Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(D) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ એ તેની પાસપાસેની ધાર $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & -4 & 5 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |1((-4)(2) - (5)(-5)) - (-1)((2)(2) - (5)(3)) + 1((2)(-5) - (-4)(3))|$
$V = |1(-8 + 25) + 1(4 - 15) + 1(-10 + 12)|$
$V = |1(17) + 1(-11) + 1(2)|$
$V = |17 - 11 + 2| = |8| = 8 \text{ ઘન એકમ.}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a, b, c]$ ચક્રીય ગુણધર્મ ધરાવે છે: $[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$.
વળી,કોઈપણ બે સદિશોની અદલાબદલી કરવાથી અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારની નિશાની બદલાય છે: $[a, b, c] = -[b, a, c]$.
આપેલ પદાવલિ: $[i, k, j] + [k, j, i] + [j, k, i]$.
$1$. $[i, k, j] = -[i, j, k] = -1$.
$2$. $[k, j, i] = [i, k, j] = -1$.
$3$. $[j, k, i] = [i, j, k] = 1$.
આનો સરવાળો: $(-1) + (-1) + (1) = -1$.

(B) આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(u + v - w) \cdot [(u - v) \times (v - w)]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(u - v) \times (v - w) = u \times v - u \times w - v \times v + v \times w$.
કારણ કે $v \times v = 0$,આ $u \times v - u \times w + v \times w$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(u + v - w)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો:
$(u + v - w) \cdot (u \times v - u \times w + v \times w) = u \cdot (u \times v) - u \cdot (u \times w) + u \cdot (v \times w) + v \cdot (u \times v) - v \cdot (u \times w) + v \cdot (v \times w) - w \cdot (u \times v) + w \cdot (u \times w) - w \cdot (v \times w)$.
ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને કે જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$u \cdot (u \times v) = 0, u \cdot (u \times w) = 0, v \cdot (u \times v) = 0, v \cdot (v \times w) = 0, w \cdot (u \times w) = 0, w \cdot (v \times w) = 0$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$u \cdot (v \times w) - v \cdot (u \times w) - w \cdot (u \times v)$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા $[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$ અને $[v, u, w] = -[u, v, w]$:
$= [u, v, w] - (-[u, v, w]) - [w, u, v] = [u, v, w] + [u, v, w] - [u, v, w] = [u, v, w] = u \cdot (v \times w)$.

(D) આપણને પદ $a \cdot [(b + c) \times (a + b + c)]$ આપેલ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,કૌંસમાં રહેલા પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$(b + c) \times (a + b + c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
કોઈપણ સદિશનો પોતાની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$),પદ આ મુજબ સાદું થાય છે:
$(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)$.
હવે,$a$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$a \cdot [(b \times a) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b)] = a \cdot (b \times a) + a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (c \times b)$.
આને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સ્વરૂપમાં લખતા:
$[a \, b \, a] + [a \, b \, c] + [a \, c \, a] + [a \, c \, b]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારમાં,જો કોઈપણ બે સદિશ સમાન હોય,તો તેની કિંમત $0$ થાય છે. તેથી,$[a \, b \, a] = 0$ અને $[a \, c \, a] = 0$.
વળી,$[a \, c \, b] = -[a \, b \, c]$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$0 + [a \, b \, c] + 0 - [a \, b \, c] = 0$.

(C) સદિશો $\vec{a} = 4i + 11j + mk$,$\vec{b} = 7i + 2j + 6k$ અને $\vec{c} = i + 5j + 4k$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 4 & 11 & m \\ 7 & 2 & 6 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(2 \times 4 - 6 \times 5) - 11(7 \times 4 - 6 \times 1) + m(7 \times 5 - 2 \times 1) = 0$
$4(8 - 30) - 11(28 - 6) + m(35 - 2) = 0$
$4(-22) - 11(22) + m(33) = 0$
$-88 - 242 + 33m = 0$
$-330 + 33m = 0$
$33m = 330$
$m = 10$
આમ,$m$ ની કિંમત $10$ છે.

(C) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A(2, 3, -1)$,$B(1, 2, 3)$,$C(3, 4, -2)$ અને $D(1, -\lambda, 6)$ છે.
બનતા સદિશો:
$\overrightarrow{AB} = -i - j + 4k$
$\overrightarrow{AC} = i + j - k$
$\overrightarrow{AD} = -i - (\lambda + 3)j + 7k$
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$[\overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}] = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -(\lambda + 3) & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1[7 - (\lambda + 3)] + 1[6] + 4[-\lambda - 2] = 0$
$-4 + \lambda + 6 - 4\lambda - 8 = 0$
$-3\lambda - 6 = 0$
$\lambda = -2$.

