Basic , Modulus and Algebra of vectors Questions in Gujarati

(B) આપેલ સમીકરણ: $\left(\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{4} + \frac{a_3}{8}\right)^2 = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{a_1^2}{4} + \frac{a_2^2}{16} + \frac{a_3^2}{64} + \frac{a_1 a_2}{4} + \frac{a_2 a_3}{16} + \frac{a_3 a_1}{8} = \frac{a_1^2}{2} + \frac{a_2^2}{4} + \frac{a_3^2}{8}$.
છેદ દૂર કરવા માટે $64$ વડે ગુણતા: $16a_1^2 + 4a_2^2 + a_3^2 + 16a_1 a_2 + 4a_2 a_3 + 8a_3 a_1 = 32a_1^2 + 16a_2^2 + 8a_3^2$.
પદોને ગોઠવતા: $16a_1^2 + 12a_2^2 + 7a_3^2 - 16a_1 a_2 - 4a_2 a_3 - 8a_3 a_1 = 0$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $8(a_1 - a_2)^2 + (2a_2 - a_3)^2 + 2(a_3 - 2a_1)^2 + 4a_3^2 = 0$.
વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ: $a_1 - a_2 = 0$,$2a_2 - a_3 = 0$,$a_3 - 2a_1 = 0$,અને $a_3 = 0$.
આ સૂચવે છે કે $a_1 = a_2 = a_3 = 0$.
આમ,ગણ $A$ માં બરાબર એક ઘટક છે,જે શૂન્ય સદિશ $(0, 0, 0)$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|\vec{v} - \hat{i}| = |\vec{v} - 2\hat{j}| = |\vec{v} - \hat{j}|$.
ધારો કે $\vec{v} = x\hat{i} + y\hat{j}$. બિંદુઓ $A(1, 0)$,$B(0, 2)$,અને $C(0, 1)$ છે.
કારણ કે $\vec{v}$ એ $A, B$,અને $C$ થી સમાન અંતરે છે,તે $\triangle ABC$ નું પરિકેન્દ્ર છે.
વર્ગ કરેલા અંતરોને સરખાવતા:
$|\vec{v} - \hat{i}|^2 = |\vec{v} - \hat{j}|^2 \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y-1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \Rightarrow x = y$.
$|\vec{v} - \hat{j}|^2 = |\vec{v} - 2\hat{j}|^2$ ને સરખાવતા:
$x^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-2)^2$
$y^2 - 2y + 1 = y^2 - 4y + 4 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
$x = y$ હોવાથી,$x = \frac{3}{2}$ મળે.
આમ,$\vec{v} = \frac{3}{2}\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{18}{4}} = \sqrt{4.5} \approx 2.12$.
$2 < 2.12 \leq 3$ હોવાથી,$|\vec{v}|$ એ $(2, 3]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. ધારો કે ઉગમબિંદુ પરિકેન્દ્ર $O$ પર છે,તેથી $\vec{O} = \vec{0}$.
ત્યારે લંબકેન્દ્ર $H$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{H} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ છે.
આપણે $\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = (\vec{a} - \vec{H}) + (\vec{b} - \vec{H}) + (\vec{c} - \vec{H})$
$= (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - 3\vec{H}$
$= \vec{H} - 3\vec{H}$
$= -2\vec{H}$
કારણ કે $\vec{O} = \vec{0}$,$\vec{HO} = \vec{O} - \vec{H} = -\vec{H}$.
તેથી,$-2\vec{H} = 2(-\vec{H}) = 2\vec{HO}$.
આમ,$\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC} = 2\vec{HO}$.

(B) આપેલ સદિશો $a = 3 \hat{i} - 4 \hat{k}$ અને $b = 5 \hat{j} + 12 \hat{k}$ છે.
સદિશોના માન:
$|a| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
$|b| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13$
$a$ અને $b$ ની દિશામાં એકમ સદિશો $\hat{a} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5}$ અને $\hat{b} = \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13}$ છે.
ખૂણાને દુભાગતો સદિશ $\hat{a} + \hat{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\hat{a} + \hat{b} = \frac{3 \hat{i} - 4 \hat{k}}{5} + \frac{5 \hat{j} + 12 \hat{k}}{13} = \frac{39 \hat{i} - 52 \hat{k} + 25 \hat{j} + 60 \hat{k}}{65} = \frac{39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}}{65}$
આમ,માંગેલ સદિશ $39 \hat{i} + 25 \hat{j} + 8 \hat{k}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(\alpha, 10, 13)$,$B(6, 11, 11)$,અને $C(\frac{9}{2}, \beta, -8)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ.
$\vec{AB} = (6 - \alpha) \hat{i} + (11 - 10) \hat{j} + (11 - 13) \hat{k} = (6 - \alpha) \hat{i} + 1 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\vec{BC} = (\frac{9}{2} - 6) \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} + (-8 - 11) \hat{k} = -\frac{3}{2} \hat{i} + (\beta - 11) \hat{j} - 19 \hat{k}$.
$\vec{AB} = k \vec{BC}$ હોવાથી:
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{1}{\beta - 11} = \frac{-2}{-19} = \frac{2}{19}$.
$\frac{1}{\beta - 11} = \frac{2}{19}$ પરથી,$2(\beta - 11) = 19 \implies 2\beta - 22 = 19 \implies 2\beta = 41$.
$\frac{6 - \alpha}{-3/2} = \frac{2}{19}$ પરથી,$6 - \alpha = \frac{2}{19} \times (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{19} \implies \alpha = 6 + \frac{3}{19} = \frac{117}{19}$.
હવે,$(19 \alpha - 6 \beta)^2 = (19 \times \frac{117}{19} - 3 \times 2\beta)^2 = (117 - 3 \times 41)^2 = (117 - 123)^2 = (-6)^2 = 36$.

