Line Questions in Gujarati

(A) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{b_2} = (2, 2, -1)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{1(2) + 2(2) + 2(-1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{2 + 4 - 2}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} \right| = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(A) બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(D) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ રેખાઓ $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ અને $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ ની દિશાના સદિશો છે.
$\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (8 \times 1) = 8 + 2 + 8 = 18$ થાય.
તેમના માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(B) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - 6\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (-2)(2) + (-2)(-6) = 3 - 4 + 12 = 11$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|11|}{3 \times 7} = \frac{11}{21}$.

(D) પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બીજી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (-1)(3) + (1)(2) = 1 - 3 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
આપેલી પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 4)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 2, 1)$ છે.
માંગેલ રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિક સદિશ એ આપેલી રેખાઓના દિક સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) થશે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-8) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(2-4) = -6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-6, 7, -2)$ અથવા $(6, -7, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-1}{6} = \frac{y-2}{-7} = \frac{z-3}{2}$ થશે.
જેને $\frac{x-1}{6} = \frac{2-y}{7} = \frac{z-3}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) બિંદુઓ $A(\vec{a})$ અને $B(\vec{b})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (1-3)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (6 - (-7))\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$ મળે.
આમ,પ્રચલિત સમીકરણો $x = x_1 + v_x \lambda$,$y = y_1 + v_y \lambda$,$z = z_1 + v_z \lambda$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 3 - 2\lambda$,$y = 4 - 5\lambda$,$z = -7 + 13\lambda$ મળે છે.

(D) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(-3, 2k, 2)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(3k, 1, -5)$ છે.
લંબ હોવાની શરત લાગુ પાડતા:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(D) મુખ્ય વિચાર: જો રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ:
$\frac{2x-4}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1} \Rightarrow \frac{x-2}{\lambda/2} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ $(i)$
અને $\frac{x-1}{1} = \frac{3y-1}{\lambda} = \frac{z-2}{1} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-1/3}{\lambda/3} = \frac{z-2}{1}$ (ii)
રેખાઓ $(i)$ અને (ii) પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિક-ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\frac{\lambda}{2})(1) + (2)(\frac{\lambda}{3}) + (1)(1) = 0$
$\frac{\lambda}{2} + \frac{2\lambda}{3} + 1 = 0$
છેદ દૂર કરવા માટે $6$ વડે ગુણતા:
$3\lambda + 4\lambda + 6 = 0$
$7\lambda = -6$
$\lambda = -\frac{6}{7}$

(C) ધારો કે આપેલી રેખાઓ:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = k_1$
$L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-\lambda}{2}=\frac{z}{1} = k_2$
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k_1+1, 3k_1-1, 4k_1+1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k_2+3, 2k_2+\lambda, k_2)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો એવા $k_1, k_2$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$2k_1+1 = k_2+3 \Rightarrow 2k_1 - k_2 = 2$ $(i)$
$4k_1+1 = k_2 \Rightarrow 4k_1 - k_2 = -1$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4k_1 - k_2) - (2k_1 - k_2) = -1 - 2$
$2k_1 = -3 \Rightarrow k_1 = -\frac{3}{2}$
$k_1$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$4(-\frac{3}{2}) - k_2 = -1 \Rightarrow -6 - k_2 = -1 \Rightarrow k_2 = -5$
હવે,$y$-યામને સરખાવતા:
$3k_1 - 1 = 2k_2 + \lambda$
$3(-\frac{3}{2}) - 1 = 2(-5) + \lambda$
$-\frac{9}{2} - 1 = -10 + \lambda$
$-\frac{11}{2} = -10 + \lambda$
$\lambda = 10 - \frac{11}{2} = \frac{20-11}{2} = \frac{9}{2}$

(C) બિંદુઓ $P(6, -1, 2)$,$Q(8, -7, 2\lambda)$ અને $R(5, 2, 4)$ સમરેખ હોવાથી,રેખાખંડ $PQ$ અને $PR$ ના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(8-6, -7-(-1), 2\lambda-2) = (2, -6, 2\lambda-2)$ છે.
$PR$ ના દિશા ગુણોત્તર $(5-6, 2-(-1), 4-2) = (-1, 3, 2)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,દિશા ગુણોત્તરનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{2}{-1} = \frac{-6}{3} = \frac{2\lambda-2}{2}$
$-2 = -2 = \lambda-1$
છેલ્લા ભાગને સરખાવતા: $-2 = \lambda-1$,તેથી $\lambda = -1$ મળે છે.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_1} = (2, -2, 1)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_2} = (1, 2, 2)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(2)(1) + (-2)(2) + (1)(2)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = 0$
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$ મળે છે.