(C) કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] \neq 0$ થાય.
સદિશો $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ અને $(2\lambda - 1)c$ અસમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય ન હોય:
$[(a + 2b + 3c), (\lambda b + 4c), (2\lambda - 1)c] \neq 0$.
અદિશ ત્રિગુણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$(a + 2b + 3c) \cdot [(\lambda b + 4c) \times (2\lambda - 1)c] \neq 0$
$(a + 2b + 3c) \cdot [\lambda(2\lambda - 1)(b \times c)] \neq 0$
$a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$,$b \cdot (b \times c) = 0$,અને $c \cdot (b \times c) = 0$ હોવાથી,પદાવલિ નીચે મુજબ સાદું રૂપ ધારણ કરે છે:
$\lambda(2\lambda - 1)[a, b, c] \neq 0$.
આપેલ છે કે $[a, b, c] \neq 0$,તેથી અસમતલીયતા માટેની શરત $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \neq 0$ અને $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
આમ,સદિશો $\lambda = 0$ અને $\lambda = \frac{1}{2}$ સિવાયની $\lambda$ ની તમામ કિંમતો માટે અસમતલીય છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a, b, c]$ ને $a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,સદિશોના ચક્રીય ક્રમમાં ફેરફાર કરવાથી તેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
તેથી,$[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$[a, b, c] = [b, c, a]$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $a \cdot b = 0$,$b \cdot c = 0$,અને $c \cdot a = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશો $a$,$b$,અને $c$ એકબીજાને પરસ્પર લંબ છે.
ધારો કે $a$,$b$,અને $c$ અનુક્રમે $X$,$Y$,અને $Z$ અક્ષો પરના સદિશો છે,જેથી $a = |a|i$,$b = |b|j$,અને $c = |c|k$ થાય.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા $[a b c] = (a \times b) \cdot c$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $a \times b = (|a|i \times |b|j) = |a||b|k$ મળે છે.
તેથી,$[a b c] = (|a||b|k) \cdot (|c|k) = |a||b||c|(k \cdot k) = |a||b||c|(1) = |a||b||c|$.
આમ,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું મૂલ્ય $|a||b||c|$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $a$,$b$,અને $c$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય,એટલે કે $[a, b, c] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણક એ સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3(0) - 1(\alpha)) - 1(2(0) - 1(1)) + (-1)(2(\alpha) - 3(1)) = 0$
$-\alpha + 1 - 2\alpha + 3 = 0$
$-3\alpha + 4 = 0$
$3\alpha = 4$
$\alpha = \frac{4}{3}$.

(D) ત્રણ સદિશો $a, b, c$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અદિશ ત્રિગુણકના ગુણધર્મો મુજબ,તે ચક્રીય છે,એટલે કે $a \cdot (b \times c) = (b \times c) \cdot a = (a \times b) \cdot c$.
વિકલ્પ $A$,$B$,અને $C$ એ અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c]$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $D$ એ $(a \cdot c) \times b$ છે,જે એક અદિશ $(a \cdot c)$ અને સદિશ $b$ નો સદિશ ગુણાકાર છે. આનું પરિણામ એક સદિશ મળે છે,જ્યારે અદિશ ત્રિગુણકનું પરિણામ એક અદિશ મળે છે.
તેથી,$(a \cdot c) \times b$ એ અદિશ ત્રિગુણકને સમાન નથી અને આ સંદર્ભમાં પ્રમાણિત નિત્યસમ નથી.

