Line Questions in Hindi

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: x = y + a = z$ और $L_2: x + a = 2y = 2z$ हैं।
$L_1$ को $\frac{x}{1} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = k_1$ के रूप में लिखने पर,$L_1$ पर स्थित बिंदु $P = (k_1, k_1 - a, k_1)$ है।
$L_2$ को $\frac{x+a}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = k_2$ के रूप में लिखने पर,$L_2$ पर स्थित बिंदु $Q = (2k_2 - a, k_2, k_2)$ है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(2k_2 - a - k_1, k_2 - k_1 + a, k_2 - k_1)$ हैं।
चूँकि दिक्-अनुपात $2 : 1 : 2$ के अनुपात में हैं,इसलिए $\frac{2k_2 - a - k_1}{2} = \frac{k_2 - k_1 + a}{1} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ होगा।
$\frac{k_2 - k_1 + a}{1} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ से,$2k_2 - 2k_1 + 2a = k_2 - k_1$ अर्थात $k_1 - k_2 = 2a$ प्राप्त होता है।
$\frac{2k_2 - a - k_1}{2} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ से,$2k_2 - a - k_1 = k_2 - k_1$ अर्थात $k_2 = a$ प्राप्त होता है।
$k_2 = a$ को $k_1 - k_2 = 2a$ में रखने पर,$k_1 = 3a$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (3a, 2a, 3a)$ और $Q = (a, a, a)$ हैं।

(A) कथन-$2$ के लिए: परिभाषा के अनुसार,दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु से दूसरी रेखा की लंबवत दूरी होती है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
कथन-$1$ के लिए: मान लीजिए रेखाएं $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ हैं।
बिंदु $P(0, 0, 0)$,$L_1$ पर स्थित है। $L_2$ का दिशा सदिश $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ है। $L_2$ पर एक बिंदु $Q(1, 1, 1)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{PQ} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-2)) - \hat{j}(4 - 4) + \hat{k}(-2 - 4) = 6\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{b}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$d = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$.
अतः,कथन-$1$ सत्य है और कथन-$2$ इसकी सही व्याख्या है।

(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$l = -2m - 3n$ प्राप्त होता है।
इस मान को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3m(-2m - 3n) - 4n(-2m - 3n) + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2$
$m = \pm \sqrt{2}n$।
स्थिति $1$: यदि $n = 1$,तो $m = \sqrt{2}$।
$l = -2(\sqrt{2}) - 3(1) = -2\sqrt{2} - 3$।
पहली रेखा के दिक् अनुपात $(-2\sqrt{2} - 3, \sqrt{2}, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $n = 1$,तो $m = -\sqrt{2}$।
$l = -2(-\sqrt{2}) - 3(1) = 2\sqrt{2} - 3$।
दूसरी रेखा के दिक् अनुपात $(2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$ हैं।
माना दिक् सदिश $\vec{v_1} = (-2\sqrt{2} - 3, \sqrt{2}, 1)$ और $\vec{v_2} = (2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$ हैं।
डॉट प्रोडक्ट $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$ की गणना करने पर:
$(-2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= (-(2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3)) - 2 + 1$
$= -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$।
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$।
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(A) पहली रेखा $x = ay + b$ और $z = cy + d$ द्वारा दी गई है। इसे सममित रूप में $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा के दिक्-अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
दूसरी रेखा $x = a'y + b'$ और $z = c'y + d'$ द्वारा दी गई है। इसे सममित रूप में $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y}{1} = \frac{z - d'}{c'}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा के दिक्-अनुपात $(a', 1, c')$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
इस शर्त को हमारी रेखाओं पर लागू करने पर: $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$aa' + cc' + 1 = 0$।

(D) माना बिंदु $P(3, -1, 11)$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद $L$ है।
चूंकि $L$ रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = t$ पर स्थित है,इसलिए $L$ के निर्देशांक $(2t, 3t + 2, 4t + 3)$ हैं।
रेखा $PL$ के दिक्-अनुपात $(2t - 3, 3t + 2 - (-1), 4t + 3 - 11)$ अर्थात $(2t - 3, 3t + 3, 4t - 8)$ हैं।
चूंकि $PL$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(2, 3, 4)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2t - 3) + 3(3t + 3) + 4(4t - 8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t = 1$ को $L$ के निर्देशांकों में रखने पर,$L(2(1), 3(1) + 2, 4(1) + 3) = L(2, 5, 7)$ प्राप्त होता है।
लंब $PL$ की लंबाई $P(3, -1, 11)$ और $L(2, 5, 7)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(2 - 3)^2 + (5 - (-1))^2 + (7 - 11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(A) माना $B(4, 7, 1)$ और $C(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ है। $BC$ के दिक अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ है।
रेखा $BC$ पर कोई भी बिंदु $D$,$(4-k, 7-2k, 1+2k)$ के रूप में है।
चूंकि $AD \perp BC$,$AD$ के दिक अनुपात $(4-k-1, 7-2k-0, 1+2k-3) = (3-k, 7-2k, 2k-2)$ हैं।
$AD$ और $BC$ के दिक अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$-1(3-k) - 2(7-2k) + 2(2k-2) = 0$.
$-3 + k - 14 + 4k + 4k - 4 = 0$.
$9k - 21 = 0 \Rightarrow k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ को $D$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$,$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$,$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = 1 + \frac{14}{3} = \frac{17}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ हैं।

