Scalar or Dot product of two vectors and its applications Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$.
सदिशों का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\overrightarrow{c} = (\alpha - 5)\hat{i} + (4 - 3)\hat{j} + (2 - 4)\hat{k} = (\alpha - 5)\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,$x = \alpha - 5$,$y = 1$,और $z = -2$.
सदिशों $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}|$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}| = 5\sqrt{6}$ भी होगा।
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \alpha & 4 & 2 \\ \alpha-5 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-8 - 2) - \hat{j}(-2\alpha - 2(\alpha - 5)) + \hat{k}(\alpha - 4(\alpha - 5))$
$= -10\hat{i} - \hat{j}(-2\alpha - 2\alpha + 10) + \hat{k}(\alpha - 4\alpha + 20) = -10\hat{i} - (10 - 4\alpha)\hat{j} + (20 - 3\alpha)\hat{k}$.
$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{c}|^2 = (-10)^2 + (4\alpha - 10)^2 + (20 - 3\alpha)^2 = (10\sqrt{6} \times 2)^2 = 400 \times 6 = 2400$.
$100 + 16\alpha^2 - 80\alpha + 100 + 400 - 120\alpha + 9\alpha^2 = 600$.
$25\alpha^2 - 200\alpha + 600 = 600 \Rightarrow 25\alpha^2 - 200\alpha = 0$.
$25\alpha(\alpha - 8) = 0$. चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $\alpha = 8$.
अब $x = 8 - 5 = 3, y = 1, z = -2$.
$|\overrightarrow{c}|^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 3^2 + 1^2 + (-2)^2 = 9 + 1 + 4 = 14$.

(A) स्थिति सदिश $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ है।
लंबाई का वर्ग $|\overline{OP}|^2 = (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) \cdot (\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t) = \cos^2 t + \sin^2 t + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin(2t) (\hat{a} \cdot \hat{b})$ है।
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ एक न्यून कोण बनाते हैं,इसलिए $\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$ है। अतः,$|\overline{OP}|$ अधिकतम तब होता है जब $\sin(2t) = 1$,यानी $2t = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi}{4}$।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$M = |\overline{OP}| = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{1/2}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर सदिश $\overline{OP} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$ है।
इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{\frac{1}{\sqrt{2}}|\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$ है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = 1$.
दी गई शर्त $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ है।
अदिश गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,$|(\vec{a} \times \vec{b})| |(\vec{c} \times \vec{d})| \cos \phi = 1$,जहाँ $\phi$ सदिशों $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $(\vec{c} \times \vec{d})$ के बीच का कोण है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sin \theta_1 \le 1$ और $|\vec{c} \times \vec{d}| = \sin \theta_2 \le 1$,इसलिए गुणनफल $\sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \phi = 1$ केवल तभी संभव है जब $\sin \theta_1 = 1$,$\sin \theta_2 = 1$ और $\cos \phi = 1$ हो।
इसका अर्थ है $\theta_1 = \frac{\pi}{2}$,$\theta_2 = \frac{\pi}{2}$ और $\phi = 0$ है।
चूंकि $\phi = 0$ है,सदिश $(\vec{a} \times \vec{b})$ और $(\vec{c} \times \vec{d})$ समांतर हैं,जिसका अर्थ है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ समतलीय हैं।
दिया गया है $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है।
चूंकि सभी सदिश समतलीय और इकाई सदिश हैं,ज्यामितीय विन्यास के कारण $\vec{b}$ और $\vec{d}$ समांतर नहीं हैं।

(B) दिए गए स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{c} = \frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}$,और $\vec{d} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
व्यंजक $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3} = \frac{(3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) + 2(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ पर विचार करें।
अब,$PR$ को $5:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु का स्थिति सदिश $\frac{5\vec{c} + 4\vec{a}}{5+4} = \frac{5(\frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}) + 4(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})}{9} = \frac{(17\hat{i} + 16\hat{j} + 35\hat{k}) + (4\hat{i} + 8\hat{j} - 20\hat{k})}{9} = \frac{21\hat{i} + 24\hat{j} + 15\hat{k}}{9} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ है।
चूंकि दोनों व्यंजक समान सदिश प्रदान करते हैं,इसलिए $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3}$ द्वारा दर्शाया गया बिंदु $PR$ को $5:4$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विकल्प $D$ के लिए,$|\vec{b} \times \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{d}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{d})^2 = (3^2 + 6^2 + 3^2)(2^2 + 1^2 + 1^2) - (3(2) + 6(1) + 3(1))^2 = 54 \times 6 - (15)^2 = 324 - 225 = 99$ है। अतः,विकल्प $D$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $B$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} + \overline{OR} \cdot \overline{OS} = \overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} - \overline{OR} \cdot \overline{OP} = \overline{OQ} \cdot \overline{OS} - \overline{OR} \cdot \overline{OS}$.
$\overline{OP} \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR}) = \overline{OS} \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR})$.
$(\overline{OP} - \overline{OS}) \cdot (\overline{OQ} - \overline{OR}) = 0$.
$\overline{SP} \cdot \overline{RQ} = 0$.
इसका अर्थ है कि $\overline{SP} \perp \overline{RQ}$,जिसका अर्थ है कि $S$,$P$ से $QR$ पर खींचे गए शीर्षलंब पर स्थित है।
इसी प्रकार,$\overline{OR} \cdot \overline{OP} + \overline{OQ} \cdot \overline{OS} = \overline{OQ} \cdot \overline{OR} + \overline{OP} \cdot \overline{OS}$ से,हमें $\overline{SQ} \perp \overline{PR}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $S$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $S$,$\triangle PQR$ का लंबकेंद्र है।

