Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(B) સદિશ $\vec{v} = p \hat{i} + q \hat{j} + r \hat{k}$ ના યામ અક્ષો પરના પ્રક્ષેપો તેના ઘટકોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો છે.
$x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|p| = |4| = 4$ છે.
$y$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|q| = |-5| = 5$ છે.
$z$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ $|r| = |7| = 7$ છે.
આ પ્રક્ષેપોની લંબાઈનો સરવાળો $|p| + |q| + |r| = 4 + 5 + 7 = 16 \text{ એકમ}$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2 \vec{a} + 3 \vec{b} - 5 \vec{c} = \vec{0}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $2 \vec{a} + 3 \vec{b} = 5 \vec{c}$ મળે છે.
$5$ વડે ભાગતા,$\vec{c} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{5} = \frac{2 \vec{a} + 3 \vec{b}}{2 + 3}$ મળે છે.
આ અંતઃવિભાજન માટેના વિભાજન સૂત્ર $\vec{r} = \frac{m \vec{b} + n \vec{a}}{m + n}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં બિંદુ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
અહીં,$m = 3$ અને $n = 2$ છે.
તેથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = (1\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k})$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z - (-1))\hat{k} = (x - 1)\hat{i} + (y - 2)\hat{j} + (z + 1)\hat{k}$.
આપણને $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ આપેલ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3$
$y - 2 = 3 \Rightarrow y = 5$
$z + 1 = -1 \Rightarrow z = -2$
તેથી,$B$ ના યામ $(3, 5, -2)$ છે.

(A) ધારો કે $\overline{r} = x \overline{a} + y \overline{b}$.
આપેલ સદિશોને મૂકતા:
$-4 \hat{i} - 6 \hat{j} - 2 \hat{k} = x(-\hat{i} - 4 \hat{j} + 3 \hat{k}) + y(-8 \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k})$
$= (-x - 8y) \hat{i} + (-4x - y) \hat{j} + (3x + 3y) \hat{k}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$(1)$ $-x - 8y = -4$
$(2)$ $-4x - y = -6$
$(3)$ $3x + 3y = -2$
$(3)$ પરથી,$x + y = -\frac{2}{3}$,તેથી $y = -\frac{2}{3} - x$.
$y$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $-x - 8(-\frac{2}{3} - x) = -4 \implies -x + \frac{16}{3} + 8x = -4 \implies 7x = -4 - \frac{16}{3} = -\frac{28}{3} \implies x = -\frac{4}{3}$.
તેથી $y = -\frac{2}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{2}{3}$.
આમ,$\overline{r} = -\frac{4}{3} \overline{a} + \frac{2}{3} \overline{b}$.

(D) ધારો કે $P, Q, R, S, M, N$ બિંદુઓના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{PS} + \vec{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q}) = (\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
$N$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{PS} + \vec{QR} = 2\vec{n} - 2\vec{m} = 2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\vec{MN}$.
આમ,$\vec{PS} + \vec{QR} = t \vec{MN}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $t = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $AD$ એ ખૂણા $A$ નો દ્વિભાજક છે,જે $BC$ ને $AB : AC$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (0-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 0 + 16} = 5$.
$AC = \sqrt{(0-3)^2 + (5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 5 : 5\sqrt{2} = 1 : \sqrt{2}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,બિંદુ $D$ એ $BC$ ને $1 : \sqrt{2}$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
$D$ નો સ્થાન સદિશ = $\frac{\sqrt{2}\vec{B} + 1\vec{C}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(0\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) + 1(0\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k})}{1 + \sqrt{2}} = \frac{5\hat{j} + (4\sqrt{2} + 4)\hat{k}}{1 + \sqrt{2}}$.
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,મૂળ પ્રશ્નમાં ગુણોત્તર $1:2$ લેવામાં આવ્યો હોય તેમ જણાય છે,જે મુજબ વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$ અને $C(x_3, y_3, z_3)$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right)$
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A(1, 2, 3)$,$B(1, 0, 3)$ અને $C(4, 1, -3)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$G = \left( \frac{1 + 1 + 4}{3}, \frac{2 + 0 + 1}{3}, \frac{3 + 3 - 3}{3} \right)$
$G = \left( \frac{6}{3}, \frac{3}{3}, \frac{3}{3} \right)$
$G = (2, 1, 1)$
તેથી,મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.

