Line Questions in Hindi

(C) दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण जिनके स्थिति सदिश $a$ और $b$ हैं,$r = a + t(b - a)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $t$ एक अदिश प्राचल है।
यहाँ,$a = i - 2j + k$ और $b = -2j + 3k$ है।
दिशा सदिश $(b - a)$ की गणना करने पर:
$b - a = (-2j + 3k) - (i - 2j + k) = -i + 0j + 2k = 2k - i$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = (i - 2j + k) + t(2k - i)$.

(A) मान लीजिए $A$ बिंदु $(-1, 2, 6)$ है और $P$ रेखा पर स्थित बिंदु $(2, 3, -4)$ है। सदिश $\overrightarrow{PA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{P} = (-1-2)i + (2-3)j + (6-(-4))k = -3i - j + 10k$ है।
रेखा सदिश $\vec{v} = 6i + 3j - 4k$ के समानांतर है। $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$ है।
रेखा पर $\overrightarrow{PA}$ का प्रक्षेप $PN = \left| \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|} \right| = \left| \frac{(-3)(6) + (-1)(3) + (10)(-4)}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-18 - 3 - 40}{\sqrt{61}} \right| = \left| \frac{-61}{\sqrt{61}} \right| = \sqrt{61}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle APN$ में,बिंदु $A$ से रेखा की दूरी $AN = \sqrt{|\overrightarrow{PA}|^2 - PN^2}$ है।
यहाँ $|\overrightarrow{PA}|^2 = (-3)^2 + (-1)^2 + 10^2 = 9 + 1 + 100 = 110$ है।
अतः,$AN = \sqrt{110 - 61} = \sqrt{49} = 7$.

(C) दी गई रेखाएँ $r = a_1 + t b_1$ और $r = a_2 + s b_2$ के रूप में हैं,जहाँ:
$a_1 = 3i - 2j - 2k$,$b_1 = i$
$a_2 = i - j + 2k$,$b_2 = j$
सबसे पहले,दिशा सदिशों का क्रॉस गुणनफल ज्ञात करें:
$b_1 \times b_2 = i \times j = k$
$|b_1 \times b_2| = |k| = 1$
इसके बाद,सदिश $(a_2 - a_1)$ ज्ञात करें:
$a_2 - a_1 = (i - j + 2k) - (3i - 2j - 2k) = -2i + j + 4k$
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|}$
मान रखने पर:
$d = \frac{|(-2i + j + 4k) \cdot k|}{1} = \frac{|4|}{1} = 4$
अतः,न्यूनतम दूरी $4$ है।

(C) दो बिंदुओं,जिनके स्थिति सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ हैं,से होकर जाने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + t(\vec{b} - \vec{a})$ होता है,जहाँ $t$ एक अदिश प्राचल है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{b} - t\vec{a} = (1 - t)\vec{a} + t\vec{b}$.
$\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$ और $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r} = (1 - t)(a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) + t(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$
$\vec{r} = a_1(1 - t)\hat{i} + a_2(1 - t)\hat{j} + a_3(1 - t)\hat{k} + t(b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k})$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) दी गई रेखाएं ${r_1} = {a_1} + \lambda {b_1}$ और ${r_2} = {a_2} + \mu {b_2}$ के रूप में हैं।
यहाँ,${a_1} = 4i - 3j - k$,${b_1} = i - 4j + 7k$,${a_2} = i - j - 10k$,और ${b_2} = 2i - 3j + 8k$ है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणन ${b_1} \times {b_2}$ की गणना करते हैं:
${b_1} \times {b_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & -4 & 7 \\ 2 & -3 & 8 \end{vmatrix} = i(-32 + 21) - j(8 - 14) + k(-3 + 8) = -11i + 6j + 5k$.
इसके बाद,सदिश ${a_2} - {a_1} = (1-4)i + (-1 - (-3))j + (-10 - (-1))k = -3i + 2j - 9k$ ज्ञात करते हैं।
न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|({a_2} - {a_1}) \cdot ({b_1} \times {b_2})|}{|{b_1} \times {b_2}|}$ है।
अदिश गुणन की गणना करने पर: $({a_2} - {a_1}) \cdot ({b_1} \times {b_2}) = (-3)(-11) + (2)(6) + (-9)(5) = 33 + 12 - 45 = 0$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएं समतलीय हैं और प्रतिच्छेद करती हैं,अतः न्यूनतम दूरी $0$ है।

