Sphere Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $P$ એ ગોળા પરનું કોઈપણ બિંદુ છે જેનો સ્થાન સદિશ $r$ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ એ વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ છે જેના સ્થાન સદિશ અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે.
ગોળાના વ્યાસ દ્વારા ગોળા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ આગળ બનતો ખૂણો કાટખૂણો $(90^{\circ})$ હોય છે.
તેથી,સદિશ $\vec{AP}$ એ સદિશ $\vec{BP}$ ને લંબ છે.
સદિશ $\vec{AP} = r - a$ અને સદિશ $\vec{BP} = r - b$ થાય.
તેઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શૂન્ય થાય:
$(r - a) \cdot (r - b) = 0$.

(C) ગોળાનું સામાન્ય સમીકરણ $r^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{r} + d = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $-\vec{u}$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{|\vec{u}|^2 - d}$ છે.
બે ગોળાઓ $r^2 + 2\vec{u}_1 \cdot \vec{r} + d_1 = 0$ અને $r^2 + 2\vec{u}_2 \cdot \vec{r} + d_2 = 0$ લંબછેદી હોય તેની શરત $2\vec{c}_1 \cdot \vec{c}_2 = r_1^2 + r_2^2$ છે,જ્યાં $\vec{c}_1, \vec{c}_2$ કેન્દ્રો છે અને $r_1, r_2$ ત્રિજ્યાઓ છે.
અહીં,$\vec{c}_1 = -\vec{u}_1$,$\vec{c}_2 = -\vec{u}_2$,$r_1^2 = |\vec{u}_1|^2 - d_1$,અને $r_2^2 = |\vec{u}_2|^2 - d_2$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $2(-\vec{u}_1) \cdot (-\vec{u}_2) = (\vec{u}_1^2 - d_1) + (\vec{u}_2^2 - d_2)$.
આનું સાદું રૂપ $2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = |\vec{u}_1|^2 + |\vec{u}_2|^2 - (d_1 + d_2)$ થાય છે.
જોકે,પ્રમાણિત સ્વરૂપ $r^2 + 2\vec{u} \cdot \vec{r} + d = 0$ માં,લંબછેદી હોવાની શરત $2\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = d_1 + d_2$ છે.

(C) ગોલકનું સદિશ સ્વરૂપમાં સામાન્ય સમીકરણ $|r|^2 - 2(r \cdot a) + c = 0$ છે,જ્યાં ત્રિજ્યા $\sqrt{|a|^2 - c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $|r|^2 - r \cdot (2i + 4j - 2k) - 10 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$2a = (2i + 4j - 2k)$,જેનો અર્થ છે કે $a = (i + 2j - k)$.
વળી,$c = -10$.
ગોલકની ત્રિજ્યા $\sqrt{|a|^2 - c}$ છે.
$|a|^2 = |i + 2j - k|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2 = 1 + 4 + 1 = 6$ ની ગણતરી કરતા.
કિંમતો મૂકતા,ત્રિજ્યા $\sqrt{6 - (-10)} = \sqrt{6 + 10} = \sqrt{16} = 4$ મળે છે.
આમ,આ સમીકરણ $4$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોલક દર્શાવે છે.

(A) ગોલકનું આપેલ સમીકરણ $\alpha \,r^2 - 2u \cdot r = \beta$ છે.
આખા સમીકરણને $\alpha$ વડે ભાગતા (કારણ કે $\alpha \ne 0$),આપણને મળે છે:
$r^2 - \frac{2}{\alpha} u \cdot r = \frac{\beta}{\alpha}$.
આને ગોલકના પ્રમાણિત સદિશ સમીકરણ $r^2 - 2a \cdot r = c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a$ એ કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ છે,આપણને મળે છે:
$2a = \frac{2}{\alpha} u$.
તેથી,$a = \frac{u}{\alpha}$.
આમ,ગોલકનું કેન્દ્ર $u/\alpha$ છે.

(D) ગોળાનું સમીકરણ $|r| = 5$ છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $R = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો દર્શાવે છે.
આપેલ સમતલ $r \cdot (i + j + k) = 3\sqrt{3}$ છે.
ધારો કે $M$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. ઉગમબિંદુથી સમતલ $r \cdot n = p$ પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|p|}{|n|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$p = 3\sqrt{3}$ અને $n = i + j + k$,તેથી $|n| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આમ,$d = OM = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3$.
ધારો કે $r_{c}$ એ વર્તુળાકાર વિભાગની ત્રિજ્યા છે. કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta OPM$ માં,જ્યાં $P$ એ વર્તુળાકાર વિભાગની પરિઘ પરનું બિંદુ છે,$OP$ એ ગોળાની ત્રિજ્યા $(R = 5)$ છે અને $OM$ એ કેન્દ્રથી સમતલનું અંતર $(d = 3)$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$OP^2 = OM^2 + r_{c}^2$.
$5^2 = 3^2 + r_{c}^2$
$25 = 9 + r_{c}^2$
$r_{c}^2 = 16$
$r_{c} = 4$.
તેથી,વર્તુળાકાર વિભાગની ત્રિજ્યા $4$ છે.

(D) ત્રણ ચલવાળું સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + by^2 + cz^2 + 2fyz + 2gxz + 2hxy + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ ગોલક દર્શાવે તે માટે,વર્ગવાળા પદોના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે $a = b = c \neq 0$.
વધુમાં,તેમાં ચલોના ગુણાકારવાળા પદો (જેમ કે $xy$,$yz$,અથવા $zx$) હોવા જોઈએ નહીં,જેનો અર્થ એ છે કે આ પદોના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ,એટલે કે $f = g = h = 0$.
તેથી,શરતો $a = b = c$ અને $f = g = h = 0$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. આપેલી શરત મુજબ $PF_1 + PF_2 = 10$,જ્યાં $F_1 = (4, 0, 0)$ અને $F_2 = (-4, 0, 0)$ છે.
$\sqrt{(x-4)^2 + y^2 + z^2} + \sqrt{(x+4)^2 + y^2 + z^2} = 10$
ધારો કે $S = x^2 + y^2 + z^2 + 16$. તો સમીકરણ $\sqrt{S - 8x} + \sqrt{S + 8x} = 10$ બને છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(S - 8x) + (S + 8x) + 2\sqrt{S^2 - 64x^2} = 100$
$2S + 2\sqrt{S^2 - 64x^2} = 100 \Rightarrow S + \sqrt{S^2 - 64x^2} = 50$
$\sqrt{S^2 - 64x^2} = 50 - S$
ફરીથી વર્ગ કરતા: $S^2 - 64x^2 = 2500 - 100S + S^2$
$100S - 64x^2 = 2500$
$S = x^2 + y^2 + z^2 + 16$ ની કિંમત મૂકતા:
$100(x^2 + y^2 + z^2 + 16) - 64x^2 = 2500$
$100x^2 + 100y^2 + 100z^2 + 1600 - 64x^2 = 2500$
$36x^2 + 100y^2 + 100z^2 = 900$
$4$ વડે ભાગતા: $9x^2 + 25y^2 + 25z^2 = 225$.

(C) ધારો કે બે આપેલા બિંદુઓ $3D$ યામ પદ્ધતિમાં $A(a, 0, 0)$ અને $B(-a, 0, 0)$ છે. ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA^2 + PB^2 = k$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
$(x-a)^2 + y^2 + z^2 + (x+a)^2 + y^2 + z^2 = k$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2 + z^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2 + z^2) = k$
$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 + 2a^2 = k$
$x^2 + y^2 + z^2 = \frac{k - 2a^2}{2}$
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા ગોલકનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 0$ છે.
કારણ કે $x$,$y$ અને $z$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમતો માટે $x^2$,$y^2$ અને $z^2$ એ હંમેશા અ-ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી તેમનો સરવાળો ત્યારે જ શૂન્ય થઈ શકે જો દરેક પદ વ્યક્તિગત રીતે શૂન્ય હોય.
તેથી,$x^2 = 0$,$y^2 = 0$ અને $z^2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x = 0$,$y = 0$ અને $z = 0$.
આમ,આ સમીકરણ ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં બિંદુ $(0, 0, 0)$ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 = 0$ છે.
$x, y, z$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમતો માટે,વર્ગો ${x^2}, {y^2}, {z^2}$ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે ${x^2} \ge 0, {y^2} \ge 0, {z^2} \ge 0$.
તેથી,સરવાળો ${x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 0$ થાય.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 1 \ge 1$ મળે છે.
આ પદ હંમેશા $1$ કે તેથી મોટું હોવાથી,તે ક્યારેય $0$ ની બરાબર હોઈ શકે નહીં.
આમ,કોઈ પણ વાસ્તવિક યામ $(x, y, z)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરતા નથી.
તેથી,આ બિંદુપથ એક ખાલી ગણ છે.

