Line Questions in Gujarati

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2p/7}=\frac{z-3}{2}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3p/7}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{-5}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(B) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-2, 4, -5)$ છે અને રેખા $L: \frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda-3, 5\lambda+4, 6\lambda-8)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3\lambda-3 - (-2), 5\lambda+4-4, 6\lambda-8 - (-5)) = (3\lambda-1, 5\lambda, 6\lambda-3)$.
કારણ કે $PQ$ એ રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(3, 5, 6)$ છે) ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda-1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda-3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ ને $\vec{PQ}$ માં મૂકતા:
$\vec{PQ} = (3(\frac{3}{10})-1, 5(\frac{3}{10}), 6(\frac{3}{10})-3) = (-\frac{1}{10}, \frac{15}{10}, -\frac{12}{10})$.
અંતર $PQ = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1+225+144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ અને $L_2: \vec{r}=(2\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})+\lambda(\hat{i}+2\hat{j})$ છે.
$L_1$ પરનું બિંદુ $A(-1, -2, -1)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
$L_2$ પરનું બિંદુ $B(2, -2, 3)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (2 - (-1))\hat{i} + (-2 - (-2))\hat{j} + (3 - (-1))\hat{k} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0-2) + \hat{k}(6-1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 4 + 25} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} = \frac{|(3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-4\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k})|}{3\sqrt{5}} = \frac{|-12 + 0 + 20|}{3\sqrt{5}} = \frac{8}{3\sqrt{5}}$ થાય.

(B) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ અને $(-3, 2, 5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$a + 2b + 3c = 0$ --- $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ --- $(ii)$
$a, b, c$ માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
આ રેખા બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$ છે.

(B) રેખા $L_1$ નું સમીકરણ $\vec{r} = 3 \hat{i} + \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j}) + \mu(\hat{i} + \hat{k})$ છે.
છેદબિંદુ માટે,બંને રેખાઓના સ્થાન સદિશ સમાન હોવા જોઈએ:
$3 \hat{i} - \lambda \hat{i} + \lambda \hat{j} + \lambda \hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \mu \hat{i} + \mu \hat{k}$
$\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\hat{j}$ માટે: $\lambda = 1$.
$\hat{k}$ માટે: $\lambda = \mu$,તેથી $\mu = 1$.
$\hat{i}$ માટે: $3 - \lambda = 1 + \mu \Rightarrow 3 - 1 = 1 + 1 \Rightarrow 2 = 2$,જે સુસંગત છે.
$L_1$ ના સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$\vec{r} = 3 \hat{i} + 1(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,છેદબિંદુનો સ્થાન સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.

(C) બિંદુઓ $P(2,1,-3)$ અને $Q(-3,1,7)$ ને જોડતી રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (-3-2, 1-1, 7-(-3)) = (-5, 0, 10)$ છે.
રેખા $\frac{x-1}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z+3}{5}$ ને સમાંતર રેખાના દિક્-ગુણોત્તરો $(3, 4, 5)$ છે.
ધારો કે આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો લઘુકોણ $\theta$ છે. બે રેખાઓ જેના દિક્-ગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-15 + 0 + 50}{\sqrt{25 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}} \right|$
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{7}{5 \sqrt{10}}\right)$.

(A) ધારો કે રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ છે.
આપેલ બિંદુ $A(1, 2, 3)$ છે.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તરો $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ થશે.
રેખા $AP$ એ આપેલ રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(3, 2, -2)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) - 2(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0$
$\lambda = -1$
$\lambda = -1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$,$\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$,અને $\vec{b_2} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
$\vec{r_2}-\vec{r_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & \lambda \\ 1 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-4\lambda) - \hat{j}(10-\lambda) + \hat{k}(8-3) = (15-4\lambda)\hat{i} + (\lambda-10)\hat{j} + 5\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\vec{r_2}-\vec{r_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 1(15-4\lambda) + 2(\lambda-10) + 2(5) = 15-4\lambda+2\lambda-20+10 = 5-2\lambda$ છે.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(15-4\lambda)^2 + (\lambda-10)^2 + 5^2} = \sqrt{225-120\lambda+16\lambda^2 + \lambda^2-20\lambda+100 + 25} = \sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|5-2\lambda|}{\sqrt{17\lambda^2-140\lambda+350}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{3} = \frac{(5-2\lambda)^2}{17\lambda^2-140\lambda+350} \Rightarrow 17\lambda^2-140\lambda+350 = 3(25-20\lambda+4\lambda^2) = 75-60\lambda+12\lambda^2$.
પુનઃગોઠવતા: $5\lambda^2-80\lambda+275 = 0 \Rightarrow \lambda^2-16\lambda+55 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\lambda-5)(\lambda-11) = 0$,તેથી $\lambda = 5$ અથવા $\lambda = 11$.
$\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $5+11 = 16$ થાય છે.