(A) शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -2\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{q} = 4\hat{i}$,$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j}$,और $\vec{s} = -3\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम विकर्णों $PR$ और $QS$ के मध्य बिंदुओं की जांच करते हैं:
$PR$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{(-2\hat{i} - \hat{j}) + (3\hat{i} + 3\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
$QS$ का मध्य बिंदु $= \frac{\vec{q} + \vec{s}}{2} = \frac{(4\hat{i}) + (-3\hat{i} + 2\hat{j})}{2} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j}}{2} = \frac{1}{2}\hat{i} + \hat{j}$.
चूंकि विकर्णों के मध्य बिंदु समान हैं,इसलिए $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इसके बाद,हम भुजाओं के सदिशों की गणना करते हैं:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = 4\hat{i} - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j}$.
$\vec{PS} = \vec{s} - \vec{p} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + 3\hat{j}$.
आयत के लिए जांच (आसन्न भुजाओं का डॉट गुणनफल):
$\vec{PQ} \cdot \vec{PS} = (6\hat{i} + \hat{j}) \cdot (-\hat{i} + 3\hat{j}) = (6)(-1) + (1)(3) = -6 + 3 = -3 \neq 0$.
चूंकि डॉट गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए भुजाएं लंबवत नहीं हैं,अतः यह आयत नहीं है।
समचतुर्भुज के लिए जांच (आसन्न भुजाओं की लंबाई):
$|\vec{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37}$.
$|\vec{PS}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
चूंकि $|\vec{PQ}| \neq |\vec{PS}|$,भुजाएं समान नहीं हैं,इसलिए यह समचतुर्भुज नहीं है।
अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है,जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत।

(A) माना $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{v} = \overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{225} = 15$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$\cos \alpha = \frac{|\vec{AD} \cdot \vec{AB}|}{|\vec{AD}| |\vec{AB}|}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,
$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = (-1)(2) + (2)(10) + (2)(11) = -2 + 20 + 22 = 40$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{40}{3 \times 15} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$.

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
अभीष्ट सदिश $\vec{v}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\vec{v} = x\vec{a} + y\vec{b}$ होगा।
साथ ही,$\vec{v}$,$\vec{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{c} = 0$ होगा।
$(x\vec{a} + y\vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \implies x(\vec{a} \cdot \vec{c}) + y(\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$.
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (1)(1) + (2)(1) = 4$.
$\vec{b} \cdot \vec{c} = (1)(1) + (2)(1) + (1)(1) = 4$.
अतः,$4x + 4y = 0 \implies x = -y$.
इस प्रकार,$\vec{v} = x(\vec{a} - \vec{b}) = x[(\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})] = x(-\hat{j}+\hat{k})$ होगा।
यदि $x=1$ है,तो $\vec{v} = -\hat{j}+\hat{k}$ (विकल्प $D$)।
यदि $x=-1$ है,तो $\vec{v} = \hat{j}-\hat{k}$ (विकल्प $A$)।
अतः,सही सदिश $(A)$ और $(D)$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\vec{r} \times \vec{b} = \vec{c} \times \vec{b}$,जिसका अर्थ है कि $(\vec{r} - \vec{c}) \times \vec{b} = \vec{0}$ है।
इसका अर्थ है कि किसी अदिश $t$ के लिए $\vec{r} - \vec{c} = t\vec{b}$,इसलिए $\vec{r} = \vec{c} + t\vec{b}$ है।
$\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j}) = (1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर।
दिया गया है कि $\vec{r} \cdot \vec{a} = 0$,जहाँ $\vec{a} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
$((1-t)\hat{i} + (2+t)\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{k}) = 0$ है।
$-(1-t) - 3 = 0 \Rightarrow -1 + t - 3 = 0 \Rightarrow t = 4$ है।
अतः,$\vec{r} = \vec{c} + 4\vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 4(-\hat{i} + \hat{j}) = -3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
अंत में,$\vec{r} \cdot \vec{b} = (-3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (-\hat{i} + \hat{j}) = 3 + 6 = 9$ है।

(B) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$.
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर: $|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9$.
यह $(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$ हो जाता है।
चूंकि $|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 1$,इसलिए $6 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 9$.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{3}{2}$.
अब,$|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 = |\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 3 + 2(-\frac{3}{2}) = 0$ पर विचार करें।
इसका अर्थ है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\vec{b}+\vec{c} = -\vec{a}$.
हमें $|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}| = |2 \vec{a}+5(\vec{b}+\vec{c})| = |2 \vec{a}+5(-\vec{a})| = |-3 \vec{a}| = 3|\vec{a}| = 3(1) = 3$ ज्ञात करना है।

(C) दिया गया है कि $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ है।
चूंकि $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})$ है,इसलिए हमारे पास $\vec{c} \cdot \vec{a} = x$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = y$ है।
यह दिया गया है कि $\vec{c}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के साथ समान कोण $\alpha$ बनाता है,इसलिए $\vec{c} \cdot \vec{a} = |\vec{c}| |\vec{a}| \cos \alpha = 2(1) \cos \alpha = 2 \cos \alpha$ और $\vec{c} \cdot \vec{b} = 2 \cos \alpha$ है।
अतः,$x = y = 2 \cos \alpha$ है।
अब,$|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c} = (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b})) \cdot (x\vec{a} + y\vec{b} + (\vec{a} \times \vec{b}))$ है।
चूंकि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ परस्पर लंबवत हैं,इसलिए $|\vec{c}|^2 = x^2 + y^2 + |\vec{a} \times \vec{b}|^2$ है।
चूंकि $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin 90^{\circ} = 1$ है,इसलिए हमें $4 = x^2 + y^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$x = y = 2 \cos \alpha$ प्रतिस्थापित करने पर,$4 = (2 \cos \alpha)^2 + (2 \cos \alpha)^2 + 1$ प्राप्त होता है।
$4 = 4 \cos^2 \alpha + 4 \cos^2 \alpha + 1$ है।
$3 = 8 \cos^2 \alpha$ है।
अतः,$8 \cos^2 \alpha$ का मान $3$ है।