(C) બિંદુઓ $P(4, 5, x)$,$Q(3, y, 4)$ અને $R(5, 8, 0)$ સમરેખ છે.
તેથી,સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{PR}$ ના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
$\vec{PQ} = (3-4)\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = -\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k}$.
$\vec{PR} = (5-4)\hat{i} + (8-5)\hat{j} + (0-x)\hat{k} = \hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k}$.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,કોઈ અદિશ $k$ માટે $\vec{PQ} = k \vec{PR}$ થાય.
$-\hat{i} + (y-5)\hat{j} + (4-x)\hat{k} = k(\hat{i} + 3\hat{j} - x\hat{k})$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$1) -1 = k \Rightarrow k = -1$.
$2) y - 5 = 3k \Rightarrow y - 5 = 3(-1) \Rightarrow y - 5 = -3 \Rightarrow y = 2$.
$3) 4 - x = -kx \Rightarrow 4 - x = -(-1)x \Rightarrow 4 - x = x \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
આમ,$x + y = 2 + 2 = 4$.

(C) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ સમરેખ હોય જો કોઈ અદિશ $x$ માટે $\vec{a} = x \vec{b}$ થાય.
આપેલ છે કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + p \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + q \hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા:
$2 = 6x \Rightarrow x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
$p = -9x \Rightarrow p = -9 \times \frac{1}{3} = -3$.
$4 = qx \Rightarrow 4 = q \times \frac{1}{3} \Rightarrow q = 4 \times 3 = 12$.
આમ,$p = -3$ અને $q = 12$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{a}=x \vec{b}+y \vec{c}$.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$4 \hat{i}+13 \hat{j}-18 \hat{k} = x(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + y(2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k})$
$= (x+2y) \hat{i} + (-2x+3y) \hat{j} + (3x-4y) \hat{k}$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને સમીકરણો મળે છે:
$1) x + 2y = 4$
$2) -2x + 3y = 13$
$3) 3x - 4y = -18$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$x = 4 - 2y$.
આ કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$-2(4 - 2y) + 3y = 13$
$-8 + 4y + 3y = 13$
$7y = 21 \Rightarrow y = 3$.
હવે,$y = 3$ ની કિંમત $x = 4 - 2y$ માં મૂકતા:
$x = 4 - 2(3) = 4 - 6 = -2$.
સમીકરણ $(3)$ માં ચકાસણી કરતા:
$3(-2) - 4(3) = -6 - 12 = -18$ (ચકાસાયેલ છે).
આમ,$x = -2$ અને $y = 3$.
તેથી,$x+y = -2 + 3 = 1$.

(B) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{AC} = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{AD} = 4 \hat{i} + 3 \hat{k}$.
મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે:
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ અને $\vec{b} = y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ એ બે સમરેખ સદિશો છે.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,એક અદિશ $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{a} = m\vec{b}$ થાય.
ઘટકોને સરખાવતા: $\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k} = m(y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k})$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1 = my$
$2 = 6m \Rightarrow m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x = 4m$
$m = \frac{1}{3}$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મુકતા:
$x = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$1 = \frac{1}{3}y \Rightarrow y = 3$
આમ,$x = \frac{4}{3}$ અને $y = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+9\hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ એ સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,અને $\vec{AC}$ ના માન છે.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $= |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{AC}| = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$ એકમ.

(B) ધારો કે $A, B, C, D, M, N$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
$M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \implies \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{m}$
$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{c} + \vec{d} = 2\vec{n}$
આપણને સમીકરણ આપેલું છે: $\vec{AD} + \vec{BC} = t \vec{MN}$
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં સદિશોને દર્શાવતા:
$(\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(\vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
સ્થાન સદિશોના સરવાળા માટેના પદો મૂકતા:
$2\vec{n} - 2\vec{m} = t(\vec{n} - \vec{m})$
$2(\vec{n} - \vec{m}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $t = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે.
તેથી,$\overline{OA} = \vec{a}, \overline{OB} = \vec{b}, \overline{OC} = \vec{c}$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overline{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \overline{OG}$.
હવે,આપણે પદાવલિ $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \overline{OG}$.
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3 \overline{OG} + \overline{OG} = 4 \overline{OG}$.