(C) અદિશ ત્રિગુણન (scalar triple product) ની વ્યાખ્યા $[a \; b \; c] = a \cdot (b \times c)$ છે.
કારણ કે $a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે,તેથી $a$ એ સદિશ $b \times c$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
ધારો કે $n$ એ $b$ અને $c$ ધરાવતા સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે,જેથી $b \times c = |b||c| \sin(\theta) n$,જ્યાં $\theta = \frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી $b \times c = 3 \times 4 \times \sin(\frac{2\pi}{3}) n = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} n = 6\sqrt{3} n$.
$a$ એ $b$ અને $c$ ને લંબ હોવાથી,$a$ એ $n$ ને સમાંતર છે. આમ,$a = \pm 2n$.
તેથી,$[a \; b \; c] = a \cdot (b \times c) = (\pm 2n) \cdot (6\sqrt{3} n) = \pm 12\sqrt{3} (n \cdot n) = \pm 12\sqrt{3}$.
આમ,જવાબ $12\sqrt{3}$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $[\lambda(a + b), \lambda^2 b, \lambda c] = [a, b + c, b]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^2 b \times \lambda c) = a \cdot ((b + c) \times b)$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$\lambda(a + b) \cdot (\lambda^3 (b \times c)) = \lambda^4 (a \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times c))$
કારણ કે $b \times b = 0$,આ $\lambda^4 [a, b, c]$ બને છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા:
$a \cdot (b \times b + c \times b) = a \cdot (0 + c \times b) = a \cdot (c \times b) = [a, c, b]$
ગુણધર્મ $[a, c, b] = -[a, b, c]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\lambda^4 [a, b, c] = -[a, b, c]$
પુનઃગોઠવણ કરતા:
$[a, b, c](\lambda^4 + 1) = 0$
કારણ કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,$[a, b, c] \neq 0$. તેથી,$\lambda^4 + 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda^4 = -1$.
$\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$\lambda^4$ હંમેશા અ-ઋણ હોવું જોઈએ. તેથી,$\lambda$ ની કોઈ વાસ્તવિક કિંમત સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = -i + 2j + \lambda k$,અને $\vec{c} = -5i + 2j - k$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left| \begin{matrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & \lambda \\ -5 & 2 & -1 \end{matrix} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(-1) - 2(\lambda)) - 1((-1)(-1) - (-5)(\lambda)) + (-1)((-1)(2) - (-5)(2)) = 0$
$2(-2 - 2\lambda) - 1(1 + 5\lambda) - 1(-2 + 10) = 0$
$-4 - 4\lambda - 1 - 5\lambda - 8 = 0$
$-9\lambda - 13 = 0$
$-9\lambda = 13$
$\lambda = -\frac{13}{9}$.

(A) જો સદિશ $\alpha$ એ $\beta$ અને $\gamma$ ના સમતલમાં હોય,તો સદિશો $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ સમતલીય (coplanar) છે.
કોઈપણ ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર (scalar triple product) શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$[\alpha, \beta, \gamma] = \alpha \cdot (\beta \times \gamma) = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha = 2i + 3j - k$,$\beta = -i + 2j - 4k$ અને $\gamma = i + j + k$.
આપણે સદિશ નિત્યસમ $(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma) = (\alpha \cdot \alpha)(\beta \cdot \gamma) - (\alpha \cdot \gamma)(\beta \cdot \alpha)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\alpha \cdot \alpha = (2)^2 + (3)^2 + (-1)^2 = 4 + 9 + 1 = 14$.
$\beta \cdot \gamma = (-1)(1) + (2)(1) + (-4)(1) = -1 + 2 - 4 = -3$.
$\alpha \cdot \gamma = (2)(1) + (3)(1) + (-1)(1) = 2 + 3 - 1 = 4$.
$\beta \cdot \alpha = (-1)(2) + (2)(3) + (-4)(-1) = -2 + 6 + 4 = 8$.
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\alpha \times \beta) \cdot (\alpha \times \gamma) = (14)(-3) - (4)(8) = -42 - 32 = -74$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ છે.
ધારો કે $x = b \times c$,$y = c \times a$,અને $z = a \times b$.
તેથી $[b \times c, c \times a, a \times b] = (b \times c) \cdot ((c \times a) \times (a \times b))$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(c \times a) \times (a \times b) = ((c \times a) \cdot b)a - ((c \times a) \cdot a)b$.
કારણ કે $(c \times a) \cdot a = 0$,આ પદ $((c \times a) \cdot b)a = [c, a, b]a = [a, b, c]a$ માં પરિણમે છે.
આ કિંમતને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારમાં મૂકતા:
$(b \times c) \cdot ([a, b, c]a) = [a, b, c]((b \times c) \cdot a) = [a, b, c][b, c, a]$.
કારણ કે $[a, b, c] = [b, c, a]$,તેથી આપણને $[a, b, c][a, b, c] = [a, b, c]^2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $c$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી $|c| = 1,$ એટલે કે $|c|^2 = c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1$ .....$(i)$
કારણ કે $c \perp a$ અને $c \perp b,$ તેથી $c \cdot a = 0$ અને $c \cdot b = 0.$
આનો અર્થ એ છે કે $a_1 c_1 + a_2 c_2 + a_3 c_3 = 0$ .....$(ii)$
અને $b_1 c_1 + b_2 c_2 + b_3 c_3 = 0$ .....$(iii)$
$a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી $a \cdot b = |a||b| \cos(\frac{\pi}{6}) = |a||b| \frac{\sqrt{3}}{2}.$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(a \cdot b)^2 = |a|^2 |b|^2 \frac{3}{4} \Rightarrow (a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)^2 = \frac{3}{4} (\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)$ .....$(iv)$
ધારો કે $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|.$ તો $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a \cdot a & a \cdot b & a \cdot c \\ b \cdot a & b \cdot b & b \cdot c \\ c \cdot a & c \cdot b & c \cdot c \end{array} \right|.$
શરતો $a \cdot c = 0,$ $b \cdot c = 0,$ અને $c \cdot c = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} |a|^2 & a \cdot b & 0 \\ a \cdot b & |b|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = |a|^2 |b|^2 - (a \cdot b)^2.$
$(a \cdot b)^2 = \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2$ મૂકતા,આપણને મળે $D^2 = |a|^2 |b|^2 - \frac{3}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{1}{4} |a|^2 |b|^2 = \frac{(\Sigma a_1^2)(\Sigma b_1^2)}{4}.$