(D) ધારો કે $\frac{x-6}{3} = \frac{y-7}{2} = \frac{z-7}{-2} = \lambda$.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 3)$.
રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(3\lambda+6-1, 2\lambda+7-2, -2\lambda+7-3)$ એટલે કે $(3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ છે.
$AP$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી, તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$.
$17\lambda + 17 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા, $P = (3(-1)+6, 2(-1)+7, -2(-1)+7) = (3, 5, 9)$ મળે.
લંબ $AP$ ની લંબાઈ એ $A(1, 2, 3)$ અને $P(3, 5, 9)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$AP = \sqrt{(3-1)^2 + (5-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ એકમ}$.

(C) બે રેખાઓ એકબીજાને છેદે તે માટે,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોવું જોઈએ. બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ના છેદન માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(x_1, y_1, z_1) = (k, -1, 1)$,$(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, \frac{9}{2}, 0)$,$(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$.
નિશ્ચાયક આ મુજબ બનશે: $\left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{9}{2}-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 3-k & \frac{11}{2} & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $(3-k)(3-8) - \frac{11}{2}(2-4) - 1(4-3) = 0$.
$\Rightarrow (3-k)(-5) - \frac{11}{2}(-2) - 1(1) = 0$.
$\Rightarrow -15 + 5k + 11 - 1 = 0$.
$\Rightarrow 5k - 5 = 0$.
$\Rightarrow 5k = 5$.
$\Rightarrow k = 1$.

(D) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
આમ,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(C) આપેલી રેખાઓ $x = -y, z = 0$ અને $x = 0, z = 0$ છે.
આપણે આ રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં લખી શકીએ:
રેખા $1$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{0}$,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, -1, 0)$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x}{0} = \frac{y}{1} = \frac{z}{0}$,તેથી દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (0, 1, 0)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \left| \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(0) + (-1)(1) + (0)(0) = -1$.
માનની ગણતરી: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ અને $|\vec{v_2}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = 1$.
આમ,$\cos \theta = \left| \frac{-1}{\sqrt{2} \times 1} \right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{\pi}{4}$.

(A) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $A(3, 5, -7)$ અને $B(-2, 1, 8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
બિંદુ $yz$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x$-યામ $0$ થશે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\lambda(-2) + 1(3)}{\lambda + 1} = 0$
$-2\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.
હવે,$3 : 2$ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરીને $y$ અને $z$ યામ શોધીએ:
$y = \frac{3(1) + 2(5)}{3 + 2} = \frac{3 + 10}{5} = \frac{13}{5}$
$z = \frac{3(8) + 2(-7)}{3 + 2} = \frac{24 - 14}{5} = \frac{10}{5} = 2$
તેથી,માંગેલ બિંદુ $\left(0, \frac{13}{5}, 2\right)$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ છે.
રેખા બંને સદિશોને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(-1-2) + \hat{k}(1+4) = 1\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
રેખા બિંદુ $(-3, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 3, 5)$ છે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 0}{3} = \frac{z - 1}{5}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x+3}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z-1}{5}$ થાય છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}) + \mu(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a_2} = 0$,અને $\vec{b} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
હવે,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 6) - \hat{j}(-1 + 6) + \hat{k}(2 + 4) = -8\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k}$.
તેનું માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 25 + 36} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,અંતર $d = \frac{5\sqrt{5}}{3}$ એકમ થાય.