(C) त्रिभुज $PQR$ में,हमारे पास $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ है।
चूंकि $\vec{a} = \vec{QR}$,$\vec{b} = \vec{RP}$,और $\vec{c} = \vec{PQ}$,इसलिए $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ है।
दिए गए व्यंजक में $\vec{c}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\vec{a} \cdot (-(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b})}{(-(\vec{a} + \vec{b})) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$
$\frac{\vec{a} \cdot (-\vec{a} - 2\vec{b})}{-(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{3}{3 + 4}$
$\frac{-|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(\vec{a}^2 - \vec{b}^2)} = \frac{3}{7}$
यहाँ $|\vec{a}| = 3$ और $|\vec{b}| = 4$ दिया गया है,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 9$ और $|\vec{b}|^2 = 16$ है।
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(9 - 16)} = \frac{3}{7}$
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{7} = \frac{3}{7}$
$-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$
अब,सर्वसमिका $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ का उपयोग करने पर:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (9)(16) - (-6)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 144 - 36 = 108$.

(A) सदिश $\vec{b}$ का $\vec{a}$ पर प्रक्षेप सदिश $\vec{c} = \left( \frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2} \right) \vec{a}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,इसलिए $|\vec{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + 2^2 = 9$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (\lambda \hat{i} + 4\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \lambda + 8$.
अतः,$\vec{c} = \frac{\lambda + 8}{9} (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$.
दिया गया है $|\vec{a} + \vec{c}| = 7$। चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ के समांतर है,मान लीजिए $\vec{c} = k\vec{a}$,जहाँ $k = \frac{\lambda + 8}{9}$ है।
तब $|\vec{a} + k\vec{a}| = |(1+k)\vec{a}| = |1+k| |\vec{a}| = |1+k| \cdot 3 = 7$.
$|1+k| = \frac{7}{3} \Rightarrow 1+k = \frac{7}{3}$ (चूंकि $\lambda > 0, k > 0$)।
$k = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\lambda + 8}{9} = \frac{4}{3} \Rightarrow \lambda + 8 = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
अब,$\vec{b} = 4\hat{i} + 4\hat{k}$ और $\vec{c} = \frac{4}{3}(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = \frac{4}{3}\hat{i} + \frac{8}{3}\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}$.
$\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\vec{b} \times \vec{c}|$ है।
चूंकि $\vec{c}, \vec{a}$ पर $\vec{b}$ का प्रक्षेप है,$\vec{c} = k\vec{a}$।
$|\vec{b} \times \vec{c}| = |\vec{b} \times k\vec{a}| = |k| |\vec{b} \times \vec{a}|$.
$\vec{b} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-8) - \hat{j}(8-4) + \hat{k}(8-0) = -8\hat{i} - 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{b} \times \vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 16 + 64} = \sqrt{144} = 12$.
क्षेत्रफल $= |k| \cdot 12 = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.

(D) दिया गया है कि $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = 1$ और $|\overrightarrow{b}| = 1$ है।
उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सदिश $(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b})$ और $(3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b})$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $0$ होगा:
$(\lambda \overrightarrow{a} + 2 \overrightarrow{b}) \cdot (3 \overrightarrow{a} - \lambda \overrightarrow{b}) = 0$
$3\lambda (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}) - \lambda^2 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) + 6 (\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) - 2\lambda (\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}) = 0$
चूंकि $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = 1$ और $\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = 1$ है,इसलिए:
$3\lambda - \lambda^2(\frac{1}{2}) + 6(\frac{1}{2}) - 2\lambda = 0$
$3\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 - 2\lambda = 0$
$\lambda - \frac{\lambda^2}{2} + 3 = 0$
$-2$ से गुणा करने पर,$\lambda^2 - 2\lambda - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
हल $\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$ है।
चूंकि $\sqrt{7} \approx 2.64$ है,इसलिए मान $\lambda_1 = 1 + 2.64 = 3.64$ और $\lambda_2 = 1 - 2.64 = -1.64$ हैं।
इनमें से कोई भी मान अंतराल $[-1, 3]$ में नहीं आता है।
अतः,$[-1, 3]$ में $\lambda$ के मानों की संख्या $0$ है।

(A) माना $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$,$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$,और $\overrightarrow{OC} = \vec{c}$ है। चूँकि $A, B, C$ वृत्त पर स्थित हैं,$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = R$ है।
चाप $AC$ केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $\vec{a}$ और $\vec{c}$ के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
चाप की लंबाई का अनुपात $AB:BC = 1:5$ है,इसलिए $\angle AOB = \frac{1}{6} \times 90^{\circ} = 15^{\circ}$ और $\angle BOC = \frac{5}{6} \times 90^{\circ} = 75^{\circ}$ है।
$\vec{c} = \alpha \vec{a} + \beta \vec{b}$ है।
$\vec{a}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{a} \cdot \vec{c} = \alpha |\vec{a}|^2 + \beta \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow 0 = \alpha + \beta \cos 15^{\circ} \Rightarrow \alpha = -\beta \cos 15^{\circ} \dots (1)$.
$\vec{b}$ के साथ डॉट गुणन करने पर: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \alpha \vec{a} \cdot \vec{b} + \beta |\vec{b}|^2 \Rightarrow \cos 75^{\circ} = \alpha \cos 15^{\circ} + \beta \dots (2)$.
$(1)$ को $(2)$ में रखने पर: $\cos 75^{\circ} = -\beta \cos^2 15^{\circ} + \beta = \beta \sin^2 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = \frac{\cos 75^{\circ}}{\sin^2 15^{\circ}} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} = \sqrt{6}+\sqrt{2}$ है।
$(1)$ से,$\alpha = -\beta \cos 15^{\circ} = -(2+\sqrt{3})$ है।
अब $\alpha + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1) \beta = -(2+\sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{6}+\sqrt{2}) = -(2+\sqrt{3}) + 4 = 2-\sqrt{3}$ है।