(A) माना कि दिए गए बिंदु $A(2, -1, 1)$ और $B(-1, 4, 1)$ हैं। $A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = (-1 - 2)\hat{i} + (4 - (-1))\hat{j} + (1 - 1)\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा इस रेखा के समांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(-3, 5, 0)$ के समानुपाती होंगे।
यह रेखा बिंदु $P(1, 2, 2)$ से गुजरती है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का कार्तीय समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 2}{0}$ प्राप्त होता है।

(A) पहली रेखा $\frac{x - 1}{c} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 3}{4}$ के दिक अनुपात $(c, -2, 4)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{c}$ के दिक अनुपात $(1, 1, c)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{c}{1} = \frac{-2}{1} = \frac{4}{c}$.
पहली समानता से,हमें $c = -2$ प्राप्त होता है।
दूसरी समानता के साथ जाँच करने पर: $\frac{-2}{1} = \frac{4}{-2} = -2$,जो सत्य है।
अतः,$c = -2$।

(A) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा $(3, -16, 7)$ और $(3, 8, -5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$3l - 16m + 7n = 0$ और $3l + 8m - 5n = 0$ होगा।
वज्र गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$l = (-16)(-5) - (7)(8) = 80 - 56 = 24$
$m = (7)(3) - (3)(-5) = 21 + 15 = 36$
$n = (3)(8) - (-16)(3) = 24 + 48 = 72$
$12$ से भाग देने पर,दिक अनुपात $(2, 3, 6)$ प्राप्त होते हैं।
चूंकि रेखा $(1, 2, -4)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 4}{6}$ है।

(A) दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
दी गई रेखाओं के लिए,दिक अनुपात $(-3, 2k, 2)$ और $(3k, 1, -5)$ हैं।
लंब होने की शर्त लागू करने पर:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$

(C) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1$ और $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $(SD)$ का सूत्र $SD = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ है।
यहाँ $\vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{b}_2 = \hat{i}$ है।
सबसे पहले,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इसके बाद,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{j}$ ज्ञात करें।
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{j}) \cdot (-\hat{j} + \hat{k}) = 2$ ज्ञात करें।
अंत में,$SD = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदुओं $A(4, 7, 1)$ और $B(3, 5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ है। रेखा $AB$ के दिक्-अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखा $AB$ का प्राचलिक समीकरण $x = 4 - r, y = 7 - 2r, z = 1 + 2r$ है,जहाँ $r$ एक प्राचल है।
माना $Q$ बिंदु $P(1, 0, 3)$ से रेखा $AB$ पर लंब का पाद है। अतः $Q$ के निर्देशांक $(4-r, 7-2r, 1+2r)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (4-r-1, 7-2r-0, 1+2r-3) = (3-r, 7-2r, 2r-2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $PQ \perp AB$,इसलिए $\vec{PQ}$ और $AB$ के दिक्-अनुपात सदिश $\vec{v} = (-1, -2, 2)$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(3-r)(-1) + (7-2r)(-2) + (2r-2)(2) = 0$
$-3 + r - 14 + 4r + 4r - 4 = 0$
$9r - 21 = 0 \Rightarrow r = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$r = \frac{7}{3}$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$
$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$
$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = 1 + \frac{14}{3} = \frac{17}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ हैं।

(A) माना बिंदुओं $(2, 1, -3)$ और $(-3, 1, 7)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ हैं।
$a_1 = -3 - 2 = -5$,$b_1 = 1 - 1 = 0$,$c_1 = 7 - (-3) = 10$.
अतः,दिक सदिश $\vec{v_1} = (-5, 0, 10)$ है।
दूसरी रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 3}{5}$ के समांतर है,इसलिए इसके दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ हैं।
अतः,दिक सदिश $\vec{v_2} = (3, 4, 5)$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
$\cos \theta = \frac{|(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)|}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|-15 + 0 + 50|}{\sqrt{25 + 0 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}}$.
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{10}}\right)$.