(D) સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
$R_2 \to R_2 - R_1$ અને $R_3 \to R_3 - R_1$ લેતા:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
આ સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા:
$\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$ (ચિહ્નોની ગોઠવણી બાદ)
અંતે,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\alpha (a \times b) + \beta (b \times c) + \gamma (c \times a) = 0$.
આખા સમીકરણનો સદિશ $c$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\alpha (a \times b) \cdot c + \beta (b \times c) \cdot c + \gamma (c \times a) \cdot c = 0$.
કારણ કે $(b \times c) \cdot c = 0$ અને $(c \times a) \cdot c = 0$ થાય છે,કારણ કે બે સદિશોનો ક્રોસ ગુણાકાર તે બંનેને લંબ હોય છે,તેથી સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$\alpha [a, b, c] = 0$.
આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા શૂન્યતર છે,ધારો કે $\alpha \neq 0$.
તેથી,$[a, b, c] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશો $a, b$ અને $c$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય છે.
તેથી,સદિશો $a, b$ અને $c$ સમતલીય છે.

(B) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(\vec{a})$,$B(\vec{b})$,અને $C(\vec{c})$ હોય તેનું સૂત્ર $V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = -i + j + k$,$\vec{b} = i - j + k$,અને $\vec{c} = i + j - k$ છે.
ઘનફળ $V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right|$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$\det = -1((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-1)(1))$
$\det = -1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 + 1)$
$\det = -1(0) - 1(-2) + 1(2) = 0 + 2 + 2 = 4$.
તેથી,$V = \frac{1}{6} |4| = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ ઘન એકમ.

(C) ધારો કે $a = i - j$,$b = j - k$,અને $c = k - i$.
ધારો કે $\hat{d} = a_1 i + a_2 j + a_3 k$,જ્યાં $|\hat{d}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = 1$.
આથી $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ $(i)$.
આપેલ છે કે $a \cdot \hat{d} = 0$,તેથી $(i - j) \cdot (a_1 i + a_2 j + a_3 k) = 0$,જે $a_1 - a_2 = 0$ આપે છે $(ii)$.
આપેલ છે કે $[b, c, \hat{d}] = 0$,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $b \cdot (c \times \hat{d}) = 0$.
આ નિશ્ચાયક $\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ a_1 & a_2 & a_3 \end{vmatrix} = 0$ ને સમાન છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $0(0 - a_2) - 1(-a_3 - a_1) - 1(-a_2 - 0) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $a_3 + a_1 + a_2 = 0$ થાય છે $(iii)$.
$(ii)$ પરથી,$a_1 = a_2$. તેને $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $a_1 + a_1 + a_3 = 0$ મળે,તેથી $a_3 = -2a_1$.
$a_2 = a_1$ અને $a_3 = -2a_1$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a_1^2 + a_1^2 + (-2a_1)^2 = 1 \Rightarrow 6a_1^2 = 1 \Rightarrow a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
આમ,$a_1 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,$a_2 = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$,અને $a_3 = \mp \frac{2}{\sqrt{6}}$.
તેથી,$\hat{d} = \pm \frac{i + j - 2k}{\sqrt{6}}$.

