Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(B) આપેલ સદિશો $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \, \vec{v} \, \vec{w}]$ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$.
આનું સાદું રૂપ:
$-(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$.
કારણ કે $(a + b + c) \neq 0$,તેથી $(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{2}((a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2) = 0$.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો $a = b = c$ હોય.
જો $a = b = c$ હોય,તો $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w} = a(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
કારણ કે $\vec{w} = \lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$,સદિશ $\vec{w}$ એ $\vec{x}$ અને $\vec{y}$ દ્વારા બનતા સમતલમાં છે.
કારણ કે $\vec{u} = \vec{v} = \vec{w}$,આ બધા સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ એ $\vec{x}$ અને $\vec{y}$ દ્વારા બનતા સમતલમાં આવેલા છે.
તેથી,સદિશો $\vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સમતલીય છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{w} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) + \gamma (\vec{c} \times \vec{a})$.
$\vec{c}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\vec{w} \cdot \vec{c} = \alpha (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} + \beta (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} + \gamma (\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c}$.
કારણ કે $(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{c} = 0$ અને $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{c} = 0$,તેથી $\vec{w} \cdot \vec{c} = \alpha [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
આપેલ છે કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 2$,તેથી $\vec{w} \cdot \vec{c} = 2\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{c})$.
તે જ રીતે,$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$\beta = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{a})$ અને $\gamma = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{b})$.
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot \vec{c} + \vec{w} \cdot \vec{a} + \vec{w} \cdot \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}))$.
આપેલ છે કે $\vec{w} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = 8$,તેથી $\alpha + \beta + \gamma = \frac{1}{2}(8) = 4$.

(D) આપેલ છે કે $\vec c$ એ $\vec a$ નો $\vec b$ ને સમાંતર ઘટક છે અને $\vec d$ એ $\vec a$ નો $\vec b$ ને લંબ ઘટક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\vec a = \vec c + \vec d$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશો $\vec a$,$\vec c$,અને $\vec d$ એક જ સમતલમાં છે (coplanar).
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $[\vec a, \vec c, \vec d] = 0$.
ધારો કે $\vec x = \vec a \times \vec c$,$\vec y = \vec c \times \vec d$,અને $\vec z = \vec d \times \vec a$.
આપેલ પદાવલિ $[\vec x \times \vec y, \vec y \times \vec z, \vec z \times \vec x]$ છે.
સદિશ ગુણાકારના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$[\vec x \times \vec y, \vec y \times \vec z, \vec z \times \vec x] = [\vec x, \vec y, \vec z]^2$ મળે.
કારણ કે $\vec x, \vec y, \vec z$ ત્રણેય $\vec a, \vec c, \vec d$ ધરાવતા સમતલને લંબ છે,તેથી તેઓ એકબીજાને સમાંતર છે.
આમ,સદિશો $\vec x, \vec y, \vec z$ એકરેખસ્થ છે,જેનો અર્થ છે કે $[\vec x, \vec y, \vec z] = 0$.
તેથી,સમગ્ર પદાવલિની કિંમત $0^2 = 0$ થાય છે.

(D) સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $[\vec{a}+\vec{b} \quad \vec{b}+\vec{c} \quad \vec{c}+\vec{a}] = 4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[\vec{a}+\vec{b} \quad \vec{b}+\vec{c} \quad \vec{c}+\vec{a}] = 2[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]$.
તેથી,$2[\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 4 \Rightarrow [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}] = 2$.
સદિશો $\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}$ અને $\vec{c} \times \vec{a}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરફલકનું ઘનફળ $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}]$ દ્વારા મળે છે.
ગુણધર્મ $[\vec{a} \times \vec{b} \quad \vec{b} \times \vec{c} \quad \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a} \quad \vec{b} \quad \vec{c}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમત મૂકતા,આપણને $2^2 = 4$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \neq 0$ થાય.
પદ $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot [(\vec{b} + 3\vec{c}) \times (\vec{c} - 4\vec{a})] = 0$ નું વિસ્તરણ કરતા.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\vec{b} + 3\vec{c}) \times (\vec{c} - 4\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - 4(\vec{b} \times \vec{a}) + 3(\vec{c} \times \vec{c}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,આ પદ $\vec{b} \times \vec{c} + 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})$ માં પરિણમે છે.
હવે,$(\vec{a} + \lambda \vec{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot [\vec{b} \times \vec{c} + 4(\vec{a} \times \vec{b}) - 12(\vec{c} \times \vec{a})] = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિતરણ કરતા:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 12\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) + \lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 12\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$.
પુનરાવર્તિત સદિશો ધરાવતા અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + 0 - 0 + 0 + 0 - 12\lambda [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = 0$.
કારણ કે $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$,આપણને મળે છે:
$(1 - 12\lambda) [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
અહીં $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \neq 0$ હોવાથી,$1 - 12\lambda = 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{1}{12}$.

(B) ત્રણ સદિશોના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનો વર્ગ તેમના ગ્રામ મેટ્રિક્સના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{vmatrix}$
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી તેમનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ થાય છે. આપેલી કિંમતો મૂકતા:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = \begin{vmatrix} 1 & \cos \theta & \cos \theta \\ \cos \theta & 1 & \cos \theta \\ \cos \theta & \cos \theta & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શોધતા:
$[vec{a}, vec{b}, vec{c}]^2 = 1(1 - \cos^2 \theta) - \cos \theta(\cos \theta - \cos^2 \theta) + \cos \theta(\cos^2 \theta - \cos \theta)$
$= 1 - 3\cos^2 \theta + 2\cos^3 \theta = (1 - \cos \theta)^2 (1 + 2\cos \theta)$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનો વર્ગ હંમેશા અઋણ હોવો જોઈએ,તેથી $(1 - \cos \theta)^2 (1 + 2\cos \theta) \ge 0$.
દરેક $\theta$ માટે $(1 - \cos \theta)^2 \ge 0$ હોવાથી,$1 + 2\cos \theta \ge 0$ થવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $\cos \theta \ge -\frac{1}{2}$.
$\theta \in [0, \pi]$ હોવાથી,$\cos \theta \ge -\frac{1}{2}$ નો અર્થ છે કે $\theta \le \frac{2\pi}{3}$.
આમ,$\theta$ ની મહત્તમ કિંમત $\frac{2\pi}{3}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{\lambda} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}$ અને $\vec{\lambda} \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$.
$\vec{\lambda}$ ની કિંમત ડોટ પ્રોડક્ટના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}) = 2(x + y + z)$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$,વગેરે.
$= x[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + y[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] + z[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{b}] = 2(x + y + z)$.
ચક્રીય ગુણધર્મ $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = [\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{a}] = [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{b}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x + y + z)[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 2(x + y + z)$.
$x + y + z \neq 0$ હોવાથી,બંને બાજુ $(x + y + z)$ વડે ભાગતા:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 2$.