(B) કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ અસમરેખ સદિશો છે,બે સદિશો $\bar{p} = m_1\bar{a} + n_1\bar{b}$ અને $\bar{q} = m_2\bar{a} + n_2\bar{b}$ સમરેખ હોય જો અને માત્ર જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = k$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = (2x + 1)\bar{a} - 1\bar{b}$ અને $\bar{q} = (x - 2)\bar{a} + 1\bar{b}$.
સમરેખતા માટે:
$\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{-1}{1}$
$2x + 1 = -(x - 2)$
$2x + 1 = -x + 2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\overline{a}$,$\overline{b}$,અને $\overline{c}$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overline{g} = \frac{\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}}{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$\overline{g} = \frac{(2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + \hat{k}) + (4 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) + (6 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 5 \hat{k})}{3}$
ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$\overline{g} = \frac{(2+4+6) \hat{\imath} + (3+5+1) \hat{\jmath} + (1+3+5) \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = \frac{12 \hat{\imath} + 9 \hat{\jmath} + 9 \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = 4 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\bar{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$,$\bar{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,અને $\bar{c} = 4\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
સંબંધ $\bar{c} = t_{1}\bar{a} + t_{2}\bar{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4\hat{i} + 2\hat{j} = t_{1}(\hat{i} + 3\hat{j}) + t_{2}(2\hat{i} + 5\hat{j})$
$4\hat{i} + 2\hat{j} = (t_{1} + 2t_{2})\hat{i} + (3t_{1} + 5t_{2})\hat{j}$
$\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
$t_{1} + 2t_{2} = 4$ --- $(1)$
$3t_{1} + 5t_{2} = 2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3t_{1} + 6t_{2} = 12$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(3t_{1} + 6t_{2}) - (3t_{1} + 5t_{2}) = 12 - 2$
$t_{2} = 10$
$t_{2} = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $t_{1} + 2(10) = 4$
$t_{1} + 20 = 4 \implies t_{1} = -16$
તેથી,$t_{1}t_{2} = (-16)(10) = -160$.

(C) આપેલ સમીકરણ $l \bar{a} + m \bar{b} + n \bar{c} = \overline{0}$ છે.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા: $l(\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}) + m(2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} + 2\hat{k}) + n(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 2\hat{k}) = 0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 0\hat{k}$.
ઘટકોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$l + 2m + 2n = 0$ $(i)$
$l - 2m + 3n = 0$ (ii)
$l + 2m + 2n = 0$ (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) સમાન છે. સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(l + 2m + 2n) - (l - 2m + 3n) = 0$
$4m - n = 0 \implies n = 4m$.
$n = 4m$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$l + 2m + 2(4m) = 0 \implies l + 10m = 0 \implies l = -10m$.
જો $m = -1$ લઈએ,તો $l = 10$ અને $n = -4$ મળે.
આમ,કિંમતો $(10, -1, -4)$ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} = k$.
આપેલ સદિશો $x \hat{i}-3 \hat{j}+7 \hat{k}$ અને $\hat{i}+y \hat{j}-z \hat{k}$ છે.
તેથી,$\frac{x}{1} = \frac{-3}{y} = \frac{7}{-z} = k$.
આના પરથી,આપણને $x = k$,$y = -\frac{3}{k}$,અને $z = -\frac{7}{k}$ મળે છે.
હવે,આ કિંમતોને $\frac{x y^2}{z}$ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{x y^2}{z} = \frac{k \cdot (-\frac{3}{k})^2}{-\frac{7}{k}} = \frac{k \cdot \frac{9}{k^2}}{-\frac{7}{k}} = \frac{\frac{9}{k}}{-\frac{7}{k}} = -\frac{9}{7}$.

