Scalar triple product and their applications Questions in Gujarati

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{v} = -2\vec{a} + 3\vec{b} - 4\vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{a} - 3\vec{b} + 5\vec{c}$.
શરત $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$ નો અર્થ છે કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & \lambda & 3 \\ -2 & 3 & -4 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3 \times 5 - (-4) \times (-3)) - \lambda((-2) \times 5 - (-4) \times 1) + 3((-2) \times (-3) - 3 \times 1) = 0$
$1(15 - 12) - \lambda(-10 + 4) + 3(6 - 3) = 0$
$1(3) - \lambda(-6) + 3(3) = 0$
$3 + 6\lambda + 9 = 0$
$6\lambda + 12 = 0$
$6\lambda = -12$
$\lambda = -2$.

(B) આપેલ છે કે $d = \lambda a + \mu b + \nu c$.
$\lambda$ શોધવા માટે,આપણે $d$ નો $b$ અને $c$ સાથે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર લઈએ:
$d \cdot (b \times c) = (\lambda a + \mu b + \nu c) \cdot (b \times c)$.
કારણ કે $b \cdot (b \times c) = 0$ અને $c \cdot (b \times c) = 0$,તેથી પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$d \cdot (b \times c) = \lambda [a, b, c]$.
તેથી,$\lambda = \frac{[d, b, c]}{[a, b, c]}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ચક્રીય ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$[d, b, c] = [b, c, d]$ અને $[a, b, c] = [b, c, a]$.
આમ,$\lambda = \frac{[b, c, d]}{[b, c, a]}$.

(C) ધારો કે પદાવલિ $E = (\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot ((\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}))$ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(\bar{u} - \bar{v}) \times (\bar{v} - \bar{w}) = \bar{u} \times \bar{v} - \bar{u} \times \bar{w} - \bar{v} \times \bar{v} + \bar{v} \times \bar{w}$.
કારણ કે $\bar{v} \times \bar{v} = 0$,આ પદ $\bar{u} \times \bar{v} + \bar{w} \times \bar{u} + \bar{v} \times \bar{w}$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(\bar{u} + \bar{v} - \bar{w})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$E = (\bar{u} + \bar{v} - \bar{w}) \cdot (\bar{u} \times \bar{v} + \bar{w} \times \bar{u} + \bar{v} \times \bar{w})$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિતરણ કરતા:
$= \bar{u} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{u} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) + \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) + \bar{v} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) + \bar{v} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) + \bar{v} \cdot (\bar{v} \times \bar{w}) - \bar{w} \cdot (\bar{u} \times \bar{v}) - \bar{w} \cdot (\bar{w} \times \bar{u}) - \bar{w} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= 0 + 0 + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + 0 + [\bar{v} \bar{w} \bar{u}] + 0 - [\bar{w} \bar{u} \bar{v}] - 0 - 0$.
કારણ કે $[\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{v} \bar{w} \bar{u}] = [\bar{w} \bar{u} \bar{v}]$,આપણને મળે છે:
$E = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] + [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] - [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = [\bar{u} \bar{v} \bar{w}] = \bar{u} \cdot (\bar{v} \times \bar{w})$.

(A) ધારોકે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય સદીશો છે,તેથી તેઓ સદીશ અવકાશ માટે આધાર (basis) બનાવે છે. કોઈપણ સદીશ $\vec{r}$ ને $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના રેખીય સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$\vec{r} = x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 \vec{c}$
$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર લેતા:
$\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = x_1 \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + x_2 \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + x_3 \vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$
$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ અને $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}] = x_1 [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \implies x_1 = \frac{[\vec{r} \, \vec{b} \, \vec{c}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$
તે જ રીતે,$x_2 = \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$ અને $x_3 = \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]}$
આ કિંમતોને $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{a} + \frac{[\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{b} + \frac{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}]}{[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]} \vec{c}$
બંને બાજુ $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}]$ વડે ગુણતા:
$[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{r}] \vec{a} + [\vec{c} \, \vec{a} \, \vec{r}] \vec{b} + [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{r}] \vec{c} = [\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] \vec{r}$

(D) સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[\overline{a} \, \overline{b} \, \overline{c}]$ શૂન્ય થાય.
તેથી નિશ્ચાયક:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-2)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(C) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $a \cdot (b \times c)$ એ સદિશો $a$,$b$ અને $c$ ના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$a \cdot (b \times c) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 2(2(2) - 1(-1)) - 1(1(2) - 1(1)) + (-1)(1(-1) - 2(1))$
$= 2(4 + 1) - 1(2 - 1) - 1(-1 - 2)$
$= 2(5) - 1(1) - 1(-3)$
$= 10 - 1 + 3$
$= 12$

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$.
આ તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & -1 \\ \lambda & 1 & 2\lambda - 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1[3(2\lambda - 1) - (-1)(1)] - (-2)[2(2\lambda - 1) - (-1)(\lambda)] + 3[2(1) - 3(\lambda)] = 0$
$1[6\lambda - 3 + 1] + 2[4\lambda - 2 + \lambda] + 3[2 - 3\lambda] = 0$
$(6\lambda - 2) + 2(5\lambda - 2) + (6 - 9\lambda) = 0$
$6\lambda - 2 + 10\lambda - 4 + 6 - 9\lambda = 0$
$(6 + 10 - 9)\lambda + (-2 - 4 + 6) = 0$
$7\lambda + 0 = 0$
$7\lambda = 0$
$\lambda = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર ચક્રીય છે,તેથી $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}] = [\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]$.
વળી,કોઈપણ બે સદિશોની અદલાબદલી કરવાથી નિશાની બદલાય છે: $[\vec{a}, \vec{c}, \vec{b}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]} + \frac{[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}]}{[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}]}$.
કારણ કે $[\vec{c}, \vec{a}, \vec{b}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ અને $[\vec{b}, \vec{a}, \vec{c}] = -[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$,
$E = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]} + \frac{-[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]}$.
$E = 1 - 1 = 0$.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b},$ અને $\vec{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1 - x \\ y & x & 1 + x - y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \to C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1 + x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1 + x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = (1 + x) - x = 1$
પરિણામ અચળ $1$ હોવાથી,તે $x$ કે $y$ પર આધાર રાખતું નથી.