(B) ધારો કે $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$.
આપેલ પદ એ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર છે: $[\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}]$.
ગુણધર્મ $[\vec{u} \times \vec{v}, \vec{v} \times \vec{w}, \vec{w} \times \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]^2$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,પદ $\frac{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]^2}{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]} = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ બને છે.

(A) સદિશ $\vec U$ એ $x-y$ સમતલમાં હોવાથી અને $|\vec U| = 2$ હોવાથી,આપણે $\vec U = 2\cos \alpha \hat i + 2\sin \alpha \hat j$ લખી શકીએ.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$([\vec U \vec V \vec W]) = \begin{vmatrix} 2\cos \alpha & 2\sin \alpha & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$([\vec U \vec V \vec W]) = 2\cos \alpha (3 - 0) - 2\sin \alpha (6 - (-1)) + 0(0 - 1)$
$= 6\cos \alpha - 14\sin \alpha$.
આપણે $([\vec U \vec V \vec W])^2 = (6\cos \alpha - 14\sin \alpha)^2$ ની મહત્તમ કિંમત મેળવવી છે.
$a\cos \alpha + b\sin \alpha$ પદની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય છે.
તેથી,$|6\cos \alpha - 14\sin \alpha|$ ની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{6^2 + (-14)^2} = \sqrt{36 + 196} = \sqrt{232}$ છે.
તેથી,$([\vec U \vec V \vec W])^2$ ની મહત્તમ કિંમત $(\sqrt{232})^2 = 232$ થાય.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ મૂલ્ય મહત્તમ બનાવવા માટે,$\vec{a}$ એ $\vec{b} \times \vec{c}$ સદિશની દિશામાં હોવો જોઈએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 4 & 6 \\ 2 & -7 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-40 - (-42)) - \hat{j}(10 - 12) + \hat{k}(7 - 8) = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
કારણ કે $\vec{a}$ એ $\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,તેથી $\vec{a} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{3}$ થાય.

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V_{tet} = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ છે.
આપેલ છે કે $V_{tet} = 3$,તેથી $\frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 18$.
ધારો કે $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ $V_{par}$ છે.
ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર દ્વારા મળે છે: $V_{par} = |[(\vec{a} + \vec{b}) \quad (\vec{b} + \vec{c}) \quad (\vec{c} + \vec{a})]|$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને વિસ્તૃત કરીએ:
$[\vec{a} + \vec{b} \quad \vec{b} + \vec{c} \quad \vec{c} + \vec{a}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
તેથી,$V_{par} = 2 \times 18 = 36$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot \{(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c})\}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $(\vec{a} - \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}) = (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{a} - (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{b} - (\vec{a} - \vec{b}) \times \vec{c}$.
$= (\vec{a} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{a}) - (\vec{a} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c})$.
$\vec{a} \times \vec{a} = 0$ અને $\vec{b} \times \vec{b} = 0$ હોવાથી,આ પદ $\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c}$ બને છે.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $E = (\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} - \vec{a} \times \vec{c})$.
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) + 2\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો મુજબ,$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,અને $\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
તેથી,$E = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] - 0 + 0 - 2[\vec{b} \, \vec{a} \, \vec{c}] - 0 + 0$.
$= [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] - 2(-[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]) = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] + 2[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 3[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$.

(C) પદાવલિ $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot ((2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q}))$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{p} - \vec{q}, 2\vec{q} + \vec{p}, 3\vec{p} - \vec{q}]$ દર્શાવે છે.
ક્રોસ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા: $(2\vec{q} + \vec{p}) \times (3\vec{p} - \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) - 2(\vec{q} \times \vec{q}) + 3(\vec{p} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) - (\vec{p} \times \vec{q}) = 6(\vec{q} \times \vec{p}) + (\vec{q} \times \vec{p}) = 7(\vec{q} \times \vec{p})$.
હવે,ડોટ ગુણાકાર કરતા: $(\vec{p} - \vec{q}) \cdot (7(\vec{q} \times \vec{p})) = 7(\vec{p} \cdot (\vec{q} \times \vec{p})) - 7(\vec{q} \cdot (\vec{q} \times \vec{p})) = 0 - 0 = 0$.
આપેલ સમીકરણ મુજબ: $0 = |\vec{p} + \vec{q}|$.
આનો અર્થ એ છે કે $\vec{p} + \vec{q} = 0$,તેથી $\vec{p} = -\vec{q}$.
કારણ કે $\vec{p}$ અને $\vec{q}$ એકમ સદિશો છે,$\vec{p} = -\vec{q}$ નો અર્થ છે કે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\pi$ છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = (\vec p \times \vec q) \cdot (\vec p \times \vec q)$ થાય.
આપેલ છે કે $[\vec p, \vec q, \vec p \times \vec q] = \frac{1}{2}$,તેથી $|\vec p \times \vec q|^2 = \frac{1}{2}$ મળે.
અહીં $\vec p$ અને $\vec q$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\vec p \times \vec q| = |\vec p| |\vec q| \sin \theta = \sin \theta$ થાય,જ્યાં $\theta$ એ $\vec p$ અને $\vec q$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આમ,$\sin^2 \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{4}$ થાય.