(B) माना कि $YOZ$ समतल रेखाखंड $PQ$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(9, -1, 5)$ हैं और बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(1, 3, 5)$ हैं।
$YOZ$ समतल का समीकरण $x = 0$ होता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$PQ$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $R$ का $x$-निर्देशांक होगा:
$x = \frac{k(x_2) + 1(x_1)}{k+1} = 0$
मान रखने पर:
$\frac{k(1) + 1(9)}{k+1} = 0$
$k + 9 = 0$
$k = -9$
अतः,$PR : RQ$ का अनुपात $-9 : 1$ है।

(B) माना रेखा $A(4, 2, 2)$ से गुजरती है और $\vec{c} = 2i + 3j + 6k$ के समानांतर है।
माना $M$,$B(1, 2, 3)$ से रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
सदिश $\vec{AB} = (1-4)i + (2-2)j + (3-2)k = -3i + 0j + k$.
लंबाई $AM$,सदिश $\vec{c}$ पर $\vec{AB}$ का प्रक्षेप है।
$AM = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{c}|}{|\vec{c}|} = \frac{|(-3)(2) + (0)(3) + (1)(6)|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{|-6 + 0 + 6|}{\sqrt{4 + 9 + 36}} = \frac{0}{7} = 0$.
समकोण त्रिभुज $\triangle ABM$ में,$BM^2 = AB^2 - AM^2$.
$AB^2 = |\vec{AB}|^2 = (-3)^2 + 0^2 + 1^2 = 9 + 0 + 1 = 10$.
$BM^2 = 10 - 0^2 = 10$.
अतः,$BM = \sqrt{10}$.

(B) माना कि $xy$-समतल बिंदुओं $A(2, 4, 5)$ और $B(-4, 3, -2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में बिंदु $P$ पर विभाजित करता है।
चूंकि बिंदु $P$,$xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$z$-निर्देशांक के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$z = \frac{k(z_2) + 1(z_1)}{k+1} = 0$
मान रखने पर:
$\frac{k(-2) + 1(5)}{k+1} = 0$
$-2k + 5 = 0$
$2k = 5$
$k = \frac{5}{2}$
अतः,अनुपात $5:2$ है।

(B) बिंदुओं $(3, 4, 1)$ और $(5, 1, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण विभाजन सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $\left( \frac{5\lambda + 3}{\lambda + 1}, \frac{1\lambda + 4}{\lambda + 1}, \frac{6\lambda + 1}{\lambda + 1} \right)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होगा।
अतः,$\frac{6\lambda + 1}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 6\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{6}$.
अब $\lambda = -\frac{1}{6}$ का मान रखने पर:
$x = \frac{5(-\frac{1}{6}) + 3}{-\frac{1}{6} + 1} = \frac{13}{5}$.
$y = \frac{1(-\frac{1}{6}) + 4}{-\frac{1}{6} + 1} = \frac{23}{5}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ है।

(A) बिंदुओं $P(-2, 1, -8)$ और $Q(a, b, c)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(a - (-2), b - 1, c - (-8))$ अर्थात $(a + 2, b - 1, c + 8)$ हैं।
चूंकि यह रेखा $6, 2, 3$ दिक्-अनुपात वाली रेखा के समांतर है,इसलिए उनके दिक्-अनुपात समानुपाती होने चाहिए।
अतः,$\frac{a + 2}{6} = \frac{b - 1}{2} = \frac{c + 8}{3} = k$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।
यदि हम $k = 1$ लेते हैं,तो $a + 2 = 6 \Rightarrow a = 4$,$b - 1 = 2 \Rightarrow b = 3$,और $c + 8 = 3 \Rightarrow c = -5$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a = 4, b = 3, c = -5$ अभीष्ट मान हैं।

