उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ और $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ हैं।समीकरणों को $

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$\frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई

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(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ और $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ हैं।समीकरणों को $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ के रूप में लिखने पर:रेखा $1$: $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.रेखा $2$: $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$यहाँ,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1})}{|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}|} ight|$ सूत्र द्वारा दी जाती है।सबसे पहले,$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}$ की गणना करें:$\vec{b_1} 	imes \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -1 & 1 & -2 \ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.परिमाण $|\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.अगला,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.अब,$(\vec{b_1} 	imes \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) = (2)(0) + (-4)(1) + (-3)(-4) = 0 - 4 + 12 = 8$.अतः,$d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} ight| = \frac{8}{\sqrt{29}}$ इकाई।

उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r}=(1-t) \hat{i}+(t-2) \hat{j}+(3-2 t) \hat{k}$ और $\vec{r}=(s+1) \hat{i}+(2 s-1) \hat{j}-(2 s+1) \hat{k}$ हैं।

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रेखाओं $l_1: r(t) = (i - 6j + 2k) + t(i + 2j + k)$ और $l_2: R(u) = (4j + k) + u(2i + j + 2k)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है

बिंदु $P(4, -5, 3)$ की रेखा $\vec{r} = (5, -2, 6) + k(3, -4, 5)$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$ है,से लंबवत दूरी ज्ञात कीजिए।

बिंदुओं $(3,-2,-5)$ और $(3,-2,6)$ से होकर जाने वाली रेखा के सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।

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