(A) જો સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AC}$ અને $\overrightarrow{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોય,તો ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય છે,એટલે કે $[\overrightarrow{AB} \, \overrightarrow{AC} \, \overrightarrow{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (1-2, 1-2, 1-1) = (-1, -1, 0)$
$\overrightarrow{AC} = (-\lambda-2, 2-2, 1-1) = (-\lambda-2, 0, 0)$
$\overrightarrow{AD} = (3-2, 0-2, -1-1) = (1, -2, -2)$
સમતલીયતા માટેની શરત છે:
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 0 \\ -\lambda-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & -2 \end{array}\right| = 0$
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-\lambda-2) \left|\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ -2 & -2 \end{array}\right| = 0$
$(\lambda+2) ((-1)(-2) - (0)(-2)) = 0$
$(\lambda+2) (2) = 0$
$\lambda+2 = 0$
$\lambda = -2$

(A) કારણ કે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ સમતલીય છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\left[\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}\right] = 0$.
આ નિશ્ચાયક દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 3 & a \\ b & 5 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(15 - (-1)) - 3(3b - (-1)) + a(b - 5) = 0$
$2(16) - 3(3b + 1) + ab - 5a = 0$
$32 - 9b - 3 + ab - 5a = 0$
$ab - 5a - 9b + 29 = 0$ (સમીકરણ $1$).
આપેલ છે કે $\vec{p} \cdot \vec{q} = 20$:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} + a\hat{k}) \cdot (b\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 20$
$2b + 15 - a = 20$
$2b - a = 5 \Rightarrow a = 2b - 5$ (સમીકરણ $2$).
$a = 2b - 5$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$(2b - 5)b - 5(2b - 5) - 9b + 29 = 0$
$2b^2 - 5b - 10b + 25 - 9b + 29 = 0$
$2b^2 - 24b + 54 = 0$
$b^2 - 12b + 27 = 0$
$(b - 3)(b - 9) = 0$.
તેથી,$b = 3$ અથવા $b = 9$.
જો $b = 3$ હોય,તો $a = 2(3) - 5 = 1$.
જો $b = 9$ હોય,તો $a = 2(9) - 5 = 13$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b)$ એ $(1, 3)$ અને $(13, 9)$ છે.

(C) સહ-ધારાઓ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V_{tetra} = 3$,તેથી $\frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 3$,જેનો અર્થ છે કે $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 18$.
સહ-ધારાઓ $\vec{a} + \vec{b}, \vec{b} + \vec{c}, \vec{c} + \vec{a}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{b} + \vec{c}) (\vec{c} + \vec{a})]|$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[(\vec{a} + \vec{b}) (\vec{b} + \vec{c}) (\vec{c} + \vec{a})] = 2 [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$.
તેથી,ઘનફળ $2 \times 18 = 36$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $\vec x = 3\hat i - 6\hat j - \hat k$,$\vec y = \hat i + 4\hat j - 3\hat k$,અને $\vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec x \times \vec y$ શોધીએ:
$\vec x \times \vec y = \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 3 & -6 & -1 \\ 1 & 4 & -3 \end{vmatrix}$
$= \hat i(18 + 4) - \hat j(-9 + 1) + \hat k(12 + 6)$
$= 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$.
હવે,સદિશ $\vec a$ નો સદિશ $\vec b$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{|\vec a \cdot \vec b|}{|\vec b|}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec a = \vec x \times \vec y = 22\hat i + 8\hat j + 18\hat k$ અને $\vec b = \vec z = 3\hat i - 4\hat j - 12\hat k$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z = (22)(3) + (8)(-4) + (18)(-12) = 66 - 32 - 216 = -182$.
$\vec z$ નું માન $= |\vec z| = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
પ્રક્ષેપનું માન $= \left| \frac{(\vec x \times \vec y) \cdot \vec z}{|\vec z|} \right| = \left| \frac{-182}{13} \right| = |-14| = 14$.

(C) ધારો કે $\vec{v} = \vec{a} \times \vec{b}$.
આપેલ પદ $(\hat{i} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{i} + (\hat{j} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{j} + (\hat{k} \times \vec{a} \cdot \vec{b})\hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદોને ફરીથી લખીએ છીએ:
$(\hat{i} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{i} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \hat{i} \cdot \vec{v}$.
તે જ રીતે,$(\hat{j} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{j} \cdot \vec{v}$ અને $(\hat{k} \times \vec{a}) \cdot \vec{b} = \hat{k} \cdot \vec{v}$.
આ કિંમતોને ફરીથી પદમાં મૂકતા:
$(\hat{i} \cdot \vec{v})\hat{i} + (\hat{j} \cdot \vec{v})\hat{j} + (\hat{k} \cdot \vec{v})\hat{k}$.
સદિશના ઘટકોના સ્વરૂપમાં વ્યાખ્યા મુજબ,આ સરવાળો પોતે સદિશ $\vec{v}$ બરાબર થાય છે.
તેથી,આ પદ $\vec{a} \times \vec{b}$ બરાબર છે.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6\lambda + 10\lambda - 9\lambda) + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$\lambda = 0$

