Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $(\vec{a}+3 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-5 \vec{b})$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a}+3 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-5 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(1)$
दिया गया है कि $(\vec{a}-4 \vec{b}) \perp(7 \vec{a}-2 \vec{b})$,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$(\vec{a}-4 \vec{b}) \cdot(7 \vec{a}-2 \vec{b}) = 7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\vec{a} \cdot \vec{b})) - (7|\vec{a}|^2 + 8|\vec{b}|^2 - 30(\vec{a} \cdot \vec{b})) = 0$
$-23|\vec{b}|^2 + 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0 \implies 46(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 23|\vec{b}|^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$
अब $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}|\vec{b}|^2$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 16(\frac{1}{2}|\vec{b}|^2) = 0$
$7|\vec{a}|^2 - 15|\vec{b}|^2 + 8|\vec{b}|^2 = 0 \implies 7|\vec{a}|^2 = 7|\vec{b}|^2 \implies |\vec{a}| = |\vec{b}|$
अब,$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{\frac{1}{2}|\vec{b}|^2}{|\vec{b}||\vec{b}|} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^{\circ}$

(C) दिया गया है $|(\hat{a}+\hat{b})+2(\hat{a} \times \hat{b})|=2$। चूंकि $(\hat{a}+\hat{b}) \perp (\hat{a} \times \hat{b})$,इसलिए $|\hat{a}+\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = 4$ है।
$|\hat{a}+\hat{b}|^2 = 2+2\cos\theta$ और $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \sin^2\theta = 1-\cos^2\theta$ का उपयोग करने पर:
$2+2\cos\theta + 4(1-\cos^2\theta) = 4$
$2+2\cos\theta + 4 - 4\cos^2\theta = 4$
$4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 2 = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0$।
$(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1) = 0$।
चूंकि $\theta \in (0, \pi)$,इसलिए $\cos\theta = -\frac{1}{2}$,अतः $\theta = \frac{2\pi}{3}$।
$(S_{1})$ के लिए: $2|\hat{a} \times \hat{b}| = 2\sin(\frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3}$।
$|\hat{a}-\hat{b}| = \sqrt{1+1-2\cos(\frac{2\pi}{3})} = \sqrt{2-2(-\frac{1}{2})} = \sqrt{3}$। अतः $(S_{1})$ सत्य है।
$(S_{2})$ के लिए: $(\hat{a}+\hat{b})$ पर $\hat{a}$ का प्रक्षेप $\frac{\hat{a} \cdot (\hat{a}+\hat{b})}{|\hat{a}+\hat{b}|} = \frac{1+\cos\theta}{\sqrt{2+2\cos\theta}} = \frac{1-\frac{1}{2}}{\sqrt{2-1}} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$। अतः $(S_{2})$ सत्य है।

(C) दिया गया है कि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$ है।
दिया है $\hat{b} = \vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\hat{b}|^{2} = |\vec{c} + 2(\vec{c} \times \hat{a})|^{2}$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c} \times \hat{a}|^{2} + 4\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a})$
चूँकि $\vec{c} \cdot (\vec{c} \times \hat{a}) = 0$ क्योंकि क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{c}$ के लंबवत होता है,इसलिए:
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} |\hat{a}|^{2} \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$1 = |\vec{c}|^{2} + 4|\vec{c}|^{2} (1) \sin^{2}(\frac{\pi}{12})$
$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ का उपयोग करते हुए,$\sin^{2}(\frac{\pi}{12}) = \frac{6+2-2\sqrt{12}}{16} = \frac{8-4\sqrt{3}}{16} = \frac{2-\sqrt{3}}{4}$।
$1 = |\vec{c}|^{2} [1 + 4(\frac{2-\sqrt{3}}{4})] = |\vec{c}|^{2} (1 + 2 - \sqrt{3}) = |\vec{c}|^{2} (3 - \sqrt{3})$।
$|\vec{c}|^{2} = \frac{1}{3-\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{9-3} = \frac{3+\sqrt{3}}{6}$।
अतः,$|6\vec{c}|^{2} = 36|\vec{c}|^{2} = 36 \times \frac{3+\sqrt{3}}{6} = 6(3+\sqrt{3})$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ अक्षों के साथ समान कोण बनाता है,इसलिए $a_{1} = a_{2} = a_{3} = k$. अतः $\vec{a} = k(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$\vec{a}$ का $3 \hat{i} + 4 \hat{j}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{a} \cdot (3 \hat{i} + 4 \hat{j})}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 7$ है।
$\frac{k(3 + 4)}{5} = 7 \Rightarrow \frac{7k}{5} = 7 \Rightarrow k = 5$. इसलिए $\vec{a} = 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
चूंकि $\vec{b}$ को $\vec{a}$ को $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है और $\vec{a}, \vec{b}, \hat{i}$ समतलीय हैं,इसलिए $\vec{b}$ सदिश $\vec{a}$ और $\hat{i}$ के तल में स्थित है।
मान लीजिए $\vec{b} = x\vec{a} + y\hat{i}$. चूंकि $|\vec{b}| = |\vec{a}| = 5\sqrt{3}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,हम पाते हैं कि $\vec{b}$ सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है।
$\vec{b}$ का $3\hat{i} + 4\hat{j}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने पर,हमें इसका मान $2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$,$\vec{a} \times \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{k}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+|\vec{a} \cdot \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2} |\vec{b}|^{2}$.
यहाँ,$|\vec{a}|^{2} = 1^{2}+(-1)^{2}+2^{2} = 6$.
$|\vec{a} \times \vec{b}|^{2} = 2^{2}+0^{2}+(-1)^{2} = 5$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$5+3^{2} = 6 |\vec{b}|^{2} \implies 14 = 6 |\vec{b}|^{2} \implies |\vec{b}|^{2} = \frac{7}{3}$.
अब,$|\vec{a}-\vec{b}|^{2} = |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 6+\frac{7}{3}-2(3) = \frac{7}{3}$.
अतः,$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{\frac{7}{3}}$.
$\vec{a}-\vec{b}$ पर $\vec{b}$ का प्रक्षेप $\frac{\vec{b} \cdot (\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}-\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$= \frac{\vec{b} \cdot \vec{a} - |\vec{b}|^{2}}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{3 - \frac{7}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{3}{7}} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.

(D) त्रिभुज $ABC$ में,$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$,इसलिए $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$।
$\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$ से,हमें $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{a}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|\overrightarrow{b}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{a}|^2$।
दिया गया है $|\overrightarrow{a}| = 6\sqrt{2}$,$|\overrightarrow{b}| = 2\sqrt{3}$,और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = 12$,इसलिए $(2\sqrt{3})^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(12) = (6\sqrt{2})^2$।
$12 + |\overrightarrow{c}|^2 + 24 = 72 \implies |\overrightarrow{c}|^2 = 36 \implies |\overrightarrow{c}| = 6$।
$(S1)$ के लिए: $|(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b})| - |\overrightarrow{c}| = |(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b}| - |\overrightarrow{c}|$।
चूंकि $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{b}$,यह $|(-\overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{b}| - |\overrightarrow{c}| = |\overrightarrow{0}| - 6 = -6$ हो जाता है।
अतः,$(S1)$ असत्य है।
$(S2)$ के लिए: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0} \implies \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = -\overrightarrow{b}$।
$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}|^2 = |-\overrightarrow{b}|^2 \implies |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{c}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{b}|^2$।
$72 + 36 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = 12 \implies 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = -96 \implies \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = -48$।
$\cos(\angle ABC) = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|} = \frac{(-\overrightarrow{c}) \cdot \overrightarrow{a}}{|-\overrightarrow{c}| |\overrightarrow{a}|} = \frac{-(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c})}{6 \cdot 6\sqrt{2}} = \frac{48}{36\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$।
चूंकि $\frac{2\sqrt{2}}{3} \neq \sqrt{\frac{2}{3}}$,$(S2)$ असत्य है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=\alpha \hat{i}+\hat{j}+\beta \hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+4 \hat{k}$।
सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 1 & \beta \\ 3 & -5 & 4 \end{vmatrix} = (4+5\beta)\hat{i} + (3\beta-4\alpha)\hat{j} + (-5\alpha-3)\hat{k}$ है।
इसे $-\hat{i}+9\hat{j}+12\hat{k}$ के साथ तुलना करने पर:
$4+5\beta = -1 \Rightarrow 5\beta = -5 \Rightarrow \beta = -1$।
$-5\alpha-3 = 12 \Rightarrow -5\alpha = 15 \Rightarrow \alpha = -3$।
जाँच: $3\beta-4\alpha = 3(-1)-4(-3) = -3+12 = 9$ (सही है)।
अतः,$\vec{a} = -3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} - 5\hat{j} + 4\hat{k}$।
अब $\vec{b}-2\vec{a} = (3 - 2(-3))\hat{i} + (-5 - 2(1))\hat{j} + (4 - 2(-1))\hat{k} = 9\hat{i} - 7\hat{j} + 6\hat{k}$।
और $\vec{b}+\vec{a} = (3-3)\hat{i} + (-5+1)\hat{j} + (4-1)\hat{k} = -4\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\vec{v}_1 = \vec{b}-2\vec{a}$ का $\vec{v}_2 = \vec{b}+\vec{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2}{|\vec{v}_2|}$ है।
$\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (9)(0) + (-7)(-4) + (6)(3) = 0 + 28 + 18 = 46$।
$|\vec{v}_2| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$।
प्रक्षेप = $\frac{46}{5}$।

