Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકોથી બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય.
ધારો કે સદિશો $\vec{a} = i + 2j + 3k$,$\vec{b} = \lambda i + 4j + 7k$,અને $\vec{c} = -3i - 2j - 5k$ છે.
સમરેખ હોવા માટે:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \lambda & 4 & 7 \\ -3 & -2 & -5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(4(-5) - 7(-2)) - 2(\lambda(-5) - 7(-3)) + 3(\lambda(-2) - 4(-3)) = 0$
$1(-20 + 14) - 2(-5\lambda + 21) + 3(-2\lambda + 12) = 0$
$-6 + 10\lambda - 42 - 6\lambda + 36 = 0$
$4\lambda - 12 = 0$
$4\lambda = 12$
$\lambda = 3$.

(A) આપેલ છે કે $d = \lambda (a \times b) + \mu (b \times c) + \nu (c \times a)$ અને $[a, b, c] = \frac{1}{8}$.
$d$ નો $c$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$d \cdot c = \lambda (a \times b) \cdot c + \mu (b \times c) \cdot c + \nu (c \times a) \cdot c$
$d \cdot c = \lambda [a, b, c] + 0 + 0 = \lambda \left(\frac{1}{8}\right) \implies \lambda = 8(d \cdot c)$.
તે જ રીતે,$d$ નો $a$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$d \cdot a = \lambda (a \times b) \cdot a + \mu (b \times c) \cdot a + \nu (c \times a) \cdot a$
$d \cdot a = 0 + \mu [b, c, a] + 0 = \mu \left(\frac{1}{8}\right) \implies \mu = 8(d \cdot a)$.
તે જ રીતે,$d$ નો $b$ સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા:
$d \cdot b = \lambda (a \times b) \cdot b + \mu (b \times c) \cdot b + \nu (c \times a) \cdot b$
$d \cdot b = 0 + 0 + \nu [c, a, b] = \nu \left(\frac{1}{8}\right) \implies \nu = 8(d \cdot b)$.
તેથી,$\lambda + \mu + \nu = 8(d \cdot c) + 8(d \cdot a) + 8(d \cdot b) = 8d \cdot (a + b + c)$.

(D) આપેલ નિશ્ચાયક એ ગ્રામ નિશ્ચાયક $G(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \vec{r}_{3})$ છે,જે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના વર્ગ બરાબર છે: $G(\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}, \vec{r}_{3}) = [\vec{r}_{1} \vec{r}_{2} \vec{r}_{3}]^2$.
નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,તેનો અર્થ એ છે કે $[\vec{r}_{1} \vec{r}_{2} \vec{r}_{3}] = 0$.
આ શરતનો અર્થ એ છે કે ત્રણેય સદિશો સમતલીય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સુરેખ રીતે આધારિત છે.
જો સદિશો સુરેખ રીતે આધારિત હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
વિકલ્પ $D$ જણાવે છે કે ત્રણેય સદિશો એકબીજાને લંબ છે,જેનો અર્થ એ થાય કે તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે (ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં ઓર્થોગોનલ આધાર બનાવે છે),તેથી નિશ્ચાયક શૂન્યતર હોવો જોઈએ.
તેથી,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણનફળની વ્યાખ્યા મુજબ $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c| |\sin \theta| |\cos \alpha|$,જ્યાં $\theta$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો ખૂણો છે,અને $\alpha$ એ $(a \times b)$ અને $c$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $|(a \times b) \cdot c| = |a| |b| |c|$,તેથી $|\sin \theta| |\cos \alpha| = 1$.
$|\sin \theta|$ અને $|\cos \alpha|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે $|\sin \theta| = 1$ અને $|\cos \alpha| = 1$ હોય.
$|\sin \theta| = 1 \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a \perp b$ $(a \cdot b = 0)$.
$|\cos \alpha| = 1 \Rightarrow \alpha = 0$ અથવા $\pi$,જેનો અર્થ છે કે $c$ એ સદિશ $(a \times b)$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $(a \times b)$ એ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ છે,તેથી $c$ પણ $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$c \perp a$ $(c \cdot a = 0)$ અને $c \perp b$ $(c \cdot b = 0)$.
આમ,$a, b, c$ પરસ્પર લંબ છે,જે સૂચવે છે કે $a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = 0$.