(D) સામાન્યતા ગુમાવ્યા વગર,ધારો કે $|a_1| \leq |a_2| \leq |a_3|$.
વિધાન $(A)$ માટે:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \geq |a_3|^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{a}| \geq |a_3| = \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
આમ,$(A)$ સાચું છે.
વિધાન $(B)$ માટે:
$|\vec{a}|^2 = |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 \leq |a_3|^2 + |a_3|^2 + |a_3|^2 = 3|a_3|^2$.
વર્ગમૂળ લેતા,$|\vec{a}| \leq \sqrt{3} |a_3| = \sqrt{3} \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$.
કારણ કે $\sqrt{3} < 3$,તેથી $|\vec{a}| \leq 3 \max \{|a_1|, |a_2|, |a_3|\}$ સાચું છે.
આમ,$(B)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}$ છે.
$E$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{e} = \frac{\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}}{2}$.
$F$ એ $BD$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\overrightarrow{f} = \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}}{2}$.
આપેલ પદાવલિ: $(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DC}) = k \overrightarrow{FE}$.
સદિશો મૂકતા: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b})) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - (\overrightarrow{c} - \overrightarrow{d})) = k \overrightarrow{FE}$.
સાદુરૂપ આપતા: $(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{d} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$.
$(2\overrightarrow{b} - 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{c} + 2\overrightarrow{d}) = k \overrightarrow{FE}$.
$2(\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) - 2(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = k \overrightarrow{FE}$.
$\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d} = 2\overrightarrow{f}$ અને $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} = 2\overrightarrow{e}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(2\overrightarrow{f}) - 2(2\overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$.
$4(\overrightarrow{f} - \overrightarrow{e}) = k \overrightarrow{FE}$.
$\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{e} - \overrightarrow{f}$ હોવાથી,$4(-(\overrightarrow{e} - \overrightarrow{f})) = k \overrightarrow{FE}$.
$-4 \overrightarrow{FE} = k \overrightarrow{FE}$.
તેથી,$k = -4$.

(B) શિરોબિંદુઓ $A(2, 2, 1)$,$B(1, 2, 2)$,અને $C(2, 1, 2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(2-2)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{2}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,લંબકેન્દ્ર $H$ એ મધ્યકેન્દ્ર $G$ સાથે સંપાતી હોય છે.
$G = \left(\frac{2+1+2}{3}, \frac{2+2+1}{3}, \frac{1+2+2}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં,મધ્યકેન્દ્રથી કોઈપણ બાજુ પરના લંબની લંબાઈ એ મધ્યકેન્દ્રથી તે બાજુના મધ્યબિંદુ સુધીનું અંતર છે.
બાજુ $AB$ માટે,મધ્યબિંદુ $D$ એ $\left(\frac{2+1}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{1+2}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, 2, \frac{3}{2}\right)$ છે.
$l_1 = \text{અંતર } GD = \sqrt{\left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-2\right)^2 + \left(\frac{5}{3}-\frac{3}{2}\right)^2}$
$l_1 = \sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{6}{36}} = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી,$l_1 = l_2 = l_3 = \sqrt{\frac{1}{6}}$.
તેથી,$l_1^2 + l_2^2 + l_3^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = 2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
લંબાઈઓ $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4+16+16} = 6$ છે.
ખૂણાનો દ્વિભાજક $OC$ એ $AB$ ને $|\vec{a}| : |\vec{b}| = 3 : 6 = 1 : 2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{c} = \frac{1(\vec{b}) + 2(\vec{a})}{1+2} = \frac{(2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 4 \hat{k}) + 2(2 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{6 \hat{i} + 8 \hat{j} + 6 \hat{k}}{3} = 2 \hat{i} + \frac{8}{3} \hat{j} + 2 \hat{k}$ મળે છે.
$OC$ ની લંબાઈ $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + (\frac{8}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{64}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{64}{9}} = \sqrt{\frac{72+64}{9}} = \sqrt{\frac{136}{9}} = \frac{\sqrt{136}}{3} = \frac{2 \sqrt{34}}{3}$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}$ અને $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + \lambda\hat{k}$.
તેથી $\vec{b} + \vec{c} = (2+3)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (-5+\lambda)\hat{k} = 5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}$.
કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{b} + \vec{c}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે,તેથી $\vec{r} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{|\vec{b} + \vec{c}|}$.
આપેલ છે કે $\vec{r} \cdot \vec{a} = 3$,તેથી $\frac{(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a}}{|\vec{b} + \vec{c}|} = 3$.
$(\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{a} = (5\hat{i} + 2\hat{j} + (\lambda-5)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 5(1) + 2(2) + 3(\lambda-5) = 5 + 4 + 3\lambda - 15 = 3\lambda - 6$.
$|\vec{b} + \vec{c}| = \sqrt{5^2 + 2^2 + (\lambda-5)^2} = \sqrt{25 + 4 + \lambda^2 - 10\lambda + 25} = \sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3\lambda - 6}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 3$.
$3$ વડે ભાગતા: $\frac{\lambda - 2}{\sqrt{\lambda^2 - 10\lambda + 54}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\lambda - 2)^2 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$\lambda^2 - 4\lambda + 4 = \lambda^2 - 10\lambda + 54$.
$6\lambda = 50$.
$3\lambda = 25$.