(B) दो सदिशों $\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल धनात्मक होना चाहिए,अर्थात $\vec{u} \cdot \vec{v} > 0$।
दिया गया है $\vec{u} = a(\log_{e} b) \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{v} = (\log_{e} b) \hat{i} + 2 \hat{j} + 2a(\log_{e} b) \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{u} \cdot \vec{v} = a(\log_{e} b)^2 - 12 + 6a(\log_{e} b) > 0$।
मान लीजिए $t = \log_{e} b$। चूंकि $b > 1$,इसलिए $t > 0$ है।
असमिका $at^2 + 6at - 12 > 0$ बन जाती है,सभी $t > 0$ के लिए।
यदि $a \le 0$ है,तो बड़े $t$ के लिए $at^2 + 6at - 12$ ऋणात्मक होगा,इसलिए $a$ धनात्मक होना चाहिए।
द्विघात समीकरण $f(t) = at^2 + 6at - 12$ के सभी $t > 0$ के लिए धनात्मक होने के लिए,इसका शीर्ष $t = -\frac{6a}{2a} = -3$ पर होना चाहिए। चूंकि शीर्ष $t = -3$ पर है (जो $t > 0$ के डोमेन के बाहर है) और परवलय ऊपर की ओर खुलता है $(a > 0)$,इसलिए $t > 0$ के लिए न्यूनतम मान $t \to 0^+$ के रूप में प्राप्त होता है।
जैसे $t \to 0^+$,$f(t) \to -12$,जो $0$ से बड़ा नहीं है।
अतः,$a$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो सभी $t > 0$ के लिए शर्त को पूरा करे।
इसलिए,$S = \phi$।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय हैं और किन्हीं दो के बीच का कोण समान है,इसलिए कोण $\theta = \frac{2\pi}{3} = 120^\circ$ है।
मान लीजिए $a = |\vec{a}|, b = |\vec{b}|, c = |\vec{c}|$ है। हमें $abc = 14$ दिया गया है।
सदिश सर्वसमिका $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot (\vec{w} \times \vec{z}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})(\vec{v} \cdot \vec{z}) - (\vec{u} \cdot \vec{z})(\vec{v} \cdot \vec{w})$ का उपयोग करते हुए:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{b})(\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{a} \cdot \vec{c})(\vec{b} \cdot \vec{b}) = (a b \cos 120^\circ)(b c \cos 120^\circ) - (a c \cos 120^\circ)(b^2) = (a b \cdot -\frac{1}{2})(b c \cdot -\frac{1}{2}) - (a c \cdot -\frac{1}{2})(b^2) = \frac{1}{4} a b^2 c + \frac{1}{2} a b^2 c = \frac{3}{4} a b^2 c$।
इसी प्रकार,$(\vec{b} \times \vec{c}) \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \frac{3}{4} a b c^2$ और $(\vec{c} \times \vec{a}) \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = \frac{3}{4} a^2 b c$।
इनका योग करने पर,हमें $\frac{3}{4} a b c (a + b + c) = 168$ प्राप्त होता है।
$abc = 14$ प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} \cdot 14 \cdot (a + b + c) = 168$।
$\frac{21}{2} (a + b + c) = 168 \implies a + b + c = 168 \cdot \frac{2}{21} = 8 \cdot 2 = 16$।

(A) दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2(\vec{a} \cdot \vec{b})=|\vec{a}|^{2}+2|\vec{b}|^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $|\vec{a}|^{2}$ घटाने पर,$|\vec{b}|^{2}=2(\vec{a} \cdot \vec{b})$ प्राप्त होता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b}=3$ रखने पर,$|\vec{b}|^{2}=2(3)=6$ प्राप्त होता है।
लाग्रेंज सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^{2}=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2}=75$ का उपयोग करने पर।
ज्ञात मान रखने पर,$|\vec{a}|^{2}(6)-(3)^{2}=75$।
$6|\vec{a}|^{2}-9=75$।
$6|\vec{a}|^{2}=84$।
$|\vec{a}|^{2}=14$।

(A) दिया गया है कि $\hat{a} \cdot \hat{b} = |\hat{a}||\hat{b}| \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान लीजिए $\vec{u} = \hat{a} + \hat{b}$ और $\vec{v} = \hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})$.
$|\vec{u}|^2 = |\hat{a}|^2 + |\hat{b}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2 + \sqrt{2}$.
$|\vec{v}|^2 = |\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})|^2 = |\hat{a}|^2 + 4|\hat{b}|^2 + 4|\hat{a} \times \hat{b}|^2 + 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + 0$.
चूँकि $|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}||\hat{b}| \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $|\hat{a} \times \hat{b}|^2 = \frac{1}{2}$.
$|\vec{v}|^2 = 1 + 4(1) + 4(\frac{1}{2}) + 4(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 1 + 4 + 2 + 2\sqrt{2} = 7 + 2\sqrt{2}$.
अब,$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\hat{a} + \hat{b}) \cdot (\hat{a} + 2\hat{b} + 2(\hat{a} \times \hat{b})) = |\hat{a}|^2 + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 0 + (\hat{b} \cdot \hat{a}) + 2|\hat{b}|^2 + 0 = 1 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 = 3 + \frac{3}{\sqrt{2}}$.
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{3 + \frac{3}{\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}\sqrt{7+2\sqrt{2}}}$.
$\cos^2 \theta = \frac{9(1 + \frac{1}{\sqrt{2}})^2}{(2+\sqrt{2})(7+2\sqrt{2})} = \frac{9(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}})^2}{14 + 4\sqrt{2} + 7\sqrt{2} + 4} = \frac{9(\frac{3+2\sqrt{2}}{2})}{18 + 11\sqrt{2}} = \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})}$.
$164$ से गुणा करने पर: $164 \cos^2 \theta = 164 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{2(18+11\sqrt{2})} = 82 \times \frac{9(3+2\sqrt{2})}{18+11\sqrt{2}} \times \frac{18-11\sqrt{2}}{18-11\sqrt{2}} = 738 \times \frac{54 - 33\sqrt{2} + 36\sqrt{2} - 44}{324 - 242} = 738 \times \frac{10 + 3\sqrt{2}}{82} = 9(10 + 3\sqrt{2}) = 90 + 27\sqrt{2}$.