(B) આપેલ સદિશો $\vec{u} = \hat{j} + 4\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 3\hat{k}$,અને $\vec{w} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{u} \times \vec{v}$ શોધો:
$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(1 \times 3 - 4 \times 0) - \hat{j}(0 \times 3 - 4 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$= 3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ શોધો:
$(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w} = (3\hat{i} + 4\hat{j} - \hat{k}) \cdot (\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$
$= 3 \cos \theta + 4 \sin \theta$.
આ પદ $a \cos \theta + b \sin \theta$ સ્વરૂપમાં છે,જેની મહત્તમ કિંમત $\sqrt{a^2 + b^2}$ થાય.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 4$ છે.
મહત્તમ કિંમત $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ અને $D(1, 1, 1)$ છે.
જો સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC}$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક $0$ હોય તો બિંદુઓ સમતલીય છે.
$\vec{AB} = (2-1, 1-2, 2-2) = (1, -1, 0)$
$\vec{AC} = (2-1, 2-2, z-2) = (1, 0, z-2)$
$\vec{AD} = (1-1, 1-2, 1-2) = (0, -1, -1)$
સમતલીયતા માટેની શરત $\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0 \Rightarrow z-3 = 0 \Rightarrow z = 3$.
અહીં $z=3 \neq 2$ હોવાથી,વિધાન $1$ ખોટું છે.
વિધાન $2$ એ એક પ્રમાણિત ભૌમિતિક ગુણધર્મ છે: જો ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો તેઓ શૂન્યતર ઘનફળ ધરાવતો ચતુષ્ફલક બનાવતા નથી,તેથી ઘનફળ $0$ થાય છે. આમ,વિધાન $2$ સાચું છે.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = r\hat{i} + \hat{j} + (2r - 1)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલને સમાંતર છે,તેથી સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$,અને $\vec{c}$ સમતલીય છે.
ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ r & 1 & 2r - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((3)(2r - 1) - (-1)(1)) - (-2)((2)(2r - 1) - (-1)(r)) + 3((2)(1) - (3)(r)) = 0$
$1(6r - 3 + 1) + 2(4r - 2 + r) + 3(2 - 3r) = 0$
$(6r - 2) + 2(5r - 2) + (6 - 9r) = 0$
$6r - 2 + 10r - 4 + 6 - 9r = 0$
$7r = 0$
$r = 0$

(D) વિધાન $1$: ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાની શરત એ છે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$. તેથી,વિધાન $1$ સાચું છે.
વિધાન $2$: બે શૂન્યેતર સદિશો $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ પરસ્પર લંબ હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ એ ખરેખર $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ને સમાવતા સમતલને લંબ સદિશ છે. તેથી,વિધાન $2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન $2$ એ લંબ સદિશો અને સદિશ ગુણાકારનો સામાન્ય ગુણધર્મ દર્શાવે છે,જે વિધાન $1$ માં આપેલી સમતલીયતાની શરત માટે તાર્કિક સમજૂતી નથી. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(D) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 2 & 4 & \lambda^2 - 1 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$ લેતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 1 & \lambda & 4 \\ 0 & 0 & \lambda^2 - 9 \end{vmatrix} = 0$.
$R_3$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$(\lambda^2 - 9)(\lambda - 2) = 0$.
આથી $\lambda = 2$ અથવા $\lambda^2 = 9$ મળે. જો $\lambda = 2$ લઈએ,તો $\vec{a} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & (2^2 - 1) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 16) - \hat{j}(3 - 8) + \hat{k}(4 - 4) = -10\hat{i} + 5\hat{j}$.

(A) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય. અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$D = \begin{vmatrix} \mu & 1 & 1 \\ 1 & \mu & 1 \\ 1 & 1 & \mu \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$D = \mu(\mu^2 - 1) - 1(\mu - 1) + 1(1 - \mu) = 0$
$D = \mu(\mu - 1)(\mu + 1) - 1(\mu - 1) - 1(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1) [\mu(\mu + 1) - 1 - 1] = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu^2 + \mu - 2) = 0$
$D = (\mu - 1)(\mu + 2)(\mu - 1) = 0$
$D = (\mu - 1)^2(\mu + 2) = 0$
$\mu$ ના ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો $1$ અને $-2$ છે.
આ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + (-2) = -1$ થાય છે.

(D) સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + \lambda \hat{k}$,અને $\vec{c} = \lambda \hat{i} + \hat{k}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે:
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \\ \lambda & 0 & 1 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$\det = 1(1 - 0) - \lambda(0 - \lambda^2) + 1(0 - \lambda) = 1 + \lambda^3 - \lambda$
તેથી,$V(\lambda) = |\lambda^3 - \lambda + 1|$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $f(\lambda) = \lambda^3 - \lambda + 1$. વિકલન કરતા $f'(\lambda) = 3\lambda^2 - 1 = 0$ લેતા:
$\lambda^2 = \frac{1}{3} \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આ બિંદુઓ પર $f(\lambda)$ ની કિંમત તપાસતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 0.615$.
$\lambda = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}} \approx 1.385$.
ઘનફળ $V = |f(\lambda)|$ હોવાથી,આપણે $|f(\lambda)|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ છીએ. $f(\lambda)$ એ $\lambda < -1$ માટે શૂન્ય થાય છે,જ્યાં ઘનફળ $V = 0$ થાય છે,જે ન્યૂનતમ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ $\lambda^3 - \lambda + 1 = 0$ નું બીજ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને તો જ તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} \alpha & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -\alpha \\ \alpha & -2 & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે વિસ્તરણ કરતા:
$\alpha(1(3) - (-2)(-\alpha)) - 1(2(3) - \alpha(-\alpha)) + 3(2(-2) - \alpha(1)) = 0$
$\alpha(3 - 2\alpha) - 1(6 + \alpha^2) + 3(-4 - \alpha) = 0$
$3\alpha - 2\alpha^2 - 6 - \alpha^2 - 12 - 3\alpha = 0$
$-3\alpha^2 - 18 = 0$
$-3(\alpha^2 + 6) = 0$
$\alpha^2 + 6 = 0$
કારણ કે $\alpha \in \mathbb{R}$,$\alpha^2$ હંમેશા અઋણ હોય,તેથી $\alpha^2 + 6 \geq 6$. આમ,$\alpha$ ની કોઈ પણ વાસ્તવિક કિંમત આ સમીકરણનું સમાધાન કરતી નથી.
તેથી,ગણ $S$ એ ખાલી ગણ છે.