(D) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{B} = \hat{i}+3\hat{j}-2\hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ हैं।
$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = 0\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ और $\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = \hat{i}-\hat{j}-2\hat{k}$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = -5\hat{i}-3\hat{j}-\hat{k}$.
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{35}}{2}$.
चतुष्फलक का आयतन = $\frac{1}{3} \times \text{Area}(ABC) \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}}$.
$\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{35}}{2} \times h = \frac{\sqrt{805}}{6\sqrt{2}} \implies h = \sqrt{\frac{23}{2}}$.
$\triangle ADE$ में,$AD^2 = AE^2 + DE^2$. $AD = \frac{\sqrt{110}}{3} \implies AD^2 = \frac{110}{9}$.
$AE^2 = \frac{110}{9} - \frac{23}{2} = \frac{13}{18}$.
$F$ भुजा $BC$ का मध्य बिंदु है,$F = \frac{3\hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}}{2}$.
$\vec{AF} = F-A = \frac{1}{2}(\hat{i}-5\hat{k})$.
$\vec{AE} = AE \cdot \frac{\vec{AF}}{|AF|} = \sqrt{\frac{13}{18}} \cdot \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{\sqrt{26}} = \frac{\hat{i}-5\hat{k}}{6}$.
$E$ का स्थिति सदिश = $\vec{A} + \vec{AE} = (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) + \frac{1}{6}(\hat{i}-5\hat{k}) = \frac{7\hat{i}+12\hat{j}+\hat{k}}{6}$.

(D) बिंदु $A$,रेखाखंड $PQ$ को $r:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$A$ के निर्देशांक हैं:
$A = \left( \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{5r - 1}{r + 1}, \frac{10r + 2}{r + 1} \right)$
दिया गया समीकरण $(\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}) - \frac{1}{5}|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = 10$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{OQ} \cdot \overrightarrow{OA} = 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 5\left( \frac{5r - 1}{r + 1} \right) + 10\left( \frac{10r + 2}{r + 1} \right) = \frac{150r + 10}{r + 1} = \frac{10(15r + 1)}{r + 1}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}$ की गणना करें:
$\overrightarrow{OP} = (-1, -1, 2)$ और $\overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1}(5r-1, 5r-1, 10r+2)$
$\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA} = \frac{1}{r+1} (-20r, 15r+1, 0)$
$|\overrightarrow{OP} \times \overrightarrow{OA}|^2 = \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2}$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{10(15r + 1)}{r + 1} - \frac{1}{5} \left( \frac{625r^2 + 30r + 1}{(r+1)^2} \right) = 10$
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर $r = 7$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\vec{a}_{\parallel}$,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ की दिशा में घटक है और $\vec{a}_{\perp}$,$\vec{a}$ का $\vec{b}$ के लंबवत घटक है।
दिया गया है कि $\vec{a}_{\parallel} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और $\vec{a}_{\perp} = \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$.
चूंकि $\vec{a} = \vec{a}_{\parallel} + \vec{a}_{\perp}$,इसलिए:
$\vec{a} = \frac{16}{11}(3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \frac{1}{11}(-4 \hat{i} - 5 \hat{j} - 17 \hat{k})$
$\vec{a} = \frac{48-4}{11} \hat{i} + \frac{16-5}{11} \hat{j} + \frac{-16-17}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = \frac{44}{11} \hat{i} + \frac{11}{11} \hat{j} - \frac{33}{11} \hat{k}$
$\vec{a} = 4 \hat{i} + \hat{j} - 3 \hat{k}$
$\vec{a} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 4$,$\beta = 1$,और $\gamma = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (4)^2 + (1)^2 + (-3)^2 = 16 + 1 + 9 = 26$.

(C) माना $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ एक इकाई सदिश है,अतः $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$.
माना $\vec{b} = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$,और $\vec{d} = \hat{k}$.
प्रक्षेप समान हैं,इसलिए $\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{d}}{|\vec{d}|}$.
परिमाणों की गणना: $|\vec{b}| = 3$,$|\vec{c}| = 3$,और $|\vec{d}| = 1$.
अतः,$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = \frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$.
$\frac{2a_1 - a_2 + 2a_3}{3} = a_3$ से,$2a_1 - a_2 - a_3 = 0$.
$\frac{a_1 + 2a_2 - 2a_3}{3} = a_3$ से,$a_1 + 2a_2 - 5a_3 = 0$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$a_1 = \frac{7}{5}a_3$ और $a_2 = \frac{9}{5}a_3$ प्राप्त होता है।
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1$ में मान रखने पर: $(\frac{7}{5}a_3)^2 + (\frac{9}{5}a_3)^2 + a_3^2 = 1 \implies a_3 = \frac{5}{\sqrt{155}}$.
अतः,$\vec{a} = \frac{1}{\sqrt{155}}(7 \hat{i} + 9 \hat{j} + 5 \hat{k})$.

