रेखाओं vec{r}=6 hat{i}+2 hat{j}+2 hat{k}+lamb | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएँ हैं:$\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ ...........$(1)$$\vec{r} = -4\hat{i} - \hat{k

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$9$

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(A) दी गई रेखाएँ हैं:$\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ ...........$(1)$$\vec{r} = -4\hat{i} - \hat{k} + \mu(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$ ...........$(2)$दो रेखाओं $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ और $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ इस प्रकार दी जाती है:$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}|} ight|$ ...........$(3)$दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\vec{a}_{1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$$\vec{a}_{2} = -4\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$अब,$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (-4\hat{i} - \hat{k}) - (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$।क्रॉस उत्पाद $\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}$ की गणना करें:$\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & -2 & 2 \ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-4)) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(-2 - (-6)) = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$।इसका परिमाण $|\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$।अब,डॉट उत्पाद $(\vec{b}_{1} 	imes \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$ की गणना करें:$(8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (8)(-10) + (8)(-2) + (4)(-3) = -80 - 16 - 12 = -108$।अंत में,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-108}{12} ight| = |-9| = 9$ इकाई।

रेखाओं $\vec{r}=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $\vec{r}=-4 \hat{i}-\hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए। ($\text{इकाई}$ में)

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यदि रेखा $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ रेखा $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ के साथ समकोण बनाती है,तो $4\lambda+9\mu$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि बिंदु $P(\beta, 0, \beta) \, (\beta \neq 0)$ से रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1}$ पर डाले गए लंब की लंबाई $\sqrt{\frac{3}{2}}$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

$x = ay + b$ और $z = cy + d$ समीकरणों द्वारा निरूपित रेखा के दिक-अनुपात (direction ratios) ज्ञात कीजिए।

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