दर्शाइए कि बिंदुओं $(1, -1, 2)$ और $(3, 4, -2)$ से होकर जाने वाली रेखा,बिंदुओं $(0, 3, 2)$ और $(3, 5, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा पर लंब है।
(N/A) माना $AB$ बिंदुओं $(1, -1, 2)$ और $(3, 4, -2)$ को जोड़ने वाली रेखा है,और $CD$ बिंदुओं $(0, 3, 2)$ और $(3, 5, 6)$ से होकर जाने वाली रेखा है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ इस प्रकार हैं: $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ इस प्रकार हैं: $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों के गुणनफल का योग ज्ञात करने पर:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4)$
$= 6 + 10 - 16$
$= 16 - 16$
$= 0$।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए रेखा $AB$ रेखा $CD$ पर लंब है।
रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ इस प्रकार हैं: $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2)$ इस प्रकार हैं: $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$।
दो रेखाएं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों के गुणनफल का योग ज्ञात करने पर:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4)$
$= 6 + 10 - 16$
$= 16 - 16$
$= 0$।
चूंकि योग $0$ है,इसलिए रेखा $AB$ रेखा $CD$ पर लंब है।
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