(B) माना बिंदु $P(2, 4, 1)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद $M$ है।
रेखा पर किसी बिंदु $M$ के निर्देशांक $(k - 5, 4k - 3, -9k + 6)$ हैं।
सदिश $\vec{PM} = (k - 5 - 2, 4k - 3 - 4, -9k + 6 - 1) = (k - 7, 4k - 7, -9k + 5)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{l} = (1, 4, -9)$ है।
चूँकि $\vec{PM}$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{PM} \cdot \vec{l} = 0$.
$(k - 7)(1) + (4k - 7)(4) + (-9k + 5)(-9) = 0$.
$k - 7 + 16k - 28 + 81k - 45 = 0$.
$98k - 80 = 0 \implies k = \frac{40}{49}$.
$k = \frac{40}{49}$ को $M$ के निर्देशांकों में रखने पर: $M = (-\frac{205}{49}, \frac{13}{49}, -\frac{66}{49})$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,प्रश्न में त्रुटि हो सकती है। यदि बिंदु $(2, 4, -1)$ होता,तो $k=1$ और $M=(-4, 1, -3)$ प्राप्त होता।

(D) $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - 5}{5 - 3} = \frac{y - 1}{1 - b} = \frac{z - a}{a - 1}$
$\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 1}{1 - b} = \frac{z - a}{a - 1}$
चूंकि बिंदु $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ इस रेखा पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{0 - 5}{2} = \frac{\frac{17}{2} - 1}{1 - b} = \frac{\frac{-13}{2} - a}{a - 1}$
$-\frac{5}{2} = \frac{15}{2(1 - b)} = \frac{-13 - 2a}{2(a - 1)}$
पहली समानता से:
$-\frac{5}{2} = \frac{15}{2(1 - b)} \implies 1 - b = -3 \implies b = 4$
दूसरी समानता से:
$-\frac{5}{2} = \frac{-13 - 2a}{2(a - 1)} \implies -5(a - 1) = -13 - 2a
-5a + 5 = -13 - 2a
3a = 18 \implies a = 6$
अतः,$a = 6$ और $b = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं पर स्वेच्छ बिंदुओं के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
रेखा $1$: $\vec{r} = (3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k}$
रेखा $2$: $\vec{r} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$
यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ के कुछ मानों के लिए उनका एक उभयनिष्ठ बिंदु होना चाहिए:
$(3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$
घटकों की तुलना करने पर:
$3\lambda + 1 = 2\mu + 4$ $(i)$
$1 - \lambda = 0$ $(ii)$
$-1 = 3\mu - 1$ $(iii)$
समीकरण $(ii)$ से,$\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(iii)$ से,$3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = 1$ और $\mu = 0$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3(1) + 1 = 4$ और $2(0) + 4 = 4$। चूँकि $4 = 4$,रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$\lambda = 1$ को पहली रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + 1(3\hat{i} - \hat{j}) = 4\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(4, 0, -1)$ हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{k} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ और $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{k} = \frac{z-1}{2}$ हैं।
दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ तब प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो,जो सारणिक की शर्त को दर्शाता है:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$.
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(a_1, b_1, c_1) = (k, 2, 3)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 1)$,$(a_2, b_2, c_2) = (3, k, 2)$ है।
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 2-1 & 3-2 & 1-3 \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(4-3k) - 1(2k-9) - 2(k^2-6) = 0$
$4 - 3k - 2k + 9 - 2k^2 + 12 = 0$
$-2k^2 - 5k + 25 = 0$
$2k^2 + 5k - 25 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^2 + 10k - 5k - 25 = 0$
$2k(k+5) - 5(k+5) = 0$
$(2k-5)(k+5) = 0$.
अतः,$k = \frac{5}{2}$ या $k = -5$ है।
चूँकि प्रश्न में $k$ का पूर्णांक मान पूछा गया है,इसलिए सही उत्तर $-5$ है।