(C) दिया गया है $\vec{a} \times \hat{d} = \vec{b} \times \hat{d}$,अतः $(\vec{a} - \vec{b}) \times \hat{d} = 0$।
इसका अर्थ है कि $\hat{d}, \vec{a} - \vec{b}$ के समानांतर है।
$\vec{a} - \vec{b} = (1-3)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।
चूंकि $\hat{d}$ एक इकाई सदिश है,$\hat{d} = \pm \frac{-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}}{3}$।
$\vec{c} \cdot \vec{a} = 0$ होने के कारण,$(\lambda \hat{j} + \mu \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$,अर्थात $\lambda + \mu = 0$,जिसका अर्थ है $\mu = -\lambda$।
अतः,$\vec{c} = \lambda(\hat{j} - \hat{k})$।
$\vec{c} \cdot \hat{d} = 1$ होने के कारण,$\lambda(\hat{j} - \hat{k}) \cdot \pm \frac{1}{3}(-2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 1$।
$\pm \frac{\lambda}{3}(-1 - 2) = 1 \Rightarrow \mp \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = \mp 1$।
दोनों स्थितियों में,$\lambda^2 = 1$ और $\mu^2 = \lambda^2 = 1$।
हमें $|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9 \lambda^2 |\hat{d}|^2 + \mu^2 |\vec{c}|^2 + 6 \lambda \mu (\hat{d} \cdot \vec{c})$ की गणना करनी है।
$|\hat{d}|^2 = 1$,$|\vec{c}|^2 = \lambda^2 + \mu^2 = 2\lambda^2 = 2$,और $\hat{d} \cdot \vec{c} = 1$ होने के कारण:
$|3 \lambda \hat{d} + \mu \vec{c}|^2 = 9(1)(1) + (1)(2) + 6(\lambda)(-\lambda)(1) = 9 + 2 - 6\lambda^2 = 11 - 6(1) = 5$.

(B) दिया गया है $\overrightarrow{u} = 3\hat{i} - \hat{j}$ और $\overrightarrow{v} = 2\hat{i} + \hat{j} - \lambda\hat{k}$.
$\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है,$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}$.
$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (3)(2) + (-1)(1) + (0)(-\lambda) = 6 - 1 = 5$.
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}$.
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-\lambda)^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$.
दिया गया है $\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$,इसलिए $\frac{5}{\sqrt{10} \sqrt{5 + \lambda^2}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{25}{10(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{4 \times 7} = \frac{5}{28}$.
$\frac{5}{2(5 + \lambda^2)} = \frac{5}{28} \Rightarrow 5 + \lambda^2 = 14 \Rightarrow \lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = 3$ (चूंकि $\lambda > 0$).
अब,$\vec{v} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2$,जहाँ $\vec{v}_1 \parallel \overrightarrow{u}$ और $\vec{v}_2 \perp \overrightarrow{u}$.
चूंकि $\vec{v}_1$ और $\vec{v}_2$ लंबवत हैं,इसलिए $|\vec{v}|^2 = |\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2$.
$|\vec{v}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14$.
अतः,$|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2 = 14$.

(C) दिया गया है $\vec{c} = 3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})$.
चूंकि $\sin \theta = \frac{\sqrt{65}}{9}$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{65}{81} = \frac{16}{81}$,जिससे $\cos \theta = \frac{4}{9}$ (क्योंकि $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$)।
अब,$\vec{c} \cdot \hat{a} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{a} = 3(\hat{a} \cdot \hat{a}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{a}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a})$.
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{a} = \cos \theta = \frac{4}{9}$,और $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{a} = 0$,इसलिए $\vec{c} \cdot \hat{a} = 3(1) + 6(\frac{4}{9}) + 0 = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}$.
इसी प्रकार,$\vec{c} \cdot \hat{b} = (3\hat{a} + 6\hat{b} + 9(\hat{a} \times \hat{b})) \cdot \hat{b} = 3(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 6(\hat{b} \cdot \hat{b}) + 9((\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b})$.
चूंकि $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{4}{9}$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$,और $(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot \hat{b} = 0$,इसलिए $\vec{c} \cdot \hat{b} = 3(\frac{4}{9}) + 6(1) + 0 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{22}{3}$.
अंत में,$9(\vec{c} \cdot \hat{a}) - 3(\vec{c} \cdot \hat{b}) = 9(\frac{17}{3}) - 3(\frac{22}{3}) = 3(17) - 22 = 51 - 22 = 29$.

(C) दिया गया है $\frac{|\vec{a}+\vec{b}|+|\vec{a}-\vec{b}|}{|\vec{a}+\vec{b}|-|\vec{a}-\vec{b}|}=\sqrt{2}+1$।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|}{|\vec{a}-\vec{b}|} = \frac{(\sqrt{2}+1)+1}{(\sqrt{2}+1)-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (1+\sqrt{2})^2 |\vec{a}-\vec{b}|^2$।
$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (3+2\sqrt{2}) |\vec{a}-\vec{b}|^2$।
माना $|\vec{a}| = |\vec{b}| = k$।
$2k^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = (3+2\sqrt{2})(2k^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b})$।
$2k^2$ से विभाजित करने पर:
$1 + \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2} = (3+2\sqrt{2})(1 - \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2})$।
माना $x = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{k^2}$।
$1+x = 3+2\sqrt{2} - (3+2\sqrt{2})x$।
$x(4+2\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}$।
$x = \frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अब,$\frac{|\vec{a}+\vec{b}|^2}{|\vec{a}|^2} = \frac{|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|^2} = 1 + 1 + 2x = 2 + 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 2+\sqrt{2}$।

(D) मान लीजिए सदिश $\vec{p}$,$\vec{a}$ और $\vec{b}$ के समतल में स्थित है। तब $\vec{p} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होगा।
चूंकि $\vec{p}$,$\vec{a}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{p} \cdot \vec{a} = 0$ होगा।
$(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{a} + \lambda (\vec{b} \cdot \vec{a}) = 0$.
दिया है $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 + 1^2 = 6$.
$\vec{b} \cdot \vec{a} = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(1) = 2 + 2 - 1 = 3$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $6 + \lambda(3) = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
अतः,$\vec{p} = (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) - 2(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -3\hat{i} + 3\hat{k}$.
इकाई सदिश $\hat{c}$ का मान $\pm \frac{\vec{p}}{|\vec{p}|} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{\sqrt{(-3)^2 + 3^2}} = \pm \frac{-3\hat{i} + 3\hat{k}}{3\sqrt{2}} = \pm \frac{-\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}}(-\hat{i} + \hat{k})$ है।