(A) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ होता है।
माना बिंदु $P$,बिंदुओं $A(3, 5, -7)$ और $B(-2, 1, 8)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$P$ के निर्देशांक $\left(\frac{-2k + 3}{k+1}, \frac{k + 5}{k+1}, \frac{8k - 7}{k+1}\right)$ हैं।
चूंकि $P$,$yz$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $x$-निर्देशांक $0$ होगा:
$\frac{-2k + 3}{k+1} = 0 \implies -2k + 3 = 0 \implies k = \frac{3}{2}$.
$k = \frac{3}{2}$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$y = \frac{\frac{3}{2} + 5}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{\frac{13}{2}}{\frac{5}{2}} = \frac{13}{5}$.
$z = \frac{8(\frac{3}{2}) - 7}{\frac{3}{2} + 1} = \frac{12 - 7}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{\frac{5}{2}} = 2$.
अतः,निर्देशांक $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना $P = ({x_1}, {y_1}, {z_1})$ बिंदु है और $A = ({x_2}, {y_2}, {z_2})$ रेखा पर स्थित एक बिंदु है। सदिश $\vec{AP} = ({x_1} - {x_2})\hat{i} + ({y_1} - {y_2})\hat{j} + ({z_1} - {z_2})\hat{k}$ है।
माना $\vec{u} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ रेखा की दिशा में इकाई सदिश है।
रेखा पर $\vec{AP}$ का प्रक्षेप (projection) $p = |\vec{AP} \cdot \vec{u}| = |l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})|$ है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,लंबवत दूरी $d$ का मान $d^2 = |\vec{AP}|^2 - p^2$ द्वारा दिया जाता है।
$|\vec{AP}|^2 = ({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2$.
अतः,$d = \sqrt{({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2 - [l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})]^2}$.

(D) रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ हैं।
रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(2-(-4), 9-3, 2-(-6)) = (6, 6, 8)$ हैं।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
यहाँ,$a_1=3, b_1=3, c_1=4$ और $a_2=6, b_2=6, c_2=8$ है।
ध्यान दें कि $(a_2, b_2, c_2) = 2(a_1, b_1, c_1)$,जिसका अर्थ है कि रेखाएं समांतर हैं।
अतः,$\cos \theta = \frac{|(3)(6) + (3)(6) + (4)(8)|}{\sqrt{3^2+3^2+4^2} \sqrt{6^2+6^2+8^2}} = \frac{|18+18+32|}{\sqrt{34} \sqrt{136}} = \frac{68}{\sqrt{34} \cdot 2\sqrt{34}} = \frac{68}{2 \cdot 34} = 1$.
चूंकि $\cos \theta = 1$,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ या $0$ रेडियन है।
अतः,विकल्प $D$ सही उत्तर है।

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a} = (1, 0, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (3, 4, 5)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$.
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$
$\cos \theta = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{1 + 0 + 1} \sqrt{9 + 16 + 25}}$
$\cos \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{2}{5 \cdot 2} = \frac{1}{5}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर गुजरने वाली रेखा के दिक्-अनुपात $(l, m, n)$ का मान $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(1, 2, -1)$ और $(-1, 0, 1)$ हैं।
अंतर की गणना करने पर:
$l = -1 - 1 = -2$
$m = 0 - 2 = -2$
$n = 1 - (-1) = 2$
अतः,दिक्-अनुपात $(-2, -2, 2)$ के समानुपाती हैं।
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें $(1, 1, -1)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$(l, m, n) = (1, 1, -1)$.

(A) माना पहली रेखा $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1} = k_1$ है। तब $x = 5k_1 + 4, y = 2k_1 + 1, z = k_1$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = k_2$ है। तब $x = 2k_2 + 1, y = 3k_2 + 2, z = 4k_2 + 3$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$5k_1 + 4 = 2k_2 + 1 \implies 5k_1 - 2k_2 = -3$ (समीकरण $1$)
$2k_1 + 1 = 3k_2 + 2 \implies 2k_1 - 3k_2 = 1$ (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर: समीकरण $1$ को $3$ से और समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$15k_1 - 6k_2 = -9$
$4k_1 - 6k_2 = 2$
समीकरणों को घटाने पर: $11k_1 = -11 \implies k_1 = -1$ प्राप्त होता है।
$k_1 = -1$ को पहली रेखा के निर्देशांकों में रखने पर: $x = 5(-1) + 4 = -1, y = 2(-1) + 1 = -1, z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।

(A) रेखा के दिए गए समीकरण $x = ay + b$ और $z = cy + d$ हैं।
हम इन समीकरणों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x - ay = b$
$-cy + z = -d$
दिक-अनुपात $(l, m, n)$ ज्ञात करने के लिए,चरों को एक प्राचल $y$ के रूप में व्यक्त करते हैं। मान लीजिए $y = t$ है।
अतः:
$x = at + b$
$y = t$
$z = ct + d$
यह रेखा का प्राचलिक रूप है: $\frac{x - b}{a} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d}{c} = t$।
हर (denominators) में दी गई संख्याएँ रेखा के दिक-अनुपात को दर्शाती हैं।
अतः,दिक-अनुपात $(a, 1, c)$ हैं।