(A) समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ एक समतल $x + y + z = 5$ को दर्शाता है।
समीकरण $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,बशर्ते कि समतल इन नाभियों को समाहित करता हो।
सबसे पहले,जांचें कि क्या $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समतल $x + y + z = 5$ पर स्थित हैं:
$\vec{b}(2, 2, 1)$ के लिए,$2 + 2 + 1 = 5$ (सत्य)।
$\vec{c}(5, 1, -1)$ के लिए,$5 + 1 - 1 = 5$ (सत्य)।
चूंकि दोनों नाभियाँ समतल पर स्थित हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन समतल में एक दीर्घवृत्त है।
दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |\vec{b} - \vec{c}| = |(2-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}| = |-3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$।
अतः,$2ae = \sqrt{14} \Rightarrow 4e = \sqrt{14} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{14}}{4}$।
$b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 4(1 - \frac{14}{16}) = 4(\frac{2}{16}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi(2)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}\pi \approx 1.414 \times 3.14159 \approx 4.44$ है।
सबसे निकटतम पूर्णांक $4$ है।

(C) मान लीजिए $\triangle ABC$ के शीर्षों के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b},$ और $\vec{c}$ हैं।
मान लीजिए $\triangle ABC$ का परिकेंद्र $O$ मूल बिंदु है,इसलिए $\vec{O} = \vec{0}$ है।
लंबकेंद्र $H$ का स्थिति सदिश $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $N$,$OH$ का मध्य-बिंदु है,इसका स्थिति सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{O} + \vec{H}}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ है।
हमें योग $\overrightarrow{NA} + \overrightarrow{NB} + \overrightarrow{NC}$ ज्ञात करना है।
यह $(\vec{a} - \vec{n}) + (\vec{b} - \vec{n}) + (\vec{c} - \vec{n})$ के बराबर है।
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{n}$.
$\vec{n} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3 \left( \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{2} \right)$.
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \left( 1 - \frac{3}{2} \right) = -\frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.
चूंकि $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$,यह $-\frac{1}{2} \vec{H} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OH} = \frac{1}{2} \overrightarrow{HO}$ के बराबर है।

(B) दिया गया है $\vec{a} = 6 \hat{i} - 3 \hat{j} - 6 \hat{k}$ और $\vec{d} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$।
चूँकि $\vec{b}$,$\vec{d}$ के समांतर है,हम लिख सकते हैं $\vec{b} = \lambda \vec{d} = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
दिया गया है $\vec{a} = \vec{b} + \vec{c}$,इसलिए $\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (6 - \lambda) \hat{i} - (3 + \lambda) \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$।
चूँकि $\vec{c}$,$\vec{d}$ के लंबवत है,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{c} \cdot \vec{d} = 0$।
$(6 - \lambda)(1) + (-3 - \lambda)(1) + (-6 - \lambda)(1) = 0$।
$6 - \lambda - 3 - \lambda - 6 - \lambda = 0$।
$-3 - 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -1$।
$\lambda = -1$ को $\vec{c}$ के व्यंजक में रखने पर:
$\vec{c} = (6 - (-1)) \hat{i} - (3 + (-1)) \hat{j} - (6 + (-1)) \hat{k} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} - 5 \hat{k}$।

(C) मान लीजिए कि इकाई सदिशों को उनके कोणों $\theta_1, \theta_2, \theta_3, \theta_4$ द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $\theta_1 \in (0, 90^{\circ})$,$\theta_2 \in (90^{\circ}, 180^{\circ})$,$\theta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$,और $\theta_4 \in (270^{\circ}, 360^{\circ})$ है।
$(a)$ योग $v_1 + v_2 + v_3 + v_4$ अनिवार्य रूप से शून्य नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि सदिश धनात्मक $X$-अक्ष और धनात्मक $Y$-अक्ष के बहुत करीब हैं,तो योग शून्य नहीं होगा।
$(b)$ योग $v_i + v_j$ अनिवार्य रूप से प्रथम चतुर्थांश में नहीं है। उदाहरण के लिए,यदि $v_1$ $90^{\circ}$ के करीब है और $v_2$ $180^{\circ}$ के करीब है,तो उनके योग में $X$-घटक ऋणात्मक होगा।
$(c)$ प्रथम चतुर्थांश में $v_1$ और तीसरे चतुर्थांश में $v_3$ पर विचार करें। उनके बीच का कोण $|\theta_1 - \theta_3|$ है। चूँकि $\theta_1 \in (0, 90^{\circ})$ और $\theta_3 \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$ है,अंतर $\theta_3 - \theta_1$ $(90^{\circ}, 270^{\circ})$ में स्थित है। डॉट प्रोडक्ट $v_1 \cdot v_3 = \cos(\theta_1 - \theta_3)$ है। चूँकि कोण का अंतर $90^{\circ}$ से अधिक हो सकता है,इसलिए कोसाइन ऋणात्मक हो सकता है। विशेष रूप से,यदि हम $v_1$ को $45^{\circ}$ के करीब और $v_3$ को $225^{\circ}$ के करीब चुनते हैं,तो कोण $180^{\circ}$ होता है,और डॉट प्रोडक्ट $\cos(180^{\circ}) = -1 < 0$ होता है। इस प्रकार,हमेशा ऐसे $i, j$ मौजूद होते हैं कि $v_i \cdot v_j < 0$ हो।
$(d)$ यह सभी जोड़ों के लिए अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है,जैसा कि $(c)$ में दिखाया गया है।

(C) मान लीजिए $AM = x AB$ और $AN = y AC$ है। चूँकि $G$ केंद्रक है,$G$ का स्थिति सदिश $\frac{A+B+C}{3}$ है।
चूँकि $M, G, N$ संरेख हैं,एक अदिश $k$ मौजूद है जिससे $\vec{G} = (1-k)\vec{M} + k\vec{N}$।
केंद्रक के गुण और दी गई शर्तों का उपयोग करके,यह दिखाया जा सकता है कि $\frac{1}{3x} + \frac{1}{3y} = 1$,या $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ है।
क्षेत्रफलों का अनुपात $r = \frac{\text{Area}(\triangle AMN)}{\text{Area}(\triangle ABC)} = xy$ है।
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$ से,हमें $y = \frac{x}{3x-1}$ मिलता है।
अतः $r = \frac{x^2}{3x-1}$ है।
चूँकि $M$ और $N$ रेखाखंडों के आंतरिक भाग में हैं,$0 < x < 1$ और $0 < y < 1$ है।
$y < 1$ के लिए,$\frac{x}{3x-1} < 1 \implies x > 1/2$ है।
साथ ही,$r$ का न्यूनतम मान $x=y=2/3$ पर होता है,जिससे $r = (2/3)(2/3) = 4/9$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $x \to 1/2$,$y \to 1$ होता है,इसलिए $r \to 1/2$ होता है।
अतः,$4/9 \leq r < 1/2$ है।

(D) दिया गया है,$\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$।
मान लीजिए $A, B, C$ और $P$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ और $\vec{p}$ हैं।
अतः,$(\vec{a} - \vec{p}) + 2(\vec{b} - \vec{p}) + 3(\vec{c} - \vec{p}) = \vec{0}$।
$\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c} = 6\vec{p} \implies \vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle APC$ का क्षेत्रफल $\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\vec{p} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{p}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{p} = \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta_{APC} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6} \times \vec{a} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \frac{\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{c}}{6}|$
$= \frac{1}{12} |\vec{a} \times \vec{a} + 2\vec{b} \times \vec{a} + 3\vec{c} \times \vec{a} + 6(\vec{a} \times \vec{c}) + \vec{c} \times \vec{a} + 2\vec{c} \times \vec{b} + 3\vec{c} \times \vec{c}|$
$= \frac{1}{12} |0 - 2(\vec{a} \times \vec{b}) + 3(\vec{c} \times \vec{a}) - 6(\vec{c} \times \vec{a}) + (\vec{c} \times \vec{a}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) + 0|$
$= \frac{1}{6} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{a}| = \frac{1}{3} \Delta$।
अतः,$\frac{\text{Area}(\triangle ABC)}{\text{Area}(\triangle APC)} = 3$।

(A) दिया गया है कि $\vec{u}=(1, -1, -2)$,$\vec{v}=(2, 1, -1)$,और $\vec{v} \cdot \vec{w}=2$ है।
हमें समीकरण $\vec{v} \times \vec{w} = \vec{u} + \lambda\vec{v} \quad \dots(1)$ दिया गया है।
समीकरण $(1)$ का $\vec{v}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{v} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{v} \cdot \vec{v})$.
चूंकि $\vec{v} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,इसलिए $0 = (2 - 1 + 2) + \lambda(2^2 + 1^2 + (-1)^2)$.
$0 = 3 + 6\lambda \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,समीकरण $(1)$ का $\vec{w}$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \vec{w} \cdot \vec{u} + \lambda(\vec{w} \cdot \vec{v})$.
चूंकि $\vec{w} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = 0$,इसलिए $0 = \vec{u} \cdot \vec{w} + \lambda(2)$.
$\vec{u} \cdot \vec{w} = -2\lambda = -2(-\frac{1}{2}) = 1$.