(C) किसी भी त्रिभुज में,केंद्रक $G$,लंबकेंद्र $H$ और परिकेंद्र $P$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,विभाजन सूत्र के अनुसार,केंद्रक का स्थिति सदिश $\bar{g} = \frac{1 \cdot \bar{h} + 2 \cdot \bar{p}}{1 + 2}$ द्वारा दिया जाता है।
यह $3 \bar{g} = \bar{h} + 2 \bar{p}$ में सरल हो जाता है,जिसे $2 \bar{p} + 1 \bar{h} - 3 \bar{g} = \overline{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए समीकरण $x \bar{p} + y \bar{h} + z \bar{g} = \overline{0}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2$,$y = 1$ और $z = -3$ प्राप्त होता है।

(C) चूँकि $\triangle ABC$,$A$ पर समकोण है,इसलिए सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ लंबवत हैं,अतः उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3-4)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (8-x)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} + (8-x)\hat{k}$
$\vec{AC} = (2-4)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-x)\hat{k} = -2\hat{i} - 3\hat{j} + (2-x)\hat{k}$
अब,अदिश गुणनफल की गणना करते हैं:
$(-1)(-2) + (-1)(-3) + (8-x)(2-x) = 0$
$2 + 3 + (16 - 8x - 2x + x^2) = 0$
$5 + 16 - 10x + x^2 = 0$
$x^2 - 10x + 21 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x-3)(x-7) = 0$
अतः,$x = 3$ या $x = 7$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही मान $3$ है।

(B) दिया गया है: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$.
शर्त के अनुसार,$\overline{b}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप = $\overline{c}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप।
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|}$
$\implies \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a}$
$\implies (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0$ ... $(i)$
साथ ही,$\overline{b}, \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
अब,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$ लें।
$(i)$ से,$\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$.
अतः,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$.
चूंकि $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 0 = 4 + 16 + 16 = 36$.
इसलिए,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(B) सबसे पहले,हम सदिश $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
सदिश $\overline{AB}$ का सदिश $\overline{CD}$ पर अदिश प्रक्षेप का सूत्र है:
$\text{Projection} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$
अदिश गुणनफल $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ की गणना करें:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
$\overline{CD}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overline{CD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
अतः,अदिश प्रक्षेप:
$\frac{-1}{7}$
नोट: प्रक्षेप का परिमाण $|\frac{-1}{7}| = \frac{1}{7}$ है।

(C) $\vec{a}$ पर $\vec{b}$ का सदिश प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र: $\left(\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}}{|\vec{a}|^2}\right) \vec{a}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{a} = (7)(3) + (-5)(2) + (-1)(5) = 21 - 10 - 5 = 6$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग: $|\vec{a}|^2 = 3^2 + 2^2 + 5^2 = 9 + 4 + 25 = 38$ ज्ञात करें।
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर:
सदिश प्रक्षेप = $\frac{6}{38} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}) = \frac{3}{19} (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$।

(B) दिए गए बिंदु $A=(-2,2,3), B=(3,2,2), C=(4,-3,5)$ और $D=(7,-5,-1)$ हैं।
सदिश $\overline{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (2 - 3)\hat{k} = 5\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश $\overline{CD} = (7 - 4)\hat{i} + (-5 - (-3))\hat{j} + (-1 - 5)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$ है।
सदिश $\overline{AB}$ का सदिश $\overline{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल ज्ञात करें: $\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (5)(3) + (0)(-2) + (-1)(-6) = 15 + 0 + 6 = 21$ है।
इसके बाद,$\overline{CD}$ का परिमाण ज्ञात करें: $|\overline{CD}| = \sqrt{(3)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,प्रक्षेप $\frac{21}{7} = 3$ है।

(A) $\overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ के समतल में कोई भी सदिश $\overrightarrow{r} = m\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\overrightarrow{r} = m(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (m+1)\hat{i} + (2m+1)\hat{j} + (-m-2)\hat{k}$.
$\overrightarrow{a}$ पर $\overrightarrow{r}$ का प्रक्षेप $\frac{|\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
$\overrightarrow{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,इसलिए $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{6}$.
$\overrightarrow{r} \cdot \overrightarrow{a} = 2(m+1) - (2m+1) + (-m-2) = -m - 1$.
अतः,$\frac{|-m-1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
$|-m-1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-m-1 = 2$ या $-m-1 = -2$.
यदि $-m-1 = 2$,तो $m = -3$. अतः $\overrightarrow{r} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + \hat{k}$.
यदि $-m-1 = -2$,तो $m = 1$. अतः $\overrightarrow{r} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,सही विकल्प $2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$ है।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$ और $\bar{r} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{b}$ हैं।
इसे $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$। अतः किसी अदिश $t$ के लिए $\bar{r} - \bar{b} = t\bar{a}$,इसलिए $\bar{r} = \bar{b} + t\bar{a}$।
इसी प्रकार,$\bar{r} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = 0$ का अर्थ है $(\bar{r} - \bar{a}) \times \bar{b} = 0$,इसलिए किसी अदिश $s$ के लिए $\bar{r} = \bar{a} + s\bar{b}$।
$\bar{r}$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\bar{b} + t\bar{a} = \bar{a} + s\bar{b}$।
$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\bar{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{i} + \hat{j}) + s(2\hat{i} - \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$i: 2 + t = 1 + 2s \implies t - 2s = -1$
$j: t = 1$
$k: -1 = -s \implies s = 1$
$t=1$ और $s=1$ को $\bar{r}$ के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = \bar{b} + 1\bar{a} = (2\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1, -1)$ है।