(A) આકૃતિ પરથી,સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{R} = \vec{Q} - \vec{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $S$ એ રેખાખંડ $PQ$ પર આવેલું છે જેથી અંતર $PS = b|\vec{R}|$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $\vec{PS} = b\vec{R} = b(\vec{Q} - \vec{P})$.
$\triangle OPS$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\vec{S} = \vec{P} + \vec{PS}$ મળે છે.
$\vec{PS}$ માટેનું પદ મૂકતા,આપણને $\vec{S} = \vec{P} + b(\vec{Q} - \vec{P})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\vec{S} = \vec{P} + b\vec{Q} - b\vec{P} = (1-b)\vec{P} + b\vec{Q}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\vec{s} = 4\vec{p} + 3\vec{q} + 5\vec{r}$.
વળી,$\vec{s} = x(-\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}) + y(\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}) + z(-\vec{p} - \vec{q} + \vec{r})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\vec{s} = (-x + y - z)\vec{p} + (x - y - z)\vec{q} + (x + y + z)\vec{r}$ મળે.
$\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ અસમતલીય હોવાથી,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-x + y - z = 4$ $(1)$
$x - y - z = 3$ $(2)$
$x + y + z = 5$ $(3)$
$(2)$ અને $(3)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 8 \Rightarrow x = 4$ મળે.
$(3)$ માં $x = 4$ મૂકતા,$y + z = 1$.
$(2)$ માં $x = 4$ મૂકતા,$4 - y - z = 3 \Rightarrow y + z = 1$ (સુસંગત).
$(1)$ માં $x = 4$ મૂકતા,$-4 + y - z = 4 \Rightarrow y - z = 8$.
$y + z = 1$ અને $y - z = 8$ ને ઉકેલતા,$2y = 9 \Rightarrow y = 4.5$ અને $2z = -7 \Rightarrow z = -3.5$ મળે.
અંતે,$2x + y + z = 2(4) + 4.5 - 3.5 = 8 + 1 = 9$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે. સરળતા માટે,ધારો કે $\vec{a} = \vec{0}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,તેથી $\vec{b} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{CA} = \vec{a} - \vec{c} = \hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}$,તેથી $\vec{c} = -(\hat{i}-3\hat{j}-5\hat{k}) = -\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{g} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3} = \frac{\vec{0} + (2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + (-\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k})}{3} = \frac{\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k}}{3}$ છે.
હવે,$\overrightarrow{AG} = \vec{g} - \vec{a} = \frac{1}{3}(\hat{i}+2\hat{j}+6\hat{k})$. તેથી,$|\overrightarrow{AG}|^2 = \frac{1}{9}(1^2+2^2+6^2) = \frac{41}{9}$.
$\overrightarrow{BG} = \vec{g} - \vec{b} = (\frac{1}{3}-2)\hat{i} + (\frac{2}{3}+1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\frac{5}{3}\hat{i} + \frac{5}{3}\hat{j} + \hat{k}$. તેથી,$|\overrightarrow{BG}|^2 = \frac{25}{9} + \frac{25}{9} + 1 = \frac{59}{9}$.
$\overrightarrow{CG} = \vec{g} - \vec{c} = (\frac{1}{3}+1)\hat{i} + (\frac{2}{3}-3)\hat{j} + (2-5)\hat{k} = \frac{4}{3}\hat{i} - \frac{7}{3}\hat{j} - 3\hat{k}$. તેથી,$|\overrightarrow{CG}|^2 = \frac{16}{9} + \frac{49}{9} + 9 = \frac{65+81}{9} = \frac{146}{9}$.
અંતે,$6(|\overrightarrow{AG}|^2+|\overrightarrow{BG}|^2+|\overrightarrow{CG}|^2) = 6(\frac{41+59+146}{9}) = 6(\frac{246}{9}) = 6 \times \frac{82}{3} = 2 \times 82 = 164$.