(B) मान लीजिए शीर्षों $P, Q, R$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ हैं। सरलता के लिए,$\vec{p} = \vec{0}$ लें।
दिया है $\frac{QA}{AR} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $A$ भुजा $QR$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{a} = \frac{2\vec{q} + 1\vec{r}}{3}$।
दिया है $\frac{RB}{BP} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $B$ भुजा $RP$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{b} = \frac{2\vec{r} + 1\vec{p}}{3} = \frac{2\vec{r}}{3}$।
दिया है $\frac{PC}{CQ} = \frac{1}{2}$,अतः बिंदु $C$ भुजा $PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए,$\vec{c} = \frac{2\vec{p} + 1\vec{q}}{3} = \frac{\vec{q}}{3}$।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta' = \frac{1}{2} |(\vec{b} - \vec{a}) \times (\vec{c} - \vec{a})|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिशों की गणना करने पर: $\vec{b} - \vec{a} = \frac{\vec{r} - 2\vec{q}}{3}$ और $\vec{c} - \vec{a} = \frac{-\vec{q} - \vec{r}}{3}$।
$\Delta' = \frac{1}{2} |\frac{1}{9} (\vec{r} - 2\vec{q}) \times (-\vec{q} - \vec{r})| = \frac{1}{18} |-\vec{r} \times \vec{q} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{18} |\vec{q} \times \vec{r} + 2\vec{q} \times \vec{r}| = \frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|$।
अतः,$\frac{\operatorname{Area}(\triangle PQR)}{\operatorname{Area}(\triangle ABC)} = \frac{\frac{1}{2} |\vec{q} \times \vec{r}|}{\frac{1}{6} |\vec{q} \times \vec{r}|} = 3$।

(C) मान लीजिए $\vec{\beta}_1 = \lambda \vec{\alpha}$ है।
चूंकि $\vec{\beta} = \vec{\beta}_1 + \vec{\beta}_2$ है,इसलिए $\vec{\beta}_2 = \vec{\beta} - \vec{\beta}_1 = \vec{\beta} - \lambda \vec{\alpha}$ होगा।
सदिशों का मान रखने पर,$\vec{\beta}_2 = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) - \lambda(4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) = (1 - 4\lambda)\hat{i} + (2 - 3\lambda)\hat{j} - (4 + 5\lambda)\hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\vec{\beta}_2 \perp \vec{\alpha}$ है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{\beta}_2 \cdot \vec{\alpha} = 0$।
$4(1 - 4\lambda) + 3(2 - 3\lambda) + 5(-4 - 5\lambda) = 0$।
$4 - 16\lambda + 6 - 9\lambda - 20 - 25\lambda = 0$।
$-50\lambda - 10 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{5}$।
अब,$\vec{\beta}_2 = (1 - 4(-\frac{1}{5}))\hat{i} + (2 - 3(-\frac{1}{5}))\hat{j} - (4 + 5(-\frac{1}{5}))\hat{k} = \frac{9}{5}\hat{i} + \frac{13}{5}\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
अतः,$5\vec{\beta}_2 = 9\hat{i} + 13\hat{j} - 15\hat{k}$ होगा।
अंत में,$5\vec{\beta}_2 \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 9(1) + 13(1) - 15(1) = 9 + 13 - 15 = 7$।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} + \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$.
इसे $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}$.
अतः $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$.
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$.
डॉट गुणन की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (7)(1) + (-3)(0) + (4)(2) = 7 + 0 + 8 = 15$.
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (1)(0) + (1)(2) = 1 + 0 + 2 = 3$.
इस प्रकार,$15 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -5$.
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - 5\overrightarrow{b} = (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}$.
अंत में,$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{c} = (2\hat{i} - 8\hat{j} - \hat{k}) \cdot (7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}) = (2)(7) + (-8)(-3) + (-1)(4) = 14 + 24 - 4 = 34$.

(A) दिया गया है $\vec{a}=4 \hat{i}+3 \hat{j}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 3 & -4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-0) - \hat{j}(20-0) + \hat{k}(-16-9) = 15 \hat{i} - 20 \hat{j} - 25 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\vec{c} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$।
$\vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) + 25 = 0$ से,हमें $15x - 20y - 25z = -25$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $3x - 4y - 5z = -5$ हो जाता है।
$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 4$ से,हमें $x + y + z = 4$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप $1$ होने के कारण,$\frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|} = 1 \Rightarrow \frac{4x + 3y}{5} = 1 \Rightarrow 4x + 3y = 5$।
समीकरणों के निकाय को हल करने पर:
$1) 3x - 4y - 5z = -5$
$2) x + y + z = 4 \Rightarrow 5x + 5y + 5z = 20$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $8x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - 8x$।
$4x + 3y = 5$ में मान रखने पर: $4x + 3(15 - 8x) = 5 \Rightarrow 4x + 45 - 24x = 5 \Rightarrow -20x = -40 \Rightarrow x = 2$।
तब $y = 15 - 8(2) = -1$,और $z = 4 - 2 - (-1) = 3$।
अतः,$\vec{c} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$।
$\vec{c}$ का $\vec{b}$ पर प्रक्षेप $\frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{(2)(3) + (-1)(-4) + (3)(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 5^2}} = \frac{6 + 4 + 15}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{25}{\sqrt{50}} = \frac{25}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{c} = (2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b}$.
हमें $\vec{b} \cdot \vec{c}$ का मान ज्ञात करना है।
$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot ((2 \vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b})$.
अदिश गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) - 3 \vec{b} \cdot \vec{b}$.
चूंकि $\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 0$ होता है क्योंकि सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत होता है,इसलिए पहला पद $0$ हो जाता है।
अतः,$\vec{b} \cdot \vec{c} = 0 - 3 |\vec{b}|^2$.
दिया गया है कि $|\vec{b}| = 4$,इसलिए $|\vec{b}|^2 = 16$.
अतः,$\vec{b} \cdot \vec{c} = -3 \times 16 = -48$.

(C) दिया गया है कि $|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}|^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार $|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{v}$ गुणधर्म का उपयोग करके करने पर:
$|\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = |\vec{a} + \vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
यह सरल होकर $4(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0$ हो जाता है।
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$,इसलिए $4(\vec{a} \cdot \vec{c}) = 0$,जिसका अर्थ है कि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$.
कथन $(B)$ कहता है कि $\vec{a}$ और $\overrightarrow{c}$ समांतर हैं,लेकिन $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ का अर्थ है कि वे लंबवत हैं (क्योंकि $\vec{c} \neq 0$)। अतः,$(B)$ गलत है।
कथन $(A)$ के लिए,$|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 + 2\lambda(\vec{a} \cdot \vec{c})$ पर विचार करें।
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$,यह $|\overrightarrow{a}|^2 + \lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2$ बन जाता है।
चूंकि सभी $\lambda \in R$ के लिए $\lambda^2 |\overrightarrow{c}|^2 \geq 0$,इसलिए $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}|^2 \geq |\overrightarrow{a}|^2$ होता है,जिसका अर्थ है कि $|\overrightarrow{a} + \lambda \overrightarrow{c}| \geq |\overrightarrow{a}|$.
अतः,$(A)$ सही है।

(A) दिया गया है: $|\vec{a}|=\sqrt{14}$,$|\vec{b}|=\sqrt{6}$,और $|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{48}$।
हम सदिशों के लिए लैग्रेंज सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$।
दिए गए मानों को सर्वसमिका में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\sqrt{48})^2 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = (\sqrt{14})^2 \times (\sqrt{6})^2$।
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 14 \times 6$।
$48 + (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84$।
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 84 - 48$।
$(\vec{a} \cdot \vec{b})^2 = 36$।