(A) दी गई रेखा $\frac{6 - x}{-3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{7 - z}{2}$ है।
इसे मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = k$.
रेखा पर कोई भी बिंदु $M = (3k + 6, 2k + 7, -2k + 7)$ है।
माना $A = (1, 2, 3)$ है। सदिश $\vec{AM} = (3k + 6 - 1, 2k + 7 - 2, -2k + 7 - 3) = (3k + 5, 2k + 5, -2k + 4)$ है।
रेखा की दिशा का सदिश $\vec{v} = (3, 2, -2)$ है।
चूंकि $\vec{AM} \perp \vec{v}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{AM} \cdot \vec{v} = 0$.
$3(3k + 5) + 2(2k + 5) - 2(-2k + 4) = 0$.
$9k + 15 + 4k + 10 + 4k - 8 = 0$.
$17k + 17 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ को $M$ के निर्देशांकों में रखने पर: $x = 3(-1) + 6 = 3$,$y = 2(-1) + 7 = 5$,$z = -2(-1) + 7 = 9$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(3, 5, 9)$ हैं।

(C) रेखाओं के दिए गए समीकरण $x = ay + b, z = cy + d$ और $x = a'y + b', z = c'y + d'$ हैं।
पहली रेखा को सममित रूप में लिखने पर:
$\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c} \implies \frac{x - b}{a} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d}{c}$.
इस रेखा के दिक्-अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा के लिए:
$\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'} \implies \frac{x - b'}{a'} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d'}{c'}$.
इस रेखा के दिक्-अनुपात $(a', 1, c')$ हैं।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$.
अतः,$aa' + cc' + 1 = 0$।

(A) दिए गए संबंधों से $n$ का विलोपन करने पर: $(fm + gl)(\frac{-al - bm}{c}) + hlm = 0$
अथवा $ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0 \dots (1)$
मान लीजिए कि $(1)$ के मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं। तब $\frac{l_1}{m_1} \cdot \frac{l_2}{m_2} = \frac{bf}{ag} \Rightarrow \frac{l_1l_2}{f/a} = \frac{m_1m_2}{g/b} \dots (2)$
इसी प्रकार,$\frac{m_1m_2}{g/b} = \frac{n_1n_2}{h/c} \dots (3)$
$(2)$ और $(3)$ से,$\frac{l_1l_2}{f/a} = \frac{m_1m_2}{g/b} = \frac{n_1n_2}{h/c} = \frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{(f/a) + (g/b) + (h/c)}$
यदि दो रेखाएं लंबवत हैं,तो $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$
अतः,$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$

(C) माना कि दी गई रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = \lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P(2\lambda + 1, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ के रूप में है।
बिंदु $A(1, 0, 0)$ और $P(2\lambda + 1, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के दिक अनुपात $(2\lambda + 1 - 1, -3\lambda - 1 - 0, 8\lambda - 10 - 0)$ अर्थात $(2\lambda, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ हैं।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए $AP$ के दिक अनुपात और रेखा के दिक अनुपात $(2, -3, 8)$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda - 1) + 8(8\lambda - 10) = 0$.
$4\lambda + 9\lambda + 3 + 64\lambda - 80 = 0$.
$77\lambda - 77 = 0 \implies \lambda = 1$.
$P$ के निर्देशांकों में $\lambda = 1$ रखने पर,हमें $P(2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$ प्राप्त होता है।
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(3, -4, -2)$ हैं।

(C) माना रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $(l, m, n)$ हैं।
चूँकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,माना वह कोण $\alpha$ है।
अतः,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ है।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3 \cos^2 \alpha = 1$,जिसका अर्थ है $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
इस प्रकार,रेखा के दिक्-अनुपात (direction ratios) $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(1, -3, 5)$ और दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ रखने पर,हमें $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - (-3)}{1} = \frac{z - 5}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा का समीकरण $x - 1 = y + 3 = z - 5$ है।

(D) माना मूल बिंदु $P(0, 0, 0)$ है। रेखा बिंदु $A(4, 2, 4)$ से होकर गुजरती है और सदिश $\vec{l} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ के समांतर है।
सदिश $\vec{AP} = P - A = (0-4, 0-2, 0-4) = (-4, -2, -4)$ है।
मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{l}|}{|\vec{l}|}$ द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{AP} \times \vec{l}$ की गणना करें:
$\vec{AP} \times \vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -2 & -4 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - (-16)) - \hat{j}(20 - (-12)) + \hat{k}(-16 - (-6)) = 26\hat{i} - 32\hat{j} - 10\hat{k}$ है।
अब,इनके परिमाण की गणना करें:
$|\vec{AP} \times \vec{l}| = \sqrt{26^2 + (-32)^2 + (-10)^2} = \sqrt{676 + 1024 + 100} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$ है।
$|\vec{l}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
अतः,$d = \frac{30\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 6$।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1} = s$ है। तब $x = 5s + 4, y = 2s + 1, z = s$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = t$ है। तब $x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए,$5s + 4 = 2t + 1 \implies 5s - 2t = -3$ (समीकरण $1$)।
$2s + 1 = 3t + 2 \implies 2s - 3t = 1$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ और $2$ को हल करने पर: समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर: $15s - 6t = -9$ और $4s - 6t = 2$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $11s = -11 \implies s = -1$ प्राप्त होता है।
$s = -1$ को $x = 5s + 4, y = 2s + 1, z = s$ में रखने पर,$x = 5(-1) + 4 = -1, y = 2(-1) + 1 = -1, z = -1$ प्राप्त होता है।
दूसरी रेखा के साथ जाँच करने पर: $x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3$। $x = -1$ के लिए,$2t + 1 = -1 \implies t = -1$।
तब $y = 3(-1) + 2 = -1$ और $z = 4(-1) + 3 = -1$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।