(D) ધારો કે ચાર બિંદુઓ $A, B, C$ અને $D$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{p_1} = 2\vec{a} + 3\vec{b} - \vec{c}$,$\vec{p_2} = \vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c}$,$\vec{p_3} = 3\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{c}$ અને $\vec{p_4} = \vec{a} - \lambda\vec{b} - 6\vec{c}$ છે.
બિંદુઓ સમતલીય હોવા માટે,સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC}$ અને $\vec{AD}$ સમતલીય હોવા જોઈએ,એટલે કે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય: $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$.
$\vec{AB} = \vec{p_2} - \vec{p_1} = -\vec{a} - 5\vec{b} + 4\vec{c}$
$\vec{AC} = \vec{p_3} - \vec{p_1} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{p_4} - \vec{p_1} = -\vec{a} - (\lambda + 3)\vec{b} - 5\vec{c}$
અદિશ ત્રિગુણક નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} -1 & -5 & 4 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & -(\lambda + 3) & -5 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(-5 - (\lambda + 3)) + 5(-5 - 1) + 4(-(\lambda + 3) + 1) = 0$
$-1(-\lambda - 8) - 30 + 4(-\lambda - 2) = 0$
$\lambda + 8 - 30 - 4\lambda - 8 = 0$
$-3\lambda - 30 = 0 \implies \lambda = -10$.
આમ,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) સદિશ ત્રિગુણકને $[x, y, z] = x \cdot (y \times z)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $a, b,$ અને $c$ સમતલીય સદિશો છે,તેથી તેમનો સદિશ ત્રિગુણક $[a, b, c] = a \cdot (b \times c) = 0$ થાય.
આપણે $[2a - b, 2b - c, 2c - a]$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
સદિશ ત્રિગુણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને નીચે મુજબ વિસ્તૃત કરી શકીએ:
$[2a - b, 2b - c, 2c - a] = (2a - b) \cdot ((2b - c) \times (2c - a))$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $(2b - c) \times (2c - a)$ ની ગણતરી કરો:
$(2b - c) \times (2c - a) = 4(b \times c) - 2(b \times a) - 2(c \times c) + (c \times a)$.
કારણ કે $c \times c = 0$,આ પદ $4(b \times c) + 2(a \times b) + (c \times a)$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(2a - b)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(2a - b) \cdot [4(b \times c) + 2(a \times b) + (c \times a)] = 8[a, b, c] + 4[a, a, b] + 2[a, c, a] - 4[b, b, c] - 2[b, a, b] - [b, c, a]$.
કોઈપણ સદિશ ત્રિગુણક જેમાં બે સમાન સદિશો હોય તેનું મૂલ્ય $0$ થાય છે (દા.ત.,$[a, a, b] = 0$),તેથી આ પદાવલિ નીચે મુજબ સરળ બને છે:
$8[a, b, c] - [b, c, a]$.
કારણ કે $[a, b, c] = [b, c, a]$,પદાવલિ $8[a, b, c] - [a, b, c] = 7[a, b, c]$ બને છે.
આપેલ છે કે $a, b,$ અને $c$ સમતલીય છે,તેથી $[a, b, c] = 0$.
તેથી,$7 \times 0 = 0$.

(A) ત્રણ સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ એક સમતલીય હોય જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
આપેલ સદિશો $\vec{u} = a\hat{i} + a\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = \hat{i} + 0\hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{w} = c\hat{i} + c\hat{j} + b\hat{k}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
બીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(ab - c^2) + 0 - 1(ac - ac) = 0$
$-(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0$
$c^2 = ab$
$c = \sqrt{ab}$
આમ,$c$ એ $a$ અને $b$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક છે.

(D) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0$.
અહીં સદિશો $\vec{a} = 1i + 3j + 0k$,$\vec{b} = 0i + 0j + 5k$ અને $\vec{c} = Pi - 1j + 0k$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ P & -1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - (-5)) - 3(0 - 5P) + 0(0 - 0) = 0$
$1(5) - 3(-5P) = 0$
$5 + 15P = 0$
$15P = -5$
$P = -5/15 = -1/3$
આમ,$P$ નું મૂલ્ય $-1/3$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{d} \perp \bar{a}$.
આપેલ છે કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{b}, \bar{c}$ અને $\bar{d}$ સમતલીય છે,એટલે કે $\bar{d} \perp (\bar{b} \times \bar{c})$.
તેથી,$\bar{d}$ એ $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $\bar{d}$ એકમ સદિશ છે,$\bar{d} = \pm \frac{\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})|}$.
અહીં,$\bar{a} = (1, -1, 0)$,$\bar{b} = (0, 1, -1)$,અને $\bar{c} = (-1, 0, 1)$.
સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bar{i}(1-0) - \bar{j}(0-1) + \bar{k}(0+1) = (1, 1, 1)$.
હવે,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \bar{i}(-1-0) - \bar{j}(1-0) + \bar{k}(1+1) = (-1, -1, 2)$.
તેનું માન $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
આમ,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} (-\bar{i} - \bar{j} + 2\bar{k}) = \pm \frac{1}{\sqrt{6}} (\bar{i} + \bar{j} - 2\bar{k})$.