(A) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારને $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી $[a, b, c] \neq 0$.
આપણે અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ: $[c, a, b] = [a, b, c]$ અને $[b, a, c] = -[a, b, c]$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{a \cdot (b \times c)}{c \times a \cdot b} + \frac{b \cdot (a \times c)}{c \cdot (a \times b)} = \frac{[a, b, c]}{[c, a, b]} + \frac{[b, a, c]}{[c, a, b]}$
$= \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + \frac{-[a, b, c]}{[a, b, c]}$
$= 1 - 1 = 0$.

(B) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[a + b, b + c, c + a] = (a + b) \cdot \{(b + c) \times (c + a)\}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(b + c) \times (c + a) = b \times c + b \times a + c \times c + c \times a$.
કારણ કે $c \times c = 0$,આ પદ $b \times c + b \times a + c \times a$ માં પરિણમે છે.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $(a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times a) = a \cdot (b \times c) + a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $a \cdot (b \times a) = 0$,$a \cdot (c \times a) = 0$,$b \cdot (b \times c) = 0$,અને $b \cdot (b \times a) = 0$.
આથી બાકી રહે છે: $a \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) = [a, b, c] + [b, c, a]$.
કારણ કે $[a, b, c] = [b, c, a]$,તેથી અભિવ્યક્તિ $[a, b, c] + [a, b, c] = 2[a, b, c]$ બને છે.

(C) ધારો કે સદિશો $\vec{a} = 2i - 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j - k$,અને $\vec{c} = 3i + 0j - k$ છે.
સંગામી ધાર $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
આ ઘનફળ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય છે:
$V = |\det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{bmatrix}|$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$V = |2(1(-1) - (-1)(0)) - (-3)(1(-1) - (-1)(3)) + 0|$
$V = |2(-1) + 3(-1 + 3)|$
$V = |-2 + 3(2)|$
$V = |-2 + 6| = |4| = 4$.
આમ,સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $4$ ઘન એકમ છે.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a, b, c]$ ને $a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
જો ત્રણ સદિશો $a, b, c$ સમતલીય હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
સદિશ $(b \times c)$ એ $b$ અને $c$ સદિશો ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
કારણ કે $a$ પણ તે જ સમતલમાં છે,તેથી $a$ એ $(b \times c)$ ને લંબ છે.
તેથી,$a$ અને $(b \times c)$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $a \cdot (b \times c) = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,$[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b] = (a \times b) \cdot c = 0$.

(A) અદિશ ત્રિગુણન (scalar triple product) ની વ્યાખ્યા મુજબ $[a \ c \ b] = a \cdot (c \times b)$ થાય.
અદિશ ત્રિગુણનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે ચક્રીય ક્રમ બદલી શકીએ છીએ: $[a \ c \ b] = c \cdot (b \times a)$.
કારણ કે $a$ અને $b$ સમાંતર સદિશો છે,તેથી તેમનો સદિશ ગુણાકાર $b \times a = 0$ થાય.
તેથી,$[a \ c \ b] = c \cdot 0 = 0$ મળે.

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$7\lambda = -28$
$\lambda = -4$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે કે $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,અને $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$.
દરેક પદની અલગથી ગણતરી કરીએ:
$(a+b) \cdot p = a \cdot p + b \cdot p = a \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} + b \cdot \frac{b \times c}{[a, b, c]} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(b+c) \cdot q = b \cdot q + c \cdot q = b \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} + c \cdot \frac{c \times a}{[a, b, c]} = \frac{[b, c, a]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
$(c+a) \cdot r = c \cdot r + a \cdot r = c \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} + a \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{[c, a, b]}{[a, b, c]} + 0 = 1$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા: $1 + 1 + 1 = 3$.