(C) સદિશો $\vec{u} = i + aj + k$,$\vec{v} = j + ak$ અને $\vec{w} = ai + k$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ ના માનાંક જેટલું હોય છે.
$V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
ધારો કે $f(a) = a^3 - a + 1$. ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ લેતા,$3a^2 = 1$,તેથી $a^2 = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(C) અમે સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(x \times y) \times z = (x \cdot z)y - (y \cdot z)x$.
પ્રથમ,$(a \times b) \times (b \times c) = ((a \times b) \cdot c)b - ((a \times b) \cdot b)c = [a, b, c]b$.
બીજું,$(b \times c) \times (c \times a) = ((b \times c) \cdot a)c - ((b \times c) \cdot c)a = [b, c, a]c = [a, b, c]c$.
ત્રીજું,$(c \times a) \times (a \times b) = ((c \times a) \cdot b)a - ((c \times a) \cdot a)b = [c, a, b]a = [a, b, c]a$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[[a, b, c]b, [a, b, c]c, [a, b, c]a]$ છે.
દરેક સદિશમાંથી અદિશ $[a, b, c]$ સામાન્ય લેતા,આપણને $[a, b, c]^3 [b, c, a]$ મળે છે.
કારણ કે $[b, c, a] = [a, b, c]$,તેથી પદાવલિ $[a, b, c]^3 [a, b, c] = [a, b, c]^4$ બને છે.

(D) કારણ કે $a, b, c$ સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a, b, c] = 0$ થાય.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ મુજબ $(a \times b) \times (c \times d) = [(a \times b) \cdot d]c - [(a \times b) \cdot c]d$.
$c$ એ $a$ અને $b$ સાથે સમતલીય હોવાથી,$[a, b, c] = (a \times b) \cdot c = 0$,તેથી બીજું પદ શૂન્ય થઈ જાય છે.
આમ,$[(a \times b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
ધારો કે $n$ એ $a$ અને $b$ ને લંબ એકમ સદિશ છે. તો $a \times b = |a||b| \sin(30^\circ) n = (1)(1)(\frac{1}{2})n = \frac{1}{2}n$.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2}(n \cdot d)c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
$n$ અને $d$ બંને એકમ સદિશો હોવાથી જે $a, b, c$ ના સમતલને લંબ છે,$n \cdot d = \pm 1$ થાય.
જો $n \cdot d = 1$ હોય,તો $\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{i - 2j + 2k}{3}$.
જો $n \cdot d = -1$ હોય,તો $-\frac{1}{2}c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k \Rightarrow c = \frac{-i + 2j - 2k}{3}$.
બંને વિકલ્પો $A$ અને $C$ સાચા છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ છે કે $x$ એ $y$ અને $z$ બંનેને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $x$,$y$,અને $z$ એક જ સમતલમાં છે.
ત્રણ સદિશો એક જ સમતલમાં હોય તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[x, y, z] = 0$.
આને નિશ્ચાયક તરીકે નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & \alpha \\ \alpha & 0 & 1 \\ 5 & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(0(0) - 1(-1)) - 1(\alpha(0) - 1(5)) + \alpha(\alpha(-1) - 0(5)) = 0$
$2(1) - 1(-5) + \alpha(-\alpha) = 0$
$2 + 5 - \alpha^2 = 0$
$7 - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 = 7$
$\alpha = \pm \sqrt{7}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \text{ અને } \overrightarrow{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શોધીએ છીએ.
$\overrightarrow{AB} = (0-4, -1-5, -1-1) = (-4, -6, -2)$
$\overrightarrow{AC} = (3-4, 9-5, 4-1) = (-1, 4, 3)$
$\overrightarrow{AD} = (-4-4, 4-5, 4-1) = (-8, -1, 3)$
જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0$ હોય,તો બિંદુઓ સમતલીય છે.
$\begin{vmatrix} -4 & -6 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \\ -8 & -1 & 3 \end{vmatrix} = -4(12 - (-3)) - (-6)(-3 - (-24)) + (-2)(1 - (-32))$
$= -4(15) + 6(21) - 2(33) = -60 + 126 - 66 = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમતલીય છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $[\lambda(\vec{a} + \vec{b}), \lambda^2\vec{b}, \lambda\vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}]$.
ગુણધર્મ $[k\vec{u}, m\vec{v}, n\vec{w}] = kmn[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ નો ઉપયોગ કરતા,ડાબી બાજુ:
$\lambda \cdot \lambda^2 \cdot \lambda [\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = \lambda^4 [\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}]$.
કારણ કે $[\vec{a} + \vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + [\vec{b}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] + 0 = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,તેથી ડાબી બાજુ $\lambda^4 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ થાય.
હવે,જમણી બાજુ $[\vec{a}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{b}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{b}] + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = 0 + [\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ થાય.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\lambda^4 [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય હોવાથી,$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \neq 0$.
તેથી,$\lambda^4 = -1$.
$\lambda$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$\lambda^4$ હંમેશા અ-ઋણ હોય,તેથી $\lambda^4 = -1$ નો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.

