यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात 3lm - 4ln + mn = | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ हैं। दूसरे समीकरण से,$l = -2m - 3n$। इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $3(-2m - 3n)m - 4(

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$\pi /2$

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(A) दिए गए समीकरण $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ हैं। दूसरे समीकरण से,$l = -2m - 3n$। इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $3(-2m - 3n)m - 4(-2m - 3n)n + mn = 0$। $-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$। $-6m^2 + 12n^2 = 0$,जिसका अर्थ है $m^2 = 2n^2$,इसलिए $m = \pm \sqrt{2}n$। स्थिति $1$: $m = \sqrt{2}n$। तब $l = -2(\sqrt{2}n) - 3n = -(2\sqrt{2} + 3)n$। दिक्-अनुपात $(-(2\sqrt{2} + 3), \sqrt{2}, 1)$ प्राप्त होते हैं। स्थिति $2$: $m = -\sqrt{2}n$। तब $l = -2(-\sqrt{2}n) - 3n = (2\sqrt{2} - 3)n$। दिक्-अनुपात $((2\sqrt{2} - 3), -\sqrt{2}, 1)$ प्राप्त होते हैं। मान लीजिए दिक्-अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं। $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (-(2\sqrt{2} + 3))(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$। $= -((2\sqrt{2})^2 - 3^2) - 2 + 1 = -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$। चूंकि दिक्-अनुपातों का डॉट गुणनफल $0$ है,रेखाएं परस्पर लंबवत हैं। अतः,उनके बीच का कोण $\pi /2$ है।

यदि दो रेखाओं के दिक्-अनुपात $3lm - 4ln + mn = 0$ और $l + 2m + 3n = 0$ द्वारा दिए गए हैं,तो उनके बीच का कोण क्या है?

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रेखाओं $\frac{x-1}{l}=\frac{y+1}{m}=\frac{z}{n}$ और $\frac{x+1}{m}=\frac{y-3}{n}=\frac{z-1}{l}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए,जहाँ $l > m > n$ और $l, m, n$ समीकरण $x^3+x^2-4x-4=0$ के मूल हैं।

बिंदु $(1, 0, 0)$ से रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8}$ पर डाले गए लंब के पाद (foot of the perpendicular) के निर्देशांक हैं

रेखाओं $l_1: r(t) = (i - 6j + 2k) + t(i + 2j + k)$ और $l_2: R(u) = (4j + k) + u(2i + j + 2k)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है

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सिद्ध कीजिए कि बिंदु $A(2, 3, -4)$,$B(1, -2, 3)$ और $C(3, 8, -11)$ संरेख हैं।

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