(A) ધારો કે ગોલકનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ છે.
ગોલક ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=0, y=0, z=0$ મૂકતા $d = 0$ મળે છે.
તે $(0, 2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + 2^2 + 0^2 + 2u(0) + 2v(2) + 2w(0) + 0 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4 + 4v = 0$ એટલે કે $v = -1$ થાય છે.
તે $(1, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 0^2 + 0^2 + 2u(1) + 2v(0) + 2w(0) + 0 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $1 + 2u = 0$ એટલે કે $u = -1/2$ થાય છે.
તે $(0, 0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + 0^2 + 4^2 + 2u(0) + 2v(0) + 2w(4) + 0 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $16 + 8w = 0$ એટલે કે $w = -2$ થાય છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,કેન્દ્ર $\left( -(-1/2), -(-1), -(-2) \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 2 \right)$ મળે છે.

(B) ત્રણ યામ સમતલોને સ્પર્શતા ગોલકનું કેન્દ્ર $(a, a, a)$ અને ત્રિજ્યા $a$ હોય છે (ધારો કે ગોલક પ્રથમ અષ્ટમાંશમાં છે).
કેન્દ્ર $(h, k, l)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા ગોલકનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2$ છે.
કેન્દ્ર $(a, a, a)$ અને ત્રિજ્યા $r = a$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - a)^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2 = a^2$
વર્ગોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 2ax + a^2) + (y^2 - 2ay + a^2) + (z^2 - 2az + a^2) = a^2$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2ay - 2az + 3a^2 = a^2$
$x^2 + y^2 + z^2 - 2a(x + y + z) + 2a^2 = 0$
આમ,જરૂરી ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - 2a(x + y + z) + 2a^2 = 0$ છે.

(C) ગોળાનો વ્યાસ $d$ એ આપેલા બે અંત્યબિંદુઓ $(3, 4, -1)$ અને $(-1, 2, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - (-1))^2}$.
$d = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + (4)^2}$.
$d = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ એ વ્યાસથી અડધી હોય છે.
$r = \frac{d}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
આમ,ગોળાની ત્રિજ્યા $3$ છે.

(C) આપેલી ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થતા ગોલકનું કેન્દ્ર એ માંગેલું બિંદુ છે.
ધારો કે ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0 \dots (i)$ છે.
ગોલક $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $d = 0$ મળે.
તે $(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $a^2 + 2ua = 0 \implies u = -a/2$.
તે $(0, b, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $b^2 + 2vb = 0 \implies v = -b/2$.
તે $(0, 0, c)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $c^2 + 2wc = 0 \implies w = -c/2$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (a/2, b/2, c/2)$ છે.
આ બિંદુ આપેલા ચારેય બિંદુઓથી સમાન અંતરે છે.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો જે ત્રણેય યામ અક્ષોને સ્પર્શતો હોય તેનું કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r, \pm r)$ બિંદુ પર હોવું જોઈએ.
ત્રિ-પરિમાણીય કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં $8$ અષ્ટાંશ (octants) હોય છે,તેથી દરેક અષ્ટાંશમાં આવો એક ગોળો શક્ય છે.
આથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા કુલ $8$ અલગ-અલગ ગોળાઓ દોરી શકાય જે ત્રણેય યામ અક્ષોને સ્પર્શતા હોય.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
આ સમતલ નિશ્ચિત બિંદુ $(p, q, r)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = 1$ મળે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ અને બિંદુઓ $A, B, C$ માંથી પસાર થતા ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - ax - by - cz = 0$ છે.
આ ગોલકનું કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, \frac{c}{2})$ છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $(x, y, z)$ છે. તેથી $x = \frac{a}{2}, y = \frac{b}{2}, z = \frac{c}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2x, b = 2y, c = 2z$.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણ $\frac{p}{a} + \frac{q}{b} + \frac{r}{c} = 1$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{p}{2x} + \frac{q}{2y} + \frac{r}{2z} = 1$ મળે છે.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા,કેન્દ્રનો બિંદુપથ $\frac{p}{x} + \frac{q}{y} + \frac{r}{z} = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે ગોલક રેખાખંડ $AB$ નું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,રેખાખંડ $AB$ પરના બિંદુ $P$ ના યામ નીચે મુજબ છે:
$P = \left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1}, \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1}, \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} \right)$.
બિંદુ $P$ એ ગોલક ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 504$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામને ગોલકના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\left( \frac{27\lambda + 12}{\lambda + 1} \right)^2 + \left( \frac{-9\lambda - 4}{\lambda + 1} \right)^2 + \left( \frac{18\lambda + 8}{\lambda + 1} \right)^2 = 504$.
સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$\frac{1}{(\lambda + 1)^2} [ (3(9\lambda + 4))^2 + (-(9\lambda + 4))^2 + (2(9\lambda + 4))^2 ] = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} [ 9 + 1 + 4 ] = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} \times 14 = 504$.
$\frac{(9\lambda + 4)^2}{(\lambda + 1)^2} = 36$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{9\lambda + 4}{\lambda + 1} = \pm 6$.
કિસ્સો $1$: $9\lambda + 4 = 6\lambda + 6 \implies 3\lambda = 2 \implies \lambda = 2/3$ (આંતરિક વિભાજન).
કિસ્સો $2$: $9\lambda + 4 = -6\lambda - 6 \implies 15\lambda = -10 \implies \lambda = -2/3$ (બાહ્ય વિભાજન).
તેથી,સાચો જવાબ $A$ છે.