(A) माना $P = (1, 2, 3)$ दिया गया बिंदु है और $L$,$P$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
रेखा $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = \lambda$ पर कोई भी बिंदु $L = (3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ द्वारा दिया जाता है।
रेखा $PL$ के दिक अनुपात $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ हैं।
चूंकि $PL$ दी गई रेखा (जिसके दिक अनुपात $(3, 2, -2)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) + (-2)(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$L$ के निर्देशांकों में $\lambda = -1$ रखने पर,हमें $L = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$ प्राप्त होता है।
लंब $PL$ की लंबाई $P(1, 2, 3)$ और $L(3, 5, 9)$ के बीच की दूरी है:
$PL = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(A) दी गई रेखाएं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
साथ ही,$\vec{a_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ की गणना करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
इसके बाद,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})$ की गणना करें:
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ द्वारा दी जाती है।
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x - 2}{2} = \frac{2y - 5}{-3}, z = -1$ है।
हम इसे मानक रूप में $\frac{x - 2}{2} = \frac{2(y - 5/2)}{-3} = \frac{z + 1}{0}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 5/2}{-3/2} = \frac{z + 1}{0}$ हो जाता है।
यह दर्शाता है कि रेखा बिंदु $(2, 5/2, -1)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(2, -3/2, 0)$ के समानुपाती हैं।
बिंदु का स्थिति सदिश $\vec{a} = 2\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} - \hat{k}$ है।
रेखा के समांतर सदिश $\vec{b} = 2\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (2\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} - \hat{k}) + \lambda (2\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 0\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(B) माना दो रेखाएँ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ और $L_2: \frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ हैं।
$L_1$ पर एक बिंदु $A(1, -1, 1)$ है और दिशा सदिश $\vec{l} = (2, 3, 4)$ है।
$L_2$ पर एक बिंदु $B(3, k, 0)$ है और दिशा सदिश $\vec{m} = (1, 2, 1)$ है।
रेखाएँ तभी प्रतिच्छेद करती हैं यदि सदिश $\vec{AB} = (3-1, k-(-1), 0-1) = (2, k+1, -1)$,$\vec{l}$ और $\vec{m}$ के साथ समतलीय हो।
यह शर्त अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB}, \vec{l}, \vec{m}] = 0$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $(\vec{AB}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{l} \times \vec{m} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-8) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(4-3) = (-5, 2, 1)$ की गणना करें।
अब,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $(2, k+1, -1) \cdot (-5, 2, 1) = 0$।
$2(-5) + (k+1)(2) + (-1)(1) = 0$।
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$।
$2k - 9 = 0$।
$2k = 9$।
$k = 9/2$।

(D) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$
दिए गए समीकरणों की तुलना मानक रूप से करने पर:
$\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$
सबसे पहले,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 - (-12)) - \hat{j}(-5 - (-6)) + \hat{k}(4 - 4) = 2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$.
अब,अदिश गुणनफल $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})$ ज्ञात करें:
$(-3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}) = (-3)(2) + (0)(-1) + (2)(0) = -6 + 0 + 0 = -6$.
परिमाण (Magnitude) $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{5}} \right| = \frac{6}{\sqrt{5}}$।

(B) दो रेखाओं $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ और $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ के समतलीय होने की शर्त निम्नलिखित सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$.
साथ ही,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$.
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 - 2 & 4 - 3 & 5 - 4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$.

