बिंदु $(2, 3, -8)$ से रेखा $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। साथ ही,दिए गए बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी भी ज्ञात कीजिए।

(N/A) हमारे पास रेखा का समीकरण $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{6}=\frac{z-1}{-3}=\lambda$.
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $x = -2\lambda + 4$,$y = 6\lambda$,और $z = -3\lambda + 1$ द्वारा दिया जाता है।
माना $L$ बिंदु $P(2, 3, -8)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है। अतः,$L$ के निर्देशांक $(4-2\lambda, 6\lambda, 1-3\lambda)$ हैं।
रेखा $PL$ के दिक अनुपात $(4-2\lambda-2, 6\lambda-3, 1-3\lambda+8)$ हैं,जो सरल होकर $(2-2\lambda, 6\lambda-3, 9-3\lambda)$ हो जाते हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(-2, 6, -3)$ हैं।
चूंकि $PL$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$-2(2-2\lambda) + 6(6\lambda-3) - 3(9-3\lambda) = 0$.
$-4 + 4\lambda + 36\lambda - 18 - 27 + 9\lambda = 0$.
$49\lambda - 49 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $L = (4-2(1), 6(1), 1-3(1)) = (2, 6, -2)$ प्राप्त होता है।
लंबवत दूरी $PL$,बिंदु $P(2, 3, -8)$ और $L(2, 6, -2)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(2-2)^2 + (6-3)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ इकाई।