(D) ધારો કે બે ગોળાઓના કેન્દ્રો $O$ અને $O'$ છે અને તેમની ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
ગોળાઓ એકબીજાને લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,છેદબિંદુ $P$ પર ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.
ધારો કે $C$ એ સામાન્ય વર્તુળનું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે.
$\Delta OPC$ માં,ખૂણો $\angle OPC = \theta$ છે. તેથી,$\cos \theta = \frac{r}{r_1}$.
$\Delta O'PC$ માં,ખૂણો $\angle O'PC = 90^\circ - \theta$ છે. તેથી,$\sin \theta = \cos(90^\circ - \theta) = \frac{r}{r_2}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{r}{r_1}\right)^2 + \left(\frac{r}{r_2}\right)^2 = 1$
$r^2 \left(\frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2}\right) = 1$
$r^2 \left(\frac{r_1^2 + r_2^2}{r_1^2 r_2^2}\right) = 1$
$r^2 = \frac{r_1^2 r_2^2}{r_1^2 + r_2^2}$
$r = \frac{r_1 r_2}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2}}$

(A) પ્રથમ ગોળાનું સમીકરણ ${S_1} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર ${C_1} = (-3, 4, 1)$ છે.
બીજા ગોળાનું સમીકરણ ${S_2} \equiv {x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર ${C_2} = (5, -2, 1)$ છે.
${C_1}$ અને ${C_2}$ ને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ $P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$.
સમતલ $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$ એ બિંદુ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - x + z - 2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u = -1/2$,$v = 0$,$w = 1/2$,અને $d = -2$ મળે છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (1/2, 0, -1/2)$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1/2)^2 + 0^2 + (1/2)^2 - (-2)} = \sqrt{1/4 + 0 + 1/4 + 2} = \sqrt{1/2 + 2} = \sqrt{5/2}$ છે.
કેન્દ્ર $(1/2, 0, -1/2)$ થી સમતલ $x + 2y - z - 4 = 0$ નું લંબ અંતર $P$:
$P = \frac{|(1/2) + 2(0) - (-1/2) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = \frac{|1/2 + 1/2 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{3}{2}}$.
છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - P^2}$ છે.
$r = \sqrt{\frac{5}{2} - \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 4z = 11$ છે.
તેને ${x^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 11 + 1 + 4 = 16$ તરીકે લખી શકાય.
આમ,ગોલકનું કેન્દ્ર $C = (0, 1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = 4$ છે.
ગોલકના કેન્દ્રથી સમતલ $x + 2y + 2z - 15 = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|0 + 2(1) + 2(2) - 15|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 4 - 15|}{3} = \frac{|-9|}{3} = 3$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - d^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ: $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 6x + 2y - 4z = 1$.
$2$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z = \frac{1}{2}$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $C = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 + (1)^2 - (-\frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4} + 1 + \frac{1}{2}} = 2$ છે.
જરૂરી ગોલક સમકેન્દ્રી હોવાથી તેનું કેન્દ્ર પણ $(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$ થશે.
જરૂરી ગોલકની ત્રિજ્યા $R = 2 \times 2 = 4$ છે.
તેથી,ગોલકનું સમીકરણ $(x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 + (z - 1)^2 = 4^2$ થશે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 3x + \frac{9}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} + z^2 - 2z + 1 = 16$.
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z + 3.5 - 16 = 0$.
$x^2 + y^2 + z^2 - 3x + y - 2z - 12.5 = 0$.
$2$ વડે ગુણતા: $2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 6x + 2y - 4z - 25 = 0$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ છે.
આને વ્યાપક સ્વરૂપ ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ મળે છે.
ધારો કે વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(x, y, z)$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{2 + x}{2} = 3 \implies 2 + x = 6 \implies x = 4$
$\frac{3 + y}{2} = 6 \implies 3 + y = 12 \implies y = 9$
$\frac{5 + z}{2} = 1 \implies 5 + z = 2 \implies z = -3$
આમ,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(4, 9, -3)$ છે.