(B) दी गई रेखा $\vec{r} = (1, 1, 1) + k(2, 3, 4)$ है। यह रेखा बिंदु $A(1, 1, 1)$ से होकर गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ है।
दो रेखाओं के संपाती होने के लिए,उनके पास समान दिशा सदिश (या अदिश गुणज) होना चाहिए और एक ही बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।
विकल्प $B$ पर विचार करें: $\frac{3 - x}{6} = \frac{4 - y}{9} = \frac{5 - z}{12}$।
इसे $\frac{x - 3}{-6} = \frac{y - 4}{-9} = \frac{z - 5}{-12}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका दिशा सदिश $(-6, -9, -12) = -3(2, 3, 4)$ है,जो दी गई रेखा के समानांतर है।
अब,जांचें कि क्या बिंदु $(1, 1, 1)$ इस रेखा पर स्थित है:
$\frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{4 - 1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
चूंकि सभी अनुपात $\frac{1}{3}$ के बराबर हैं,इसलिए बिंदु $(1, 1, 1)$ रेखा पर स्थित है।
अतः,विकल्प $B$ में दी गई रेखा दी गई रेखा के संपाती है।

(D) पहली रेखा $L_1$ के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (2, 2, 0)$ हैं।
दूसरी रेखा $L_2$ के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (0, 0, 1)$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य हो।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2 \times 0) + (2 \times 0) + (0 \times 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं।

(A) दी गई रेखा के समीकरण $x = ay + b$ और $z = cy + d$ हैं।
इन समीकरणों को $y$ के पदों में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$
$z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$
$y$ के लिए व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$
यह रेखा के समीकरण का सममित रूप $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ है,जहाँ $(l, m, n)$ दिक्-अनुपात हैं।
हरों (denominators) की तुलना करने पर,दिक्-अनुपात $(a, 1, c)$ प्राप्त होते हैं।

(A) पहली रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 2}{0}$ है। इसका दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
दूसरी रेखा $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3/2}{3/2} = \frac{z + 5}{2}$ है। इसका दिशा सदिश $\vec{b_2} = 1\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (-2)(\frac{3}{2}) + (0)(2) = 3 - 3 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,कोण $\theta = \frac{\pi}{2}$ है।

(A) यहाँ,$\vec{p} = (4, -5, 3)$ और $\vec{a} = (5, -2, 6)$ है।
अतः,$\vec{p} - \vec{a} = (-1, -3, -3)$ और $\vec{l} = (3, -4, 5)$ है।
$(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{l} = (-27, -4, 13)$ प्राप्त होता है।
अभीष्ट दूरी $= \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \sqrt{\frac{729 + 16 + 169}{9 + 16 + 25}} = \sqrt{\frac{914}{50}} = \sqrt{\frac{457}{25}} = \frac{\sqrt{457}}{5}$.
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर,दूरी $\frac{\sqrt{547}}{5}$ प्राप्त होती है।

(B) दो रेखाएँ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ और $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ प्रतिच्छेद करती हैं यदि और केवल यदि उनके दिक अनुपातों और बिंदुओं के अंतर से बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
दी गई रेखाओं के लिए,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ के साथ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ दिक अनुपात $(1, 2, 1)$ के साथ है।
इन मानों को सारणिक स्थिति में रखने पर:
$\begin{vmatrix} 3 - 1 & k - (-2) & 0 - 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k + 2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3 - 8) - (k + 2)(2 - 4) - 1(4 - 3) = 0$
$2(-5) - (k + 2)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 4 - 1 = 0$
$2k - 7 = 0$
$k = \frac{7}{2}$

(D) बिंदु $(a, b, c)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - a}{l} = \frac{y - b}{m} = \frac{z - c}{n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $(l, m, n)$ रेखा के दिक्-अनुपात हैं।
चूँकि रेखा $z$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसके दिक्-अनुपात $z$-अक्ष के दिक्-अनुपातों $(0, 0, 1)$ के समानुपाती होने चाहिए।
अतः,हम $l = 0$,$m = 0$ और $n = 1$ ले सकते हैं।
इन मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x - a}{0} = \frac{y - b}{0} = \frac{z - c}{1}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा बिंदु $A(6, 7, 7)$ से होकर गुजरती है और सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ के समानांतर है।
माना $M$,बिंदु $P(1, 2, 3)$ से रेखा पर खींचे गए लंब का पाद है।
यहाँ $\vec{AP} = (1-6)\hat{i} + (2-7)\hat{j} + (3-7)\hat{k} = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
$|\vec{AP}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 25 + 16} = \sqrt{66}$ है।
$AM$,सदिश $\vec{b}$ पर $\vec{AP}$ का प्रक्षेप है।
$AM = \left| \frac{\vec{AP} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right| = \frac{|(-5\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-15 - 10 + 8|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} = \frac{|-17|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle APM$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार $PM^2 = AP^2 - AM^2$ है।
$PM^2 = 66 - 17 = 49$ है।
अतः,$PM = \sqrt{49} = 7$ है।

