્યાનમાં લો. કારણ કે $\vec{b} = \vec{a} \times \vec{c}$,આપણે આ કિંમત પદમાં મૂકીએ:
$\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો ત્રણ સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે. આમ,$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
તેથી,$\vec{c} \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{a} - 2(\vec{c} \cdot \vec{b}) = 3 - 2(0) = 3$.