(C) ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 4x - 2y - 6z - 155 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2gx + 2fy + 2hz + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-2, 1, 3)$ મળે છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 + h^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-3)^2 - (-155)} = \sqrt{4 + 1 + 9 + 155} = \sqrt{169} = 13$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(-2, 1, 3)$ થી સમતલ $12x + 4y + 3z - 327 = 0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|12(-2) + 4(1) + 3(3) - 327|}{\sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2}} = \frac{|-24 + 4 + 9 - 327|}{\sqrt{144 + 16 + 9}} = \frac{|-338|}{13} = 26$.
સમતલથી ગોલકનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = 26 - 13 = 13$ થાય.

(C) ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y - 4z - 19 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2 + v^2 + w^2 - d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1 + 1 + 4 + 19} = \sqrt{25} = 5$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x + 2y + 2z + 7 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર $p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$ છે.
છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^2 - p^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$ થાય.

(B) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2y - 4z = 11$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $x^{2} + (y-1)^{2} - 1 + (z-2)^{2} - 4 = 11$,જેનું સાદું રૂપ $x^{2} + (y-1)^{2} + (z-2)^{2} = 16$ થાય છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $C(0, 1, 2)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{16} = 4$ છે.
કેન્દ્ર $C(0, 1, 2)$ થી સમતલ $x + 2y + 2z - 15 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|0 + 2(1) + 2(2) - 15|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{|2 + 4 - 15|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-9|}{3} = 3$ મળે છે.
છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{R^{2} - d^{2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$.

(A) ધારો કે ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ છે.
તે ઊગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $d = 0$.
તે $(0, 2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + 2^2 + 0^2 + 2u(0) + 2v(2) + 2w(0) + 0 = 0$,જે આપે છે $4 + 4v = 0$,એટલે કે $v = -1$.
તે $(1, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $1^2 + 0^2 + 0^2 + 2u(1) + 2v(0) + 2w(0) + 0 = 0$,જે આપે છે $1 + 2u = 0$,એટલે કે $u = -1/2$.
તે $(0, 0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0^2 + 0^2 + 4^2 + 2u(0) + 2v(0) + 2w(4) + 0 = 0$,જે આપે છે $16 + 8w = 0$,એટલે કે $w = -2$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = \left( -(-1/2), -(-1), -(-2) \right) = \left( \frac{1}{2}, 1, 2 \right)$ છે.

(A) પ્રથમ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 8y - 2z - 13 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (-3, 4, 1)$ છે.
બીજા ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - 10x + 4y - 2z - 8 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (5, -2, 1)$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ ને જોડતી રેખાના મધ્યબિંદુ $P$ ના યામ $P = \left( \frac{-3 + 5}{2}, \frac{4 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2} \right) = (1, 1, 1)$ થાય.
સમતલ $2ax - 3ay + 4az + 6 = 0$ એ $P(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2a(1) - 3a(1) + 4a(1) + 6 = 0$
$2a - 3a + 4a + 6 = 0$
$3a + 6 = 0$
$3a = -6$
$a = -2$.

(D) ત્રણેય યામ સમતલો ($xy$,$yz$,અને $zx$) ને સ્પર્શતા ગોલકનું કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r, \pm r)$ બિંદુ પર હોવું જોઈએ.
અહીં $3$ યામ સમતલો છે અને ગોલક ત્રણેયને સ્પર્શતો હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક સમતલનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
કેન્દ્ર $(\pm r, \pm r, \pm r)$ ના યામ માટે ચિહ્નોના $2^3 = 8$ શક્ય સંયોજનો છે.
આમ,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $8$ ભિન્ન ગોલકો દોરી શકાય છે જે ત્રણેય યામ સમતલોને સ્પર્શે છે,જે $3D$ યામ પદ્ધતિના દરેક અષ્ટમાંશ (octant) માં એક હોય છે.