(B) વિધાન-$1$: અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ દર્શાવે છે. જો ઘનફળ $0$ હોય,તો સદિશો એક જ સમતલમાં હોવા જોઈએ (સમતલીય). તેથી,વિધાન-$1$ સાચું છે.
વિધાન-$2$: બે શૂન્યેતર સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર $0$ હોય. સદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \times \vec{v}$ એ ખરેખર $\vec{u}$ અને $\vec{v}$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
જોકે,વિધાન-$2$ એ બે સદિશોની લંબતા માટેની શરત આપે છે,જે અદિશ ગુણાકારનો મૂળભૂત ગુણધર્મ છે,પરંતુ તે એ સમજાવતું નથી કે જ્યારે ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય કેમ થાય છે. તેથી,વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ છે.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 3\vec{i} - \vec{j} - \vec{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 4\vec{i} + 2\vec{j} + 4\vec{k}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = 2\vec{i} + 2\vec{j}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 0 \end{bmatrix} \right|$
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય: $3(0 - 8) - (-1)(0 - 8) + (-1)(8 - 4) = 3(-8) + 1(-8) - 1(4) = -24 - 8 - 4 = -36$.
માનાંક લેતા: $V = \frac{1}{6} |-36| = \frac{36}{6} = 6$ ઘન એકમ.

(B) ધારો કે $V = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$.
તેથી $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{V}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{V}$.
$[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = \vec{p} \cdot (\vec{q} \times \vec{r}) = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{V} \cdot \left( \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{V} \times \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{V} \right)$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w} = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{w})\vec{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\vec{c} \times \vec{a}) \times (\vec{a} \times \vec{b}) = [(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{b}]\vec{a} - [(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a}]\vec{b}$ મળે.
કારણ કે $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot \vec{a} = 0$,આ પદ $[\vec{c} \vec{a} \vec{b}]\vec{a} = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}]\vec{a} = V\vec{a}$ માં પરિણમે છે.
આમ,$[\vec{p} \vec{q} \vec{r}] = \frac{1}{V^3} (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (V\vec{a}) = \frac{V}{V^3} (\vec{b} \times \vec{c}) \cdot \vec{a} = \frac{V^2}{V^3} = \frac{1}{V} = \frac{1}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$.

(D) અદિશ ત્રિગુણ (Scalar Triple Product) ની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ થાય છે.
જ્યારે $[\vec{a} \, \vec{b} \, \vec{c}] = 0$ હોય,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ષટ્ફલકનું ઘનફળ શૂન્ય છે.
આ સ્થિતિ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે ત્રણેય સદિશો એક જ સમતલમાં આવેલા હોય,એટલે કે તેઓ સમતલીય (coplanar) હોય.
આમ,વિકલ્પ $B$ અને $C$ બંને સાચા છે,તેથી વિકલ્પ $D$ એ સૌથી યોગ્ય ઉત્તર છે.

(C) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતર ષટફલકનું ઘનફળ $V$ એ તેમના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે: $V = |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય મેળવતા:
$V = \left| \det \begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix} \right| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.
ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $f(a) = a^3 - a + 1$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ લેતા,આપણને $3a^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા: $f''(a) = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f''(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2\sqrt{3} > 0$,જે દર્શાવે છે કે અહીં ન્યૂનતમ મૂલ્ય મળે છે.
આમ,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ આગળ ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $[\bar{a} \times \bar{b}, \bar{b} \times \bar{c}, \bar{c} \times \bar{a}] = (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{c} \times \bar{a})].$
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $(\vec{x} \times \vec{y}) \times \vec{z} = (\vec{x} \cdot \vec{z})\vec{y} - (\vec{y} \cdot \vec{z})\vec{x}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{b} \times \bar{c}) \times (\bar{c} \times \bar{a}) = [(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{a}]\bar{c} - [(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}]\bar{a}.$
અહીં $[(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}] = 0$ હોવાથી,આ પદ $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]\bar{c}$ માં પરિણમે છે.
આમ,આપેલ પદાવલિ $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot ([\bar{a} \bar{b} \bar{c}]\bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] ((\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}) = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]^2$ થાય.
આપેલ છે કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4,$ તેથી કિંમત $4^2 = 16$ મળે.

(D) અદિશ ત્રિગુણકને $[\bar{a} - 2\bar{b}, \bar{b} - 3\bar{c}, \bar{c} - 4\bar{a}] = ((\bar{a} - 2\bar{b}) \times (\bar{b} - 3\bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\bar{a} \times \bar{b} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) - 2(\bar{b} \times \bar{b}) + 6(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$.
$\bar{b} \times \bar{b} = 0$ હોવાથી,આ પદ $(\bar{a} \times \bar{b} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) + 6(\bar{b} \times \bar{c})) \cdot (\bar{c} - 4\bar{a})$ માં પરિણમે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિતરણ કરતા:
$= (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c} - 4(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a} - 3(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{c} + 12(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{a} + 6(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{c} - 24(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot \bar{a}$.
જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય છે,તેથી $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{a}$ અને $(\bar{a} \times \bar{c}) \cdot \bar{c}$ જેવા પદો શૂન્ય થઈ જશે.
$= [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] - 24[\bar{b}, \bar{c}, \bar{a}] = [\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] - 24[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] = -23[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}]$.
આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી $[\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}] = |\bar{a}| |\bar{b}| |\bar{c}| = 1 \times 3 \times 5 = 15$.
તેથી,$-23 \times 15 = -345$.