(A) સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક $|[\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}]| = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w}| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-3) - 1(1-6) + \lambda(1-2) = -2 + 5 - \lambda = 3 - \lambda$.
ઘનફળ $1$ હોવાથી,$|3 - \lambda| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3 - \lambda = 1$ અથવા $3 - \lambda = -1$.
આમ,$\lambda = 2$ અથવા $\lambda = 4$.
કિસ્સો $1$: જો $\lambda = 2$,તો $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(1) = 2 + 1 + 2 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{w}|} = \frac{5}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{5}{6}$.
કિસ્સો $2$: જો $\lambda = 4$,તો $\overrightarrow{u} = \hat{i} + \hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{w} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} = (1)(2) + (1)(1) + (4)(1) = 2 + 1 + 4 = 7$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 4^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ અને $|\overrightarrow{w}| = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{7}{3\sqrt{12}} = \frac{7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{7}{6\sqrt{3}}$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{7}{6\sqrt{3}}$ એ સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ સદિશો $\overrightarrow{p}=(a+1) \hat{i}+a \hat{j}+a \hat{k}$,$\overrightarrow{q}=a \hat{i}+(a+1) \hat{j}+a \hat{k}$,અને $\overrightarrow{r}=a \hat{i}+a \hat{j}+(a+1) \hat{k}$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{p}, \overrightarrow{q}, \overrightarrow{r}$ સમતલીય છે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} a+1 & a & a \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$
$R_1 \to R_1+R_2+R_3$ લેતા,$(3a+1) \left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & a+1 & a \\ a & a & a+1 \end{array}\right|=0$,જેનું સાદુરૂપ $(3a+1)=0$ મળે,તેથી $a = -\frac{1}{3}$.
હવે,$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = 3(-\frac{1}{3})^2 + 2(-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$.
વળી,$|\overrightarrow{r}|^2 = |\overrightarrow{q}|^2 = 3a^2+2a+1 = 3(1/9) - 2/3 + 1 = 2/3$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q} = 3a^2+2a = -1/3$.
લેગ્રાન્જની નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$|\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = |\overrightarrow{r}|^2 |\overrightarrow{q}|^2 - (\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{q})^2 = (2/3)(2/3) - (-1/3)^2 = 4/9 - 1/9 = 3/9 = 1/3$.
આપેલ સમીકરણ $3(\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{q})^2 - \lambda |\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{q}|^2 = 0$ માં કિંમતો મુકતા,$3(-1/3)^2 - \lambda(1/3) = 0 \Rightarrow 3(1/9) - \lambda/3 = 0 \Rightarrow 1/3 = \lambda/3 \Rightarrow \lambda = 1$.

(D) વિધેયને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે $f(x) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x = x^3 - 27x + 26$.
સ્થાનિક મહત્તમ મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે વિકલન કરીએ છીએ: $f'(x) = 3x^2 - 27$. $f'(x) = 0$ લેતા $x^2 = 9$ મળે,તેથી $x = \pm 3$.
દ્વિતીય વિકલન $f''(x) = 6x$ છે. $x = -3$ માટે,$f''(-3) = -18 < 0$,તેથી $x_0 = -3$ એ સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે.
$x = -3$ આગળ,સદિશો $\vec{a} = -3\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = -2\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 7\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3)(-2) + (-2)(-3) + (3)(-1) = 6 + 6 - 3 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (-2)(7) + (-3)(-2) + (-1)(-3) = -14 + 6 + 3 = -5$.
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (7)(-3) + (-2)(-2) + (-3)(3) = -21 + 4 - 9 = -26$.
આનો સરવાળો: $9 - 5 - 26 = -22$.

(B) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ $V = |[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = |\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c})| = 158$
$\det(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & n \\ 2 & 4 & -n \\ 1 & n & 3 \end{vmatrix} = 1(12 + n^2) - 1(6 + n) + n(2n - 4)$
$= 12 + n^2 - 6 - n + 2n^2 - 4n = 3n^2 - 5n + 6$
$V = 158$ હોવાથી,$|3n^2 - 5n + 6| = 158$. $n \geq 0$ હોવાથી,$3n^2 - 5n + 6 = 158$.
$3n^2 - 5n - 152 = 0$. $n$ માટે ઉકેલતા: $n = \frac{5 \pm 43}{6}$.
$n \geq 0$ હોવાથી,$n = 8$.
હવે,વિકલ્પો ચકાસતા:
$A$. $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 1 + 4n = 1 + 4(8) = 33$.
$B$. $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 2 + n = 2 + 8 = 10$.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \Rightarrow (\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + 3 \hat{k}) \cdot (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) = 1$.
આનું સાદું રૂપ $-\alpha \beta - \alpha \beta - 3 = 1 \Rightarrow -2 \alpha \beta = 4 \Rightarrow \alpha \beta = -2$ $(1)$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \Rightarrow (-\beta \hat{i} - \alpha \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}) = -3$.
આનું સાદું રૂપ $-\beta + 2 \alpha + 1 = -3 \Rightarrow 2 \alpha - \beta = -4$ $(2)$ થાય છે.
$(1)$ પરથી,$\beta = -2/\alpha$. તેને $(2)$ માં મૂકતા: $2 \alpha - (-2/\alpha) = -4 \Rightarrow 2 \alpha^2 + 2 = -4 \alpha \Rightarrow \alpha^2 + 2 \alpha + 1 = 0 \Rightarrow (\alpha + 1)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી $\beta = -2/(-1) = 2$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $\frac{1}{3}[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} \alpha & \beta & 3 \\ -\beta & -\alpha & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયા $R_1 \to R_1 + R_3$ કરતા: $\frac{1}{3} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \frac{1}{3} [2(4 - 1)] = \frac{1}{3} \times 6 = 2$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{OP} \perp \overline{OQ}$,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(x\hat{i} + y\hat{j} - \hat{k}) \cdot (-\hat{i} + 2\hat{j} + 3x\hat{k}) = 0$
$-x + 2y - 3x = 0 \Rightarrow 2y = 4x \Rightarrow y = 2x \dots (i)$
આપેલ છે કે $|\overline{PQ}| = \sqrt{20}$,તેથી $|\overline{PQ}|^2 = 20$:
$\overline{PQ} = \overline{OQ} - \overline{OP} = (-1-x)\hat{i} + (2-y)\hat{j} + (3x+1)\hat{k}$
$|\overline{PQ}|^2 = (-1-x)^2 + (2-y)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$y=2x$ મૂકતા:
$(x+1)^2 + (2-2x)^2 + (3x+1)^2 = 20$
$x^2 + 2x + 1 + 4 - 8x + 4x^2 + 9x^2 + 6x + 1 = 20$
$14x^2 + 6 = 20 \Rightarrow 14x^2 = 14 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ (કારણ કે $x > 0$)
તેથી $y = 2(1) = 2$.
$\overline{OP}, \overline{OQ}, \overline{OR}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} x & y & -1 \\ -1 & 2 & 3x \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 3 & z & -7 \end{vmatrix} = 0$
$1(-14 - 3z) - 2(7 - 9) - 1(-z - 6) = 0$
$-14 - 3z + 4 + z + 6 = 0 \Rightarrow -2z - 4 = 0 \Rightarrow z = -2$
તેથી,$x^2 + y^2 + z^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 1 + 4 + 4 = 9$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 5, 35)$,$B(7, 5, 5)$,$C(1, \lambda, 7)$,અને $D(2 \lambda, 1, 2)$ છે.
સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = 6\hat{i} - 30\hat{k}$
$\vec{AC} = (\lambda-5)\hat{j} - 28\hat{k}$
$\vec{AD} = (2\lambda-1)\hat{i} - 4\hat{j} - 33\hat{k}$
બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$ થાય.
$\begin{vmatrix} 6 & 0 & -30 \\ 0 & \lambda-5 & -28 \\ 2\lambda-1 & -4 & -33 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$6[(\lambda-5)(-33) - (-28)(-4)] - 30[0 - (\lambda-5)(2\lambda-1)] = 0$
$6[-33\lambda + 165 - 112] + 30[2\lambda^2 - 11\lambda + 5] = 0$
$6$ વડે ભાગતા:
$-33\lambda + 53 + 5(2\lambda^2 - 11\lambda + 5) = 0$
$10\lambda^2 - 88\lambda + 78 = 0$
$5\lambda^2 - 44\lambda + 39 = 0$
બીજનો સરવાળો $\lambda_1 + \lambda_2 = -\frac{b}{a} = \frac{44}{5}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$.
આપણને $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ આપેલ છે.
આપણે $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ શોધવાનું છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1-1) - \hat{j}(-1-0) + \hat{k}(1-0) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
હવે,સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{c}$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ હોવાથી,$\vec{a} \times \vec{b} = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} - |\vec{a}|^2 \vec{c}$ મળે.
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$ આપેલ હોવાથી:
$-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} = 3(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 3\vec{c}$.
$3\vec{c} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k} - (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$.
અંતે,$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}) = -\frac{10}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} = -2$.