(C) दिया गया है $\overrightarrow{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\overrightarrow{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$।
$\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}$ से,$(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c} = \lambda \overrightarrow{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}$।
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda \overrightarrow{b}) \cdot \overrightarrow{a} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} + \lambda(\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a}) = 0$।
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = (5)(1) + (-3)(2) + (3)(3) = 5 - 6 + 9 = 8$।
$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{a} = (1)(1) + (-1)(2) + (2)(3) = 1 - 2 + 6 = 5$।
अतः,$8 + 5\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{8}{5}$।
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} - \frac{8}{5}\overrightarrow{b} = (5\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}) - \frac{8}{5}(\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{1}{5}(25\hat{i} - 15\hat{j} + 15\hat{k} - 8\hat{i} + 8\hat{j} - 16\hat{k}) = \frac{1}{5}(17\hat{i} - 7\hat{j} - \hat{k})$।
$|\overrightarrow{r}|^2 = \frac{1}{25}(17^2 + (-7)^2 + (-1)^2) = \frac{1}{25}(289 + 49 + 1) = \frac{339}{25}$।
इसलिए,$25|\overrightarrow{r}|^2 = 339$।

(A) दिया गया है $\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{b} = \hat{i} + \hat{k}$,और $\overrightarrow{c} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$।
शर्त $\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = \overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a}$ से,हमारे पास $(\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{a} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि $\overrightarrow{r} - \overrightarrow{c}$ सदिश $\overrightarrow{a}$ के समांतर है,इसलिए $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है $\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{b} = 0$,इसलिए $(\overrightarrow{c} + \lambda\overrightarrow{a}) \cdot \overrightarrow{b} = 0 \Rightarrow \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} + \lambda(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b} = (1)(1) + (2)(0) + (-3)(1) = 1 - 3 = -2$।
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = (2)(1) + (-7)(0) + (5)(1) = 2 + 5 = 7$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $-2 + 7\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{7}$।
अब,$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{c} + \frac{2}{7}\overrightarrow{a} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + \frac{2}{7}(2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}) = \frac{11}{7}\hat{i} - \frac{11}{7}\hat{k}$।
अंत में,$|\overrightarrow{r}| = \sqrt{(\frac{11}{7})^2 + 0^2 + (-\frac{11}{7})^2} = \frac{11}{7}\sqrt{2}$।

(D) सदिश $\vec{a}$ का सदिश $\vec{b}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ दिया गया है।
डॉट गुणनफल: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(1) + (-1)(3) + (-3)(5) = 5 - 3 - 15 = -13$.
$\vec{b}$ का परिमाण: $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
अतः,अदिश प्रक्षेप $\frac{-13}{\sqrt{35}}$ है।
चूंकि अदिश प्रक्षेप ऋणात्मक है,इसलिए प्रक्षेप सदिश की दिशा $\vec{b}$ की दिशा के विपरीत है। विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है $\vec{a} \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$,अतः $\vec{a} \times (\vec{c} - \vec{b}) = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है कि $(\vec{c} - \vec{b})$,$\vec{a}$ के समांतर है।
अतः,$\vec{c} - \vec{b} = k \vec{a}$ किसी अदिश $k$ के लिए,या $\vec{c} = \vec{b} + k \vec{a}$ है।
$\vec{c} = (\alpha + 6k) \hat{i} + (11 + 9k) \hat{j} + (-2 + 12k) \hat{k}$ को $\vec{a} \cdot \vec{c} = -12$ में रखने पर:
$6(\alpha + 6k) + 9(11 + 9k) + 12(-2 + 12k) = -12$.
$6\alpha + 36k + 99 + 81k - 24 + 144k = -12 \Rightarrow 6\alpha + 261k = -87$.
$\vec{c} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 5$ का उपयोग करने पर:
$(\alpha + 6k) - 2(11 + 9k) + (-2 + 12k) = 5$.
$\alpha + 6k - 22 - 18k - 2 + 12k = 5 \Rightarrow \alpha = 29$.
$\alpha = 29$ को $6(29) + 261k = -87$ में रखने पर:
$174 + 261k = -87 \Rightarrow 261k = -261 \Rightarrow k = -1$.
अतः,$\vec{c} = \vec{b} - \vec{a} = (29-6)\hat{i} + (11-9)\hat{j} + (-2-12)\hat{k} = 23\hat{i} + 2\hat{j} - 14\hat{k}$.
अंत में,$\vec{c} \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 23 + 2 - 14 = 11$.

(A) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। तब $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{OQ}| = r$ है।
चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ और $R$ चाप $PQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\angle POR = \angle ROQ = 45^{\circ}$ है।
दिया है $\vec{OQ} = \alpha \vec{u} + \beta \vec{v}$।
$\vec{u}$ के साथ अदिश गुणन (dot product) करने पर:
$\vec{u} \cdot \vec{OQ} = \alpha |\vec{u}|^2 + \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$
चूंकि $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $\vec{u} \cdot \vec{OQ} = 0$ है। साथ ही $\vec{u} \cdot \vec{v} = r^2 \cos 45^{\circ} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}$ है।
$0 = \alpha r^2 + \beta \frac{r^2}{\sqrt{2}} \implies \alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}} \implies \alpha^2 = \frac{\beta^2}{2}$।
अब,$|\vec{OQ}|^2 = r^2 = |\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}|^2 = \alpha^2 r^2 + \beta^2 r^2 + 2\alpha \beta (\vec{u} \cdot \vec{v})$।
$1 = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha \beta \frac{1}{\sqrt{2}} = \alpha^2 + \beta^2 + \sqrt{2} \alpha \beta$।
$\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$1 = \frac{\beta^2}{2} + \beta^2 + \sqrt{2} (-\frac{\beta}{\sqrt{2}}) \beta = \frac{3\beta^2}{2} - \beta^2 = \frac{\beta^2}{2} \implies \beta^2 = 2$।
तब $\alpha^2 = \frac{2}{2} = 1$,अतः $\alpha = -1$ (क्योंकि $\alpha = -\frac{\beta}{\sqrt{2}}$ और $\beta = \sqrt{2}$)।
मूल $\alpha = -1$ और $\beta^2 = 2$ हैं।
द्विघात समीकरण $(x - (-1))(x - 2) = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2 = 0$ है।

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु परिकेंद्र $P$ पर स्थित है। तो $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं,जहाँ $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है,जहाँ $R$ परित्रिज्या है।
लंबकेंद्र $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $P$ मूल बिंदु है,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \vec{0}$ है।
हमें $\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}$ ज्ञात करना है।
यह $(\vec{a} - \vec{p}) + (\vec{b} - \vec{p}) + (\vec{c} - \vec{p}) = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} - 3\vec{p}$ के बराबर है।
चूंकि $\vec{p} = \vec{0}$,इसलिए यह $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ और $\vec{p} = \vec{0}$,इसलिए हमारे पास $\vec{q} - \vec{p} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ है।
अतः,$\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC} = \overrightarrow{PQ}$ है।

(B) दिया गया है कि $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \times \vec{c} = \vec{0}$ है।
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,यह समीकरण $(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(\vec{a} + \vec{b})$ के समांतर है। मान लीजिए $\vec{c} = \alpha(\vec{a} + \vec{b})$ किसी अदिश $\alpha$ के लिए।
$\vec{a} + \vec{b} = (\lambda + 3)\hat{i} + 0\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{c} = \alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}$ है।
दिया गया है $\vec{b} \cdot \vec{c} = -20 \Rightarrow (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -20$ है।
$3\alpha(\lambda + 3) + 2\alpha = -20 \Rightarrow \alpha(3\lambda + 11) = -20$ है।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = -17 \Rightarrow (\lambda\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\alpha(\lambda + 3)\hat{i} + \alpha\hat{k}) = -17$ है।
$\alpha\lambda(\lambda + 3) - \alpha = -17 \Rightarrow \alpha(\lambda^2 + 3\lambda - 1) = -17$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{3\lambda + 11}{\lambda^2 + 3\lambda - 1} = \frac{20}{17}$ प्राप्त होता है।
$17(3\lambda + 11) = 20(\lambda^2 + 3\lambda - 1) \Rightarrow 51\lambda + 187 = 20\lambda^2 + 60\lambda - 20$ है।
$20\lambda^2 + 9\lambda - 207 = 0$ है। $\lambda \in \mathbb{Z}$ के लिए हल करने पर,हमें $\lambda = 3$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 3$ को $\alpha(3(3) + 11) = -20$ में रखने पर,$20\alpha = -20 \Rightarrow \alpha = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\vec{c} = -1(6\hat{i} + \hat{k}) = -6\hat{i} - \hat{k}$ है।
हमें $|\vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|^2$ का मान ज्ञात करना है।
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{c} \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-6\hat{i} - \hat{k}) \times (3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -6 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i} + 3\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
$|\vec{v}|^2 = 1^2 + 3^2 + (-6)^2 = 1 + 9 + 36 = 46$ है।