(B) ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = (1, -\sqrt{2})$ અને $\vec{b} = (2, \sqrt{2})$ છે.
તેમનો સરવાળો $\vec{s} = \vec{a} + \vec{b} = (1 + 2, -\sqrt{2} + \sqrt{2}) = (3, 0)$ થાય.
સરવાળાના સદિશ $\vec{s}$ નું માન $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3$ મળે છે.

(C) બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = (1, 1, 0)$ છે.
બિંદુ $B$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{b} = (0, 1, 1)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{AB}$ એ $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - 1, 1 - 0)$ મળે છે.
તેથી,$\overrightarrow{AB} = (-1, 0, 1)$.

(C) બે સદિશો $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ અને $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ ની દિશા સમાન હોય જો કોઈ અદિશ $k > 0$ માટે $\vec{b} = k\vec{a}$ થાય.
અહીં,$\vec{a} = (1, 1, 2)$ અને $\vec{b} = (2, 1, 0)$ છે.
પ્રમાણતા તપાસતા: $\frac{2}{1} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{0}{2}$.
અનુરૂપ ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન ન હોવાથી,સદિશો સમાંતર નથી.
તેથી,બંને સદિશોની દિશા અલગ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $ < 2, 2, 2>$ છે.
સમાન પદાવલિ શોધવા માટે આપણે વિકલ્પોનું મૂલ્યાંકન કરીએ છીએ.
વિકલ્પ $A$ માટે: $- < -2, -2, -2>$.
વેક્ટરની અંદર ઋણ ચિહ્નને વિતરિત કરતા,આપણને $-(-2), -(-2), -(-2) = < 2, 2, 2>$ મળે છે.
આ આપેલ પદાવલિ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) સદિશ $\vec{a} = \langle x, y, z \rangle$ નું માન શોધવાનું સૂત્ર $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ છે.
આપેલ સદિશ $\vec{a} = \langle \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \rangle$ માટે,ઘટકોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$|\vec{a}| = \sqrt{(\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^2}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{3}{9}}$
$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{1}{3}}$
$|\vec{a}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a} = (2, 2, -1)$.
સદિશ $\vec{a}$ નું માન $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\hat{a} = \frac{1}{3}(2, 2, -1) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$ મળે છે.

(D) સદિશ $\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સદિશ $\vec{a} = (1, 0, 0)$ છે.
સદિશનું માન $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$ છે.
તેથી,એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{(1, 0, 0)}{1} = (1, 0, 0)$ છે.

(A) સદિશ $\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{CD} = (3-2)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (4-3)\hat{k} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
અહીં $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ હોવાથી,બંને સદિશોની દિશા સમાન છે.

(A) શૂન્ય સદિશ એવો સદિશ છે જેનું માન $0$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,શૂન્ય સદિશની દિશા અનિશ્ચિત અથવા મનસ્વી હોય છે,જેને ઘણીવાર કોઈ ચોક્કસ દિશા ન હોવાનું કહેવામાં આવે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેની કોઈ દિશા નથી.

(C) બિંદુઓના યામ $P(2, 3, 1)$ અને $Q(7, 15, 1)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (7 - 2)\hat{i} + (15 - 3)\hat{j} + (1 - 1)\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
$\overrightarrow{PQ} = 5\hat{i} + 12\hat{j} + 0\hat{k}$.
માન $|\overrightarrow{PQ}|$ ની ગણતરી $\sqrt{5^2 + 12^2 + 0^2}$ તરીકે થાય છે.
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{25 + 144 + 0} = \sqrt{169} = 13$.

(C) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{a} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.
હવે,$\vec{a}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ શોધો:
$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \frac{3}{7}\hat{i} + \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k}$.
$\vec{a}$ ની દિશામાં $4$ જેટલું માન ધરાવતો સદિશ $4 \times \hat{a}$ દ્વારા મળે છે:
$4 \times \left(\frac{3}{7}\hat{i} + \frac{6}{7}\hat{j} + \frac{2}{7}\hat{k}\right) = \left(\frac{12}{7}, \frac{24}{7}, \frac{8}{7}\right)$.