(A) ધારો કે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 3i - 2j - k,$ $\vec{b} = 2i + 3j - 4k,$ $\vec{c} = -i + j + 2k,$ અને $\vec{d} = 4i + 5j + \lambda k$ છે.
ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $(\vec{b}-\vec{a}),$ $(\vec{c}-\vec{a}),$ અને $(\vec{d}-\vec{a})$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\vec{b}-\vec{a} = -i + 5j - 3k$
$\vec{c}-\vec{a} = -4i + 3j + 3k$
$\vec{d}-\vec{a} = i + 7j + (\lambda+1)k$
સમતલીયતા માટે,આ સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} -1 & 5 & -3 \\ -4 & 3 & 3 \\ 1 & 7 & \lambda+1 \end{vmatrix} = 0$
$-1(3\lambda + 3 - 21) - 5(-4\lambda - 4 - 3) - 3(-28 - 3) = 0$
$-3\lambda + 18 + 20\lambda + 35 + 93 = 0$
$17\lambda + 146 = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(A) આપેલ છે કે $p = \frac{b \times c}{[a, b, c]}$,$q = \frac{c \times a}{[a, b, c]}$,અને $r = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$.
આ સદિશોનો સરવાળો કરતા,આપણને મળે $p + q + r = \frac{b \times c + c \times a + a \times b}{[a, b, c]}$.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $(a + b + c) \cdot (p + q + r)$ ની ગણતરી કરીએ:
$(a + b + c) \cdot \left( \frac{b \times c + c \times a + a \times b}{[a, b, c]} \right) = \frac{a \cdot (b \times c) + a \cdot (c \times a) + a \cdot (a \times b) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (c \times a) + b \cdot (a \times b) + c \cdot (b \times c) + c \cdot (c \times a) + c \cdot (a \times b)}{[a, b, c]}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ નો ઉપયોગ કરતા અને નોંધતા કે સમાન સદિશો ધરાવતા કોઈપણ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું મૂલ્ય $0$ થાય છે:
$= \frac{[a, b, c] + 0 + 0 + 0 + [b, c, a] + 0 + 0 + 0 + [c, a, b]}{[a, b, c]}$.
કારણ કે $[a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]$,તેથી:
$= \frac{[a, b, c] + [a, b, c] + [a, b, c]}{[a, b, c]} = \frac{3[a, b, c]}{[a, b, c]} = 3$.

(C) સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી ધારવાળા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ ના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે,જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક જેટલું છે.
આપેલ સદિશો $\vec{a} = -12i + 0j + \alpha k$,$\vec{b} = 0i + 3j - 1k$ અને $\vec{c} = 2i + 1j - 15k$ છે.
ઘનફળ નીચે મુજબ છે:
$|\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})| = 546$
$\left| \begin{matrix} -12 & 0 & \alpha \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{matrix} \right| = \pm 546$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-12(3(-15) - (-1)(1)) - 0(...) + \alpha(0(1) - 3(2)) = \pm 546$
$-12(-45 + 1) + \alpha(-6) = \pm 546$
$-12(-44) - 6\alpha = \pm 546$
$528 - 6\alpha = \pm 546$
કિસ્સો $1$: $528 - 6\alpha = 546 \Rightarrow -6\alpha = 18 \Rightarrow \alpha = -3$
કિસ્સો $2$: $528 - 6\alpha = -546 \Rightarrow -6\alpha = -1074 \Rightarrow \alpha = 179$
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું મૂલ્ય $\alpha = -3$ છે.

(B) સદિશો એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_2 \to C_2 - C_1$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} a & 0 & c \\ 1 & -1 & 1 \\ c & 0 & b \end{vmatrix} = 0$
બીજા સ્તંભને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-(-1) \begin{vmatrix} a & c \\ c & b \end{vmatrix} = 0$
$ab - c^2 = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
આમ,$c = \sqrt{ab}$,જે $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક છે.

(D) વ્યસ્ત સદિશો નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$a^{-1} = \frac{b \times c}{[a, b, c]}, b^{-1} = \frac{c \times a}{[a, b, c]}, c^{-1} = \frac{a \times b}{[a, b, c]}$
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = (a^{-1} \times b^{-1}) \cdot c^{-1}$
પદો મૂકતા:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = \left( \frac{b \times c}{[a, b, c]} \times \frac{c \times a}{[a, b, c]} \right) \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]}$
ગુણધર્મ $(b \times c) \times (c \times a) = [b, c, a]c = [a, b, c]c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}] = \frac{[a, b, c]c}{[a, b, c]^2} \cdot \frac{a \times b}{[a, b, c]} = \frac{c \cdot (a \times b)}{[a, b, c]^2} = \frac{[a, b, c]}{[a, b, c]^2} = \frac{1}{[a, b, c]}$
કારણ કે $[a, b, c] \neq 0$,તેથી આ કિંમત શૂન્યતર છે.