(B) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ અને $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$ હોવાથી,$\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{a}$ હોવાથી,$\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે.
આમ,$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે.
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{c}| \implies |\vec{a}||\vec{b}| = |\vec{c}| \implies 2|\vec{b}| = |\vec{c}|$.
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{a}| \implies |\vec{b}||\vec{c}| = 2$.
$|\vec{c}| = 2|\vec{b}|$ મૂકતા,આપણને $|\vec{b}|(2|\vec{b}|) = 2 \implies |\vec{b}|^2 = 1 \implies |\vec{b}| = 1$ મળે છે.
તેથી $|\vec{c}| = 2(1) = 2$.
$(A)$ $\vec{a}$ નો $(\vec{b} \times \vec{c})$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{b} \times \vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = |\vec{a}| = 2$. (સત્ય)
$(B)$ $|3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}|^2 = (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b} - 2\vec{c}) = 9|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 4|\vec{c}|^2 = 9(4) + 1 + 4(4) = 36 + 1 + 16 = 53 \neq 51$. (અસત્ય)
$(C)$ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] + [\vec{c} \vec{a} \vec{b}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 2(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})) = 2(\vec{a} \cdot \vec{a}) = 2|\vec{a}|^2 = 2(4) = 8$. (સત્ય)
$(D)$ $\vec{a} \times ((\vec{b} + \vec{c}) \times (\vec{b} - \vec{c})) = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{b} - \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{c}) = \vec{a} \times (\vec{0} - \vec{a} - \vec{a} - \vec{0}) = \vec{a} \times (-2\vec{a}) = -2(\vec{a} \times \vec{a}) = \vec{0}$. (સત્ય)

(B) સદિશ $\vec{a}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,આપણે $\vec{a} = \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ લખી શકીએ.
સદિશો મૂકતા: $\vec{a} = \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (2\lambda + \mu) \hat{i} + (\lambda - \mu) \hat{j} + (\lambda + \mu) \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,જ્યાં $\vec{d} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$:
$3(2\lambda + \mu) + 2(\lambda - \mu) + 6(\lambda + \mu) = 0$
$6\lambda + 3\mu + 2\lambda - 2\mu + 6\lambda + 6\mu = 0$
$14\lambda + 7\mu = 0 \implies \mu = -2\lambda$.
$\mu$ ની કિંમત $\vec{a}$ માં મૂકતા: $\vec{a} = (2\lambda - 2\lambda) \hat{i} + (\lambda - (-2\lambda)) \hat{j} + (\lambda - 2\lambda) \hat{k} = 0 \hat{i} + 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$.
આપેલ છે કે $|\vec{a}| = \sqrt{10}$,તેથી $\sqrt{0^2 + (3\lambda)^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{10} \implies \sqrt{10\lambda^2} = \sqrt{10} \implies |\lambda| = 1$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોવાથી,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
પદાવલિ $[\vec{a} \vec{b} \vec{d}] + [\vec{a} \vec{c} \vec{d}] = [\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}]$ બને છે.
$\vec{b} + \vec{c} = 3 \hat{i} + 0 \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{a} = 3\lambda \hat{j} - \lambda \hat{k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} + \vec{c} \vec{d}] = \begin{vmatrix} 0 & 3\lambda & -\lambda \\ 3 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \end{vmatrix} = 0(0 - 4) - 3\lambda(18 - 6) - \lambda(6 - 0) = -3\lambda(12) - 6\lambda = -42\lambda$.
$\lambda = 1$ માટે,કિંમત $-42$ મળે છે.