(A) ધારો કે આપેલ સદિશ $\vec{a} = (2, -2, 1)$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}$ નું માન શોધો:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$\vec{a}$ ની દિશામાંનો એકમ સદિશ $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ છે.
$\vec{a}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાંનો એકમ સદિશ $-\hat{a} = -\left(\frac{2}{3}, \frac{-2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \left(\frac{-2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{-1}{3}\right)$ છે.

(C) ધારો કે $\bar{u} = \frac{\bar{x}}{|\bar{x}|}$ એ $\bar{x}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
તો આપેલ પદ $-k \bar{u}$ થાય.
$k > 0$ હોવાથી,$-k \bar{u}$ નું માન $|-k| |\bar{u}| = k \times 1 = k$ થાય.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સદિશ $\bar{u}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જે $\bar{x}$ ની વિરુદ્ધ દિશા છે.
તેથી,આ સદિશ $\bar{x}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે અને તેનું માન $k$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P, Q, R, S, E,$ અને $F$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}, \vec{s}, \vec{e},$ અને $\vec{f}$ છે।
આપેલ સમીકરણ: $\overrightarrow{SP} + 5\overrightarrow{SQ} + 6\overrightarrow{SR} = \overrightarrow{0}$.
સ્થાન સદિશો મૂકતા: $(\vec{p} - \vec{s}) + 5(\vec{q} - \vec{s}) + 6(\vec{r} - \vec{s}) = \overrightarrow{0}$.
$\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 12\vec{s} = \overrightarrow{0} \Rightarrow \vec{s} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12}$.
$E$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\vec{e} = \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2}$.
$F$ એ $QR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી, $\vec{f} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2}$.
સદિશ $\overrightarrow{EF} = \vec{f} - \vec{e} = \frac{\vec{q} + \vec{r}}{2} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{q} - \vec{p}}{2}$.
સદિશ $\overrightarrow{ES} = \vec{s} - \vec{e} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r}}{12} - \frac{\vec{p} + \vec{r}}{2} = \frac{\vec{p} + 5\vec{q} + 6\vec{r} - 6\vec{p} - 6\vec{r}}{12} = \frac{5\vec{q} - 5\vec{p}}{12} = \frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})$.
તેથી, લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{|\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{ES}|} = \frac{|\frac{1}{2}(\vec{q} - \vec{p})|}{|\frac{5}{12}(\vec{q} - \vec{p})|} = \frac{1/2}{5/12} = \frac{1}{2} \times \frac{12}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$.

(B) $A, B, C, D, E, F$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}, \overline{d}, \overline{e}, \overline{f}$ ધારો.
$\therefore \overline{d} = \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2}, \overline{e} = \frac{\overline{c} + \overline{a}}{2}, \overline{f} = \frac{\overline{a} + \overline{b}}{2}$.
હવે,$\overline{AD} + \frac{2}{3} \overline{BE} + \frac{1}{3} \overline{CF} = (\overline{d} - \overline{a}) + \frac{2}{3}(\overline{e} - \overline{b}) + \frac{1}{3}(\overline{f} - \overline{c})$.
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\overline{b} + \overline{c}}{2} - \overline{a} + \frac{2}{3}\left(\frac{\overline{c} + \overline{a}}{2} - \overline{b}\right) + \frac{1}{3}\left(\frac{\overline{a} + \overline{b}}{2} - \overline{c}\right)$.
$= \frac{\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}}{2} + \frac{\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}}{3} + \frac{\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{3(\overline{b} + \overline{c} - 2\overline{a}) + 2(\overline{c} + \overline{a} - 2\overline{b}) + (\overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c})}{6}$.
$= \frac{3\overline{b} + 3\overline{c} - 6\overline{a} + 2\overline{c} + 2\overline{a} - 4\overline{b} + \overline{a} + \overline{b} - 2\overline{c}}{6}$.
$= \frac{-3\overline{a} + 3\overline{c}}{6} = \frac{3(\overline{c} - \overline{a})}{6} = \frac{1}{2}(\overline{c} - \overline{a}) = \frac{1}{2} \overline{AC}$.

