જો ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $\hat{i} - \hat{j}$ અને $\hat{j} + \hat{k}$ હોય,તો ત્રીજું શિરોબિંદુ શું હોઈ શકે?

બિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $(2i + j - k)$,$(3i - 2j + k)$ અને $(i + 4j - 3k)$ છે. આ બિંદુઓ

જો $\alpha \hat{i} + 10 \hat{j} + 13 \hat{k}$,$6 \hat{i} + 11 \hat{j} + 11 \hat{k}$,અને $\frac{9}{2} \hat{i} + \beta \hat{j} - 8 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો $(19 \alpha - 6 \beta)^2$ ની કિંમત $...........$ થાય.

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એ અનુક્રમે $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે. જો $D$ એ $BC$ નું $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે અને $E$ એ $CA$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે,તો $DE$ નું $3:5$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ શોધો.

જો $a$ અને $b$ બે અસમરેખ સદિશો હોય અને સદિશ $a+b$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે,તો

ધારો કે $\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}$,$a_1 \vec{i}+b_1 \vec{j}+c_1 \vec{k}$,$a_2 \vec{i}+b_2 \vec{j}+c_2 \vec{k}$,અને $a_3 \vec{i}+b_3 \vec{j}+c_3 \vec{k}$ એ અનુક્રમે બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના સ્થાન સદિશો છે. ત્રિકોણીય ફલક $BCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\frac{2}{3}(\vec{i}+\vec{j}+\vec{k})$ છે. જો $\alpha \vec{i}+\beta \vec{j}+\gamma \vec{k}$ એ ચતુષ્ફલક $ABCD$ ના મધ્યકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ હોય,તો $2 \alpha+\beta+\gamma$ ની કિંમત શોધો.