(A) दिया गया है कि $\vec{d} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$.
इसका अर्थ है कि $(\vec{d} - \vec{c}) \times \vec{b} = 0$.
अतः,$\vec{d} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,या $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है कि $\vec{d} \cdot \vec{a} = 24$,इस समीकरण में $\vec{d} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ रखने पर:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 24 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 24$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (4)(-1) + (2)(4) = 2 - 4 + 8 = 6$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (4)(-2) + (2)(7) = 3 - 8 + 14 = 9$.
इन मानों को रखने पर: $6 + \lambda(9) = 24 \Rightarrow 9\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब,$\vec{d} = \vec{c} + 2\vec{b} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 7\hat{k}) = (2+6)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (4+14)\hat{k} = 8\hat{i} - 5\hat{j} + 18\hat{k}$.
अंत में,$|\vec{d}|^2 = 8^2 + (-5)^2 + 18^2 = 64 + 25 + 324 = 413$.

(A) दिया गया है कि $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \vec{0}$,इसलिए $\overline{BC} = -\overline{AB} - \overline{CA}$.
$\overline{BC} = -(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) - (4\hat{i} + 3\hat{j} + \delta\hat{k}) = -2\hat{i} - 4\hat{j} - (3 + \delta)\hat{k}$.
चूंकि $\overline{CB} = -\overline{BC}$,इसलिए $\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + (3 + \delta)\hat{k}$.
$\overline{CB} = \alpha\hat{i} + \beta\hat{j} + \gamma\hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 2$,$\beta = 4$,और $\gamma = 3 + \delta$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overline{AC} \times \overline{AB}| = 5\sqrt{6}$ है।
$\overline{AC} = -\overline{CA} = -4\hat{i} - 3\hat{j} - \delta\hat{k}$.
$\overline{AC} \times \overline{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -3 & -\delta \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(\delta - 9) + \hat{j}(2\delta + 12) - 10\hat{k}$.
$|\overline{AC} \times \overline{AB}|^2 = (\delta - 9)^2 + (2\delta + 12)^2 + 100 = 600$.
$\delta^2 + 6\delta - 55 = 0 \Rightarrow (\delta + 11)(\delta - 5) = 0$. चूंकि $\delta > 0$,इसलिए $\delta = 5$.
अतः $\gamma = 8$,$\overline{CB} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$ और $\overline{CA} = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\overline{CB} \cdot \overline{CA} = (2)(4) + (4)(3) + (8)(5) = 8 + 12 + 40 = 60$.

(A) माना $\vec{a} = \alpha \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b} = \alpha \hat{i}+2 \alpha \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सदिशों के बीच का कोण $\theta$ न्यूनकोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ होना चाहिए।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha)(\alpha) + (-2)(2 \alpha) + (2)(-2) > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$
$\alpha^2 - 4 \alpha - 4 = 0$ को हल करने के लिए,द्विघात सूत्र $\alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करते हैं:
$\alpha = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2 \sqrt{2}$
चूंकि $2 \sqrt{2} \approx 2.828$ है,इसलिए मूल $\alpha_1 \approx 4.828$ और $\alpha_2 \approx -0.828$ हैं।
असमिका $\alpha^2 - 4 \alpha - 4 > 0$,$\alpha > 2 + 2 \sqrt{2}$ या $\alpha < 2 - 2 \sqrt{2}$ के लिए सत्य है।
चूंकि हमें $\alpha$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात करना है,इसलिए हम $\alpha > 4.828$ पर विचार करेंगे।
$4.828$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $5$ है।

(D) शीर्षों के स्थिति सदिश $A(2, -3, 3)$,$B(2, 2, 3)$,और $C(-1, 1, 3)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(2-2)^2 + (2 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = 5$.
$AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (1 - (-3))^2 + (3-3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.
चूंकि $AB = AC = 5$,त्रिभुज $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष कोण $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक $AD$,आधार $BC$ पर माध्यिका भी होता है।
इसलिए,$D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है।
$D = \left( \frac{2 + (-1)}{2}, \frac{2 + 1}{2}, \frac{3 + 3}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3 \right)$.
कोण समद्विभाजक $AD$ की लंबाई $l$,$A(2, -3, 3)$ और $D\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 3\right)$ के बीच की दूरी है:
$l = \sqrt{\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(-3 - \frac{3}{2}\right)^2 + (3 - 3)^2}$
$l = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{9}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{90}{4}} = \sqrt{\frac{45}{2}}$.
अतः,$l^2 = \frac{45}{2}$.
इसलिए,$2 l^2 = 2 \times \frac{45}{2} = 45$.

(D) शीर्ष $P(3, 2, 3)$,$Q(4, 6, 2)$ और $R(7, 3, 2)$ हैं।
$\angle QPR$ ज्ञात करने के लिए,हमें सदिशों $\vec{PQ}$ और $\vec{PR}$ के दिक अनुपात की आवश्यकता है।
$\vec{PQ} = (4-3, 6-2, 2-3) = (1, 4, -1)$.
$\vec{PR} = (7-3, 3-2, 2-3) = (4, 1, -1)$.
मान लीजिए $\theta = \angle QPR$ है। दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण का कोसाइन $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{PQ} \cdot \vec{PR} = (1)(4) + (4)(1) + (-1)(-1) = 4 + 4 + 1 = 9$.
$|\vec{PQ}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$.
$|\vec{PR}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{9}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{18}} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) दिया गया इकाई सदिश $\hat{u}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ है।
मान लीजिए $\overrightarrow{p}_1=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,$\overrightarrow{p}_2=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$,और $\overrightarrow{p}_3=\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$ है।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_1 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_1| \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow x+z=0$ $(i)$।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_2 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_2| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{y}{\sqrt{2}} + \frac{z}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow y+z = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $(ii)$।
चूंकि $\hat{u} \cdot \overrightarrow{p}_3 = |\hat{u}| |\overrightarrow{p}_3| \cos(\frac{2\pi}{3}) = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \Rightarrow x+y = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $(iii)$।
$(i), (ii), (iii)$ को जोड़ने पर,$2(x+y+z) = 0 \Rightarrow x+y+z = 0$ प्राप्त होता है।
इसमें से $(ii)$ घटाने पर,$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$। इसमें से $(iii)$ घटाने पर,$z = \frac{1}{\sqrt{2}}$। इसमें से $(i)$ घटाने पर,$y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\hat{u} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + 0 \hat{j} + \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k}$ है।
तब $\hat{u}-\overrightarrow{v} = (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{i} + (0 - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{j} + (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \hat{k} = -\frac{2}{\sqrt{2}} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j} = -\sqrt{2} \hat{i} - \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{j}$।
$|\hat{u}-\overrightarrow{v}|^2 = (-\sqrt{2})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$।

(A) दिया गया है $\vec{a} = \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1 + \alpha^2 + \beta^2$ है।
दिया गया है $|\vec{b}|^2 = 6$,इसलिए $|\vec{b}| = \sqrt{6}$ है।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
अदिश गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = 3\sqrt{2}$।
मान रखने पर: $|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \cos(\frac{\pi}{4}) = 3\sqrt{2}$।
$|\vec{a}| \cdot \sqrt{6} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{2} \implies |\vec{a}| = \sqrt{6}$।
अतः,$|\vec{a}|^2 = 6$,जिसका अर्थ है $1 + \alpha^2 + \beta^2 = 6$,इसलिए $\alpha^2 + \beta^2 = 5$ है।
अब,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 \sin^2 \theta$ की गणना करें।
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (6)(6) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 36 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$।
अंत में,$(\alpha^2 + \beta^2) |\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (5)(18) = 90$।