(D) આપેલ છે કે $c = (x-2)a + b$ અને $d = (2x+1)a - b$ સમરેખ સદિશો છે.
$a$ અને $b$ અસમરેખ હોવાથી,આપણે $c = \lambda d$ લખી શકીએ,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
$(x-2)a + b = \lambda((2x+1)a - b)$
$(x-2)a + b = \lambda(2x+1)a - \lambda b$
$a$ અને $b$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x-2 = \lambda(2x+1)$ અને $1 = -\lambda$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x-2 = -1(2x+1)$
$x-2 = -2x-1$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(B) ધારો કે બિંદુઓ $\vec{p} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{q} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$m:n = 1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\vec{r} = \frac{m\vec{q} - n\vec{p}}{m - n}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{r} = \frac{1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})}{1 - 2}$
$\vec{r} = \frac{-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = \frac{-3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}}{-1}$
$\vec{r} = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$

(A) ધારો કે $A$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે.
તેથી $B$ ના યામ $(3, 0, 4)$ અને $C$ ના યામ $(5, -2, 4)$ થશે.
$A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા બાજુ $BC$ ને તેના મધ્યબિંદુ $M$ પર મળે છે.
$BC$ ના મધ્યબિંદુ $M$ ના યામ $\left( \frac{3+5}{2}, \frac{0-2}{2}, \frac{4+4}{2} \right) = (4, -1, 4)$ છે.
મધ્યગા $AM$ ની લંબાઈ એ $A(0, 0, 0)$ થી $M(4, -1, 4)$ સુધીનું અંતર છે.
લંબાઈ $= \sqrt{(4-0)^2 + (-1-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{16 + 1 + 16} = \sqrt{33} \text{ એકમ}$.

(C) સ્થાન સદિશો $\vec{A} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{B} = 3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{C} = \hat{i}+4\hat{j}-3\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (3-2)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
$\overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (1-3)\hat{i} + (4-(-2))\hat{j} + (-3-1)\hat{k} = -2\hat{i} + 6\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-2)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{4+36+16} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$.
$\overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (1-2)\hat{i} + (4-1)\hat{j} + (-3-(-1))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$.
અહીં $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = (\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}) + (-\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$ હોવાથી,$\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AC}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે સદિશો સમાંતર છે અને બિંદુઓ $A, B, C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{u}|=2$. ધારો કે દિશાના ખૂણાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપણને $\alpha = 60^{\circ}$ અને $\beta = 120^{\circ}$ આપેલ છે.
દિશા કોસાઇન માટેનું સૂત્ર $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\cos 60^{\circ})^2 + (\cos 120^{\circ})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \Rightarrow \frac{1}{2} + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos \gamma = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
સદિશ $\overline{u} = |\overline{u}|(\cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k})$.
$\overline{u} = 2(\frac{1}{2} \hat{i} - \frac{1}{2} \hat{j} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{k})$.
આથી,$\overline{u} = \hat{i} - \hat{j} \pm \sqrt{2} \hat{k}$. વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{\imath} + a_2 \hat{\jmath} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{\imath} + b_2 \hat{\jmath} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના અનુરૂપ ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલ સદિશો $(2, -q, 3)$ અને $(4, -5, 6)$ છે.
ગુણોત્તરને સમાન લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2}{4} = \frac{-q}{-5} = \frac{3}{6}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$q = \frac{5}{2}$

(C) ઉગમબિંદુની આસપાસ યામ પદ્ધતિના પરિભ્રમણ દરમિયાન સદિશનું માન અચળ રહે છે.
તેથી,પરિભ્રમણ પહેલાં $\vec{a}$ નું માન = પરિભ્રમણ પછી $\vec{a}$ નું માન.
$|\vec{a}|^2 = (2p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + 1^2$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 1$
$4p^2 + 1 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$3p^2 - 3p + p - 1 = 0$
$3p(p-1) + 1(p-1) = 0$
$(3p+1)(p-1) = 0$
આમ,$p=1$ અથવા $p=-\frac{1}{3}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
આપેલ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા:
$S = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$
$S = ( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} ) + ( |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} ) + ( |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a} )$
$S = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
આપેલ છે કે $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$,તેથી $|\vec{a}|^2=9, |\vec{b}|^2=25, |\vec{c}|^2=49$.
$S = 2(9+25+49) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \ge 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge 0$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge -(9+25+49) = -83$.
તેથી,$S = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \le 166 - (-83) = 249$.
આમ,આ પદાવલિ $249$ થી વધતી નથી.

(A) ધારો કે $\hat{a} = \frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$ અને $\hat{b} = \frac{\overline{b}}{|\overline{b}|}$ એ અનુક્રમે $\overline{OA}$ અને $\overline{OB}$ ની દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$\angle AOB$ નો ખૂણાનો દ્વિભાજક એ એકમ સદિશોના સરવાળાની દિશામાં હોય છે,જે $\hat{a} + \hat{b}$ છે.
આપેલ છે કે ખૂણાના દ્વિભાજક પરનો સદિશ $x\hat{a} + y\hat{b}$ છે,તેથી $x\hat{a} + y\hat{b} = k(\hat{a} + \hat{b})$ કોઈ અદિશ $k \neq 0$ માટે.
$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = k$ અને $y = k$ મળે છે.
તેથી,$x = y$,જેનો અર્થ છે કે $x - y = 0$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$.
આપેલ સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2+|\bar{a}+\bar{c}|^2=8$
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
કારણ કે $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$,તેથી:
$(1+1+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$4 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 2$.
બે એકમ સદિશોના ડોટ પ્રોડક્ટનું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,બે ડોટ પ્રોડક્ટનો સરવાળો $2$ ત્યારે જ શક્ય છે જો $\bar{a} \cdot \bar{b} = 1$ અને $\bar{a} \cdot \bar{c} = 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $\bar{a} = \bar{b} = \bar{c}$.
હવે,જરૂરી પદાવલિની ગણતરી કરતા:
$|\bar{a}+3\bar{b}|^2+|\bar{a}+3\bar{c}|^2 = |\bar{a}+3\bar{a}|^2+|\bar{a}+3\bar{a}|^2$
$= |4\bar{a}|^2 + |4\bar{a}|^2$
$= 16|\bar{a}|^2 + 16|\bar{a}|^2$
$= 16(1) + 16(1) = 32$.

