सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ $x=p y+q, z=r y+s$ और $x=p^{\prime} y+q^{\prime}, z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ परस्पर लंब हैं यदि $p p^{\prime}+r r^{\prime}+1=0$ हो।

(A) पहली रेखा के दिए गए समीकरण $x=p y+q$ और $z=r y+s$ हैं।
इसे $\frac{x-q}{p} = y = \frac{z-s}{r}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,पहली रेखा के दिक अनुपात $(p, 1, r)$ हैं।
इसी प्रकार,दूसरी रेखा के समीकरण $x=p^{\prime} y+q^{\prime}$ और $z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ हैं।
इसे $\frac{x-q^{\prime}}{p^{\prime}} = y = \frac{z-s^{\prime}}{r^{\prime}}$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
अतः,दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(p^{\prime}, 1, r^{\prime})$ हैं।
दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दिक अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(p)(p^{\prime}) + (1)(1) + (r)(r^{\prime}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,रेखाएँ परस्पर लंब हैं यदि $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ हो।