(C) આપેલ છે કે બિંદુઓ $L$ અને $M$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{l} = 2\vec{a} - \vec{b}$ અને $\vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b}$ છે.
બિંદુ $N$ એ રેખાખંડ $LM$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બહારની તરફ વિભાજન કરતા બિંદુના સ્થાન સદિશનું સૂત્ર $\vec{n} = \frac{m\vec{m} - n\vec{l}}{m - n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{n} = \frac{2(\vec{a} + 2\vec{b}) - 1(2\vec{a} - \vec{b})}{2 - 1}$
$\vec{n} = \frac{2\vec{a} + 4\vec{b} - 2\vec{a} + \vec{b}}{1}$
$\vec{n} = 5\vec{b}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P, Q, R, S, M, N$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{m} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{p} + \vec{q} = 2\vec{m}$.
$N$ એ $RS$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\vec{n} = \frac{\vec{r} + \vec{s}}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{r} + \vec{s} = 2\vec{n}$.
હવે,$\overrightarrow{PS} + \overrightarrow{QR} = (\vec{s} - \vec{p}) + (\vec{r} - \vec{q})$ લો.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(\vec{s} + \vec{r}) - (\vec{p} + \vec{q})$ મળે છે.
મધ્યબિંદુઓ પરથી મેળવેલી કિંમતો મૂકતા,આપણને $2\vec{n} - 2\vec{m}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $2(\vec{n} - \vec{m}) = 2\overrightarrow{MN}$ થાય છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ છે.
$M$ એ વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ છે.
$N$ એ વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ છે.
હવે,પદાવલિ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD}$ ને ધ્યાનમાં લો:
$= (\vec{b} - \vec{a}) + (\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{d} - \vec{c})$
$= 2\vec{b} + 2\vec{d} - 2\vec{a} - 2\vec{c}$
$= 2[(\vec{b} + \vec{d}) - (\vec{a} + \vec{c})]$
$= 4 \left[ \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} - \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} \right]$
$= 4(\vec{n} - \vec{m})$
$= 4 \overrightarrow{MN}$

(C) આપેલ છે કે $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = m(\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + n(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 0 \hat{j} - \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (m - n) \hat{j} + (-2m + n) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \text{ અને } \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m + 2n = 3 \quad (i)$
$m - n = 0 \quad (ii)$
$-2m + n = -1 \quad (iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$m = n$ મળે છે.
$m = n$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$m + 2m = 3 \Rightarrow 3m = 3 \Rightarrow m = 1$.
તેથી $n = 1$ મળે.
આમ,$m + n = 1 + 1 = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b} - 5 \overrightarrow{c} = \overrightarrow{0}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $5 \overrightarrow{c} = 2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{5}$
કારણ કે $2 + 3 = 5$,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ: $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$
આ અંતઃવિભાજન માટેનું વિભાજન સૂત્ર છે,જે જણાવે છે કે જો બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે,તો તેનો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૂત્ર $\overrightarrow{c} = \frac{n \overrightarrow{a} + m \overrightarrow{b}}{m + n}$ સાથે $\overrightarrow{c} = \frac{2 \overrightarrow{a} + 3 \overrightarrow{b}}{2 + 3}$ ની સરખામણી કરતા,આપણે $n = 2$ અને $m = 3$ મેળવીએ છીએ.
તેથી,બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $m:n = 3:2$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે $\overrightarrow{p} = x \overrightarrow{a} + y \overrightarrow{b} + z \overrightarrow{c}$.
સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j}) + y(\hat{j} + \hat{k}) + z(\hat{i} + \hat{k})$
$3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k} = (x + z) \hat{i} + (x + y) \hat{j} + (y + z) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x + z = 3$ $(i)$
$x + y = 2$ $(ii)$
$y + z = 4$ $(iii)$
$(i), (ii),$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2(x + y + z) = 3 + 2 + 4 = 9 \Rightarrow x + y + z = 4.5$
સરવાળામાંથી $(iii)$ બાદ કરતા: $x = 4.5 - 4 = 0.5 = \frac{1}{2}$
સરવાળામાંથી $(i)$ બાદ કરતા: $y = 4.5 - 3 = 1.5 = \frac{3}{2}$
સરવાળામાંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $z = 4.5 - 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$
આમ,$x = \frac{1}{2}, y = \frac{3}{2}, z = \frac{5}{2}$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે. રેખા $L_1$ એ $A = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c}$ અને $B = -4 \overrightarrow{c}$ માંથી પસાર થાય છે. $L_1$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{d_1} = B - A = -6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}$ છે. $L_1$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c})$ ... $(i)$ છે.
રેખા $L_2$ એ $C = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c}$ અને $D = \overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}-5 \overrightarrow{c}$ માંથી પસાર થાય છે. $L_2$ નો દિશા સદિશ $\overrightarrow{d_2} = D - C = 2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c}$ છે. $L_2$ નું સમીકરણ $\overrightarrow{r} = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$ ... $(ii)$ છે.
$\overrightarrow{r}$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} + m(-6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c}) = -\overrightarrow{a}-2 \overrightarrow{b}-3 \overrightarrow{c} + n(2 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-2 \overrightarrow{c})$
$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$6 - 6m = -1 + 2n \implies 6m + 2n = 7$ ... $(iii)$
$-4 + 4m = -2 + 4n \implies 4m - 4n = 2 \implies 2m - 2n = 1$ ... $(iv)$
$4 - 8m = -3 - 2n \implies 8m - 2n = 7$ ... $(v)$
$(iii)$ અને $(iv)$ નો સરવાળો કરતા: $8m = 8 \implies m = 1$. $(iv)$ માં $m=1$ મૂકતા: $2(1) - 2n = 1 \implies 2n = 1 \implies n = 1/2$. $(v)$ માં ચકાસતા: $8(1) - 2(1/2) = 8 - 1 = 7$. કિંમતો સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
$(i)$ માં $m=1$ મૂકતા: $\overrightarrow{r} = 6 \overrightarrow{a}-4 \overrightarrow{b}+4 \overrightarrow{c} - 6 \overrightarrow{a}+4 \overrightarrow{b}-8 \overrightarrow{c} = -4 \overrightarrow{c}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બે સદિશોના તફાવતનું માન નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b})}$
અહીં આપેલ છે કે $|\bar{a}| = 3$,$|\bar{b}| = 2$,અને $\bar{a} \cdot \bar{b} = 5$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 - 2(5)}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{9 + 4 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{13 - 10}$
$|\bar{a}-\bar{b}| = \sqrt{3}$