(A) ધારો કે ગતિ કરતું બિંદુ $P(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P$ નું નિશ્ચિત બિંદુ $C(1, -2, 2)$ થી અંતર $1$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\sqrt{(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 1^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + (z^2 - 4z + 4) = 1$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 9 = 1$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા: $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 4z + 8 = 0$.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 12y - 2z + 20 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 + 2ux + 2vy + 2wz + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2u = -6, 2v = -12, 2w = -2$ મળે છે.
આમ,$u = -3, v = -6, w = -1$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (3, 6, 1)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું એક અંત્યબિંદુ $A = (2, 3, 5)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર એ વ્યાસનું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha + 2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha + 2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$
$\frac{\beta + 3}{2} = 6 \Rightarrow \beta + 3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$
$\frac{\gamma + 5}{2} = 1 \Rightarrow \gamma + 5 = 2 \Rightarrow \gamma = -3$
તેથી,બીજા અંત્યબિંદુના યામ $(4, 9, -3)$ છે.

(A) બે ગોળાઓ ${S_1} = 0$ અને ${S_2} = 0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ ${S_1} - {S_2} = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગોળાઓ:
${S_1}: {x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13 = 0$
${S_2}: {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8 = 0$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$({x^2} + {y^2} + {z^2} + 7x - 2y - z - 13) - ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x + 3y + 4z - 8) = 0$
$(7x - (-3x)) + (-2y - 3y) + (-z - 4z) + (-13 - (-8)) = 0$
$10x - 5y - 5z - 5 = 0$
આખા સમીકરણને $5$ વડે ભાગતા:
$2x - y - z = 1$
આમ,બે ગોળાઓનો છેદ એ સમતલ $2x - y - z = 1$ પર આવેલો છે.

(D) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y - 6z + 10 = 0$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 = -10 + 1 + 4 + 9 = 4$ મળે છે.
આમ,ગોલકનું કેન્દ્ર $C(1, -2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{4} = 2$ છે.
હવે,કેન્દ્ર $C(1, -2, 3)$ થી સમતલ $2x + y - 2z - 6 = 0$ નું લંબ અંતર $d$ શોધીએ,સૂત્ર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ નો ઉપયોગ કરીને.
$d = \frac{|2(1) + 1(-2) - 2(3) - 6|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|2 - 2 - 6 - 6|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|-12|}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
ગોલક અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d - r = 4 - 2 = 2$ એકમ છે.

ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (3, 4, 5)$ અને $B = (-1, 3, -7)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$PA^{2} = (x-3)^{2} + (y-4)^{2} + (z-5)^{2} = x^{2} - 6x + 9 + y^{2} - 8y + 16 + z^{2} - 10z + 25 = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50$.
તે જ રીતે,$PB^{2} = (x+1)^{2} + (y-3)^{2} + (z+7)^{2} = x^{2} + 2x + 1 + y^{2} - 6y + 9 + z^{2} + 14z + 49 = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59$.
શરત $PA^{2} + PB^{2} = k^{2}$ મુજબ:
$(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6x - 8y - 10z + 50) + (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 6y + 14z + 59) = k^{2}$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા:
$2x^{2} + 2y^{2} + 2z^{2} - 4x - 14y + 4z + 109 = k^{2}$.
$2$ વડે ભાગતા:
$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2x - 7y + 2z = \frac{k^{2} - 109}{2}$.

(A) ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોળો બે લંબ દિવાલો અને જમીનને સ્પર્શતો હોવાથી,આપણે યામ પદ્ધતિ નક્કી કરી શકીએ જ્યાં દિવાલો અને જમીન યામ સમતલ $x=0, y=0, z=0$ છે. ગોળાનું કેન્દ્ર $(r, r, r)$ છે.
ગોળાનું સમીકરણ $(x-r)^2 + (y-r)^2 + (z-r)^2 = r^2$ છે.
ગોળા પરનું એક બિંદુ દિવાલો અને જમીનથી $9, 16, 25$ ના અંતરે આપેલું છે,તેથી આ બિંદુના યામ $(9, 16, 25)$ છે.
આ બિંદુને ગોળાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(9-r)^2 + (16-r)^2 + (25-r)^2 = r^2$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(81 - 18r + r^2) + (256 - 32r + r^2) + (625 - 50r + r^2) = r^2$
$3r^2 - 100r + 962 = r^2$
$2r^2 - 100r + 962 = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$r^2 - 50r + 481 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(r-13)(r-37) = 0$
આમ,$r = 13$ અથવા $r = 37$.
તેથી સંભવિત ત્રિજ્યા $13$ છે.