(A) ત્રણ સદિશો $a, b,$ અને $c$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[a, b, c] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & p & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(2 \times 5 - (-1) \times p) - (-1)(1 \times 5 - (-1) \times 3) + 1(1 \times p - 2 \times 3) = 0$
$1(10 + p) + 1(5 + 3) + 1(p - 6) = 0$
$10 + p + 8 + p - 6 = 0$
$2p + 12 = 0$
$2p = -12$
$p = -6$

(B) અદિશ ત્રિગુણક $[i, k, j]$ ને $i \cdot (k \times j)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $i, j, k$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો છે,આપણે જાણીએ છીએ કે $k \times j = -i$.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $i \cdot (-i) = -(i \cdot i)$ મળે છે.
કારણ કે $i$ એકમ સદિશ છે,$i \cdot i = |i|^2 = 1^2 = 1$.
તેથી,$[i, k, j] = -1$.

(D) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \left| \det \begin{bmatrix} 12 & 4 & 3 \\ 8 & -12 & -9 \\ 33 & -4 & -24 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$V = |12((-12)(-24) - (-9)(-4)) - 4((8)(-24) - (-9)(33)) + 3((8)(-4) - (-12)(33))|$
$V = |12(288 - 36) - 4(-192 + 297) + 3(-32 + 396)|$
$V = |12(252) - 4(105) + 3(364)|$
$V = |3024 - 420 + 1092|$
$V = |3696| = 3696 \text{ ઘન એકમ.}$
આમ,$3696$ વિકલ્પોમાં આપેલ નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) ત્રણ સંગામી સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા રચાયેલા નિશ્ચાયકના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
ધારો કે $\vec{a} = 2i + j - k$,$\vec{b} = i + 2j + 3k$,અને $\vec{c} = -3i - j + k$.
ઘનફળ $V = \left| \det \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right|$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$V = |2(2(1) - 3(-1)) - 1(1(1) - 3(-3)) + (-1)(1(-1) - 2(-3))|$
$V = |2(2 + 3) - 1(1 + 9) - 1(-1 + 6)|$
$V = |2(5) - 1(10) - 1(5)|$
$V = |10 - 10 - 5|$
$V = |-5| = 5$ ઘન એકમ.

(A) આપેલ છે કે $x$ એ શૂન્યતર સદિશ છે જેથી $x \cdot a = 0, x \cdot b = 0$ અને $x \cdot c = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $x$ એ સદિશો $a, b$ અને $c$ દરેકને લંબ છે.
જો $x$ એ $a, b$ અને $c$ ને લંબ શૂન્યતર સદિશ હોય,તો $a, b$ અને $c$ એ $x$ ને લંબ સમતલમાં આવેલા હોવા જોઈએ.
તેથી,સદિશો $a, b$ અને $c$ સમતલીય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,એટલે કે $[a, b, c] = 0$.

(B) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,જે આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે.
ધારો કે નિશ્ચાયક $D = \begin{vmatrix} -bc & b^2 + bc & c^2 + bc \\ a^2 + ac & -ac & c^2 + ac \\ a^2 + ab & b^2 + ab & -ab \end{vmatrix} = 0$.
દરેક હારને અનુક્રમે $a, b, c$ વડે ભાગતા (અથવા સ્તંભમાંથી $a, b, c$ સામાન્ય લેતા),આપણે નિશ્ચાયકને સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
પ્રથમ સ્તંભમાંથી $a$,બીજામાંથી $b$ અને ત્રીજામાંથી $c$ સામાન્ય લેતા:
$abc \begin{vmatrix} -c & b+c & c+b \\ a+c & -c & c+a \\ a+b & b+a & -b \end{vmatrix} = 0$.
હાર અને સ્તંભની પ્રક્રિયાઓ કર્યા પછી,નિશ્ચાયકનું સાદું રૂપ $(ab + bc + ca)^3 = 0$ મળે છે.
આમ,$ab + bc + ca = 0$.