(C) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$.
સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{a}$ ને સમરેખ હોવાથી,આપણે $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
$\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{b}| = 14$,તેથી સદિશ $\vec{b} = \pm |\vec{b}| \hat{a}$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
ધન દિશા લેતા,$\vec{b} = 14 \left( \frac{2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}}{7} \right) = 2(2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}) = 4 \hat{i}-6 \hat{j}+12 \hat{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{e}_1, \overline{e}_2$ અને $\overline{e}_1+\overline{e}_2$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overline{e}_1| = 1$,$|\overline{e}_2| = 1$,અને $|\overline{e}_1+\overline{e}_2| = 1$ થાય.
સદિશોના સરવાળાના માનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2(\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2)$
જ્યાં $\overline{e}_1 \cdot \overline{e}_2 = |\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$ અને $\theta$ એ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$|\overline{e}_1+\overline{e}_2|^2 = |\overline{e}_1|^2 + |\overline{e}_2|^2 + 2|\overline{e}_1||\overline{e}_2| \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$1^2 = 1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos \theta$
$1 = 1 + 1 + 2 \cos \theta$
$1 = 2 + 2 \cos \theta$
$-1 = 2 \cos \theta$
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = 120^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે: $|\bar{a}+\bar{b}|^2 + |\bar{a}-\bar{b}|^2 = 2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2)$.
આપેલ છે કે $|\bar{a}|=3$,$|\bar{b}|=4$,અને $|\bar{a}-\bar{b}|=5$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + (5)^2 = 2((3)^2 + (4)^2)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(9 + 16)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 2(25)$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 + 25 = 50$
$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 50 - 25 = 25$
$|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{25} = 5$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,એકમ સદિશ એ એવો સદિશ છે જેનું માન $1$ હોય છે.
અહીં $\vec{c}$ એ $(\vec{a} + \vec{b})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,તેથી વ્યાખ્યા મુજબ તેનું માન $1$ જ થાય.
તેથી,$|\vec{c}| = 1$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી દિશાઓમાં એકમ સદિશો શોધો:
ધારો કે $\vec{a} = (2, -2, 1)$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{1}{3}(2, -2, 1)$ છે.
$\vec{x}$ નું મૂલ્ય $6$ હોવાથી,$\vec{x} = 6 \hat{a} = 2(2, -2, 1) = (4, -4, 2)$.
ધારો કે $\vec{b} = (1, 1, -1)$. તેનું મૂલ્ય $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ છે.
$\vec{y}$ નું મૂલ્ય $\sqrt{3}$ હોવાથી,$\vec{y} = \sqrt{3} \hat{b} = (1, 1, -1)$.
હવે,$\vec{x} + 2\vec{y}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{x} + 2\vec{y} = (4, -4, 2) + 2(1, 1, -1) = (4+2, -4+2, 2-2) = (6, -2, 0)$.
છેલ્લે,મૂલ્ય $|\vec{x} + 2\vec{y}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4 + 0} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધીએ:
$|\vec{a}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
સદિશ $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ ના દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ એ $\frac{x}{|\vec{a}|}, \frac{y}{|\vec{a}|}, \frac{z}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$l = \frac{1}{\sqrt{14}}$,$m = \frac{-2}{\sqrt{14}}$,$n = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{-2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}$ છે.

