उन रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए जिनके सदिश समीकरण $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+\mu(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$ हैं।

रेखाओं $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=(2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k})+\mu(2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

उन रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए जिनकी दिक्कोज्याएँ समीकरणों $l+m+n=0$ और $l^2+m^2-n^2=0$ को संतुष्ट करती हैं।

कथन-$1$: दो समांतर रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ के बीच की दूरी $\sqrt{2}$ है।
कथन-$2$: दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा की लंबवत दूरी के बराबर होती है।

मान लीजिए कि रेखा $L_{1}$ सदिश $-3\hat{i}+2\hat{j}+4\hat{k}$ के समांतर है और बिंदु $(2, 6, 7)$ से गुजरती है,और रेखा $L_{2}$ सदिश $2\hat{i}+\hat{j}+3\hat{k}$ के समांतर है और बिंदु $(4, 3, 5)$ से गुजरती है। यदि रेखा $L_{3}$ सदिश $-3\hat{i}+5\hat{j}+16\hat{k}$ के समांतर है और रेखाओं $L_{1}$ और $L_{2}$ को क्रमशः $C$ और $D$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,तो $|\overrightarrow{CD}|^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

रेखाओं $\frac{x-5}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-4}{-3}$ और $\frac{x+3}{1}=\frac{y+5}{4}=\frac{z-1}{-5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी है ($\sqrt{3}$ में)