(B) અહીં $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ એકમ સદિશો હોવાથી,ગણ $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}\}$ એ અવકાશ માટેનો લંબકોણીય આધાર (orthogonal basis) બનાવે છે.
ધારો કે $\vec{r} = x_1 \vec{a} + x_2 \vec{b} + x_3 (\vec{a} \times \vec{b})$.
$\vec{a}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{r} \cdot \vec{a} = x_1 |\vec{a}|^2 = x_1(1) = 0 \implies x_1 = 0$.
$\vec{b}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{r} \cdot \vec{b} = x_2 |\vec{b}|^2 = x_2(1) = 1 \implies x_2 = 1$.
$(\vec{a} \times \vec{b})$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા: $\vec{r} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = x_3 |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = x_3(1)^2 = 1 \implies x_3 = 1$.
$x_1, x_2, x_3$ ની કિંમતો $\vec{r}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\vec{r} = 0\vec{a} + 1\vec{b} + 1(\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ મળે છે.

(D) ત્રણ સદિશો $\vec{A}$,$\vec{B}$ અને $\vec{C}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{A} \, \vec{B} \, \vec{C}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & a & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times a) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times a - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3a) + 1(5 + 9) + (a - 6) = 0$
$20 + 6a + 14 + a - 6 = 0$
$7a + 28 = 0$
$7a = -28$
$a = -4$

(C) સમાંતર ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{OA}, \vec{OB}$ અને $\vec{OC}$ હોય,તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]$ ના માનાંક જેટલું હોય છે.
આપેલ બિંદુઓ $A(4, 3, 1), B(3, 1, 2)$ અને $C(5, 2, 1)$ પરથી સદિશો $\vec{OA} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 1\hat{k}$,$\vec{OB} = 3\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{OC} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક તરીકે ગણવામાં આવે છે:
$[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}] = \begin{vmatrix} 4 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$= 4(1(1) - 2(2)) - 3(3(1) - 5(2)) + 1(3(2) - 5(1))$
$= 4(1 - 4) - 3(3 - 10) + 1(6 - 5)$
$= 4(-3) - 3(-7) + 1(1)$
$= -12 + 21 + 1 = 10$
ઘનફળ હંમેશા ધન હોય છે,તેથી ઘનફળ $= |10| = 10$ ઘન એકમ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રણ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left[ {\vec a \times \vec b, \vec b \times \vec c, \vec c \times \vec a } \right] = \left[ {\vec a \,\vec b \,\vec c } \right]^2$.
આપેલ છે કે $\left[ {\vec a \,\vec b \,\vec c } \right] = 4$.
આ કિંમતને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\left[ {\vec a \times \vec b, \vec b \times \vec c, \vec c \times \vec a } \right] = (4)^2 = 16$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે એકમ સદિશોના ક્રોસ ગુણાકાર નીચે મુજબ છે: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,અને $\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
પ્રથમ,ચોરસ કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિનું મૂલ્ય શોધો:
$(\hat{j} \times \hat{k}) \times (\hat{k} \times \hat{i}) = \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ અભિવ્યક્તિમાં મૂકો:
$(\hat{i} \times \hat{j}) \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{k}$.
એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$.

(C) આપેલ છે કે $\vec{c}$ એકમ સદિશ છે,તેથી $|\vec{c}| = 1$,એટલે કે $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 = 1 \dots (i)$.
કારણ કે $\vec{c} \perp \vec{a}$ અને $\vec{c} \perp \vec{b}$,આપણી પાસે $\vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow a_1c_1 + a_2c_2 + a_3c_3 = 0 \dots (ii)$ અને $\vec{c} \cdot \vec{b} = 0 \Rightarrow b_1c_1 + b_2c_2 + b_3c_3 = 0 \dots (iii)$.
$\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ છે,તેથી $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} |\vec{a}| |\vec{b}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = \frac{3}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \dots (iv)$.
હવે,ધારો કે $D = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|$. તો $D^2 = \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right| \left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$D^2 = \left| \begin{array}{ccc} \vec{a} \cdot \vec{a} & \vec{a} \cdot \vec{b} & \vec{a} \cdot \vec{c} \\ \vec{b} \cdot \vec{a} & \vec{b} \cdot \vec{b} & \vec{b} \cdot \vec{c} \\ \vec{c} \cdot \vec{a} & \vec{c} \cdot \vec{b} & \vec{c} \cdot \vec{c} \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} |\vec{a}|^2 & \vec{a} \cdot \vec{b} & 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & |\vec{b}|^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right|$.
ત્રીજી હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા,$D^2 = 1 \cdot (|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2) = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - \frac{3}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 = \frac{1}{4} |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(\hat{i} - 6\hat{j} + 10\hat{k})$,$B(-\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k})$,$C(5\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k})$,અને $D(7\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k})$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ માંથી નીકળતી ધાર દર્શાવતા સદિશો:
$\vec{AB} = B - A = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = C - A = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (\lambda-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = D - A = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]| = 11$ છે.
તેથી,$|[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]| = 66$,એટલે કે $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}] = \pm 66$.
અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & \lambda-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \pm 66$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2[5(-3) - 2(\lambda-10)] - 3[4(-3) - 6(\lambda-10)] - 3[4(2) - 6(5)] = \pm 66$
$-2[5 - 2\lambda] - 3[48 - 6\lambda] - 3[-22] = \pm 66$
$22\lambda - 88 = \pm 66$
કિસ્સો $1$: $22\lambda - 88 = 66 \Rightarrow 22\lambda = 154 \Rightarrow \lambda = 7$
કિસ્સો $2$: $22\lambda - 88 = -66 \Rightarrow 22\lambda = 22 \Rightarrow \lambda = 1$
આમ,$\lambda = 1, 7$.

(D) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + \hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{k} + \hat{i}$.
સમતલોને લંબ એકમ સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{\alpha} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$,$\vec{\beta} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$,અને $\vec{\gamma} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{c} \times \vec{a}|}$.
આ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર બાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]|$ છે.
$|[\vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma}]| = \frac{|[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]|}{|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{b} \times \vec{c}| |\vec{c} \times \vec{a}|} = \frac{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2}{|\vec{a} \times \vec{b}| |\vec{b} \times \vec{c}| |\vec{c} \times \vec{a}|}$.
પ્રથમ,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ શોધો:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 1(0-1) + 0 = 1 + 1 = 2$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = (\hat{i} + \hat{j}) \times (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{b} \times \vec{c} = (\hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{k} + \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{c} \times \vec{a} = (\hat{k} + \hat{i}) \times (\hat{i} + \hat{j}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
દરેક સદિશ ગુણાકારનું માન $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{c} \times \vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
તેથી,ઘનફળ $\frac{2^2}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ ઘન એકમ થાય.

(D) સમાંતરબાજુ ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ તેની ધારો છે.
અહીં,ધારો $\vec{u} = (a - b)$,$\vec{v} = (b - c)$ અને $\vec{w} = (c - a)$ છે.
ઘનફળ $V = |(a - b) \cdot ((b - c) \times (c - a))|$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(b - c) \times (c - a) = (b \times c) - (b \times a) - (c \times c) + (c \times a)$.
$c \times c = 0$ હોવાથી,$(b - c) \times (c - a) = (b \times c) - (b \times a) + (c \times a)$.
હવે $(a - b)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$V = (a - b) \cdot (b \times c - b \times a + c \times a)$
$V = a \cdot (b \times c) - a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) - b \cdot (b \times c) + b \cdot (b \times a) - b \cdot (c \times a)$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,જો બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય $0$ થાય છે:
$a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$
$a \cdot (b \times a) = 0$
$a \cdot (c \times a) = 0$
$b \cdot (b \times c) = 0$
$b \cdot (b \times a) = 0$
$b \cdot (c \times a) = [b, c, a] = [a, b, c]$.
આ કિંમતો મૂકતા: $V = [a, b, c] - 0 + 0 - 0 + 0 - [a, b, c] = 0$.

(A) ધારો કે $\vec{d} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. $\vec{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$x^2 + y^2 + z^2 = 1 \dots (i)$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$,તેથી $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}) = 0$,જેનો અર્થ છે $x - y = 0$,એટલે કે $x = y$.
આપેલ છે કે $[\vec{b} \, \vec{c} \, \vec{d}] = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{d}$ એ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ ના સમતલમાં છે. તેથી $\vec{d} = \lambda(\vec{b} \times \vec{c})$.
$\vec{b} \times \vec{c} = (\hat{j} - \hat{k}) \times (\hat{k} - \hat{i}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ગણતરી કરતા.
તેથી,$\vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ ની શરત ચકાસતા,$(\hat{i} - \hat{j}) \cdot \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \lambda(1 - 1 + 0) = 0$,જે કોઈપણ $\lambda$ માટે સાચું છે.
$\vec{d}$ એ $\vec{a}$ ને લંબ અને $(\vec{b} \times \vec{c})$ ને પણ લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{d} = \pm \frac{\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})}{|\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})|}$.
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\hat{i} - \hat{j}) \times (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ છે.
તેથી,$\vec{d} = \pm \frac{-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{6}} = \pm \frac{\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{6}}$.

(C) ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ સમતલીય હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} -\lambda^2 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda^2 & 1 \\ 1 & 1 & -\lambda^2 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-\lambda^2(\lambda^4 - 1) - 1(-\lambda^2 - 1) + 1(1 + \lambda^2) = 0$
$-\lambda^6 + \lambda^2 + \lambda^2 + 1 + 1 + \lambda^2 = 0$
$-\lambda^6 + 3\lambda^2 + 2 = 0$
$\lambda^6 - 3\lambda^2 - 2 = 0$
ધારો કે $x = \lambda^2$. તો સમીકરણ $x^3 - 3x - 2 = 0$ બને છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$x = -1$ એ એક બીજ છે: $(-1)^3 - 3(-1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0$.
$(x+1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x+1)(x^2 - x - 2) = 0$ મળે છે,જેનું વધુ અવયવીકરણ $(x+1)(x+1)(x-2) = 0$ થાય છે.
તેથી,$(x+1)^2(x-2) = 0$.
કારણ કે $x = \lambda^2$,આપણી પાસે $(\lambda^2 + 1)^2(\lambda^2 - 2) = 0$ છે.
વાસ્તવિક $\lambda$ માટે,$\lambda^2 + 1$ હંમેશા $\ge 1$ હોય છે,તેથી $\lambda^2 + 1 \neq 0$.
આમ,$\lambda^2 - 2 = 0$ હોવું જોઈએ,જે $\lambda^2 = 2$ આપે છે.
તેથી,$\lambda = \pm \sqrt{2}$.
આમ,$\lambda$ ના $2$ ભિન્ન વાસ્તવિક મૂલ્યો મળે છે.