(D) ધારો કે $\vec{r}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો પરિણામી સદિશ છે.
$\vec{r} = \vec{a} + \vec{b} = (2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) + (\hat{i} - 2\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
$\vec{r}$ નું માન $|\vec{r}| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$ છે.
$\vec{r}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{r} = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} = \frac{3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{14}}$ છે.
$\vec{r}$ ને સમાંતર $5$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $5\hat{r} = \frac{5}{\sqrt{14}}(3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = \frac{15}{\sqrt{14}}\hat{i} + \frac{5}{\sqrt{14}}\hat{j} - \frac{10}{\sqrt{14}}\hat{k}$ થાય.

(B) પગલું $1$: સદિશ $\vec{a} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}$ નું માન શોધો.
$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 9 + 4} = \sqrt{29}$.
પગલું $2$: $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a}$ શોધો.
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}}$.
પગલું $3$: $\vec{a}$ ની દિશામાં $2 \sqrt{29}$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $2 \sqrt{29} \times \hat{a}$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ $= 2 \sqrt{29} \times \left( \frac{4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}}{\sqrt{29}} \right) = 2(4 \hat{i} + 3 \hat{j} - 2 \hat{k}) = 8 \hat{i} + 6 \hat{j} - 4 \hat{k}$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કાર્ટેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં એકમ સદિશોના ગુણધર્મો:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) + \hat{i} \cdot (\hat{j} \times \hat{k}) = \hat{k} \cdot \hat{k} + \hat{i} \cdot \hat{i}$
એકમ સદિશનો પોતાની સાથેનો ડોટ ગુણાકાર $1$ હોવાથી:
$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$
$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$
તેથી,$1 + 1 = 2$.
જો પ્રશ્નમાં $\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j})$ હોય,તો $1 - 1 = 0$ મળે. વિકલ્પો જોતા સાચો જવાબ $0$ છે.

(A) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{a} = 5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 1 + 4} = \sqrt{30}$.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}}$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં $8$ એકમ માન ધરાવતો સદિશ $8 \hat{a} = 8 \times \left( \frac{5 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}}{\sqrt{30}} \right) = \frac{40}{\sqrt{30}} \hat{i} - \frac{8}{\sqrt{30}} \hat{j} + \frac{16}{\sqrt{30}} \hat{k}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર: $\text{Projection} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}$ અને $\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0$ ગણો.
અહીં અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{0}{|\vec{b}|} = 0$ થશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશોનો સરવાળો શોધો: $\vec{a} + \vec{b} = (2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + (-\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = (2-1) \hat{i} + (-1+1) \hat{j} + (2-1) \hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$.
ત્યારબાદ,પરિણામી સદિશનું માન શોધો: $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.
$\vec{a} + \vec{b}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{|\vec{a} + \vec{b}|} = \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
$\sqrt{2}$ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $\sqrt{2} \times \hat{u} = \sqrt{2} \times \frac{\hat{i} + \hat{k}}{\sqrt{2}} = \hat{i} + \hat{k}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો સદિશ $\vec{b}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધવાનું સૂત્ર $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}$ છે.
એકમ સદિશ $\hat{b} = \hat{i}$ છે.
$\vec{a}$ નો $\hat{i}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\vec{a} \cdot \hat{i} = (-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) \cdot \hat{i} = -1$ થાય.
પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય (magnitude) એ અદિશ પ્રક્ષેપનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય છે.
મૂલ્ય $= |-1| = 1$.