(B) ધારો કે $yz$-સમતલ બિંદુઓ $(a, 1, 6)$ અને $(3, 4, b)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $\lambda : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદબિંદુ નીચે મુજબ મળે છે:
$\left(\frac{3\lambda + a}{\lambda + 1}, \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1}\right) = \left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$.
યામોને સરખાવતા:
$1) \frac{3\lambda + a}{\lambda + 1} = 0 \Rightarrow 3\lambda + a = 0 \Rightarrow a = -3\lambda$.
$2) \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1} = \frac{17}{2} \Rightarrow 8\lambda + 2 = 17\lambda + 17 \Rightarrow -9\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = -\frac{15}{9} = -\frac{5}{3}$.
$\lambda = -\frac{5}{3}$ ને $a = -3\lambda$ માં મૂકતા:
$a = -3\left(-\frac{5}{3}\right) = 5$.
$3) \frac{b\lambda + 6}{\lambda + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{b(-\frac{5}{3}) + 6}{-\frac{5}{3} + 1} = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{-\frac{5b}{3} + 6}{-\frac{2}{3}} = -\frac{13}{2}$.
બંને બાજુ $-\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા:
$-\frac{5b}{3} + 6 = \left(-\frac{13}{2}\right) \times \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{13}{3}$.
$-\frac{5b}{3} = \frac{13}{3} - 6 = \frac{13 - 18}{3} = -\frac{5}{3}$.
$b = 1$.
આમ,$a = 5$ અને $b = 1$ મળે છે.

(A) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2)(1) + (-2)(2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = 90^{\circ}$ થાય છે.

(A) રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $\frac{x-(-2)}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-5}{5}$ સાથે સરખાવતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે રેખા બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, 5)$ માંથી પસાર થાય છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ એ $(3, 2, 5)$ છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = -2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (-2 \hat{i} + 4 \hat{j} + 5 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k})$ થાય.

(NONE) આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા ગુણોત્તર સમાન છે: $(2, -1, 2)$.
ધારો કે રેખાઓ $L_1: \vec{r} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} + \lambda(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} + \mu(2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (0, 0, 0)$,$\vec{a_2} = (1, 1, 2)$,અને $\vec{b} = (2, -1, 2)$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(2 - 4) + \hat{k}(-1 - 2) = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
માન $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}$.
માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,$d = \frac{\sqrt{29}}{3}$ એકમ થાય છે.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ તરીકે લઈ શકાય.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(0,2,3)$ છે. સદિશ $\vec{PM} = (5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
કારણ કે $PM$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PM}$ અને રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (5, 2, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x = 5(1)-3 = 2$
$y = 2(1)+1 = 3$
$z = 3(1)-4 = -1$
આમ,લંબપાદના યામ $(2,3,-1)$ છે.

(B) રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે કે કેમ તે તપાસવા માટે,આપણે તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર ($S$.$D$.) ગણીએ છીએ. રેખાઓ $\vec{r_1} = (1, -1, 1) + \lambda(3, 2, 5)$ અને $\vec{r_2} = (-2, 1, -1) + \mu(4, 3, -2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $S.D. = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ છે.
અહીં,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-2-1, 1-(-1), -1-1) = (-3, 2, -2)$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 5 \\ 4 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-15) - \hat{j}(-6-20) + \hat{k}(9-8) = -19\hat{i} + 26\hat{j} + 1\hat{k}$.
હવે,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-3)(-19) + (2)(26) + (-2)(1) = 57 + 52 - 2 = 107$.
કારણ કે લઘુત્તમ અંતર $\frac{107}{\sqrt{(-19)^2 + 26^2 + 1^2}} = \frac{107}{\sqrt{361 + 676 + 1}} = \frac{107}{\sqrt{1038}} \neq 0$ છે,તેથી રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+4}{3} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (5\lambda - 3, 2\lambda + 1, 3\lambda - 4)$ છે.
ધારો કે $A = (0, 2, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે. રેખા $AP$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda - 3, 2\lambda - 1, 3\lambda - 7)$ છે.
$AP$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda - 3) + 2(2\lambda - 1) + 3(3\lambda - 7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
લંબપાદ $P = (5(1) - 3, 2(1) + 1, 3(1) - 4) = (2, 3, -1)$ મળે.
લંબની લંબાઈ $AP = \sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$ એકમ.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $(3, 1, 2)$ અને $(-1, 2, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-3}{-1-3} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-2}{1-2}$
$\frac{x-3}{-4} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{-1}$

(D) રેખાઓ $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ અને $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3-3, -7-8, 6-3) = (-6, -15, 3)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-2) - \hat{j}(12+3) + \hat{k}(6-3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
તેથી,$d = \frac{|270|}{3\sqrt{30}} = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = 3\sqrt{30}$ એકમ.