(B) આપેલ ગોલકનું સમીકરણ $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-6)^2=1$ છે.
આ એક એવો ગોલક છે જેનું કેન્દ્ર $C = (2, 3, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી કેન્દ્ર $C(2, 3, 6)$ સુધીનું અંતર $d$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$d = \sqrt{(2-0)^2 + (3-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
ગોલક પરના કોઈપણ બિંદુનું ઉગમબિંદુથી લઘુત્તમ અંતર એ ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરમાંથી ગોલકની ત્રિજ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
લઘુત્તમ અંતર $= d - r = 7 - 1 = 6$.

(B) ધારો કે ગોલકની પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r$ છે અને પ્રારંભિક ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
વધારા પછી,નવું ઘનફળ $V' = V + 0.728V = 1.728V$ થાય છે.
કારણ કે $V' = \frac{4}{3} \pi (r')^3$,તેથી $\frac{4}{3} \pi (r')^3 = 1.728 \times \frac{4}{3} \pi r^3$ મળે.
આમ,$(r')^3 = 1.728 r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r' = \sqrt[3]{1.728} r = 1.2r$.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે અને નવું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S' = 4 \pi (r')^2$ છે.
$S' = 4 \pi (1.2r)^2 = 4 \pi (1.44 r^2) = 1.44 S$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{S' - S}{S} \times 100 = (1.44 - 1) \times 100 = 44 \%$ છે.

(B) વર્તુળના વ્યાસ દ્વારા વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુએ બનતો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે. તેથી,$\angle APB = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $AP \perp PB$.
$AP$ ના દિકગુણોત્તર $(5-3, 6-(-2), -1-2) = (2, 8, -3)$ છે.
$PB$ ના દિકગુણોત્તર $(2-5, \lambda+1-6, 5-(-1)) = (-3, \lambda-5, 6)$ છે.
$AP \perp PB$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(2)(-3) + (8)(\lambda-5) + (-3)(6) = 0$
$-6 + 8\lambda - 40 - 18 = 0$
$8\lambda - 64 = 0$
$8\lambda = 64$
$\lambda = 8$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y, z)$ છે. બિંદુઓ $A(-3, 1, 2)$ અને $B(1, -2, 4)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ એ $P$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી સદિશો $\vec{PA}$ અને $\vec{PB}$ લંબ છે.
$\vec{PA} = (-3-x, 1-y, 2-z)$
$\vec{PB} = (1-x, -2-y, 4-z)$
$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ હોવાથી:
$(-3-x)(1-x) + (1-y)(-2-y) + (2-z)(4-z) = 0$
$(x+3)(x-1) + (y-1)(y+2) + (z-2)(z-4) = 0$
$(x^2 + 2x - 3) + (y^2 + y - 2) + (z^2 - 6z + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + (-3 - 2 + 8) = 0$
$x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + z^2 + 2x + y - 6z + 3 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(1,0,0), B(0,1,0)$ અને $C(1,1,1)$ છે.
બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ગણો:
$AB = \sqrt{(0-1)^2 + (1-0)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$
$BC = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
$CA = \sqrt{(1-1)^2 + (1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{2}$
અહીં $AB = BC = CA = \sqrt{2}$ હોવાથી,આ બિંદુઓ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા સૌથી નાની ત્રિજ્યાવાળા ગોલકનું કેન્દ્ર ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્ર પર હોય છે.
કેન્દ્ર $C' = \left(\frac{1+0+1}{3}, \frac{0+1+1}{3}, \frac{0+0+1}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$.
ત્રિજ્યા $R$ એ $C'$ થી કોઈ પણ બિંદુ,જેમ કે $A(1,0,0)$ સુધીનું અંતર છે:
$R^2 = \left(\frac{2}{3}-1\right)^2 + \left(\frac{2}{3}-0\right)^2 + \left(\frac{1}{3}-0\right)^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
ગોલકનું સમીકરણ $(x-\frac{2}{3})^2 + (y-\frac{2}{3})^2 + (z-\frac{1}{3})^2 = \frac{2}{3}$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{4}{9} + y^2 - \frac{4y}{3} + \frac{4}{9} + z^2 - \frac{2z}{3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + \frac{9}{9} = \frac{6}{9}$.
$x^2 + y^2 + z^2 - \frac{4x}{3} - \frac{4y}{3} - \frac{2z}{3} + 1 = \frac{2}{3}$.
બંને બાજુ $3$ વડે ગુણતા: $3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 3 = 2$.
$3(x^2+y^2+z^2) - 4x - 4y - 2z + 1 = 0$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ છે.
આને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને કેન્દ્ર $C = (-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ મળે છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2 - (-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ છે.
કેન્દ્ર $C(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x+2y+2z+7=0$ નું લંબ અંતર $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{|-1 + 2 + 4 + 7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ગુણધર્મ મુજબ,$R^2 = p^2 + r^2$.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
તેથી,$r = \sqrt{9} = 3$.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2-6x-12y-2z+20=0$ છે.
ગોલકના વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2u=-6, 2v=-12, 2w=-2$ મળે છે.
તેથી,$u=-3, v=-6, w=-1$.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u,-v,-w) = (3,6,1)$ છે.
ધારો કે વ્યાસનું આપેલ અંત્યબિંદુ $A = (2,3,-3)$ છે અને બીજું અંત્યબિંદુ $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
કેન્દ્ર $O(3,6,1)$ એ વ્યાસ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$O = \left( \frac{\alpha+2}{2}, \frac{\beta+3}{2}, \frac{\gamma-3}{2} \right) = (3,6,1)$.
યામોને સરખાવતા:
$\frac{\alpha+2}{2} = 3 \Rightarrow \alpha+2 = 6 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\frac{\beta+3}{2} = 6 \Rightarrow \beta+3 = 12 \Rightarrow \beta = 9$.
$\frac{\gamma-3}{2} = 1 \Rightarrow \gamma-3 = 2 \Rightarrow \gamma = 5$.
તેથી,વ્યાસનું બીજું અંત્યબિંદુ $(4,9,5)$ છે.