(B) સમાંતર ષટફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
આ ગણતરી સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના માનાંક તરીકે કરવામાં આવે છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 4 & -2 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 2 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |4(4 - 1) + 2(6 + 2) + 1(-3 - 4)| = |12 + 16 - 7| = |21| = 21$.

(B) સદિશ નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરીને,દરેક પદનું વિસ્તરણ કરીએ:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{r} \times \vec{c}) = ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c})\vec{r} - ((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{r})\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c}$
તે જ રીતે:
$(\vec{b} \times \vec{c}) \times (\vec{r} \times \vec{a}) = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]\vec{r} - [\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a}$
$(\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{r} \times \vec{b}) = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]\vec{r} - [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b}$
આ બધાનો સરવાળો કરતા:
$3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - ([\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} + [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c})$
કારણ કે $\vec{r} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$,આપણે જાણીએ છીએ કે $[\vec{b}, \vec{c}, \vec{r}]\vec{a} + [\vec{c}, \vec{a}, \vec{r}]\vec{b} + [\vec{a}, \vec{b}, \vec{r}]\vec{c} = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r}$.
આમ,પદાવલિની કિંમત $3[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} - [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r} = 2[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]\vec{r}$ થાય છે.

(C) સમાંતર ષષ્ટફલકનું ઘનફળ,જેની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$,અને $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = 546$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$.
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$.
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$.
$528 - 6\alpha = \pm 546$.
કિસ્સો $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$.
કિસ્સો $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$.
આપેલ વિકલ્પોમાં $-3$ હોવાથી,સાચી કિંમત $\alpha = -3$ છે.

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ષષ્ટફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેથી,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \pm 4$.
આપણે નીચેની પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે:
$E = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના ગુણધર્મ $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{c} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] + [\vec{a} \vec{a} \vec{b}]$
જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે:
$[\vec{b} \vec{b} \vec{c}] = 0, [\vec{c} \vec{c} \vec{a}] = 0, [\vec{a} \vec{a} \vec{b}] = 0$
વળી,ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = V$
તેથી,$E = V + 0 + V + 0 + V + 0 = 3V$
અહીં $V = 4$ આપેલ છે,તેથી $E = 3 \times 4 = 12$.

(A) સદિશો $a, b, c$ સમતલીય હોવાથી,$[a, b, c] = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $(a \times b) \times (c \times d) = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $(A \times B) \times C = (A \cdot C)B - (B \cdot C)A$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[(a \times b) \cdot d]c - [(a \times b) \cdot c]d = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
$a, b, c$ સમતલીય હોવાથી,$[a, b, c] = (a \times b) \cdot c = 0$ થાય.
તેથી,$[(a \times b) \cdot d]c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
$|a \times b| = |a||b| \sin 30^{\circ} = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $\hat{n}$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલને લંબ એકમ સદિશ છે. તો $a \times b = \frac{1}{2} \hat{n}$.
$d$ એ $a, b, c$ ને લંબ હોવાથી,$d$ એ $\hat{n}$ ને સમાંતર હશે,તેથી $d = \pm \hat{n}$.
તેથી $[(a \times b) \cdot d] = (\frac{1}{2} \hat{n}) \cdot (\pm \hat{n}) = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,$\pm \frac{1}{2} c = \frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k$.
ધન ચિહ્ન લેતા,$c = 2(\frac{1}{6}i - \frac{1}{3}j + \frac{1}{3}k) = \frac{1}{3}i - \frac{2}{3}j + \frac{2}{3}k = \frac{i - 2j + 2k}{3}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3i - 2j - k$,$\vec{b} = 2i + 3j - 4k$,$\vec{c} = -i + j + 2k$,અને $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ સમતલીય થાય,એટલે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
સમતલીયતા માટે,આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1[3(\lambda+1) - 21] - 5[-4(\lambda+1) - 3] - 3[-28 - 3] = 0$
$-1[3\lambda + 3 - 21] - 5[-4\lambda - 4 - 3] - 3[-31] = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$17\lambda = -146$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(A) ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનો વર્ગ એ ગ્રામ નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}} \right| \times \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array}} \right|$
નિશ્ચાયકોના શ્રેણિક ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ:
$[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2 = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{array}} \right|$
આમ,આપેલ નિશ્ચાયક $[\vec{a} \; \vec{b} \; \vec{c}]^2$ ની બરાબર છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણનફળ $[x, y, z] = (x \times y) \cdot z$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$[a \times b, b \times c, c \times a] = ((a \times b) \times (b \times c)) \cdot (c \times a)$ છે.
સદિશ ત્રિગુણનફળના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(a \times b) \times (b \times c) = [a, b, c]b$ થાય છે.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = ([a, b, c]b) \cdot (c \times a)$.
$= [a, b, c] (b \cdot (c \times a))$.
$= [a, b, c] [b, c, a]$.
અદિશ ત્રિગુણનફળ ચક્રીય હોવાથી,$[b, c, a] = [a, b, c]$ થાય છે.
તેથી,તેનું મૂલ્ય $[a, b, c] \cdot [a, b, c] = [a, b, c]^2$ થાય છે.