(B) अक्षों के साथ समान रूप से झुकी हुई रेखा की दिक्-कोज्याएँ $(l, m, n)$ ऐसी होती हैं कि $|l| = |m| = |n|$ हो।
चूँकि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3l^2 = 1$,जिसका अर्थ है $l = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ को $(1, 1, 1)$ या $(1, -1, 1)$ आदि के रूप में लिया जा सकता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ वाली रेखा का मानक समीकरण $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(-3, 2, -4)$ और दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ रखने पर,हमें $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-4)}{1}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{x + 3}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 4}{1}$ प्राप्त होता है,जो $x + 3 = y - 2 = z + 4$ के बराबर है।

(D) माना $A(0, 0, 0)$ मूलबिंदु है और $B(-9, 4, 5)$ तथा $C(10, 0, -1)$ दिए गए बिंदु हैं। माना $D$,$A$ से रेखा $BC$ पर खींचे गए लंब का पाद है। माना $D$,$BC$ को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए $D$ के निर्देशांक:
$D = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{0\lambda + 4}{\lambda + 1}, \frac{-1\lambda + 5}{\lambda + 1} \right) = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{4}{\lambda + 1}, \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right)$.
रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(10 - (-9), 0 - 4, -1 - 5) = (19, -4, -6)$ हैं।
चूंकि $AD \perp BC$,सदिश $\vec{AD}$ और $BC$ के दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$\vec{AD} = \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1}, \frac{4}{\lambda + 1}, \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right)$.
$19 \left( \frac{10\lambda - 9}{\lambda + 1} \right) - 4 \left( \frac{4}{\lambda + 1} \right) - 6 \left( \frac{5 - \lambda}{\lambda + 1} \right) = 0$.
$19(10\lambda - 9) - 16 - 6(5 - \lambda) = 0$.
$190\lambda - 171 - 16 - 30 + 6\lambda = 0$.
$196\lambda - 217 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{217}{196} = \frac{31}{28}$.
$\lambda = \frac{31}{28}$ का मान $D$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = \frac{10(\frac{31}{28}) - 9}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{58}{59}$.
$y = \frac{4}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{112}{59}$.
$z = \frac{5 - \frac{31}{28}}{\frac{31}{28} + 1} = \frac{109}{59}$.
अतः लंब के पाद के निर्देशांक $(\frac{58}{59}, \frac{112}{59}, \frac{109}{59})$ हैं,जो दिए गए विकल्पों में नहीं है। इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(a, b, c)$ और $(a - b, b - c, c - a)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x - a}{(a - b) - a} = \frac{y - b}{(b - c) - b} = \frac{z - c}{(c - a) - c}$
हरों को सरल करने पर:
$\frac{x - a}{-b} = \frac{y - b}{-c} = \frac{z - c}{-a}$
पूरे समीकरण को $-1$ से गुणा करने पर:
$\frac{x - a}{b} = \frac{y - b}{c} = \frac{z - c}{a}$.

(D) बिंदु $(a, b, c)$ से होकर जाने वाली और $(l, m, n)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - a}{l} = \frac{y - b}{m} = \frac{z - c}{n}$ होता है।
चूंकि रेखा $z$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात $z$-अक्ष के दिक-अनुपात $(0, 0, 1)$ के समानुपाती होंगे।
अतः,$l = 0, m = 0$ और $n = 1$ है।
इन मानों को मानक समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x - a}{0} = \frac{y - b}{0} = \frac{z - c}{1}$ प्राप्त होता है।

(B) माना रेखा $L: \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{9} = \frac{z}{5} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q$,$(2\lambda + 1, 9\lambda, 5\lambda)$ के रूप में है।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $(2\lambda + 1 - 5, 9\lambda - 4, 5\lambda + 1) = (2\lambda - 4, 9\lambda - 4, 5\lambda + 1)$ हैं।
चूंकि $PQ$ रेखा $L$ पर लंब है,इसलिए उनके दिक्-अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda - 4) + 9(9\lambda - 4) + 5(5\lambda + 1) = 0$.
$4\lambda - 8 + 81\lambda - 36 + 25\lambda + 5 = 0$.
$110\lambda - 39 = 0 \implies \lambda = \frac{39}{110}$.
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(2(\frac{39}{110}) + 1, 9(\frac{39}{110}), 5(\frac{39}{110})) = (\frac{188}{110}, \frac{351}{110}, \frac{195}{110})$ हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(2\lambda - 4)^2 + (9\lambda - 4)^2 + (5\lambda + 1)^2}$.
$\lambda = \frac{39}{110}$ रखने पर,हमें $PQ = \sqrt{\frac{2109}{110}}$ प्राप्त होता है।