(B) જો સદિશો સમતલીય હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} a+b+2 & a+2 b+c & -(b+c) \\ b+1 & 2 b & -b \\ b+2 & 2 b & 1-b \end{vmatrix} = 0$
હાર પ્રક્રિયાઓ $R_3 \rightarrow R_3 - R_2$ અને $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a+1 & a+c & -c \\ b+1 & 2 b & -b \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હારને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$1((a+c)(-b) - (2b)(-c)) + 1((a+1)(2b) - (b+1)(a+c)) = 0$
$(-ab - bc + 2bc) + (2ab + 2b - (ab + ac + b + c)) = 0$
$2ab + 2b - 2ab - a - 2bc - c + 2bc = 0$
$2b - a - c = 0$
તેથી,$2b = a+c$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = 0$.
આપેલા સદિશો $\vec{u} = a \hat{i} + a \hat{j} + c \hat{k}$,$\vec{v} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 1 \hat{k}$,અને $\vec{w} = c \hat{i} + c \hat{j} + b \hat{k}$ છે.
સમતલીય હોવાની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{lll}a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b\end{array}\right| = 0$
બીજી હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| + 0 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right| - 1 \cdot \left|\begin{array}{ll}a & a \\ c & c\end{array}\right| = 0$
$-1(ab - c^2) - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) - 0 = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
કારણ કે $a, b, c$ ધન સંખ્યાઓ છે,તેથી $c = \sqrt{ab}$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{c}$,અને $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{a} \times \vec{c}| = \sqrt{(-2)^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{6}$ થાય.
સદિશ $\vec{b}$ નો $\vec{a} \times \vec{c}$ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $l = \frac{|\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c})|}{|\vec{a} \times \vec{c}|}$ છે.
અહીં $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^{2} = 2$ થાય.
તેથી,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{c}) = -\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = -|\vec{c}|^{2} = -2$ મળે.
માટે,$l = \frac{|-2|}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
આમ,$l^{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ અને $3l^{2} = 3 \times \frac{2}{3} = 2$ થાય.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=(1, -\alpha, \beta)$,$\vec{b}=(3, \beta, -\alpha)$,અને $\vec{c}=(-\alpha, -2, 1)$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ પરથી:
$(1)(3) + (-\alpha)(\beta) + (\beta)(-\alpha) = -1$
$3 - 2\alpha\beta = -1 \Rightarrow 2\alpha\beta = 4 \Rightarrow \alpha\beta = 2$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 10$ પરથી:
$(3)(-\alpha) + (\beta)(-2) + (-\alpha)(1) = 10$
$-3\alpha - 2\beta - \alpha = 10 \Rightarrow -4\alpha - 2\beta = 10 \Rightarrow 2\alpha + \beta = -5$.
$\alpha\beta = 2$ અને $\beta = -5 - 2\alpha$ હોવાથી,આપણે $\beta$ ની કિંમત મૂકીએ:
$\alpha(-5 - 2\alpha) = 2 \Rightarrow -5\alpha - 2\alpha^2 = 2 \Rightarrow 2\alpha^2 + 5\alpha + 2 = 0$.
$(2\alpha + 1)(\alpha + 2) = 0$. $\alpha$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\alpha = -2$.
તેથી $\beta = -5 - 2(-2) = -5 + 4 = -1$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ શોધો.
$= 1(-1 + 4) - 2(3 - 4) - 1(-6 + 2)$
$= 1(3) - 2(-1) - 1(-4) = 3 + 2 + 4 = 9$.

(B) વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1. \overrightarrow{a} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = 3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}$
$2. \overrightarrow{b} \times (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{c} - (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}$
$3. \overrightarrow{c} \times (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}) = (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a})\overrightarrow{b} - (\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b})\overrightarrow{a} = 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}$
હવે,સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}, \overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}, 3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a}] = (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [(\overrightarrow{c} - 2\overrightarrow{a}) \times (3\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a})]$ ની ગણતરી કરતા:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + 4(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a})]$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{a} = 0$ હોવાથી,આ પદ નીચે મુજબ સરળ બનશે:
$= (3\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c}) \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})] - \overrightarrow{c} \cdot [3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})]$
$= 3\overrightarrow{b} \cdot (-2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}) - 6(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})) - \overrightarrow{c} \cdot (3(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}) - 2(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}))$
$= -6[\overrightarrow{b} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}] - 18[\overrightarrow{b} \overrightarrow{a} \overrightarrow{b}] - 3[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{b}] + 2[\overrightarrow{c} \overrightarrow{c} \overrightarrow{a}]$
પુનરાવર્તિત વેક્ટર ધરાવતા સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,આપણને $-6[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}]$ મળે છે.
આમ,મૂલ્ય $-6 \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\vec{a} \perp (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ અને $\vec{a} \times (2 \hat{i} + \hat{k}) = 2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{c} = 3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,તેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = -(\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a}$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2)(3) + (0)(\frac{1}{2}) + (1)(2) = 6 + 0 + 2 = 8$.
હવે,$(2 \hat{i} - 13 \hat{j} - 4 \hat{k}) \times (3 \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + 2 \hat{k})$ નો ક્રોસ ગુણાકાર શોધો:
$= \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -13 & -4 \\ 3 & 0.5 & 2 \end{vmatrix} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k}$.
તેથી,$-8 \vec{a} = -24 \hat{i} - 16 \hat{j} + 40 \hat{k} \implies \vec{a} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$.
$\vec{a}$ નો $\vec{v} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\vec{a} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{v} = (3)(2) + (2)(2) + (-5)(1) = 5$.
$|\vec{v}| = 3$.
પ્રક્ષેપ $= \frac{5}{3}$.