(A) ગોલકનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+z^2-12x-4y-3z=0$ છે.
આને ગોલકના વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2u=-12$,$2v=-4$,અને $2w=-3$ મળે છે.
આમ,$u=-6$,$v=-2$,અને $w=-\frac{3}{2}$ છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (6, 2, \frac{3}{2})$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $r$ એ સૂત્ર $r = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $r = \sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-\frac{3}{2})^2-0}$ મળે છે.
$r = \sqrt{36+4+\frac{9}{4}} = \sqrt{40+\frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{160+9}{4}} = \sqrt{\frac{169}{4}}$.
તેથી,$r = \frac{13}{2}$.

(B) ધારો કે ચલ સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 3) = 0$ છે,જ્યાં $a, b, c$ એ સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરનો લંબપાદ છે.
$OQ$ એ સમતલને લંબ હોવાથી,$OQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_1, y_1, z_1)$ છે,જે $(a, b, c)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,કોઈ અચળાંક $k$ માટે $a = kx_1, b = ky_1, c = kz_1$ થાય.
આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $x_1(x_1 - 1) + y_1(y_1 - 2) + z_1(z_1 - 3) = 0$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $x_1^2 + y_1^2 + z_1^2 - x_1 - 2y_1 - 3z_1 = 0$ મળે છે.
આ $OP$ વ્યાસવાળા ગોલકનું સમીકરણ છે,જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ છે અને $P$ એ નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 2, 3)$ છે.

(B) ગોલકનું સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2x-2y-4z-19=0$ છે. તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^2+y^2+z^2+2ux+2vy+2wz+d=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $u=1, v=-1, w=-2, d=-19$ મળે છે.
ગોલકનું કેન્દ્ર $(-u, -v, -w) = (-1, 1, 2)$ છે.
ગોલકની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{u^2+v^2+w^2-d} = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-2)^2-(-19)} = \sqrt{1+1+4+19} = \sqrt{25} = 5$ છે.
હવે,કેન્દ્ર $(-1, 1, 2)$ થી સમતલ $x+2y+2z+7=0$ નું લંબ અંતર $p$ છે:
$p = \frac{|(-1) + 2(1) + 2(2) + 7|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}} = \frac{|-1+2+4+7|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{12}{\sqrt{9}} = \frac{12}{3} = 4$.
ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. ગોલકના કેન્દ્ર,વર્તુળના કેન્દ્ર અને વર્તુળની પરિઘ પરના બિંદુ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$R^2 = p^2 + r^2$ થાય છે.
$r^2 = R^2 - p^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
તેથી,$r = \sqrt{9} = 3$.