(A) दिया गया है कि $\triangle PQR$,$Q$ पर समकोण है।
इसलिए,सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य है: $\vec{QP} \cdot \vec{QR} = 0$.
सबसे पहले,सदिश $\vec{QP}$ और $\vec{QR}$ ज्ञात करें:
$\vec{QP} = (6-1, 10-0, 10-(-5)) = (5, 10, 15)$
$\vec{QR} = (6-1, -10-0, \lambda-(-5)) = (5, -10, \lambda+5)$
अब,अदिश गुणनफल की गणना करें:
$\vec{QP} \cdot \vec{QR} = (5)(5) + (10)(-10) + (15)(\lambda+5) = 0$
$25 - 100 + 15\lambda + 75 = 0$
$-75 + 15\lambda + 75 = 0$
$15\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $P$,$BC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7}$ है।
चूंकि $Q$,$CA$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}$ है।
माना $G$,$AP$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तब $\vec{g} = \frac{1\vec{a} + k\vec{p}}{k+1} = \frac{\vec{a} + k(\frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7})}{k+1} = \frac{7\vec{a} + 4k\vec{b} + 3k\vec{c}}{7(k+1)}$.
साथ ही,$G$,$BQ$ पर स्थित है,इसलिए $\vec{g} = \frac{m\vec{q} + 1\vec{b}}{m+1} = \frac{m(\frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}) + \vec{b}}{m+1} = \frac{5m\vec{a} + 8\vec{b} + 3m\vec{c}}{8(m+1)}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{7}{7(k+1)} = \frac{5m}{8(m+1)} \implies \frac{1}{k+1} = \frac{5m}{8(m+1)}$
$\frac{4k}{7(k+1)} = \frac{8}{8(m+1)} \implies \frac{4k}{7(k+1)} = \frac{1}{m+1}$
$\frac{3k}{7(k+1)} = \frac{3m}{8(m+1)} \implies \frac{k}{7(k+1)} = \frac{m}{8(m+1)}$
पहले और तीसरे समीकरण से,$\frac{1}{k+1} = 5 \times \frac{k}{7(k+1)} \implies 1 = \frac{5k}{7} \implies k = \frac{7}{5}$.
अतः,अनुपात $7:5$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि $\bar{a}+\bar{b}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\bar{a}+\bar{b}| = 1$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 1$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = 1$ मिलता है।
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1$.
$2 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि $\bar{c}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के साथ समतलीय है,हम $\bar{c} = x\bar{a} + y\bar{b}$ लिख सकते हैं,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2x + y)\hat{i} + (x + 2y)\hat{j} + (x - y)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\bar{c} \perp \bar{a}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ होगा।
$(2x + y)(2) + (x + 2y)(1) + (x - y)(1) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$\bar{c}$ के समीकरण में $y = -2x$ रखने पर:
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2x(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) = x(-3\hat{j} + 3\hat{k}) = 3x(-\hat{j} + \hat{k})$.
यदि $x = 1/3$ लिया जाए,तो $\bar{c} = -\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
$P$,$AC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{c}}{7}$।
$Q$,$BC$ को $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7}$।
$M$,$BP$ और $AQ$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\triangle ACQ$ के लिए मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग रेखा $B-M-P$ के साथ करने पर: $\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{QB}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$।
यहाँ $BQ:QC = 4:3$,इसलिए $QB:BC = 4:7$।
और $AP:PC = 3:4$,इसलिए $CP:PA = 4:3$।
अतः,$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{3} = 1$।
$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{16}{21} = 1 \implies \frac{AM}{MQ} = \frac{21}{16}$।
इस प्रकार,$M$,$AQ$ को $21:16$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(C) माना $\vec{a} = 4\hat{i}+7\hat{j}+8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle B$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $BA : BC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
लंबाई $BA$ और $BC$ की गणना करें:
$BA = |\vec{a} - \vec{b}| = |2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+16+16} = 6$.
$BC = |\vec{c} - \vec{b}| = |0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{0+4+9} = \sqrt{13}$.
बिंदु $D$,$AC$ को $6 : \sqrt{13}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{6\vec{c} + \sqrt{13}\vec{a}}{6+\sqrt{13}}$ है।
$\vec{d} = \frac{(12+4\sqrt{13})\hat{i} + (30+7\sqrt{13})\hat{j} + (42+8\sqrt{13})\hat{k}}{6+\sqrt{13}}$.

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में गणना की जा सकती है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{a} \times \bar{a}) + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| + |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$AB$ और $AD$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
यह दिया गया है कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,इसलिए $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
अतः,$\alpha = \frac{5}{2}$.

(A) मान लीजिए कि $\vec{r}$ और $\vec{s}$ क्रमशः बिंदु $R$ और $S$ के स्थिति सदिश हैं।
$2:3$ के अनुपात में आंतरिक विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{r} = \frac{2\vec{q} + 3\vec{p}}{2+3} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}$
$2:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{s} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{2-3} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{-1} = 3\vec{p} - 2\vec{q}$
चूंकि $\vec{OR}$ और $\vec{OS}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$\vec{r} \cdot \vec{s} = 0$
$\left(\frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}\right) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$(3\vec{p} + 2\vec{q}) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$9|\vec{p}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) + 6(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 4|\vec{q}|^2 = 0$
$9p^2 - 4q^2 = 0$
$9p^2 = 4q^2$

(A) चूंकि $\overline{a}$,$\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $\overline{b}$ और $\overline{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए।
मान लीजिए $\hat{b} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ और $\hat{c} = \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$.
सदिश $\overline{a}$ को किसी अदिश $k$ के लिए $\overline{a} = k(\hat{b} + \hat{c})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\overline{a} = k \left( \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
दिया गया है कि $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$,और $\beta = \frac{k}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$ से,हमें $k = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ और $\beta$ के समीकरणों में $k = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ और $\beta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=1$.