(C) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(3, 4, -7)$ અને $B(1, -1, 6)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-3}{1-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{6-(-7)} = \lambda$
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{13} = \lambda$
આના પરથી,આપણને પ્રચલિત સમીકરણો મળે છે:
$x - 3 = -2\lambda \implies x = 3 - 2\lambda$
$y - 4 = -5\lambda \implies y = 4 - 5\lambda$
$z + 7 = 13\lambda \implies z = -7 + 13\lambda$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલા બિંદુઓ $A(2, 2, 1)$ અને $B(1, 3, 0)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-1}{0-1}$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$.

(D) બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (1-2)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -\hat{i} + \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(-1-0) = -\hat{i} - \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ થાય.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
તેથી,$d = \frac{\sqrt{2}}{3}$ એકમ.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{\frac{2\lambda}{7}}=\frac{z-3}{2}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2\lambda}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-\frac{3\lambda}{7}}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-6}{5}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3\lambda}{7}, 1, 5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(1) + (2)(5) = 0$.
$\frac{9\lambda}{7} + \frac{2\lambda}{7} + 10 = 0$.
$\frac{11\lambda}{7} = -10$.
$\lambda = -\frac{70}{11}$.

(A) ધારો કે માંગેલી રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
રેખા એ $\vec{v}_1 = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દિશા સદિશો ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$2a - 2b + c = 0$ ... $(1)$
$a - 2b + 2c = 0$ ... $(2)$
દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(-2)(2) - (1)(-2)} = \frac{b}{(1)(1) - (2)(2)} = \frac{c}{(2)(-2) - (-2)(1)}$
$\frac{a}{-4 + 2} = \frac{b}{1 - 4} = \frac{c}{-4 + 2}$
$\frac{a}{-2} = \frac{b}{-3} = \frac{c}{-2}$
આમ,દિકગુણોત્તર $(2, 3, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 3, 2)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$

(A) ધારો કે બિંદુ $P = (2, -1, 5)$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = (11, -2, -8) + \lambda(10, -4, -11)$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 + 1, -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ છે.
$PQ$ એ આપેલી રેખાને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $Q$ માં મૂકતા,$Q = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$ મળે.
લંબ $PQ$ ની લંબાઈ $\sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ એકમ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ છે:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda \implies x = 2\lambda+1, y = 3\lambda-1, z = 4\lambda+1$
$L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+m}{2}=\frac{z-2}{1} = \mu \implies x = \mu+2, y = 2\mu-m, z = \mu+2$
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,બંને રેખાઓ પર એક સામાન્ય બિંદુ $(x, y, z)$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$x$ અને $z$ યામોને સરખાવતા:
$2\lambda+1 = \mu+2 \implies 2\lambda - \mu = 1$ $(1)$
$4\lambda+1 = \mu+2 \implies 4\lambda - \mu = 1$ $(2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,આપણને $2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$ મળે છે.
$\lambda = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા,આપણને $-\mu = 1 \implies \mu = -1$ મળે છે.
હવે,$y$ યામોને સરખાવતા:
$3\lambda - 1 = 2\mu - m$
$\lambda = 0$ અને $\mu = -1$ મૂકતા:
$3(0) - 1 = 2(-1) - m$
$-1 = -2 - m$
$m = -2 + 1 = -1$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-2}{2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z-1}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{5} = \frac{z+3}{2}$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ લો.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = -\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ લો.
$\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & -5 & -4 \end{vmatrix} = -10\hat{i} + 10\hat{j} - 10\hat{k}$.
તેનું માન $\sqrt{(-10)^2 + 10^2 + (-10)^2} = \sqrt{300}$ છે.
$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2^2} = \sqrt{38}$.
તેથી,અંતર $= \frac{|\vec{b} \times (\vec{a}_2 - \vec{a}_1)|}{|\vec{b}|} = \sqrt{\frac{300}{38}}$ એકમ.