(C) આપેલ સમીકરણો છે:
$(1)$ $\bar{c} = 5\bar{a} + 6\bar{b}$
$(2)$ $3\bar{c} = \bar{a} - 4\bar{b}$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3\bar{c} = 15\bar{a} + 18\bar{b}$
હવે,આને સમીકરણ $(2)$ સાથે સરખાવતા:
$15\bar{a} + 18\bar{b} = \bar{a} - 4\bar{b}$
$14\bar{a} = -22\bar{b}$
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$
અહીં $\bar{a}$ એ $\bar{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{b}$ સમરેખ છે અને વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\bar{c} = 5(-\frac{11}{7}\bar{b}) + 6\bar{b} = -\frac{55}{7}\bar{b} + \frac{42}{7}\bar{b} = -\frac{13}{7}\bar{b}$
$\bar{c}$ પણ $\bar{b}$ નો ઋણ અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{c}$ અને $\bar{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ અને $\bar{c} = -\frac{13}{7}\bar{b}$ હોવાથી,$\bar{a} = \frac{11}{13}\bar{c}$ મળે.
$\bar{a}$ એ $\bar{c}$ નો ધન અદિશ ગુણાંક હોવાથી,$\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એક જ દિશામાં છે.
આમ,$\bar{a}$ અને $\bar{c}$ એક જ દિશામાં છે,જ્યારે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(C) આપેલ છે કે $\bar{s} = 4\bar{p} + 3\bar{q} + 5\bar{r}$.
વળી,$\bar{s} = x(-\bar{p} + \bar{q} + \bar{r}) + y(\bar{p} - \bar{q} + \bar{r}) + z(-\bar{p} - \bar{q} + \bar{r})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\bar{s} = (-x + y - z)\bar{p} + (x - y - z)\bar{q} + (x + y + z)\bar{r}$ મળે.
$\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-x + y - z = 4$ $(i)$
$x - y - z = 3$ $(ii)$
$x + y + z = 5$ $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 8 \implies x = 4$ મળે.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$-2z = 7 \implies z = -\frac{7}{2}$ મળે.
$x=4$ અને $z=-\frac{7}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$4 + y - \frac{7}{2} = 5 \implies y = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$ મળે.
હવે,$2x + y + z = 2(4) + \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 8 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9$.

(A) ધારો કે $\bar{v} = 2\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\bar{v} = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 3(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
$\bar{v} = (2 - 4 + 3)\hat{i} + (2 + 2 - 6)\hat{j} + (2 - 3 + 3)\hat{k}$
$\bar{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\bar{v}$ નું માન $|\bar{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\bar{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{\bar{v}}{|\bar{v}|} = \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
$6$ એકમ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $6 \times \hat{v} = 6 \times \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{q} = -2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{r} = -8 \hat{i}+13 \hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ શોધીએ:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) = -3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (-8 \hat{i}+13 \hat{j}) - (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) = -6 \hat{i}+10 \hat{j}-2 \hat{k}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{QR} = 2(-3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}) = 2 \vec{PQ}$.
જેથી $\vec{QR}$ એ $\vec{PQ}$ નો અદિશ ગુણાંક હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $Q$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ સમરેખ છે.
અને $\vec{QR} = 2 \vec{PQ}$ હોવાથી,બિંદુ $Q$ એ $P$ અને $R$ ની વચ્ચે આવેલું છે.