(D) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a + b, b + c, c + a]$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરી શકાય:
$[a + b, b + c, c + a] = (a + b) \cdot ((b + c) \times (c + a))$
$= (a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times c + c \times a)$
કારણ કે $c \times c = 0$,તેથી આ પદ શૂન્ય થશે:
$= (a + b) \cdot (b \times c + b \times a + c \times a)$
$= a \cdot (b \times c) + a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,સમાન સદિશો ધરાવતા પદો શૂન્ય થાય છે:
$= [a, b, c] + 0 + 0 + 0 + 0 + [b, c, a]$
$= [a, b, c] + [a, b, c] = 2[a, b, c]$
અહીં $a, b, c$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $[a, b, c] = 0$ થાય.
તેથી,$2[a, b, c] = 2(0) = 0$.

(B) ત્રણ સદિશો $a, b, c$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] = (a \times b) \cdot c$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સૂત્રમાં $c = a \times b$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[a, b, a \times b] = (a \times b) \cdot (a \times b)$.
અદિશ ગુણાકારના ગુણધર્મ $v \cdot v = |v|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(a \times b) \cdot (a \times b) = |a \times b|^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય, એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર સદિશોના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ x & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2(2) - (-1)(-1)) - (-3)(1(2) - (-1)(x)) + 4(1(-1) - 2(x)) = 0$
$2(4 - 1) + 3(2 + x) + 4(-1 - 2x) = 0$
$2(3) + 6 + 3x - 4 - 8x = 0$
$6 + 6 + 3x - 4 - 8x = 0$
$8 - 5x = 0$
$5x = 8$
$x = \frac{8}{5}$

(C) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V$ જેની પાસપાસેની ધાર સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના માનાંક જેટલું હોય છે.
ધારો કે $\vec{a} = 2i - 3j + 4k$,$\vec{b} = i + 2j - 2k$,અને $\vec{c} = 3i - j + k$.
ઘનફળ $V = \left| \det \begin{bmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & -1 & 1 \end{bmatrix} \right|$.
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$V = |2(2(1) - (-2)(-1)) - (-3)(1(1) - (-2)(3)) + 4(1(-1) - 2(3))|$
$V = |2(2 - 2) + 3(1 + 6) + 4(-1 - 6)|$
$V = |2(0) + 3(7) + 4(-7)|$
$V = |0 + 21 - 28|$
$V = |-7| = 7$.
આમ,ઘનફળ $7 \ cubic \ units$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે યામ અક્ષો પરના એકમ સદિશો $i, j, k$ માટે,ક્રોસ પ્રોડક્ટ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$j \times k = i$
$k \times i = j$
$i \times j = k$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$i \cdot (j \times k) + j \cdot (k \times i) + k \cdot (i \times j) = i \cdot i + j \cdot j + k \cdot k$
એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ પ્રોડક્ટ $1$ થાય છે (એટલે કે $i \cdot i = 1, j \cdot j = 1, k \cdot k = 1$):
$1 + 1 + 1 = 3$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) સમાંતરફલક કે જેની સંગામી ધાર $a$,$b$,અને $c$ હોય તેનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|a \cdot (b \times c)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના નિરપેક્ષ મૂલ્ય જેટલું હોય છે.
ઘનફળ $= \left| \det \begin{bmatrix} -3 & 7 & 5 \\ -3 & 7 & -3 \\ 7 & -5 & -3 \end{bmatrix} \right|$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= | -3((7)(-3) - (-3)(-5)) - 7((-3)(-3) - (-3)(7)) + 5((-3)(-5) - (7)(7)) |$
$= | -3(-21 - 15) - 7(9 + 21) + 5(15 - 49) |$
$= | -3(-36) - 7(30) + 5(-34) |$
$= | 108 - 210 - 170 |$
$= | -272 |$
$= 272$ ઘન એકમ.

(C) સદિશ ગુણાકાર $a \times b$ એ એવો સદિશ આપે છે જે $a$ અને $b$ બંનેને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,આપણને $a \cdot (a \times b) = 0$ મળે છે.
આ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a, a, b] = 0$ નો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે કારણ કે બે સદિશો સમાન છે.