(D) दिया गया है कि $\vec{p} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,इसलिए $\vec{p} \times \vec{b} - \vec{c} \times \vec{b} = \vec{0}$.
इसका अर्थ है कि $(\vec{p} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$.
अतः,$\vec{p} - \vec{c} = \lambda \vec{b}$,जिसका अर्थ है कि $\vec{p} = \vec{c} + \lambda \vec{b}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है कि $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$,इसलिए $\vec{p}$ का मान रखने पर:
$(\vec{c} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{c} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
अदिश गुणन की गणना करने पर:
$\vec{c} \cdot \vec{a} = (1)(3) + (-3)(1) + (4)(-2) = 3 - 3 - 8 = -8$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (4)(3) + (1)(1) + (7)(-2) = 12 + 1 - 14 = -1$.
इन मानों को रखने पर: $-8 + \lambda(-1) = 0 \Rightarrow \lambda = -8$.
अतः,$\vec{p} = \vec{c} - 8 \vec{b} = (\hat{i} - 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) - 8(4 \hat{i} + \hat{j} + 7 \hat{k}) = -31 \hat{i} - 11 \hat{j} - 52 \hat{k}$.
अंत में,$\vec{p} \cdot (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = (-31)(1) + (-11)(-1) + (-52)(-1) = -31 + 11 + 52 = 32$.

(A) दिए गए शीर्ष $A(1,3,2)$,$B(-2,8,0)$ और $C(3,6,7)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई की गणना करें:
$AB = \sqrt{(-2-1)^2 + (8-3)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$AC = \sqrt{(3-1)^2 + (6-3)^2 + (7-2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 9 + 25} = \sqrt{38}$.
चूंकि $AB = AC$,त्रिभुज $ABC$ समद्विबाहु है,और $\angle BAC$ का कोण समद्विभाजक $AD$,$BC$ पर माध्यिका भी है। अतः,$D$,$BC$ का मध्य बिंदु है।
$D = \left( \frac{-2+3}{2}, \frac{8+6}{2}, \frac{0+7}{2} \right) = \left( \frac{1}{2}, 7, \frac{7}{2} \right)$.
अब,सदिश $\overrightarrow{AD}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AD} = \left( \frac{1}{2}-1 \right) \hat{i} + (7-3) \hat{j} + \left( \frac{7}{2}-2 \right) \hat{k} = -\frac{1}{2} \hat{i} + 4 \hat{j} + \frac{3}{2} \hat{k}$.
सदिश $\overrightarrow{AC}$ ज्ञात करें:
$\overrightarrow{AC} = (3-1) \hat{i} + (6-3) \hat{j} + (7-2) \hat{k} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
$\overrightarrow{AD}$ का $\overrightarrow{AC}$ पर प्रक्षेप की लंबाई $\left| \frac{\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|} \right|$ द्वारा दी जाती है।
$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \left( -\frac{1}{2} \right)(2) + (4)(3) + \left( \frac{3}{2} \right)(5) = -1 + 12 + 7.5 = 18.5 = \frac{37}{2}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{38}$.
प्रक्षेप की लंबाई $= \left| \frac{37/2}{\sqrt{38}} \right| = \frac{37}{2 \sqrt{38}}$.

(A) दिया गया है कि $\vec{b} \times \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a}$,अतः $(\vec{b} - \vec{c}) \times \vec{a} = 0$ है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $\lambda$ के लिए $\vec{b} - \vec{c} = \lambda \vec{a}$ है।
सदिशों का मान रखने पर: $(-\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}) - (4\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}) = \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$-1 - 4 = \lambda \implies \lambda = -5$।
$-8 - c_2 = \lambda \implies -8 - c_2 = -5 \implies c_2 = -3$।
$2 - c_3 = \lambda \implies 2 - c_3 = -5 \implies c_3 = 7$।
अतः,$\vec{c} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 7\hat{k}$।
मान लीजिए $\vec{d} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ है। तब $\cos \theta = \frac{\vec{c} \cdot \vec{d}}{|\vec{c}| |\vec{d}|} = \frac{(4)(3) + (-3)(4) + (7)(1)}{\sqrt{16+9+49} \sqrt{9+16+1}} = \frac{12 - 12 + 7}{\sqrt{74} \sqrt{26}} = \frac{7}{\sqrt{1924}} = \frac{7}{2\sqrt{481}}$।
$\cos^2 \theta = \frac{49}{4 \times 481} = \frac{49}{1924}$।
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1924}{49} - 1 = \frac{1875}{49} \approx 38.265$।
$\tan^2 \theta$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक $\lfloor 38.265 \rfloor = 38$ है।

(D) मान लीजिए $\overrightarrow{C} = C_1 \hat{i} + C_2 \hat{j} + C_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ है।
दिया गया है कि $\overrightarrow{C} \cdot (2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |2 \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}| \cos 60^{\circ} = 1 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है।
अतः,$2C_1 + 2C_2 - C_3 = \frac{3}{2}$ है।
साथ ही,$\overrightarrow{C} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) = |\overrightarrow{C}| |\hat{i} - \hat{k}| \cos 45^{\circ} = 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$ है।
अतः,$C_1 - C_3 = 1$,जिसका अर्थ है $C_3 = C_1 - 1$ है।
$C_3$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $2C_1 + 2C_2 - (C_1 - 1) = \frac{3}{2} \implies C_1 + 2C_2 = \frac{1}{2} \implies C_2 = \frac{1}{4} - \frac{C_1}{2}$ है।
$C_1^2 + C_2^2 + C_3^2 = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $C_1^2 + (\frac{1}{4} - \frac{C_1}{2})^2 + (C_1 - 1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $C_1 = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}$,$C_2 = -\frac{1}{3\sqrt{2}}$,और $C_3 = \frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\overrightarrow{C} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}) \hat{i} - \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} + (\frac{\sqrt{2}}{3} - \frac{1}{2}) \hat{k}$ है।
दिए गए सदिश $(-\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{3\sqrt{2}} \hat{j} - \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{k})$ को $\overrightarrow{C}$ में जोड़ने पर परिणाम $\frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} + 0 \hat{j} - \frac{1}{2} \hat{k} = \frac{\sqrt{2}}{3} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{k}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\vec{a} + \vec{b}$ और $\vec{a} - \vec{b}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है: $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 0$.
यह $|\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 0$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2$.
परिमाणों की गणना करने पर: $|\vec{a}|^2 = 1^2 + \lambda^2 + (-3)^2 = 10 + \lambda^2$ और $|\vec{b}|^2 = 3^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.
समान रखने पर: $10 + \lambda^2 = 14 \implies \lambda^2 = 4$. चूंकि $\lambda > 0$,इसलिए $\lambda = 2$ है।
अब,$\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$.
अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (-3)(2) = 3 - 2 - 6 = -5$.
कोण $\theta$ के लिए $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
चूंकि $|\vec{a}|^2 = 14$ और $|\vec{b}|^2 = 14$,इसलिए $|\vec{a}| = \sqrt{14}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{14}$ है।
अतः,$\cos \theta = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-5}{14}$.
इसलिए,$14 \cos \theta = -5$,और $(14 \cos \theta)^2 = (-5)^2 = 25$.

(D) दिया गया है $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c}=3(\vec{c} \times \vec{a})$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{c})$,इसलिए $(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} = -3(\vec{a} \times \vec{c})$.
$(\vec{a}+2 \vec{b}) \times \vec{c} + 3(\vec{a} \times \vec{c}) = 0$.
$(\vec{a} + 2\vec{b} + 3\vec{a}) \times \vec{c} = 0$.
$(4\vec{a} + 2\vec{b}) \times \vec{c} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$ सदिश $(4\vec{a} + 2\vec{b})$ के समांतर है।
मान लीजिए $\vec{c} = \lambda(4\vec{a} + 2\vec{b})$.
$4\vec{a} + 2\vec{b} = 4(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) + 2(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = (4+4)\hat{i} + (-12-2)\hat{j} + (28+2)\hat{k} = 8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k}$.
अतः,$\vec{c} = \lambda(8\hat{i} - 14\hat{j} + 30\hat{k})$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = 130$.
$(\hat{i}-3\hat{j}+7\hat{k}) \cdot \lambda(8\hat{i}-14\hat{j}+30\hat{k}) = 130$.
$\lambda(8 + 42 + 210) = 130$.
$260\lambda = 130 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$\vec{c} = 4\hat{i} - 7\hat{j} + 15\hat{k}$.
अंत में,$\vec{b} \cdot \vec{c} = (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot (4\hat{i}-7\hat{j}+15\hat{k}) = 8 + 7 + 15 = 30$.