(D) ધારો કે $AD$ એ $\triangle ABC$ ની શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,સદિશ $\overline{AD}$ એ સૂત્ર $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{(3+5) \hat{i} + (-2) \hat{j} + (4+4) \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
હવે,મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\overline{AD}$ નું માન છે:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33} \text{ એકમ}$.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{v} = 3 \bar{a} + \bar{b} - 2 \bar{c}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{v} = 3(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - 2(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{v} = (6 + 1 - 8) \hat{i} + (-3 + 1 + 4) \hat{j} + (3 - 2 - 2) \hat{k}$
$\vec{v} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$
હવે,$\vec{v}$ નું માન શોધો:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ છે,જ્યાં $\vec{a} = 2 \hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનો એક વિકર્ણ $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{c} = (2+1) \hat{i} + (-4-2) \hat{j} + (5-3) \hat{k} = 3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
$\vec{c}$ નું માન $|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ છે.
વિકર્ણ $\vec{c}$ ને સમાંતર એકમ સદિશ $\hat{c} = \frac{\vec{c}}{|\vec{c}|} = \frac{3 \hat{i} - 6 \hat{j} + 2 \hat{k}}{7} = \frac{3}{7} \hat{i} - \frac{6}{7} \hat{j} + \frac{2}{7} \hat{k}$ છે.

(A) આપેલ છે: $\overline{a} = 4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k}$,$\overline{b} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$,અને $\overline{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$.
આપણને સંબંધ $\overline{a} = m \overline{b} + n \overline{c}$ આપેલ છે.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = m(\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + n(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k})$
$4 \hat{i} + 13 \hat{j} - 18 \hat{k} = (m + 2n) \hat{i} + (-2m + 3n) \hat{j} + (3m - 4n) \hat{k}$
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબના સુરેખ સમીકરણો મળે છે:
$1) \ m + 2n = 4$
$2) \ -2m + 3n = 13$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા $2m + 4n = 8$ મળે છે. આને સમીકરણ $(2)$ માં ઉમેરતા:
$(2m + 4n) + (-2m + 3n) = 8 + 13$
$7n = 21 \Rightarrow n = 3$
$n = 3$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$m + 2(3) = 4 \Rightarrow m + 6 = 4 \Rightarrow m = -2$
આમ,$m + n = -2 + 3 = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\bar{a}+2 \bar{b}$ એ $\bar{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી એક શૂન્યેતર અદિશ $n$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\bar{a}+2 \bar{b} = n \bar{c}$. (સમીકરણ $1$)
તે જ રીતે,$\bar{b}+3 \bar{c}$ એ $\bar{a}$ સાથે સમરેખ હોવાથી,એક શૂન્યેતર અદિશ $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\bar{b}+3 \bar{c} = m \bar{a}$. (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ પરથી,$\bar{b} = m \bar{a} - 3 \bar{c}$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $\bar{a} + 2(m \bar{a} - 3 \bar{c}) = n \bar{c}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\bar{a} + 2m \bar{a} - 6 \bar{c} = n \bar{c}$.
$(1 + 2m) \bar{a} = (n + 6) \bar{c}$.
અહીં $\bar{a}$ અને $\bar{c}$ શૂન્યેતર અને અસમરેખ હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
તેથી,$1 + 2m = 0 \Rightarrow m = -\frac{1}{2}$ અને $n + 6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
$n = -6$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા,આપણને $\bar{a} + 2 \bar{b} = -6 \bar{c}$ મળે છે.

(C) યામ પદ્ધતિને ઉગમબિંદુની આસપાસ ફેરવવાથી સદિશનું માન બદલાતું નથી.
મૂળ પદ્ધતિમાં સદિશ $\bar{a}$ ના ઘટકો $(1, 2p)$ આપેલા છે,તેથી તેનું માનનો વર્ગ:
$|\bar{a}|^2 = 1^2 + (2p)^2 = 1 + 4p^2$
નવી પદ્ધતિમાં,ઘટકો $(1, p+1)$ છે,તેથી તેના માનનો વર્ગ:
$|\bar{b}|^2 = 1^2 + (p+1)^2 = 1 + p^2 + 2p + 1 = p^2 + 2p + 2$
કારણ કે $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2$,તેથી:
$1 + 4p^2 = p^2 + 2p + 2$
$3p^2 - 2p - 1 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(3p + 1)(p - 1) = 0$
આમ,$p = -\frac{1}{3}$ અથવા $p = 1$.

(A) આપેલ છે કે $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=3, |\overline{c}|=5$ અને દરેક સદિશની જોડી વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}||\overline{b}| \cos 60^{\circ} = (2)(3)(\frac{1}{2}) = 3$.
તે જ રીતે,$\overline{b} \cdot \overline{c} = |\overline{b}||\overline{c}| \cos 60^{\circ} = (3)(5)(\frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$.
અને $\overline{c} \cdot \overline{a} = |\overline{c}||\overline{a}| \cos 60^{\circ} = (5)(2)(\frac{1}{2}) = 5$.
હવે,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2+|\overline{b}|^2+|\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
કિંમતો મૂકતા: $|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(3 + \frac{15}{2} + 5)$.
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 4 + 9 + 25 + 2(\frac{6+15+10}{2}) = 38 + 31 = 69$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{69}$.