रेखाओं $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z + 3}{4}$ और $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{-3}$ के बीच का कोण ......... $^o$ है।

बिंदु $(2, -1, 1)$ से गुजरने वाली और $\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ तथा $-\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के समांतर रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

वे रेखाएँ जिनके दिक्कोसाइन समीकरण $al + bm + cn = 0$ और $fmn + gnl + hlm = 0$ को संतुष्ट करते हैं,लंबवत होंगी यदि...

यदि रेखाओं
$L_1: \overrightarrow{r}=(2+\lambda) \hat{i}+(1-3 \lambda) \hat{j}+(3+4 \lambda) \hat{k}, \lambda \in R$
$L_2: \overrightarrow{r}=2(1+\mu) \hat{i}+3(1+\mu) \hat{j}+(5+\mu) \hat{k}, \mu \in R$
के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{m}{\sqrt{n}}$ है,जहाँ $\operatorname{gcd}(m, n)=1$,तो $m+n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाओं $\frac{x+2}{2}=\frac{y+3}{3}=\frac{z-5}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+4}{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{38}{3 \sqrt{5}} k$ है और $\int_0^{k}\left[x^2\right] dx=\alpha-\sqrt{\alpha}$ है,जहाँ $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो $6 \alpha^3$ का मान ............................ है।

$A$ रेखा $L$ बिंदुओं $A(1, 3, 2)$ और $B(2, 2, 1)$ से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$ में बिंदु $P(1, 1, -1)$ का दर्पण प्रतिबिंब $(x, y, z)$ है,तो $x+y+z=$