(A) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 5 \Rightarrow 2c_{1} + c_{2} + 3c_{3} = 5$..........$(1)$
કારણ કે $\overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c}$,તેથી $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 0 \Rightarrow 3c_{1} + 3c_{2} + c_{3} = 0$.............$(2)$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} \overrightarrow{c}] = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $c_{1}(1 - 9) - c_{2}(2 - 9) + c_{3}(6 - 3) = 0$
$\Rightarrow -8c_{1} + 7c_{2} + 3c_{3} = 0$ અથવા $8c_{1} - 7c_{2} - 3c_{3} = 0$..............$(3)$
સમીકરણો $(1), (2),$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$c_{3} = -3c_{1} - 3c_{2}$.
તેને $(1)$ માં મૂકતા: $2c_{1} + c_{2} + 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 5 \Rightarrow -7c_{1} - 8c_{2} = 5 \Rightarrow 7c_{1} + 8c_{2} = -5$.
તેને $(3)$ માં મૂકતા: $8c_{1} - 7c_{2} - 3(-3c_{1} - 3c_{2}) = 0 \Rightarrow 8c_{1} - 7c_{2} + 9c_{1} + 9c_{2} = 0 \Rightarrow 17c_{1} + 2c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = -\frac{17}{2}c_{1}$.
$c_{2}$ ની કિંમત $7c_{1} + 8c_{2} = -5$ માં મૂકતા: $7c_{1} + 8(-\frac{17}{2}c_{1}) = -5 \Rightarrow 7c_{1} - 68c_{1} = -5 \Rightarrow -61c_{1} = -5 \Rightarrow c_{1} = \frac{5}{61} = \frac{10}{122}$.
તેથી $c_{2} = -\frac{17}{2}(\frac{10}{122}) = -\frac{85}{122}$.
તેથી $c_{3} = -3(\frac{10}{122}) - 3(-\frac{85}{122}) = \frac{-30 + 255}{122} = \frac{225}{122}$.
અંતે,$122(c_{1} + c_{2} + c_{3}) = 122(\frac{10 - 85 + 225}{122}) = 150$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = 3$. આપણને $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + z(\vec{a} \times \vec{b})$ આપેલ છે.
બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \cdot \vec{c} = x(\vec{a} \cdot \vec{a}) + y(\vec{a} \cdot \vec{b}) + z(\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}))$.
અહીં $\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 14$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 - 2 + 3 = 2$,અને $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ હોવાથી,આપણને $3 = 14x + 2y$ મળે છે.
$\vec{c}$ ના બંને બાજુ $\vec{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા: $\vec{a} \times \vec{c} = x(\vec{a} \times \vec{a}) + y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}))$.
$\vec{a} \times \vec{c} = \vec{b}$ અને નિત્યસમ $\vec{a} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{a} - (\vec{a} \cdot \vec{a})\vec{b} = 2\vec{a} - 14\vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{b} = y(\vec{a} \times \vec{b}) + z(2\vec{a} - 14\vec{b})$ મળે છે.
$\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $(\vec{a} \times \vec{b})$ ના સહગુણકોને સરખાવતા: $2z = 0 \implies z = 0$,$y = 1$,અને $-14z = 1$ (જે વિરોધાભાસ છે). આમ,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\vec{c} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{a} + (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{b}}{|\vec{a}|^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$x = 3/14, y = 1/14, z = 1/14$ મળે છે. સરવાળો $5/14$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ શરત $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0} \Rightarrow \alpha=\beta=\gamma=0$ નું પાલન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
ત્રણ સદિશો સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણનફળ શૂન્યતર હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1+t & 1-t & 1 \\ 1-t & 1+t & 2 \\ 1 & -t & 1 \end{vmatrix}$
$= (1+t)(1+t+2t) - (1-t)(1-t-2) + 1(-t+t^2-1-t)$
$= (1+t)(1+3t) - (1-t)(-1-t) + (t^2-2t-1)$
$= 1+4t+3t^2 + (1-t^2) + t^2-2t-1 = 3t^2+2t+1$
શરત મુજબ $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$ હોવાથી,$3t^2+2t+1 \neq 0$.
અહીં વિવેચક $D = 2^2 - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8 < 0$ છે. તેથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણ હંમેશા ધન છે અને કોઈપણ $t \in R$ માટે શૂન્ય થતું નથી.
આમ,$t$ ના તમામ મૂલ્યોનો ગણ $R$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(2,3,9)$,$B(5,2,1)$,$C(1, \lambda, 8)$,અને $D(\lambda, 2,3)$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3, -1, -8)$
$\vec{AC} = (-1, \lambda-3, -1)$
$\vec{AD} = (\lambda-2, -1, -6)$
હવે,નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 & -1 & -8 \\ -1 & \lambda-3 & -1 \\ \lambda-2 & -1 & -6 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$3[-6\lambda + 17] + [\lambda + 4] - 8[-\lambda^2 + 5\lambda - 5] = 0$
$-18\lambda + 51 + \lambda + 4 + 8\lambda^2 - 40\lambda + 40 = 0$
$8\lambda^2 - 57\lambda + 95 = 0$
આ $\lambda$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. બીજનો ગુણાકાર $\lambda_1 \lambda_2 = \frac{c}{a} = \frac{95}{8}$ થાય.

(A) ધારો કે ચાર બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\vec{c} = -2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\vec{d} = 5\hat{i} - 2\alpha\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a})$,$(\vec{c}-\vec{a})$,અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
સદિશોની ગણતરી:
$\vec{b}-\vec{a} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{c}-\vec{a} = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$
$\vec{d}-\vec{a} = 2\hat{i} + (4-2\alpha)\hat{j} + 2\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત એ છે કે આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -2 & 6 & -3 \\ -5 & 3 & 1 \\ 2 & 4-2\alpha & 2 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2(6 - (4-2\alpha)) - 6(-10 - 2) - 3(-5(4-2\alpha) - 6) = 0$
$-2(2 + 2\alpha) + 72 - 3(-20 + 10\alpha - 6) = 0$
$-4 - 4\alpha + 72 - 30\alpha + 78 = 0$
$-34\alpha + 146 = 0$
$\alpha = \frac{146}{34} = \frac{73}{17}$