(C) माना दी गई रेखा $L: \frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $P = (3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ द्वारा दिया जाता है।
माना दिया गया बिंदु $A = (1, 2, 3)$ है।
सदिश $\vec{AP} = (3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, 2, -2)$ है।
चूंकि $AP$ रेखा पर लंब है,इसलिए $\vec{AP} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ को $P$ में रखने पर,हमें $P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$ प्राप्त होता है।
लंब की लंबाई दूरी $AP = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (9 - 3)^2}$ है।
$AP = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

(B) दिए गए संबंध $l + m + n = 0$ और $2lm + 2nl - mn = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण से,$n = -(l + m)$।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $2lm + 2l(-(l + m)) - m(-(l + m)) = 0$।
$2lm - 2l^2 - 2lm + ml + m^2 = 0$।
$-2l^2 + lm + m^2 = 0$,या $2l^2 - lm - m^2 = 0$।
गुणनखंड करने पर $(2l + m)(l - m) = 0$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $2l + m = 0 \Rightarrow m = -2l$। अतः $n = -(l - 2l) = l$।
दिक-अनुपात $(l, m, n)$ $(1, -2, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: $l - m = 0 \Rightarrow m = l$। अतः $n = -(l + l) = -2l$।
दिक-अनुपात $(l, m, n)$ $(1, 1, -2)$ हैं।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
$\cos \theta = \frac{|(1)(1) + (-2)(1) + (1)(-2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-3|}{6} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \pi/3$ या $\theta = 2\pi/3$।

(C) माना दिया गया बिंदु $P(2, 4, -1)$ है और रेखा $L: \frac{x + 5}{1} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 6}{-9} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(\lambda - 5, 4\lambda - 3, -9\lambda + 6)$ के रूप में दिया जा सकता है।
सदिश $\vec{PQ} = (\lambda - 5 - 2, 4\lambda - 3 - 4, -9\lambda + 6 - (-1)) = (\lambda - 7, 4\lambda - 7, -9\lambda + 7)$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 4, -9)$ है।
चूंकि $PQ$ रेखा के लंबवत है,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ होगा।
$1(\lambda - 7) + 4(4\lambda - 7) - 9(-9\lambda + 7) = 0$।
$\lambda - 7 + 16\lambda - 28 + 81\lambda - 63 = 0$।
$98\lambda - 98 = 0 \implies \lambda = 1$।
$Q$ में $\lambda = 1$ रखने पर,हमें $Q(-4, 1, -3)$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$।

(D) पहली रेखा के दिक-अनुपात $\vec{a_1} = (2, 2, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक-अनुपात $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(2) + (-1)(2)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 + 4 - 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$।

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 3)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (2, 2, -2)$ हैं।
दोनों रेखाएँ बिंदु $(1, 2, 3)$ से होकर गुजरती हैं,इसलिए वे इस बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
उनके बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) निकालते हैं:
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (2)(2) + (3)(-2) = 2 + 4 - 6 = 0$.
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
अतः,रेखाएँ समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(B) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(3, 2, 4)$ और $(4, 5, 2)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - 3}{4 - 3} = \frac{y - 2}{5 - 2} = \frac{z - 4}{2 - 4}$
$\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 4}{-2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 3)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (3, -2, 1)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|(1)(3) + (2)(-2) + (3)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|3 - 4 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 9} \sqrt{9 + 4 + 1}}$
$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$।

(A) बिंदुओं $(2, 1, -3)$ और $(-3, 1, 7)$ को जोड़ने वाली रेखा के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (-3 - 2, 1 - 1, 7 - (-3)) = (-5, 0, 10)$ हैं।
रेखा $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 3}{5}$ के समांतर रेखा के दिक अनुपात $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{|(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)|}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|-15 + 0 + 50|}{\sqrt{25 + 0 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}}$.
$\cos \theta = \frac{35}{5\sqrt{5} \times 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{10}}\right)$.