(B) दी गई रेखाएँ क्रमशः सदिशों $\vec{b_1} = \hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ के समांतर हैं।
यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे पर लंब हैं,तो उनके दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होता है,अर्थात $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$।
$(1)(-\lambda) + (\lambda)(2) + (-1)(1) = 0$
$-\lambda + 2\lambda - 1 = 0$
$\lambda - 1 = 0$
$\lambda = 1$

(B) दी गई रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए उनके बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होगी।
माना रेखाओं पर स्थित बिंदु $A(1, 2, 3)$ और $B(2, 3, 1)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{l} = (k, 2, 3)$ और $\vec{m} = (3, k, 2)$ हैं।
प्रतिच्छेदन की शर्त: $(\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$ है।
यहाँ,$\vec{B} - \vec{A} = (2-1, 3-2, 1-3) = (1, 1, -2)$ है।
सदिश गुणनफल $\vec{l} \times \vec{m} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 3k) - \hat{j}(2k - 9) + \hat{k}(k^2 - 6) = (4 - 3k, 9 - 2k, k^2 - 6)$ है।
अदिश गुणनफल लेने पर: $(1, 1, -2) \cdot (4 - 3k, 9 - 2k, k^2 - 6) = 0$ है।
$(4 - 3k) + (9 - 2k) - 2(k^2 - 6) = 0$ है।
$4 - 3k + 9 - 2k - 2k^2 + 12 = 0$ है।
$-2k^2 - 5k + 25 = 0 \Rightarrow 2k^2 + 5k - 25 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $2k^2 + 10k - 5k - 25 = 0 \Rightarrow 2k(k + 5) - 5(k + 5) = 0$ है।
$(2k - 5)(k + 5) = 0$ है।
अतः,$k = \frac{5}{2}$ या $k = -5$ है। विकल्पों के अनुसार,सही मान $-5$ है।

(D) माना दी गई रेखाएं $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{4} = \lambda$ और $L_2: \frac{x-3}{1} = \frac{y-k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,ऐसे $\lambda$ और $\mu$ होने चाहिए कि $P = Q$ हो।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(1)$
$3\lambda - 1 = 2\mu + k \implies 3\lambda - 2\mu = k + 1$ $(2)$
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ $(3)$
$(3)$ में से $(1)$ घटाने पर: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(1)$ में रखने पर: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
अब $\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k + 1$
$-\frac{9}{2} + 10 = k + 1$
$\frac{11}{2} = k + 1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(A) दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण से,$n = -\frac{al + bm}{c}$।
$n$ का मान दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $fm(-\frac{al + bm}{c}) + gl(-\frac{al + bm}{c}) + hlm = 0$।
$-c$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $fm(al + bm) + gl(al + bm) - chlm = 0$।
विस्तार करने पर: $aflm + bfm^2 + agl^2 + bglm - chlm = 0$।
$(l/m)$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0$।
माना मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं। तब $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{bf}{ag}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b}$।
इसी प्रकार,$l$ और $m$ को विलुप्त करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c} = k$।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ होना चाहिए।
अनुपात प्रतिस्थापित करने पर: $k(\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c}) = 0$।
चूँकि $k \neq 0$,इसलिए $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ होना चाहिए।

(B) बिंदुओं $(3, 4, 1)$ और $(5, 1, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1} = \lambda$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = \lambda$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda + 3, -3\lambda + 4, 5\lambda + 1)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$5\lambda + 1 = 0$ रखने पर,$\lambda = -\frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अब $\lambda = -\frac{1}{5}$ को निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = -3(-\frac{1}{5}) + 4 = \frac{3}{5} + \frac{20}{5} = \frac{23}{5}$.
$z = 5(-\frac{1}{5}) + 1 = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ है।

(B) माना पहली रेखा $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda + 1, 3\lambda + 1, 4\lambda + 1)$ है।
माना दूसरी रेखा $L_2: \frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $(\mu + 3, 2\mu + k, \mu)$ है।
चूंकि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व इस प्रकार है:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ (समीकरण $1$)
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$
$2\lambda = -3 \implies \lambda = -3/2$.
$\lambda = -3/2$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$4(-3/2) - \mu = -1 \implies -6 - \mu = -1 \implies \mu = -5$.
अब,प्रतिच्छेदन बिंदु पर $y$-निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3\lambda + 1 = 2\mu + k$
$3(-3/2) + 1 = 2(-5) + k$
$-9/2 + 1 = -10 + k$
$-7/2 = -10 + k$
$k = 10 - 3.5 = 6.5 = 13/2$.