(C) સમાંતરબાજુ પ્રિઝમનું ઘનફળ $V$ એ સદિશોના અદિશ ત્રિગુણક $|\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશો $\vec{u} = (1, a, 1)$,$\vec{v} = (0, 1, a)$ અને $\vec{w} = (a, 0, 1)$ છે.
$V = |\det(\begin{bmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{bmatrix})| = |1(1-0) - a(0-a^2) + 1(0-a)| = |1 + a^3 - a|$.
ધારો કે $f(a) = a^3 - a + 1$. ન્યૂનતમ ઘનફળ શોધવા માટે,આપણે $f(a)$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$f'(a) = 3a^2 - 1$.
$f'(a) = 0$ લેતા,આપણને $3a^2 = 1$ મળે છે,તેથી $a^2 = \frac{1}{3}$,જે $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ આપે છે.
ઘનફળ હંમેશા ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે તેનું મૂલ્ય ચકાસીએ. $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$f(a) = (\frac{1}{\sqrt{3}})^3 - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$a$ ની કિંમત જે ઘનફળને ન્યૂનતમ કરે છે તે $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(D) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ થાય.
અહીં $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,સદિશ $(\bar{b} \times \bar{c})$ એ $\bar{a}$ ને સમાંતર થાય.
ધારો કે $\bar{n}$ એ $\bar{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે. તેથી $\bar{a} = a\bar{n}$.
$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના સદિશ ગુણાકારનું માન $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(90^{\circ}) = bc$ થાય.
વળી,$\bar{b} \times \bar{c}$ એ $\bar{a}$ ની દિશામાં (અથવા $-\bar{a}$ ની દિશામાં) હોય છે,તેથી $\bar{b} \times \bar{c} = \pm (bc) \bar{n}$.
આમ,$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = (a\bar{n}) \cdot (\pm bc \bar{n}) = \pm abc (\bar{n} \cdot \bar{n}) = \pm abc$.
પ્રમાણિત અભિગમ મુજબ,તેનું મૂલ્ય $abc$ લેવામાં આવે છે.

(A) સમાંતર ષષ્ટફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\hat{a} \hat{b} \hat{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
ઘનફળનો વર્ગ ગ્રામ મેટ્રિક્સના નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$V^2 = \begin{vmatrix} \hat{a} \cdot \hat{a} & \hat{a} \cdot \hat{b} & \hat{a} \cdot \hat{c} \\ \hat{b} \cdot \hat{a} & \hat{b} \cdot \hat{b} & \hat{b} \cdot \hat{c} \\ \hat{c} \cdot \hat{a} & \hat{c} \cdot \hat{b} & \hat{c} \cdot \hat{c} \end{vmatrix}$
અહીં $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$\hat{a} \cdot \hat{a} = \hat{b} \cdot \hat{b} = \hat{c} \cdot \hat{c} = 1$ છે. આપેલ છે કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$,તેથી:
$V^2 = \begin{vmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1 \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકની ગણતરી કરતા:
$V^2 = 1(1 - 1/4) - 1/2(1/2 - 1/4) + 1/2(1/4 - 1/2)$
$V^2 = 1(3/4) - 1/2(1/4) + 1/2(-1/4) = 3/4 - 1/8 - 1/8 = 1/2$
તેથી,ઘનફળ $V = \sqrt{1/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 2, 2), B(2, 1, 2), C(2, 2, z)$ અને $D(1, 1, 1)$ છે.
જો ચાર બિંદુઓ સમતલીય હોય,તો તેમના દ્વારા બનતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $0$ થાય. ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]| = 0$.
સદિશો:
$\vec{AB} = \hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AC} = \hat{i} + 0\hat{j} + (z-2)\hat{k}$
$\vec{AD} = 0\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$
નિશ્ચાયક:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & z-2 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
વિસ્તરણ કરતા:
$1(0 - (-(z-2))) - (-1)(-1 - 0) + 0 = 0$
$1(z-2) - 1 = 0$
$z - 3 = 0 \implies z = 3$.
અહીં $z=3$ મળે છે,તેથી વિધાન-$1$ ખોટું છે. વિધાન-$2$ એ સમતલીય બિંદુઓનો પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે,તેથી તે સાચું છે.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{c} = x\hat{i} + (x-2)\hat{j} - \hat{k}$ છે.
જો $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ના સમતલમાં હોય,તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણક $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ શૂન્ય થાય.
આથી નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થશે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-2 & -1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - 2(x-2)) - 1((1)(-1) - 2(x)) + 1((1)(x-2) - (-1)(x)) = 0$
$1(1 - 2x + 4) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 2 + x) = 0$
$(5 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 2) = 0$
$5 - 2x + 1 + 2x + 2x - 2 = 0$
$2x + 4 = 0$
$2x = -4$
$x = -2$

