एक समतल जो बिंदु (2,2,2) से होकर गुजरता है,धन | vedclass

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Question

(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।चूँकि समतल $(2, 2, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{

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$\alpha + \beta + \gamma \ge \frac{9}{2}$

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(A) माना समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।चूँकि समतल $(2, 2, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c} = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$।$A, B, C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c)$ हैं।चतुष्फलक $OABC$ का केंद्रक $P(\alpha, \beta, \gamma)$ इस प्रकार है: $\alpha = \frac{a}{4}, \beta = \frac{b}{4}, \gamma = \frac{c}{4}$।अतः,$a = 4\alpha, b = 4\beta, c = 4\gamma$।इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{4\alpha} + \frac{1}{4\beta} + \frac{1}{4\gamma} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = 2$।धनात्मक संख्याओं $\alpha, \beta, \gamma$ के लिए $A.M. \ge H.M.$ असमिका का उपयोग करने पर:$\frac{\alpha + \beta + \gamma}{3} \ge \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}} = \frac{3}{2}$।इसलिए,$\alpha + \beta + \gamma \ge \frac{9}{2}$।

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