(D) સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ જેની સંગામી ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,ધાર $\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} - \vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{c} - \vec{a}$ છે.
ઘનફળ $= (\vec{a} - \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{c} - \vec{a}))$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\vec{b} - \vec{c}) \times (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{a} - \vec{c} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a} = \vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a}$ (કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = 0$ અને $-\vec{b} \times \vec{a} = \vec{a} \times \vec{b}$).
હવે,$(\vec{a} - \vec{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + \vec{a} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{a})$
$= \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + \vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + \vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનો ગુણધર્મ વાપરતા,જો કોઈ બે સદિશ સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{b} \vec{c} \vec{a}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] - [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$ થાય છે.

(C) ત્રણ સદિશો $u, v, w$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[u, v, w] = u \cdot (v \times w)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણકના ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,$[u, v, w] = [v, w, u] = [w, u, v]$.
વિકલ્પ $(a)$ એ $u \cdot (v \times w) = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(b)$ એ $(v \times w) \cdot u = [v, w, u] = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(d)$ એ $(u \times v) \cdot w = [u, v, w]$ છે.
વિકલ્પ $(c)$ એ $v \cdot (u \times w) = [v, u, w] = -[u, v, w]$ છે.
કારણ કે $[u, v, w] \neq -[u, v, w]$ (સામાન્ય રીતે),વિકલ્પ $(c)$ બાકીના વિકલ્પો સમાન નથી.

(A) ધારો કે $u$,$v$,અને $w$ સદિશો છે.
$1$. $u \cdot (v \times w)$ ધ્યાનમાં લો: $(v \times w)$ અભિવ્યક્તિ એક સદિશ આપે છે. સદિશ $u$ નો પરિણામી સદિશ $(v \times w)$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત છે અને તે એક અદિશ આપે છે. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ છે.
$2$. $(u \cdot v) \cdot w$ ધ્યાનમાં લો: $(u \cdot v)$ અભિવ્યક્તિ એક અદિશ આપે છે. અદિશનો સદિશ $w$ સાથેનો ડોટ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ નથી.
$3$. $(u \cdot v) \times w$ ધ્યાનમાં લો: $(u \cdot v)$ અભિવ્યક્તિ એક અદિશ આપે છે. અદિશનો સદિશ $w$ સાથેનો ક્રોસ ગુણાકાર વ્યાખ્યાયિત નથી. તેથી,આ અભિવ્યક્તિ અર્થપૂર્ણ નથી.
તેથી,માત્ર પ્રથમ અભિવ્યક્તિ જ અર્થપૂર્ણ છે.

(B) આપેલ સદિશ સમીકરણ $d = \lambda a + \mu b + \nu c$ છે.
$\lambda$ શોધવા માટે,બંને બાજુ સદિશો $b$ અને $c$ સાથે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર લેતા.
બંને બાજુ $(b \times c)$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$d \cdot (b \times c) = (\lambda a + \mu b + \nu c) \cdot (b \times c)$
પુનરાવર્તિત ઘટકો ધરાવતા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોવાથી:
$b \cdot (b \times c) = 0$ અને $c \cdot (b \times c) = 0$.
તેથી,$d \cdot (b \times c) = \lambda [a, b, c]$.
આમ,$\lambda = \frac{[d, b, c]}{[a, b, c]}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[d, b, c] = [b, c, d]$ અને $[a, b, c] = [b, c, a]$.
તેથી,$\lambda = \frac{[b, c, d]}{[b, c, a]}$.

(B) સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ડાબા હાથની સિસ્ટમ બનાવે તે માટે,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક (scalar triple product) $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}]$ ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] < 0$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{A} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \end{vmatrix} = i(15 - 4) - j(10 - 4) + k(2 - 3) = 11i - 6j - k$.
સિસ્ટમ ડાબા હાથની હોવા માટે,આપણે $\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) < 0$ ની જરૂર છે.
વિકલ્પ $B$ ચકાસતા: $\vec{C} = -11i + 6j + k$.
$\vec{C} \cdot (\vec{A} \times \vec{B}) = (-11)(11) + (6)(-6) + (1)(-1) = -121 - 36 - 1 = -158$.
કારણ કે $-158 < 0$ છે,તેથી આ સદિશો ડાબા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે.