(A) બે બિંદુઓ જેમના સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ હોય તેમાંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
અહીં,બિંદુઓ $P(1, 2, 3)$ અને $Q(2, 3, 4)$ ના સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} - \vec{a} = (2 - 1)\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
તેથી,રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ થાય.

(D) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(2, -1, 5)$ છે અને રેખા $\vec{r} = (11 \hat{i} - 2 \hat{j} - 8 \hat{k}) + \lambda(10 \hat{i} - 4 \hat{j} - 11 \hat{k})$ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $M$ ના યામ $(10\lambda + 11, -4\lambda - 2, -11\lambda - 8)$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
રેખા $PM$ ના દિકગુણોત્તર $(10\lambda + 11 - 2, -4\lambda - 2 - (-1), -11\lambda - 8 - 5) = (10\lambda + 9, -4\lambda - 1, -11\lambda - 13)$ છે.
$PM$ એ આપેલ રેખાને લંબ હોવાથી,$PM$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના સદિશ $(10, -4, -11)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$10(10\lambda + 9) - 4(-4\lambda - 1) - 11(-11\lambda - 13) = 0$.
$100\lambda + 90 + 16\lambda + 4 + 121\lambda + 143 = 0$.
$237\lambda + 237 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
$M$ ના યામમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$M = (10(-1) + 11, -4(-1) - 2, -11(-1) - 8) = (1, 2, 3)$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda-2, 2\lambda+1, -2\lambda-1)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુનું $A(-2, 1, -1)$ થી અંતર $12$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(\lambda-2 - (-2))^2 + (2\lambda+1 - 1)^2 + (-2\lambda-1 - (-1))^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + (2\lambda)^2 + (-2\lambda)^2} = 12$.
$\sqrt{\lambda^2 + 4\lambda^2 + 4\lambda^2} = 12$.
$\sqrt{9\lambda^2} = 12$.
$3|\lambda| = 12$,તેથી $\lambda = \pm 4$.
$\lambda = 4$ માટે,બિંદુ $(4-2, 2(4)+1, -2(4)-1) = (2, 9, -9)$ મળે.
$\lambda = -4$ માટે,બિંદુ $(-4-2, 2(-4)+1, -2(-4)-1) = (-6, -7, 7)$ મળે.
આમ,માંગેલ બિંદુઓ $(2, 9, -9)$ અને $(-6, -7, 7)$ છે.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(3, 4, -7)$ અને $B(1, -1, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
સૌ પ્રથમ,દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = (1 - 3, -1 - 4, 6 - (-7)) = (-2, -5, 13)$ શોધો.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાના પ્રચલિત સમીકરણો $x = x_1 + a\lambda, y = y_1 + b\lambda, z = z_1 + c\lambda$ છે.
બિંદુ $A(3, 4, -7)$ અને દિશા સદિશ $(-2, -5, 13)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = 3 - 2\lambda$
$y = 4 - 5\lambda$
$z = -7 + 13\lambda$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x-1 = 2y+3 = 3-z$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y - (-3/2)}{1/2} = \frac{z-3}{-1}$.
આમ,રેખા પરનું બિંદુ $A(1, -3/2, 3)$ છે અને દિશાના ગુણોત્તર $(1, 1/2, -1)$ છે.
દિશાના ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $(2, 1, -2)$ મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{2}=\frac{2y-3}{5}; z=-1$ છે.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
$\frac{x+3}{2}=\frac{2(y-3/2)}{5}; z=-1$
$\frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-3/2}{5/2}; z=-1$.
આ રેખા બિંદુ $(-3, 3/2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $(2, 5/2, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે.
દિશા ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $(4, 5, 0)$ મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a}=-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=4\hat{i}+5\hat{j}$ છે.
તેથી,સદિશ સમીકરણ $\vec{r}=\left(-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}\right)+\lambda(4\hat{i}+5\hat{j})$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{1-x}{2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$ અને $\frac{x-11}{5}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$ છે.
પ્રથમ રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-2, \lambda, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (5, 3, 1)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$
$(-2)(5) + (\lambda)(3) + (2)(1) = 0$
$-10 + 3\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 8 = 0$
$3\lambda = 8$
$\lambda = \frac{8}{3}$.