(D) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 4$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = 1, b_2 = 2, c_2 = -3$ हैं।
माना रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (5)(2) + (4)(-3)|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-3)^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 + 10 - 12|}{\sqrt{4 + 25 + 16} \sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|0|}{\sqrt{45} \sqrt{14}} = 0$.
चूँकि $\cos \theta = 0$,इसलिए $\theta = 90^o$ है।

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$3lm - 4ln + mn = 0$ --- $(1)$
$l + 2m + 3n = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ से,$l = -2m - 3n$. इसे $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2 \implies m = \pm \sqrt{2}n$
स्थिति $1$: यदि $m = \sqrt{2}n$,तो $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$. दिक्-अनुपात $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $m = -\sqrt{2}n$,तो $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$. दिक्-अनुपात $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ हैं।
माना दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
चूंकि दिक्-सदिशों का डॉट गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,रेखाओं के बीच का कोण $\pi /2$ है।

(C) $x$-अक्ष मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती है।
इसके दिक अनुपात $(1, 0, 0)$ हैं क्योंकि यह $x$-अक्ष के समानांतर है।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक अनुपात वाली रेखा का सममित रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ होता है।
$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ और $(a, b, c) = (1, 0, 0)$ रखने पर,हमें $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{0} = \frac{z - 0}{0}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x$-अक्ष का समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ है।

(D) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{0}$ है।
इस रेखा के दिक अनुपात हर (denominators) द्वारा दिए गए हैं,जो $\vec{v} = (3, 1, 0)$ हैं।
$z$-अक्ष के दिक अनुपात $\vec{k} = (0, 0, 1)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या रेखा $z$-अक्ष के लंबवत है,हम दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) निकालते हैं:
$\vec{v} \cdot \vec{k} = (3)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखा $z$-अक्ष के लंबवत है।

(A) माना पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a} = (2, 2, 1)$ हैं।
दूसरी रेखा बिंदुओं $P(3, 1, 4)$ और $Q(7, 2, 12)$ को जोड़ती है।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$\cos \theta = \frac{|a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3|}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}(2/3)$।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (4, -5, -2)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, 5, 3)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - 4}{-1 - 4} = \frac{y - (-5)}{5 - (-5)} = \frac{z - (-2)}{3 - (-2)}$
हर का सरलीकरण करने पर:
$\frac{x - 4}{-5} = \frac{y + 5}{10} = \frac{z + 2}{5}$
हर को $-5$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 5}{-2} = \frac{z + 2}{-1}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना दी गई रेखाएं हैं:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 7}{-1} = \frac{z + 2}{1} = r_1$
$\frac{x + 3}{-36} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z - 6}{4} = r_2$
पहली रेखा पर कोई बिंदु $(3r_1 + 5, -r_1 + 7, r_1 - 2)$ है।
दूसरी रेखा पर कोई बिंदु $(-36r_2 - 3, 2r_2 + 3, 4r_2 + 6)$ है।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$3r_1 + 5 = -36r_2 - 3 \implies 3r_1 + 36r_2 = -8$ (समी. $1$)
$-r_1 + 7 = 2r_2 + 3 \implies r_1 + 2r_2 = 4 \implies r_1 = 4 - 2r_2$ (समी. $2$)
$r_1$ का मान समी. $1$ में रखने पर:
$3(4 - 2r_2) + 36r_2 = -8$
$12 - 6r_2 + 36r_2 = -8$
$30r_2 = -20 \implies r_2 = -2/3$
अब,$r_1 = 4 - 2(-2/3) = 4 + 4/3 = 16/3$.
पहली रेखा के निर्देशांकों में $r_1$ का मान रखने पर:
$x = 3(16/3) + 5 = 16 + 5 = 21$
$y = -(16/3) + 7 = (-16 + 21)/3 = 5/3$
$z = (16/3) - 2 = (16 - 6)/3 = 10/3$
अतः प्रतिच्छेदन बिंदु $(21, 5/3, 10/3)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $2x = 3y = -z$ और $6x = -y = -4z$ हैं।
सबसे पहले,हम रेखाओं को सममित रूप $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $2x = 3y = -z \Rightarrow \frac{x}{1/2} = \frac{y}{1/3} = \frac{z}{-1}$। $6$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $\vec{v_1} = (3, 2, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $6x = -y = -4z \Rightarrow \frac{x}{1/6} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{-1/4}$। $12$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{-12} = \frac{z}{-3}$ प्राप्त होता है। दिक अनुपात $\vec{v_2} = (2, -12, -3)$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनके दिक सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य हो: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(2) + (2)(-12) + (-6)(-3) = 6 - 24 + 18 = 0$।
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए रेखाओं के बीच का कोण $90^o$ है।