(B) $\vec{x} = (2, 3, \sqrt{3})$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{x}$ શોધવા માટે,આપણે $\hat{x} = \frac{\vec{x}}{|\vec{x}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,માન $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (\sqrt{3})^2}$ ની ગણતરી કરો.
$|\vec{x}| = \sqrt{4 + 9 + 3} = \sqrt{16} = 4$.
હવે,$\vec{x}$ ના દરેક ઘટકને માન $4$ વડે ભાગો:
$\hat{x} = \left(\frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) સદિશના દિકકોસાઇન $l = \frac{2}{3}$,$m = -\frac{1}{3}$,અને $n = \frac{2}{3}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{V}|$ માન અને $(l, m, n)$ દિકકોસાઇન ધરાવતો સદિશ $\vec{V} = |\vec{V}|(l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં સદિશનું માન $|\vec{V}| = 3$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{V} = 3 \left( \frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k} \right)$
$\vec{V} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
તેથી $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ એ અનુક્રમે શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો દર્શાવે છે.
ધારો કે $M$ એ બાજુ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલા સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\vec{AM} = \frac{(3\hat{i} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k})}{2}$
$\vec{AM} = \frac{(3+5)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (4+4)\hat{k}}{2}$
$\vec{AM} = \frac{8\hat{i} - 2\hat{j} + 8\hat{k}}{2} = 4\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AM}$ નું માન છે:
$|\vec{AM}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\vec{AM}| = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33}$.

(A) આપેલ છે કે સદિશ $x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ એક એકમ સદિશ છે,તેથી તેનું માન $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$|x(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})| = 1$.
ગુણધર્મ $|k\vec{a}| = |k| |\vec{a}|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|x| |\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}| = 1$.
સદિશ $(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ નું માન $\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $|x| \sqrt{3} = 1$ મળે છે.
તેથી,$|x| = \frac{1}{\sqrt{3}}$,જેનો અર્થ છે કે $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) ધારો કે સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો $\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ વિકર્ણ: $\vec{d_1} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) + (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = 3\hat{i}-2\hat{j}$.
પ્રથમ વિકર્ણની લંબાઈ: $|\vec{d_1}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
બીજો વિકર્ણ: $\vec{d_2} = (\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}) - (2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}) = -\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$.
બીજા વિકર્ણની લંબાઈ: $|\vec{d_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21}$.
આમ,વિકર્ણોની લંબાઈ $\sqrt{13}$ અને $\sqrt{21}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\overrightarrow{a}$ અને $\overrightarrow{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\overrightarrow{a}| = 1$ અને $|\overrightarrow{b}| = 1$.
આપણને $|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}| = 1$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}|^2 = 1^2$.
ગુણધર્મ $|\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}|^2 = |\overrightarrow{x}|^2 + |\overrightarrow{y}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1$.
$2 + 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = 1 \Rightarrow 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}) = -1$.
હવે,આપણે $|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|$ શોધવાનું છે.
$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = |\overrightarrow{a}|^2 + |\overrightarrow{b}|^2 - 2(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b})$.
કિંમતો મૂકતા,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}|^2 = 1^2 + 1^2 - (-1) = 1 + 1 + 1 = 3$.
તેથી,$|\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}| = \sqrt{3}$.

(A) વિધાન $(I)$ : બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ નો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $|\vec{a}|=0$ અથવા $|\vec{b}|=0$ હોય,તો $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \times |\vec{b}| \cos \theta = 0$ અથવા $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \times 0 \times \cos \theta = 0$ થાય. તેથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વિધાન $(II)$ : બે સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta \hat{n}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ હોય,તો $\sin \theta = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0$ અથવા $\theta = \pi$. આનો અર્થ એ છે કે સદિશો સમાંતર અથવા સમરેખ છે,લંબ નથી. તેથી,વિધાન $(II)$ ખોટું છે.