(D) આપેલ સમીકરણ: $[3\vec{u}, p\vec{v}, p\vec{w}] - [p\vec{v}, \vec{w}, q\vec{u}] - [2\vec{w}, q\vec{v}, q\vec{u}] = 0$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[k\vec{a}, l\vec{b}, m\vec{c}] = klm[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] - 2q^2[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = 0$
કારણ કે $[\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = [\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$ અને $[\vec{w}, \vec{v}, \vec{u}] = -[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]$,સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$3p^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] - pq[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] + 2q^2[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$(3p^2 - pq + 2q^2)[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ અસમતલીય હોવાથી,$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \neq 0$. તેથી:
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$
આ $p$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. $p$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,વિવેચક $D \geq 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (-q)^2 - 4(3)(2q^2) = q^2 - 24q^2 = -23q^2$
$D \geq 0$ માટે,$-23q^2 \geq 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $q^2 \leq 0$. $q$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,આ માત્ર $q = 0$ હોય ત્યારે જ શક્ય છે.
$3p^2 - pq + 2q^2 = 0$ માં $q = 0$ મૂકતા,$3p^2 = 0$ મળે,તેથી $p = 0$.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $(p, q) = (0, 0)$ મળે છે.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ $[\vec{x}, \vec{y}, \vec{z}] = (\vec{x} \times \vec{y}) \cdot \vec{z}$ થાય.
આપેલ પદ: $[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}]$.
ધારો કે $\vec{u} = \vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} \times \vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{c} \times \vec{a}$.
તેથી $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}$ થાય.
સદિશ નિત્યસમ $(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c}) = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}$.
તેથી,$[\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}] = ((\vec{a} \times \vec{b}) \times (\vec{b} \times \vec{c})) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
$= ([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a})$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] (\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}))$.
$= [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$.
કારણ કે $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{b}, \vec{c}, \vec{a}]$ હોવાથી,આપણને મળે:
$[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \cdot [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$.
આને $\lambda [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]^2$ સાથે સરખાવતા,$\lambda = 1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે સદિશો $a, b, c$ સુરેખ રીતે આધારિત છે,તેથી તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $[a, b, c] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા રચાયેલ નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારની સાપેક્ષમાં નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0 \Rightarrow \beta = 1$.
આપેલ છે કે $|c| = \sqrt{3}$,તેથી $|c|^2 = 3$.
$1^2 + \alpha^2 + \beta^2 = 3$
$1 + \alpha^2 + 1^2 = 3$
$\alpha^2 + 2 = 3 \Rightarrow \alpha^2 = 1 \Rightarrow \alpha = \pm 1$.
આમ,$\alpha = \pm 1$ અને $\beta = 1$.

(B) ધારો કે $V = a \cdot (b \times c) = [a, b, c]$.
આપેલ છે કે $p = \frac{b \times c}{V}$,$q = \frac{c \times a}{V}$,$r = \frac{a \times b}{V}$.
તેથી $[p, q, r] = p \cdot (q \times r) = \frac{b \times c}{V} \cdot \left( \frac{c \times a}{V} \times \frac{a \times b}{V} \right)$.
સદિશ નિત્યસમ $(c \times a) \times (a \times b) = [c, a, b] a - [c, a, a] b = [a, b, c] a - 0 = V a$ નો ઉપયોગ કરતા.
આમ,$[p, q, r] = \frac{1}{V^3} (b \times c) \cdot (V a) = \frac{V}{V^3} (b \times c) \cdot a = \frac{V^2}{V^3} = \frac{1}{V} = \frac{1}{a \cdot (b \times c)}$.

(A) આપણે $(a + b + c) \cdot [(a + b) \times (a + c)]$ પદાવલિની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(a + b) \times (a + c) = a \times a + a \times c + b \times a + b \times c$.
$a \times a = 0$ હોવાથી,આ પદ $a \times c + b \times a + b \times c$ માં પરિણમે છે.
હવે,$(a + b + c)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(a + b + c) \cdot (a \times c + b \times a + b \times c) = [a, a, c] + [a, b, a] + [a, b, c] + [b, a, c] + [b, b, a] + [b, b, c] + [c, a, c] + [c, b, a] + [c, b, c]$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણધર્મ મુજબ જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$[a, a, c] = 0, [a, b, a] = 0, [b, b, a] = 0, [b, b, c] = 0, [c, a, c] = 0, [c, b, c] = 0$.
આથી બાકી રહેતા પદો: $[a, b, c] + [b, a, c] + [c, b, a]$.
$[b, a, c] = -[a, b, c]$ અને $[c, b, a] = [a, b, c]$ હોવાથી,પદાવલિનું મૂલ્ય:
$[a, b, c] - [a, b, c] + [a, b, c] = [a, b, c]$ થાય છે.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[U V W] = U \cdot (V \times W)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $V \times W$ ની ગણતરી કરીએ:
$V \times W = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = i(3 - 0) - j(6 - (-1)) + k(0 - 1) = 3i - 7j - k$.
ધારો કે $A = V \times W = 3i - 7j - k$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[U V W] = U \cdot A = |U| |A| \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $U$ અને $A$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$U$ એક એકમ સદિશ હોવાથી,$|U| = 1$.
તેથી,$[U V W] = |A| \cos \theta$.
મહત્તમ મૂલ્ય ત્યારે મળે છે જ્યારે $\cos \theta = 1$ હોય,જે $|A|$ જેટલું થાય.
$|A| = \sqrt{3^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 49 + 1} = \sqrt{59}$.
આમ,મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{59}$ છે.

(D) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય ત્યારે તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
$\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(1-x)((1-y)(1-z) - 1) - 1(1-z-1) + 1(1-(1-y)) = 0$
$(1-x)(1-z-y+yz-1) + z + y = 0$
$(1-x)(yz-y-z) + y + z = 0$
$yz - y - z - xyz + xy + xz + y + z = 0$
$yz - xyz + xy + xz = 0$
બંને બાજુ $xyz$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{x} + \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 1$.