(C) दो रेखाएँ जिनके दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंबवत होती हैं यदि $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ हो।
दी गई रेखाओं के लिए,दिक्-अनुपात $(-3, 2k, 2)$ और $(3k, 1, -5)$ हैं।
लंबवत होने की शर्त लागू करने पर:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(D) दी गई रेखा $1 - x = \frac{y}{2} = \frac{1}{3}(1 + z)$ है।
रेखा को मानक रूप में लिखने पर: $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - 0}{2} = \frac{z - (-1)}{3}$।
माना बिंदु $P = (2, 3, 4)$ है और रेखा $A = (1, 0, -1)$ से गुजरती है,जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = (-1, 2, 3)$ है।
सदिश $\vec{AP} = (2-1, 3-0, 4-(-1)) = (1, 3, 5)$।
बिंदु $P$ की रेखा से दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ द्वारा दी जाती है।
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(9 - 10) - \hat{j}(3 + 5) + \hat{k}(2 + 3) = -\hat{i} - 8\hat{j} + 5\hat{k}$।
$|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + (-8)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 64 + 25} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$।
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$।
$d = \frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{35}}{7} = \frac{3}{7}\sqrt{35}$।

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (2, 5, -3)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (-1, 8, 4)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
$\cos \theta = \frac{|2(-1) + 5(8) + (-3)(4)|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 40 - 12|}{\sqrt{4 + 25 + 9} \sqrt{1 + 64 + 16}}$
$\cos \theta = \frac{|26|}{\sqrt{38} \sqrt{81}} = \frac{26}{9\sqrt{38}}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{26}{9\sqrt{38}}\right)$।

(A) दिया गया समीकरण $y^2 + z^2 = 0$ है।
चूंकि सभी वास्तविक संख्याओं $y$ और $z$ के लिए $y^2 \ge 0$ और $z^2 \ge 0$ होता है,इसलिए उनका योग $y^2 + z^2$ केवल तभी शून्य हो सकता है जब $y = 0$ और $z = 0$ दोनों एक साथ हों।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में,$y = 0$ और $z = 0$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $(x, y, z)$ का समुच्चय उन सभी बिंदुओं को दर्शाता है जहाँ $y$-निर्देशांक और $z$-निर्देशांक शून्य हैं,चाहे $x$ का मान कुछ भी हो।
बिंदुओं का यह समुच्चय $x$-अक्ष बनाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) $P(3, 4, 1)$ और $Q(5, 1, 6)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1} = k$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(2k+3, -3k+4, 5k+1)$ के रूप में होगा।
चूंकि बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$5k+1 = 0$,जिससे $k = -\frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
$k = -\frac{1}{5}$ को निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = -3(-\frac{1}{5}) + 4 = \frac{3}{5} + \frac{20}{5} = \frac{23}{5}$.
$z = 0$.
अतः,अभीष्ट बिंदु $(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0)$ है।

(A) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (3, 5, -7)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-2, 1, 8)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है:
$\frac{x - 3}{-2 - 3} = \frac{y - 5}{1 - 5} = \frac{z - (-7)}{8 - (-7)}$
$\frac{x - 3}{-5} = \frac{y - 5}{-4} = \frac{z + 7}{15} = K$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (-5K + 3, -4K + 5, 15K - 7)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि रेखा $yz$-समतल से मिलती है,इसलिए $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$-5K + 3 = 0 \Rightarrow K = \frac{3}{5}$.
$K = \frac{3}{5}$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -5(\frac{3}{5}) + 3 = 0$
$y = -4(\frac{3}{5}) + 5 = -\frac{12}{5} + \frac{25}{5} = \frac{13}{5}$
$z = 15(\frac{3}{5}) - 7 = 9 - 7 = 2$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( 0, \frac{13}{5}, 2 \right)$ है।

(A) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $(l, m, n)$ हैं।
चूंकि रेखा $(3, -16, 7)$ और $(3, 8, -5)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$3l - 16m + 7n = 0$ $(i)$
$3l + 8m - 5n = 0$ (ii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $-24m + 12n = 0 \implies 24m = 12n \implies n = 2m$.
$(i)$ में $n = 2m$ रखने पर: $3l - 16m + 7(2m) = 0 \implies 3l - 16m + 14m = 0 \implies 3l = 2m \implies l = \frac{2}{3}m$.
यदि $m = 3$ लें,तो $l = 2$ और $n = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,दिक्-अनुपात $(2, 3, 6)$ हैं।
बिंदु $(1, 2, -4)$ से गुजरने वाली और $(2, 3, 6)$ दिक्-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 4}{6}$ है।