(C) સદિશો $a$,$b$ અને $c$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $|[a, b, c]|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશો:
$a = 1i - 1j + 1k$
$b = 1i - 3j + 4k$
$c = 2i - 5j + 3k$
અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર એ આ સદિશો દ્વારા બનતા શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે:
$|[a, b, c]| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -5 & 3 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 1((-3)(3) - (4)(-5)) - (-1)((1)(3) - (4)(2)) + 1((1)(-5) - (-3)(2))$
$= 1(-9 + 20) + 1(3 - 8) + 1(-5 + 6)$
$= 1(11) + 1(-5) + 1(1)$
$= 11 - 5 + 1 = 7$
આમ,સમાંતરફલકનું ઘનફળ $7$ ઘન એકમ છે.

(B) આપેલ છે કે $a \cdot (b \times c) = \lambda \neq 0$.
આપણે $\frac{(b \times c) \cdot (a + b + c)}{\lambda}$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
ડોટ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(b \times c) \cdot a + (b \times c) \cdot b + (b \times c) \cdot c}{\lambda}$
કારણ કે સદિશોના સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટમાં જો ઘટકોનું પુનરાવર્તન થતું હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે,તેથી $(b \times c) \cdot b = 0$ અને $(b \times c) \cdot c = 0$ થાય.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{(b \times c) \cdot a + 0 + 0}{\lambda}$ થાય છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ ચક્રીય હોવાથી,$(b \times c) \cdot a = a \cdot (b \times c) = \lambda$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda}{\lambda} = 1$ મળે છે.

(A) ત્રણ સદિશો $a, b,$ અને $c$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
જો ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય,તો તેઓ એક જ સમતલમાં આવેલા હોય છે.
કોઈપણ ત્રણ સમતલીય સદિશો માટે,તેમના દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શૂન્ય હોય છે.
અદિશ ત્રિગુણક એ સમાંતરફલકનું ઘનફળ દર્શાવતું હોવાથી,કોઈપણ સમતલીય સદિશો માટે $[a, b, c] = 0$ થાય છે.
તેથી,જો $a, b,$ અને $c$ એકમ સમતલીય સદિશો હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $0$ થાય છે.

(B) સદિશો $\vec{a} = i + 3j - 2k$,$\vec{b} = 2i - j + 4k$,અને $\vec{c} = 3i + 2j + xk$ સમતલીય છે જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આ શરત તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\left| \begin{array}{ccc} 1 & 3 & -2 \\ 2 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & x \end{array} \right| = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(x) - (4)(2)) - 3((2)(x) - (4)(3)) + (-2)((2)(2) - (-1)(3)) = 0$
$1(-x - 8) - 3(2x - 12) - 2(4 + 3) = 0$
$-x - 8 - 6x + 36 - 14 = 0$
$-7x + 14 = 0$
$7x = 14$
$x = 2$
આમ,$x$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારને $[x, y, z] = (x \times y) \cdot z$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે $[a - b, b - c, c - a]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$[a - b, b - c, c - a] = (a - b) \cdot ((b - c) \times (c - a))$
$= (a - b) \cdot (b \times c - b \times a - c \times c + c \times a)$
કારણ કે $c \times c = 0$,તેથી આ પદ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$= (a - b) \cdot (b \times c - b \times a + c \times a)$
$= a \cdot (b \times c) - a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) - b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) - b \cdot (c \times a)$
જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે:
$a \cdot (b \times a) = [a, b, a] = 0$
$a \cdot (c \times a) = [a, c, a] = 0$
$b \cdot (b \times c) = [b, b, c] = 0$
$b \cdot (b \times a) = [b, b, a] = 0$
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$= [a, b, c] - [b, c, a]$
કારણ કે $[a, b, c] = [b, c, a]$,તેથી:
$= [a, b, c] - [a, b, c] = 0$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$,અને $\vec{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આ નિશ્ચાયક દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -4 \\ 1 & \lambda & 3 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - (-4\lambda)) - 1(6 - (-4)) + 1(2\lambda - 0) = 0$
$1(4\lambda) - 1(10) + 1(2\lambda) = 0$
$4\lambda - 10 + 2\lambda = 0$
$6\lambda = 10$
$\lambda = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$
અહીં $\frac{5}{3}$ આપેલા વિકલ્પોમાં નથી,તેથી સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(D) ત્રણ સદિશો $\overrightarrow{A}$,$\overrightarrow{B}$,અને $\overrightarrow{C}$ સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણક નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ C_1 & C_2 & C_3 \end{vmatrix} = 0$.
આપેલ કિંમતો $C_2 = -1$ અને $C_3 = 1$ મૂકતા:
$[\overrightarrow{A} \, \overrightarrow{B} \, \overrightarrow{C}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ C_1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$.
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0
\Rightarrow -1 \times (1 - (-1)) = 0
\Rightarrow -1 \times (2) = 0
\Rightarrow -2 = 0$.
અહીં $-2 \neq 0$ હોવાથી,અદિશ ત્રિગુણક $C_1$ થી સ્વતંત્ર છે અને ક્યારેય શૂન્ય થતો નથી. તેથી,$C_1$ નું કોઈ પણ મૂલ્ય આ સદિશોને સમતલીય બનાવી શકતું નથી.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a\,b\,c]$ એ સદિશો $a$, $b$, અને $c$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[a\,b\,c] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$[a\,b\,c] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0 = (1 + x) - x = 1$.
પરિણામ અચળ $1$ હોવાથી, $[a\,b\,c]$ નું મૂલ્ય $x$ કે $y$ પર આધાર રાખતું નથી.