(B) दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b} + \hat{i} = (2+2+1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (-1+2)\hat{k} = 5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
मान लीजिए $\vec{p} = \vec{c} + \hat{i}$.
दिया गया समीकरण $\vec{p} \times \vec{v} = \vec{a} \times \vec{p}$ है।
इसका अर्थ है $\vec{p} \times \vec{v} + \vec{p} \times \vec{a} = \vec{0}$,अतः $\vec{p} \times (\vec{v} + \vec{a}) = \vec{0}$.
इस प्रकार,$\vec{p} = \lambda(\vec{v} + \vec{a})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
$\vec{v} + \vec{a} = (5\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + (2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) = 7\hat{i} + 8\hat{j}$.
अतः,$\vec{c} + \hat{i} = \lambda(7\hat{i} + 8\hat{j}) \Rightarrow \vec{c} = 7\lambda\hat{i} + 8\lambda\hat{j} - \hat{i} = (7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}$.
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = -29$,अतः $(2\hat{i} + 5\hat{j} - \hat{k}) \cdot ((7\lambda - 1)\hat{i} + 8\lambda\hat{j}) = -29$.
$2(7\lambda - 1) + 5(8\lambda) = -29 \Rightarrow 14\lambda - 2 + 40\lambda = -29 \Rightarrow 54\lambda = -27 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
अब,$\vec{c} = (7(-\frac{1}{2}) - 1)\hat{i} + 8(-\frac{1}{2})\hat{j} = -\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}$.
हमें $\vec{c} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ ज्ञात करना है = $(-\frac{9}{2}\hat{i} - 4\hat{j}) \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (-\frac{9}{2})(-2) + (-4)(1) + (0)(1) = 9 - 4 = 5$.

(C) दिया गया है कि $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}$,जिसका अर्थ है कि $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c}$। अतः,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c} = 0$।
हमारे पास $|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = |\overrightarrow{c}|^2 + |\overrightarrow{a}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}) = |\overrightarrow{c}|^2 + 2^2 - 0 = |\overrightarrow{c}|^2 + 4$ है।
$|\overrightarrow{a}| = |\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|$ से,हमें $2 = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{c}| \sin \alpha = 3 |\overrightarrow{c}| \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3 \sin \alpha} = \frac{2}{3} \csc \alpha$।
चूंकि $\alpha \in [0, \frac{\pi}{3}]$,$\csc \alpha$ का परिसर $[\frac{2}{\sqrt{3}}, \infty)$ है।
$|\overrightarrow{c}|$ का न्यूनतम मान $\alpha = \frac{\pi}{3}$ पर प्राप्त होता है,जहाँ $|\overrightarrow{c}| = \frac{2}{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$ है।
अतः,$|\overrightarrow{c}|^2 = \frac{16}{27}$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$27|\overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}|^2 = 27(|\overrightarrow{c}|^2 + 4) = 27(\frac{16}{27} + 4) = 16 + 108 = 124$।

(C) दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ अधिक कोण पर झुके होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ हो।
दिया गया है $\vec{a} = \alpha t \hat{i} + 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ और $\vec{b} = t \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \alpha t \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (\alpha t)(t) + (6)(-2) + (-3)(-2 \alpha t) = \alpha t^2 - 12 + 6 \alpha t$।
हमें सभी $t \in R$ के लिए $\alpha t^2 + 6 \alpha t - 12 < 0$ की आवश्यकता है।
एक द्विघात व्यंजक $f(t) = At^2 + Bt + C$ के सभी $t$ के लिए ऋणात्मक होने के लिए,$A < 0$ और विविक्तकर $D = B^2 - 4AC < 0$ होना चाहिए।
यहाँ $A = \alpha$,$B = 6 \alpha$,और $C = -12$ है।
शर्त $1$: $\alpha < 0$।
शर्त $2$: $D = (6 \alpha)^2 - 4(\alpha)(-12) = 36 \alpha^2 + 48 \alpha < 0$।
$12 \alpha (3 \alpha + 4) < 0$,जिसका अर्थ है $-\frac{4}{3} < \alpha < 0$।
यदि $\alpha = 0$ है,तो व्यंजक $-12 < 0$ हो जाता है,जो सभी $t \in R$ के लिए सत्य है।
इन दोनों को मिलाने पर,$\alpha$ का समुच्चय $(-\frac{4}{3}, 0]$ है।

(D) दिया गया है $\vec{a}=9 \hat{i}-13 \hat{j}+25 \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+7 \hat{j}-13 \hat{k}$,और $\vec{c}=17 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$।
$\vec{r} \times \vec{a}=(\vec{b}+\vec{c}) \times \vec{a}$ से,$(\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c})) \times \vec{a} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{r}-(\vec{b}+\vec{c}) = \lambda \vec{a}$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए,अतः $\vec{r} = \lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$।
दिया गया है $\vec{r} \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$,$\vec{r}$ का मान रखने पर:
$(\lambda \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{b}-\vec{c}) = 0$.
$\lambda (\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{b}|^2 - |\vec{c}|^2 = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (9)(3) + (-13)(7) + (25)(-13) = 27 - 91 - 325 = -389$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (9)(17) + (-13)(-2) + (25)(1) = 153 + 26 + 25 = 204$.
$|\vec{b}|^2 = 3^2 + 7^2 + (-13)^2 = 9 + 49 + 169 = 227$.
$|\vec{c}|^2 = 17^2 + (-2)^2 + 1^2 = 289 + 4 + 1 = 294$.
$\lambda (-389 - 204) + 227 - 294 = 0 \Rightarrow -593 \lambda - 67 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{67}{593}$.
अतः,$\vec{r} = -\frac{67}{593} \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.
$593 \vec{r} + 67 \vec{a} = 593(\vec{b} + \vec{c})$.
$\frac{|593 \vec{r} + 67 \vec{a}|^2}{(593)^2} = |\vec{b} + \vec{c}|^2$.
$\vec{b} + \vec{c} = (3+17)\hat{i} + (7-2)\hat{j} + (-13+1)\hat{k} = 20\hat{i} + 5\hat{j} - 12\hat{k}$.
$|\vec{b} + \vec{c}|^2 = 20^2 + 5^2 + (-12)^2 = 400 + 25 + 144 = 569$.

(B) दिया गया है कि $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} = \vec{c} \times (-2 \vec{a}+3 \vec{b})$.
इसे $(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c} + (-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(\vec{a}+\vec{b}-2 \vec{a}+3 \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
$(4 \vec{b}-\vec{a}) \times \vec{c} = \vec{0}$.
इसका अर्थ है कि $\vec{c}$,$(4 \vec{b}-\vec{a})$ के समांतर है।
माना $\vec{c} = \lambda(4 \vec{b}-\vec{a})$.
$4 \vec{b}-\vec{a} = 4(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
अतः,$\vec{c} = \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k})$.
दिया गया है कि $(2 \vec{a}+3 \vec{b}) \cdot \vec{c} = 1670$.
$2 \vec{a}+3 \vec{b} = 2(4 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3(11 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) = 41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}$.
$(41 \hat{i}-5 \hat{j}+5 \hat{k}) \cdot \lambda(40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}) = 1670$.
$\lambda(1640 + 15 + 15) = 1670$.
$1670 \lambda = 1670 \Rightarrow \lambda = 1$.
इस प्रकार,$\vec{c} = 40 \hat{i}-3 \hat{j}+3 \hat{k}$.
$|\vec{c}|^2 = 40^2 + (-3)^2 + 3^2 = 1600 + 9 + 9 = 1618$.