(D) $XOZ$ સમતલ એ એવું સમતલ છે જ્યાં $y = 0$ હોય છે. $XOZ$ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે,જે સદિશ $\vec{n} = (0, 1, 0)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલી રેખા $XOZ$ સમતલને લંબ હોવાથી,તે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, 1, 0)$ ને સમાંતર હશે.
રેખા બિંદુ $(2, 3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના સમીકરણના સંમિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \lambda$,જ્યાં $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -4)$ અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ છે.
આમ,સમીકરણ $\frac{x - 2}{0} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 4}{0} = \lambda$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે $x - 2 = 0 \implies x = 2$,$z + 4 = 0 \implies z = -4$,અને $y - 3 = \lambda \implies y = 3 + \lambda$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x = 2, \quad y = 3 + \lambda, \quad z = -4$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\ell_{1}: \bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) + t(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$ અને $\ell_{2}: \bar{r} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + p(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$ છે.
અહીં,$\bar{a}_{1} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\bar{b}_{1} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,$\bar{a}_{2} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,અને $\bar{b}_{2} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{j}-2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(-2-1) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}) \cdot (\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1})}{|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(6\hat{i}-3\hat{k}) \cdot (\hat{j}-2\hat{k})}{3\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{6}{3\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ એકમ થાય.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 4 = 4y - 1 = 1 - 4z$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખવા માટે $x, y, z$ ના સહગુણકો વડે ભાગતા:
$\frac{x + 4/3}{1/3} = \frac{y - 1/4}{1/4} = \frac{z - 1/4}{-1/4}$ મળે છે.
છેદને $12$ વડે ગુણતા,દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (4, 3, -3)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 4, 6)$ માંથી પસાર થતી અને $(4, 3, -3)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-6}{-3}$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{5} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-\lambda}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (5, 3, -\lambda)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-1/3}{-5} = \frac{z+1}{1}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (4, -5, 1)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$5(4) + 3(-5) + (-\lambda)(1) = 0$.
$20 - 15 - \lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 5$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદે તે માટે,એવા $\lambda$ અને $\mu$ હોવા જોઈએ કે જેથી $P=Q$ થાય.
યામોને સરખાવતા:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ (ii)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
હવે $\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને (ii) માં મૂકતા: $3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1 \implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1 \implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$.

(D) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 6 \hat{k}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(1)(2) + (2)(1) + (m)(6) = 0$.
$2 + 2 + 6m = 0$.
$4 + 6m = 0$.
$6m = -4$.
$m = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 4, -7)$ અને $(6, -1, 1)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{1-(-7)}$
$\frac{x-3}{3} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(0,2,3)$ માંથી આપેલી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $Q(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3)$ એટલે કે $(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
આપેલી રેખાના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે.
$PQ$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$Q = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા $1+x = 2y = -12z$ માટે,આપણને $\frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$ મળે છે. અહીં,બિંદુ $P_1 = (-1, 0, 0)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_1} = (1, 1/2, -1/12)$ છે.
બીજી રેખા $x = y+2 = 6z-6$ માટે,આપણને $\frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$ મળે છે. અહીં,બિંદુ $P_2 = (0, -2, 1)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_2} = (1, 1, 1/6)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{||\vec{b_1} \times \vec{b_2}||}$ છે.
સદિશ $\vec{P_2} - \vec{P_1} = (0 - (-1), -2 - 0, 1 - 0) = (1, -2, 1)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - 1/2) = (1/6, -1/4, 1/2)$.
માન $||\vec{b_1} \times \vec{b_2}|| = \sqrt{(1/6)^2 + (-1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/36 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{\frac{4+9+36}{144}} = \sqrt{49/144} = 7/12$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(1/6) + (-2)(-1/4) + (1)(1/2) = 1/6 + 1/2 + 1/2 = 7/6$.
તેથી,$d = \frac{|7/6|}{7/12} = \frac{7}{6} \times \frac{12}{7} = 2$ એકમ.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (4, 1, 8)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (2, 2, 1)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{4(2) + 1(2) + 8(1)}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{18}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9}} \right| = \frac{18}{9 \cdot 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.