स्थिति सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ वाले बिंदु से गुजरने वाले और सदिश $2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ के लंबवत समतल का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि तीन समतल हैं:
$P_1 : x - y + z = 1$
$P_2 : x + y - z = -1$
$P_3 : x - 3y + 3z = 2$
मान लीजिए कि $P_2$ और $P_3$,$P_3$ और $P_1$,तथा $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखाएँ क्रमशः $L_1, L_2, L_3$ हैं।
कथन-$1$: रेखाओं $L_1, L_2$ और $L_3$ में से कम से कम दो रेखाएँ समांतर नहीं हैं।
कथन-$2$: तीनों समतलों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

उन बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिंदुओं $(1, 2, 3)$ और $(3, 2, -1)$ से समदूरस्थ हैं।

बिंदुओं $(2, 3, 1)$ और $(4, -5, 3)$ से होकर गुजरने वाले और $X$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

समतलों $3x - 4y + 5z = 0$ और $2x - y - 2z = 5$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

प्रथम अष्टांश में एक सदिश $\overrightarrow{V}$,$x$-अक्ष के साथ $60^{\circ}$,$y$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ और $z$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाता है। यदि $(\sqrt{2}, -1, 1)$ और $(a, b, c)$ बिंदुओं से गुजरने वाला एक समतल $\overrightarrow{V}$ के लंबवत है,तो: