रेखाओं frac{x+1}{7}=frac{y+1}{-6}=frac{z+1}{1 | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ हैं।दो रेखाओं $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\fr

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$2 \sqrt{29}$ इकाई

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(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ हैं।दो रेखाओं $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ और $\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ इस प्रकार दी जाती है:$d = \frac{|\det(A)|}{|\vec{v_{1}} 	imes \vec{v_{2}}|}$ जहाँ $A = \begin{bmatrix} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \ a_{1} & b_{1} & c_{1} \ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{bmatrix}$.समीकरणों की तुलना करने पर:$(x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (-1, -1, -1)$ और $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (7, -6, 1)$.$(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (3, 5, 7)$ और $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (1, -2, 1)$.सारणिक की गणना करने पर:$\det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \ 7 & -6 & 1 \ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4(-4) - 6(6) + 8(-8) = -16 - 36 - 64 = -116$.हर की गणना करने पर:$|\vec{v_{1}} 	imes \vec{v_{2}}| = \sqrt{(-4)^{2} + (-6)^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$.अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-116|}{2\sqrt{29}} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$ इकाई।

रेखाओं $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

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सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ $x=p y+q, z=r y+s$ और $x=p^{\prime} y+q^{\prime}, z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ परस्पर लंब हैं यदि $p p^{\prime}+r r^{\prime}+1=0$ हो।

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यदि रेखाएं $\frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - \lambda}{2}$ और $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{3\lambda} = \frac{2z - 7}{1}$ समतलीय हैं,तो $\lambda$ के मान(ओं) का योग ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\frac{x-3}{4}=\frac{y+7}{-11}=\frac{z-1}{5}$ और $\frac{x-5}{3}=\frac{y-9}{-6}=\frac{z+2}{1}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है:

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