(C) ધારો કે $\vec{\alpha} = \vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{\beta} = \lambda\vec{b} + 4\vec{c}$ અને $\vec{\gamma} = (2\lambda - 1)\vec{c}$.
સદિશો અસમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય ન હોય,એટલે કે $[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] \neq 0$.
$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & (2\lambda - 1) \end{vmatrix} [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$
$= 1 \cdot \lambda \cdot (2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \lambda(2\lambda - 1) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \neq 0$.
આમ,સદિશો અસમતલીય હોય જો $\lambda(2\lambda - 1) \neq 0$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\lambda \neq 0$ અને $\lambda \neq \frac{1}{2}$.
તેથી,$\lambda$ ના $0$ અને $\frac{1}{2}$ સિવાયના તમામ મૂલ્યો માટે સદિશો અસમતલીય છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(-1, 1, 1)$,$B(1, -1, 1)$ અને $C(1, 1, -1)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $O, A, B, C$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{OA} = -i + j + k$
$\vec{OB} = i - j + k$
$\vec{OC} = i + j - k$
$V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{1}{6} | -1((-1)(-1) - (1)(1)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(1) - (-1)(1)) |$
$= \frac{1}{6} | -1(1 - 1) - 1(-1 - 1) + 1(1 + 1) |$
$= \frac{1}{6} | 0 + 2 + 2 | = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \text{ ઘન એકમ}$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[a, b, c] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
આપેલ છે કે $|c| = \sqrt{3}$,તેથી $|c|^2 = 3$:
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1 = 3$
$\alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
આમ,$\alpha = \pm 1$ અને $\beta = 1$.

(A) આપણે પદાવલિ $\vec{a} \cdot \{(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})\}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{x} \times \vec{x} = 0$,આ પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$= \vec{b} \times \vec{a} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} + \vec{c} \times \vec{b}$.
હવે,$\vec{a}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{b})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા $[\vec{x} \vec{y} \vec{z}] = \vec{x} \cdot (\vec{y} \times \vec{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{a}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.
કોઈપણ સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટમાં બે સમાન સદિશો હોય તો તેનું મૂલ્ય $0$ થાય છે:
$= 0 + [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + 0 + [\vec{a} \vec{c} \vec{b}]$.
ગુણધર્મ $[\vec{a} \vec{c} \vec{b}] = -[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.

(B) સદિશ $\vec a$ નો સદિશ $\vec b$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec a = \vec x \times \vec y$ અને $\vec b = \vec z$ છે.
તેથી,પ્રક્ષેપ $\frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} = \frac{[\vec x \vec y \vec z]}{|\vec z|}$ થશે.
પ્રથમ,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec x \vec y \vec z]$ ની ગણતરી કરો:
$[\vec x \vec y \vec z] = \begin{vmatrix} 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \\ 3 & -4 & -12 \end{vmatrix} = 3(-48 - 12) + 6(-12 + 9) - 1(-4 - 12) = 3(-60) + 6(-3) - 1(-16) = -180 - 18 + 16 = -182$.
આગળ,$\vec z$ નું માન શોધો:
$|\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
અંતે,પ્રક્ષેપ $\frac{-182}{13} = -14$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ અસમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$ થાય.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] = 3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
$2$. $[p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] = pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
$3$. $[2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - (-2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]) = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
કારણ કે $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$,તેથી $3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ થવું જોઈએ.
$p$ અને $q$ ના આ દ્વિઘાત સ્વરૂપ માટે,વિવેચક $D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$.
$q \neq 0$ માટે $D < 0$ હોવાથી,માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ $p = 0, q = 0$ મળે છે. આમ,તે માત્ર એક ચોક્કસ મુલ્ય $(0, 0)$ માટે સાચું છે.

(C) ધારો કે સદિશો $\vec{\alpha} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{\beta} = \hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{\gamma} = a\hat{i} + \hat{k}$ છે.
સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે: $V = |[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}] = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
ધારો કે $f(a) = a^3 - a + 1$. ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $f(a)$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ લેતા,આપણને $3a^2 = 1$ મળે છે,તેથી $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $f''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,જે સ્થાનિક ન્યૂનતમ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(B) આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(A + B + C) \cdot ((A + B) \times (A + C))$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ: $(A + B) \times (A + C) = A \times A + A \times C + B \times A + B \times C$.
કારણ કે $A \times A = 0$,તેથી $(A + B) \times (A + C) = A \times C + B \times A + B \times C$.
હવે,$(A + B + C)$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરીએ:
$(A + B + C) \cdot (A \times C + B \times A + B \times C) = A \cdot (A \times C) + A \cdot (B \times A) + A \cdot (B \times C) + B \cdot (A \times C) + B \cdot (B \times A) + B \cdot (B \times C) + C \cdot (A \times C) + C \cdot (B \times A) + C \cdot (B \times C)$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= 0 + 0 + [A, B, C] + [B, A, C] + 0 + 0 + 0 + [C, B, A] + 0$.
કારણ કે $[B, A, C] = -[A, B, C]$ અને $[C, B, A] = [A, B, C]$,તેથી પદાવલિ:
$= [A, B, C] - [A, B, C] + [A, B, C] = [A, B, C]$.

(B) ત્રણ સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{C}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] = 0$.
આપેલા સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{C} = 3\hat{i} + a\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & a & 5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(5) - (-3)(a)) - (-1)(1(5) - (-3)(3)) + 1(1(a) - 2(3)) = 0$
$2(10 + 3a) + 1(5 + 9) + 1(a - 6) = 0$
$20 + 6a + 14 + a - 6 = 0$
$7a + 28 = 0$
$7a = -28$
$a = -4$

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \lambda & 4 & 7 \\ -3 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(4(-5) - 7(-2)) - 2(\lambda(-5) - 7(-3)) + 3(\lambda(-2) - 4(-3)) = 0$
$1(-20 + 14) - 2(-5\lambda + 21) + 3(-2\lambda + 12) = 0$
$-6 + 10\lambda - 42 - 6\lambda + 36 = 0$
$4\lambda - 12 = 0$
$4\lambda = 12$
$\lambda = 3$

(C) અહીં $\bar{V} = (2, 1, -1)$ અને $\bar{W} = (1, 0, 3)$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\bar{U} \bar{V} \bar{W}] = \bar{U} \cdot (\bar{V} \times \bar{W})$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{V} \times \bar{W}$ શોધીએ:
$\bar{V} \times \bar{W} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \bar{i}(3 - 0) - \bar{j}(6 - (-1)) + \bar{k}(0 - 1) = 3\bar{i} - 7\bar{j} - \bar{k}$.
આ સદિશ ગુણાકારનું માન $|\bar{V} \times \bar{W}| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$ થાય.
આપેલ છે કે $\bar{U}$ એ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\bar{U}| = 1$. અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$[\bar{U} \bar{V} \bar{W}] = \bar{U} \cdot (\bar{V} \times \bar{W}) = |\bar{U}| |\bar{V} \times \bar{W}| \cos \theta = (1)(\sqrt{59}) \cos \theta$,જ્યાં $\theta$ એ $\bar{U}$ અને $(\bar{V} \times \bar{W})$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય ત્યારે મહત્તમ કિંમત મળે,જે $\sqrt{59}$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{x} = \vec{a} \times \vec{b}$. તો પદાવલિ $(\vec{x} \times (\vec{a} \times \vec{c})) \cdot \vec{d}$ થાય.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C})\vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{C})\vec{A}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{c}) = [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}]\vec{a} - [(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}]\vec{c}$.
અહીં $[(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a}] = 0$ થાય છે (કારણ કે બે સમાન સદિશો સાથેનો અદિશ ત્રિગુણન શૂન્ય હોય છે),તેથી પદાવલિ:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}$ માં પરિણમે છે.
હવે,$\vec{d}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર કરતા:
$([\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a}) \cdot \vec{d} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] (\vec{a} \cdot \vec{d})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ છે કે સદિશ $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને સમાવતા સમતલને સમાંતર છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{c}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $(\vec{a} \times \vec{b})$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$
આ નિશ્ચાયક સ્વરૂપે નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 3 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2[(-2)(2\lambda - 1) - 3(1)] - 3[1(2\lambda - 1) - 3(\lambda)] - 1[1(1) - (-2)(\lambda)] = 0$
$2[-4\lambda + 2 - 3] - 3[2\lambda - 1 - 3\lambda] - 1[1 + 2\lambda] = 0$
$2[-4\lambda - 1] - 3[-\lambda - 1] - 1 - 2\lambda = 0$
$-8\lambda - 2 + 3\lambda + 3 - 1 - 2\lambda = 0$
$-7\lambda = 0$
$\lambda = 0$