(A) दिए गए समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण से,$n = -\frac{al + bm}{c}$ प्राप्त होता है।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $fm(-\frac{al + bm}{c}) + gl(-\frac{al + bm}{c}) + hlm = 0$ प्राप्त होता है।
$-c$ से गुणा करने पर,$fm(al + bm) + gl(al + bm) - chlm = 0$ प्राप्त होता है।
$aflm + bfm^2 + agl^2 + bglm - chlm = 0$.
$agl^2 + (af + bg - ch)lm + bfm^2 = 0$.
$m^2$ से भाग देने पर,$ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $\frac{l_1}{m_1}$ और $\frac{l_2}{m_2}$ हैं। तब $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{bf}{ag}$,जिसका अर्थ है $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b}$।
इसी प्रकार,$l$ का विलोपन करने पर,$\frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c} = k$।
लंबवत रेखाओं के लिए,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$ होता है।
मान रखने पर,$k(\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k \neq 0$,इसलिए $\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना पहली रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ पर कोई बिंदु $(2\lambda + 1, 3\lambda - 1, 4\lambda + 1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ पर कोई बिंदु $(\mu + 3, 2\mu + k, \mu)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व इस प्रकार होगा कि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda - 1 = 2\mu + k \implies 3\lambda - 2\mu = k + 1$ (ii)
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) में से $(i)$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$
$2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को (iii) में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को (ii) में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k + 1$
$-\frac{9}{2} + 10 = k + 1$
$k = -\frac{9}{2} + 9 = \frac{9}{2}$.

(A) दिए गए समीकरणों से $t$ को हटाने पर,हमें पथ का समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{x}{2} = \frac{y}{-4} = \frac{z}{4}$ या $\frac{x}{1} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{2}$.
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
$t = 10 \text{ s}$ के लिए,निर्देशांक हैं:
$x = 2(10) = 20 \text{ km}$,
$y = -4(10) = -40 \text{ km}$,
$z = 4(10) = 40 \text{ km}$.
मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से दूरी इस प्रकार है:
$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{20^2 + (-40)^2 + 40^2}$
$d = \sqrt{400 + 1600 + 1600} = \sqrt{3600} = 60 \text{ km}$.

(B) माना $A = (1, 0, 3)$,$B = (4, 7, 1)$,और $C = (3, 5, 3)$ है। माना $P$,$A$ से $BC$ पर खींचे गए लंब का पाद है।
$B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{b} + \lambda(\vec{c} - \vec{b})$ है।
$BC$ के दिक्-अनुपात $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ हैं।
अतः,रेखा $BC$ का समीकरण $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ है।
रेखा $BC$ पर कोई भी बिंदु $P = (4-k, 7-2k, 1+2k)$ के रूप में होगा।
सदिश $\vec{AP} = (4-k-1, 7-2k-0, 1+2k-3) = (3-k, 7-2k, 2k-2)$ है।
चूंकि $AP \perp BC$,इसलिए $\vec{AP}$ और $BC$ के दिक्-अनुपात $(-1, -2, 2)$ का अदिश गुणनफल शून्य होगा।
$(3-k)(-1) + (7-2k)(-2) + (2k-2)(2) = 0$
$-3 + k - 14 + 4k + 4k - 4 = 0$
$9k - 21 = 0 \Rightarrow 9k = 21 \Rightarrow k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$
$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = \frac{7}{3}$
$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = \frac{17}{3}$
अतः,लंब का पाद $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ है।

(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$l = -2m - 3n$।
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$।
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$।
$-6m^2 + 12n^2 = 0$,जिसका अर्थ है $m^2 = 2n^2$,इसलिए $m = \pm \sqrt{2}n$।
स्थिति $1$: $m = \sqrt{2}n$। तब $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$। दिक्-अनुपात $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $m = -\sqrt{2}n$। तब $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$। दिक्-अनुपात $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ प्राप्त होते हैं।
मान लीजिए दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं।
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$।
$= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$।
चूंकि दिक्-अनुपातों का डॉट गुणनफल $0$ है,रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
अतः,उनके बीच का कोण $\pi /2$ है।