बिंदु ({x_1}, {y_1}, {z_1}) की रेखा frac{{x - | vedclass

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Question

(A) माना $P = ({x_1}, {y_1}, {z_1})$ बिंदु है और $A = ({x_2}, {y_2}, {z_2})$ रेखा पर स्थित एक बिंदु है। सदिश $\vec{AP} = ({x_1} - {x_2})\hat{i} + ({y_

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$\sqrt {{{({x_1} - {x_2})}^2} + {{({y_1} - {y_2})}^2} + {{({z_1} - {z_2})}^2} - {{[l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})]}^2}}$

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(A) माना $P = ({x_1}, {y_1}, {z_1})$ बिंदु है और $A = ({x_2}, {y_2}, {z_2})$ रेखा पर स्थित एक बिंदु है। सदिश $\vec{AP} = ({x_1} - {x_2})\hat{i} + ({y_1} - {y_2})\hat{j} + ({z_1} - {z_2})\hat{k}$ है।माना $\vec{u} = l\hat{i} + m\hat{j} + n\hat{k}$ रेखा की दिशा में इकाई सदिश है।रेखा पर $\vec{AP}$ का प्रक्षेप (projection) $p = |\vec{AP} \cdot \vec{u}| = |l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})|$ है।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,लंबवत दूरी $d$ का मान $d^2 = |\vec{AP}|^2 - p^2$ द्वारा दिया जाता है।$|\vec{AP}|^2 = ({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2$.अतः,$d = \sqrt{({x_1} - {x_2})^2 + ({y_1} - {y_2})^2 + ({z_1} - {z_2})^2 - [l({x_1} - {x_2}) + m({y_1} - {y_2}) + n({z_1} - {z_2})]^2}$.

बिंदु $({x_1}, {y_1}, {z_1})$ की रेखा $\frac{{x - {x_2}}}{l} = \frac{{y - {y_2}}}{m} = \frac{{z - {z_2}}}{n}$ से दूरी,जहाँ $l, m, n$ रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) हैं,क्या है?

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रेखाओं $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3\hat{i} - \hat{j})$ और $\vec{r} = (4\hat{i} - \hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{k})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

$x = ay + b$ और $z = cy + d$ समीकरणों द्वारा निरूपित रेखा के दिक-अनुपात (direction ratios) ज्ञात कीजिए।

माना $(\alpha, \beta, \gamma)$ रेखा $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-3}{4}$ में बिंदु $(2, 3, 5)$ का दर्पण प्रतिबिंब है। तो $2\alpha + 3\beta + 4\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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