(A) स्थिति सदिश $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ है।
लंबाई $M = |\overline{OP}|$ इस प्रकार दी गई है:
$M^2 = |\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t|^2 = |\hat{a}|^2 \cos^2 t + |\hat{b}|^2 \sin^2 t + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin t \cos t$.
चूंकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t = 1 + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t$.
$M$ के अधिकतम होने के लिए,$\sin 2t = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2t = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{4}$.
तब $M = \sqrt{1 + \hat{a} \cdot \hat{b}}$.
$\overline{OP}$ की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|}$ है।
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\overline{OP} = \hat{a} \cos(\frac{\pi}{4}) + \hat{b} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$.
इस प्रकार,$\hat{u} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{|\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(D) दिया गया है कि $\overline{a}+2\overline{b}$,$\overline{c}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c}$ जहाँ $n$ एक शून्येतर अदिश है। $(i)$
इसी प्रकार,$\overline{b}+3\overline{c}$,$\overline{a}$ के साथ संरेख है,इसलिए $\overline{b}+3\overline{c} = m\overline{a}$ जहाँ $m$ एक शून्येतर अदिश है। (ii)
(ii) से,$\overline{b} = m\overline{a} - 3\overline{c}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $(i)$ में रखने पर: $\overline{a} + 2(m\overline{a} - 3\overline{c}) = n\overline{c}$ प्राप्त होता है।
यह $(1+2m)\overline{a} = (n+6)\overline{c}$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\overline{a}$ और $\overline{c}$ संरेख नहीं हैं,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $1+2m = 0 \Rightarrow m = -1/2$ और $n+6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
अब,व्यंजक $\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c}$ पर विचार करें।
$(i)$ से,$\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c} = -6\overline{c}$.
अतः,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c} = -6\overline{c} + 6\overline{c} = \overline{0}$.

(C) दिए गए सदिश $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ और $\bar{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ ज्ञात करते हैं:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
चूंकि $\bar{a}+\lambda \bar{b}$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(A) दिया गया है $\overline{OP} = \hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t$.
$M = |\overline{OP}| = \sqrt{(\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t)^2}$.
चूँकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ इकाई सदिश हैं,$|\hat{a}| = 1$ और $|\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \sin^2 t |\hat{a}|^2 + \cos^2 t |\hat{b}|^2 + 2 \sin t \cos t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = \sin^2 t + \cos^2 t + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b}) = 1 + \sin 2t (\hat{a} \cdot \hat{b})$.
$P$ के मूल बिंदु $O$ से सबसे दूर होने के लिए,$M$ का अधिकतम होना आवश्यक है।
चूँकि $\hat{a}$ और $\hat{b}$ न्यून कोण बनाते हैं,$\hat{a} \cdot \hat{b} > 0$.
अतः,$M$ अधिकतम होता है जब $\sin 2t = 1$,जिसका अर्थ है $2t = \frac{\pi}{2}$,अर्थात $t = \frac{\pi}{4}$.
$t = \frac{\pi}{4}$ पर,$\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$M = \sqrt{1 + 1(\hat{a} \cdot \hat{b})} = (1 + \hat{a} \cdot \hat{b})^{\frac{1}{2}}$.
$\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|} = \frac{\hat{a} \sin t + \hat{b} \cos t}{M} = \frac{\hat{a} \frac{1}{\sqrt{2}} + \hat{b} \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}} |\hat{a} + \hat{b}|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(D) दी गई शर्त के अनुसार,सदिश $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$,$\bar{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
सबसे पहले,$\bar{a}+\lambda \bar{b}$ की गणना करें:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) = (2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}$
अब,$\bar{c} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}$ के साथ अदिश गुणनफल करने पर:
$[(2+2\lambda) \hat{i} + (3+\lambda) \hat{j} + (2-\lambda) \hat{k}] \cdot (3 \hat{i} - \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$3(2+2\lambda) - 1(3+\lambda) + 0(2-\lambda) = 0$
$6 + 6\lambda - 3 - \lambda = 0$
$3 + 5\lambda = 0$
$5\lambda = -3$
$\lambda = \frac{-3}{5}$

(C) दिया गया है: $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$।
शर्त के अनुसार,$\overline{v}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप = $\overline{w}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप।
$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$
$\implies \overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$
$\implies (\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$।
अब,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}|^2 = |\overline{u} + (\overline{w} - \overline{v})|^2$ पर विचार करें।
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w} - \overline{v}|^2 + 2\overline{u} \cdot (\overline{w} - \overline{v})$।
चूंकि $(\overline{w} - \overline{v}) \cdot \overline{u} = 0$,इसलिए अंतिम पद $0$ होगा।
$= |\overline{u}|^2 + |\overline{w}|^2 + |\overline{v}|^2 - 2(\overline{w} \cdot \overline{v})$।
चूंकि $\overline{v}$ और $\overline{w}$ लंबवत हैं,$\overline{w} \cdot \overline{v} = 0$।
$= (1)^2 + (3)^2 + (2)^2 - 0 = 1 + 9 + 4 = 14$।
अतः,$|\overline{u} - \overline{v} + \overline{w}| = \sqrt{14}$।

(D) दिया गया है $|\overline{b}|=4, |\overline{c}|=1$ और $|\overline{b} \times \overline{c}|=\sqrt{15}$।
माना $\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच का कोण $\alpha$ है।
$|\overline{b} \times \overline{c}| = |\overline{b}||\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$।
$4 \times 1 \times \sin \alpha = \sqrt{15} \implies \sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$।
तब,$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \implies \cos \alpha = \frac{1}{4}$।
दिया गया है $\overline{b} = 2\overline{c} + \lambda \overline{a}$,अतः $\overline{b} - 2\overline{c} = \lambda \overline{a}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|\overline{b} - 2\overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$।
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(|\overline{b}||\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$।
$16 + 4(1) - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2 (2)^2$।
$16 + 4 - 4 = 4\lambda^2$।
$16 = 4\lambda^2 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$। विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $4$ है।