(B) અદિશ ત્રિગુણક $a \cdot (b \times c)$ એ સદિશો $a$,$b$ અને $c$ ના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a \cdot (b \times c) = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 2 \\ 6 & 4 & -2 \\ 3 & -2 & -4 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 3 \times [(4)(-4) - (-2)(-2)] - (-2) \times [(6)(-4) - (-2)(3)] + 2 \times [(6)(-2) - (4)(3)]$
$= 3 \times [-16 - 4] + 2 \times [-24 + 6] + 2 \times [-12 - 12]$
$= 3(-20) + 2(-18) + 2(-24)$
$= -60 - 36 - 48$
$= -144$

(B) આપણને પદાવલિ $(a + b) \cdot ((b + c) \times (a + b + c))$ આપેલ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું સાદું રૂપ આપો: $(b + c) \times (a + b + c) = b \times a + b \times b + b \times c + c \times a + c \times b + c \times c$.
કારણ કે $b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$,અને $c \times b = -(b \times c)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(b + c) \times (a + b + c) = b \times a + b \times c + c \times a - b \times c = b \times a + c \times a$.
હવે,$(a + b)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(a + b) \cdot (b \times a + c \times a) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (કારણ કે બે સદિશો સમાન છે).
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a] = [a b c]$.
આમ,પદાવલિનું સાદું રૂપ $[a b c]$ મળે છે.

(C) અદિશ ત્રિગુણન (scalar triple product) ને $[a, b, c] = a \cdot (b \times c)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અદિશ ત્રિગુણનના ચક્રીય ગુણધર્મ મુજબ,સદિશોના ચક્રીય ક્રમમાં ફેરફાર કરવાથી તેનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
તેથી,$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$b \cdot (c \times a)$ એ $a \cdot (b \times c)$ ને સમાન છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રણ સદિશો $x, y, z$ નો અદિશ ત્રિગુણક $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $x = a \times b$,$y = b \times c$,અને $z = c \times a$.
તેથી $[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ((b \times c) \times (c \times a))$.
સદિશ ત્રિગુણક નિત્યસમ $(p \times q) \times r = (p \cdot r)q - (q \cdot r)p$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(b \times c) \times (c \times a) = ([b, c, a]c - [b, c, c]a)$.
કારણ કે $[b, c, c] = 0$ અને $[b, c, a] = [a, b, c]$,આપણને મળે છે:
$(b \times c) \times (c \times a) = [a, b, c]c$.
આ કિંમતને અભિવ્યક્તિમાં મૂકતા:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = (a \times b) \cdot ([a, b, c]c) = [a, b, c] (a \times b) \cdot c = [a, b, c] [a, b, c]$.
આપેલ છે કે $[a, b, c] = 4$,તેથી:
$[a \times b, b \times c, c \times a] = 4 \times 4 = 16$.