(B) माना पहली रेखा $L_1$,बिंदुओं $A(-5, 1, 3)$ और $B(1, 2, 0)$ से होकर गुजरती है। $L_1$ के दिक अनुपात $(1 - (-5), 2 - 1, 0 - 3) = (6, 1, -3)$ हैं।
माना दूसरी रेखा $L_2$,बिंदुओं $C(x, 2, 1)$ और $D(0, -4, 6)$ से होकर गुजरती है। $L_2$ के दिक अनुपात $(0 - x, -4 - 2, 6 - 1) = (-x, -6, 5)$ हैं।
चूंकि रेखाएं $L_1$ और $L_2$ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$(6)(-x) + (1)(-6) + (-3)(5) = 0$
$-6x - 6 - 15 = 0$
$-6x - 21 = 0$
$-6x = 21$
$x = -21/6 = -7/2$.

(C) दिए गए समीकरण मानक रूप में नहीं हैं। हम उन्हें इस प्रकार फिर से लिखते हैं:
रेखा $1$: $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-2}{0}$. दिशा सदिश $\vec{b_1} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा $2$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3/2}{3/2} = \frac{z+5}{2}$. दिशा सदिश $\vec{b_2} = 1\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
मान लीजिए कि रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ होगा।
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (-2)(3/2) + (0)(2) = 3 - 3 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल (dot product) $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,$\theta = \pi / 2$।

(A) माना दो रेखाएँ $L_1: (1 + k\lambda, 2 + 2k, 3 + 3k)$ और $L_2: (2 + 3m, 3 + m\lambda, 1 + 2m)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,ऐसे $k$ और $m$ मौजूद हैं कि:
$1 + k\lambda = 2 + 3m$ $(1)$
$2 + 2k = 3 + m\lambda$ $(2)$
$3 + 3k = 1 + 2m$ $(3)$
$(3)$ से,$3k - 2m = -2 \implies m = \frac{3k + 2}{2}$ प्राप्त होता है।
$m$ का मान $(2)$ में रखने पर: $2 + 2k = 3 + \lambda(\frac{3k + 2}{2}) \implies 4 + 4k = 6 + 3k\lambda + 2\lambda \implies 4k - 3k\lambda - 2\lambda = 2$.
$m$ का मान $(1)$ में रखने पर: $1 + k\lambda = 2 + 3(\frac{3k + 2}{2}) \implies 2 + 2k\lambda = 4 + 9k + 6 \implies 2k\lambda - 9k = 8$.
इन समीकरणों को हल करने पर,$\lambda = -5$ प्राप्त होता है।

(C) $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ है।
इसे $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $yz-$ समतल को जहाँ काटती है वहाँ $x=0$ होता है। $\frac{x-5}{-2} = \mu$ में $x=0$ रखने पर,$\frac{0-5}{-2} = \mu$,अतः $\mu = \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$y-$ निर्देशांक के लिए: $y = \mu(b-1) + 1 = \frac{17}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ रखने पर: $\frac{5}{2}(b-1) + 1 = \frac{17}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}(b-1) = \frac{15}{2} \Rightarrow b-1 = 3 \Rightarrow b = 4$.
$z-$ निर्देशांक के लिए: $z = \mu(1-a) + a = -\frac{13}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ रखने पर: $\frac{5}{2}(1-a) + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$.
इस प्रकार,$a = 6$. अतः,$a=6$ और $b=4$.

(D) माना रेखा $L: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(k, 2k + 1, 3k + 2)$ है।
बिंदु $A(1, 0, 7)$ को रेखा $L$ में बिंदु $B(1, 6, 3)$ का दर्पण प्रतिबिंब होने के लिए,रेखा $AB$ को $L$ के लंबवत होना चाहिए और $AB$ के मध्य बिंदु को $L$ पर स्थित होना चाहिए।
$1$. $AB$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ है।
जाँच: $\frac{1}{1} = \frac{3-1}{2} = \frac{5-2}{3} \implies 1 = 1 = 1$. अतः,$M$,$L$ पर स्थित है।
$2$. $AB$ के दिक अनुपात $(1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ हैं।
$L$ के दिक अनुपात $(1, 2, 3)$ हैं।
अदिश गुणनफल: $(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $AB$,$L$ के लंबवत है।
दोनों शर्तें पूरी होती हैं,इसलिए कथन $-1$ सही है। कथन $-2$ भी सही है क्योंकि रेखा $L$,$AB$ के मध्य बिंदु से गुजरती है और $AB$ के लंबवत है,जो रेखा में दर्पण प्रतिबिंब की परिभाषा है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ की सही व्याख्या है।