(C) આપેલ નિશ્ચાયક એ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ નો ગ્રેમિયન નિશ્ચાયક છે,જે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2$ ના વર્ગ બરાબર છે.
પ્રથમ,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix} \right|$ ની ગણતરી કરીએ.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 1((-1)(-1) - (1)(2)) - 1((1)(-1) - (1)(1)) + 1((1)(2) - (-1)(1))$
$= 1(1 - 2) - 1(-1 - 1) + 1(2 + 1)$
$= 1(-1) - 1(-2) + 1(3)$
$= -1 + 2 + 3 = 4$.
તેથી,નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]^2 = 4^2 = 16$ થાય.

(D) આપેલ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર: $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot ((\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a})) = 0$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = \vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 2(\vec{c} \times \vec{c}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})$.
કારણ કે $\vec{c} \times \vec{c} = 0$,આ પદ $\vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(\vec{a} - \lambda \vec{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{a}) - 4(\vec{c} \times \vec{a})) = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટનું વિતરણ કરતા:
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 2\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) - 4\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) - \lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) - 2\lambda \vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો તે શૂન્ય થાય છે,તેથી $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{a} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$,$\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$,અને $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{a}) = 0$.
આથી બાકી રહે છે: $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) + 4\lambda \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = 0$.
કારણ કે $\vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$,આપણને મળે છે: $(1 + 4\lambda) [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] \neq 0$,તેથી $1 + 4\lambda = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = -1/4$.

(D) કારણ કે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ અસમતલીય છે,સદિશો $\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Q}, \overrightarrow{R}$ સુરેખ રીતે આધારિત હોય જો અને માત્ર જો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $[\overrightarrow{P}, \overrightarrow{Q}, \overrightarrow{R}] = 0$.
આ સહગુણકોના નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવાને સમતુલ્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & \beta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(3\beta - 4\alpha) - 1(4\beta - 4) + 1(4\alpha - 3) = 0$
$3\beta - 4\alpha - 4\beta + 4 + 4\alpha - 3 = 0$
$-\beta + 1 = 0$
$\beta = 1$
આમ,સમીકરણ $\beta = 1$ મળે છે જે $\alpha$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી $\alpha$ કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત લઈ શકે છે. તેથી,$\alpha$ માટે અનંત શક્ય કિંમતો છે.

(A) $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ ધારવાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]|$ છે.
અહીં,$\vec{u} = \vec{a} - \vec{b}$,$\vec{v} = \vec{b} - \vec{c}$,અને $\vec{w} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = [(\vec{a} - \vec{b}) (\vec{b} - \vec{c}) (\vec{a} + \vec{b} - \vec{c})]$ ની ગણતરી કરતા.
અદિશ ત્રિગુણ ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આનું સાદું રૂપ $[\vec{a} - \vec{b}, \vec{b} - \vec{c}, \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}] = [\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 12$ થાય છે.
તેથી,ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{1}{6} \times 12 = 2$ ઘન એકમ છે.

(B) ધારો કે ચતુષ્ફલકના શિરોબિંદુઓ $A(\vec{0}), B(\vec{a}), C(\vec{b})$ અને $D(\vec{c})$ છે.
ચતુષ્ફલક $ABCD$ નું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = 81$ છે.
ફલકોના મધ્યકેન્દ્રો નીચે મુજબ છે:
$G_1 = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}$
$G_2 = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{3}$
$G_3 = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}$
ચતુષ્ફલક $AG_1G_2G_3$ નું ઘનફળ $V' = \frac{1}{6} |[\vec{G_1} \vec{G_2} \vec{G_3}]|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$V' = \frac{1}{6} |[\frac{\vec{a} + \vec{b}}{3}, \frac{\vec{a} + \vec{c}}{3}, \frac{\vec{b} + \vec{c}}{3}]|$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$V' = \frac{1}{6} \times \frac{1}{27} |[\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}]|$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$[\vec{a} + \vec{b}, \vec{a} + \vec{c}, \vec{b} + \vec{c}] = 2[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$
તેથી,$V' = \frac{1}{6} \times \frac{1}{27} \times 2 |[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = \frac{2}{27} \times 81 = 6$ ઘન એકમ.

(A) આપેલ સદિશો $\vec a, \vec b$,અને $\vec c$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $[\vec a \vec b \vec c] = 0$.
આ નિશ્ચાયક દ્વારા દર્શાવી શકાય છે:
$\begin{vmatrix} 2\sin \theta & -1 & 2 \\ 2 & 2\sin \theta & -1 \\ 4 & -1 & 4\cos^2 \theta \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2\sin \theta (8\sin \theta \cos^2 \theta - 1) + 1(8\cos^2 \theta + 4) + 2(-2 - 8\sin \theta) = 0$
$16\sin^2 \theta \cos^2 \theta - 2\sin \theta + 8\cos^2 \theta + 4 - 4 - 16\sin \theta = 0$
$4\sin^2(2\theta) + 8(1 - \sin^2 \theta) - 18\sin \theta = 0$
આ સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને મળે છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2}$ શરતનું પાલન કરે છે.
$\sin \theta = \frac{1}{2}$ માટે,વ્યાપક ઉકેલ $\theta = n\pi + {(-1)^n}\frac{\pi}{6}$ છે,જ્યાં $n \in I$.