(C) ધારો કે આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માંગેલ રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 2) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-4 + 2) = -2\hat{i} - 3\hat{j} - 2\hat{k}$.
$-1$ વડે ગુણીને આપણે દિશા ગુણોત્તર $(2, 3, 2)$ લઈ શકીએ છીએ.
આ રેખા બિંદુ $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - (-1)}{3} = \frac{z - 2}{2}$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{2}$ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ત્યારે જ છેદે જો તેમના બિંદુઓના તફાવત અને દિશા ગુણોત્તરથી બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z-0}{1}$ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (1, 2, 1)$ છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-1) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 2 & k+1 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+1)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+1)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+1)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$
$2k - 9 = 0$
$2k = 9$
$k = \frac{9}{2}$

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(r)$ છે.
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{4} = r$
$x = 2r + 1, y = 2r - 1, z = 4r + 1$
તેથી,$P = (2r + 1, 2r - 1, 4r + 1)$.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,આ બિંદુ બીજી રેખા $L_2$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ: $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{2} = \frac{z}{1} = k$.
$P$ ના યામોને $L_2$ માં મૂકતા:
$\frac{2r + 1 - 3}{1} = \frac{2r - 1 - 6}{2} = \frac{4r + 1}{1}$
$\frac{2r - 2}{1} = \frac{2r - 7}{2} = 4r + 1$
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગને લેતા: $2r - 2 = 4r + 1 \Rightarrow -3 = 2r \Rightarrow r = -\frac{3}{2}$.
હવે,$r = -\frac{3}{2}$ ને $P$ ના યામોમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{3}{2}) + 1 = -3 + 1 = -2$
$y = 2(-\frac{3}{2}) - 1 = -3 - 1 = -4$
$z = 4(-\frac{3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$
આમ,છેદબિંદુ $(-2, -4, -5)$ છે.

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
અહીં રેખા $(-3, 2, -5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x_1 = -3, y_1 = 2, z_1 = -5$ છે.
રેખા ધન યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,તેના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ સમાન થશે,એટલે કે $l = m = n$.
તેથી,દિકગુણોત્તર $a = 1, b = 1, c = 1$ લઈ શકાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-3)}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - (-5)}{1}$ મળે છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+5}{1}$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $\frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ છે.
તેમને $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, 4, 5)$.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર:
$d = \frac{|\det(A)|}{\sqrt{(a_1b_2-a_2b_1)^2 + (b_1c_2-b_2c_1)^2 + (c_1a_2-c_2a_1)^2}}$
જ્યાં $A = \begin{bmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય: $\det(A) = 1(15-16) - 2(10-12) + 2(8-9) = 1(-1) - 2(-2) + 2(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$.
છેદની ગણતરી:
$a_1b_2-a_2b_1 = (2)(4)-(3)(3) = 8-9 = -1$.
$b_1c_2-b_2c_1 = (3)(5)-(4)(4) = 15-16 = -1$.
$c_1a_2-c_2a_1 = (4)(3)-(5)(2) = 12-10 = 2$.
છેદ $= \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$.
તેથી,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(A) આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k})$ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (4, 3, 3)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 1, 2)$ છે.
શરત મુજબ $\begin{vmatrix} 4-3 & 3-2 & 3-5 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $1(2 - (-k)) - 1(2 - (-k^2)) - 2(1 - k) = 0$.
$1(2 + k) - 1(2 + k^2) - 2 + 2k = 0$.
$2 + k - 2 - k^2 - 2 + 2k = 0$.
$-k^2 + 3k - 2 = 0$.
$k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
આમ,$k = 1$ અથવા $k = 2$.

(A) ધારો કે $A(x_1, y_1, z_1) = (3, 4, 1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2) = (5, 1, 6)$.
બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ થાય છે.
રેખા $xy$-સમતલને છેદે છે,તેથી $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$z = 0$ લેતા,$\frac{0-1}{5} = k$,તેથી $k = -\frac{1}{5}$.
હવે,$k = -\frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $y$ શોધો:
$x - 3 = 2k \Rightarrow x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.
$y - 4 = -3k \Rightarrow y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ છે.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમતલીય હોય જો દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશ અને તેમની દિશાના સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આપેલ બિંદુઓ: $P_1 = (-1, 2, 1)$ અને $P_2 = (-2, -1, -1)$.
દિશા સદિશો: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ અને $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$.
$\alpha = -4$ ને $L_2$ માં મૂકતા:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$.
વિકલ્પ $(B) (2, -10, -2)$ ચકાસતા:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$.
આમ,રેખા $L_2$ બિંદુ $(2, -10, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ છે.
રેખા $\langle 1, 2, 3 \rangle$ અને $\langle -3, 2, 5 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$1a + 2b + 3c = 0$
$-3a + 2b + 5c = 0$
દિકગુણોત્તર $\langle a, b, c \rangle$ શોધવા માટે ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરતા:
$a = (2)(5) - (3)(2) = 10 - 6 = 4$
$b = (3)(-3) - (1)(5) = -9 - 5 = -14$
$c = (1)(2) - (2)(-3) = 2 + 6 = 8$
આમ,દિકગુણોત્તર $\langle 4, -14, 8 \rangle$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\langle 2, -7, 4 \rangle$ થાય છે.
બિંદુ $(2, 1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $\langle 2, -7, 4 \rangle$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-3}{4}$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$\frac{x-2}{2} = \frac{1-y}{7} = \frac{z-3}{4}$

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu$ છે.
પ્રથમ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને બીજી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ .... $(1)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ .... $(2)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ .... $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતાં,$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$,જે આપણને $2\lambda = -3$ આપે છે,તેથી $\lambda = \frac{-3}{2}$.
$\lambda = \frac{-3}{2}$ ને $(3)$ માં મૂકતા,$\mu = 4(\frac{-3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$ મળે.
હવે,$\lambda = \frac{-3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{-3}{2}) - 2(-5) = k+1$
$\frac{-9}{2} + 10 = k+1$
$\frac{-9+20}{2} = k+1$
$\frac{11}{2} = k+1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(D) બિંદુ $A(-2,-2,3)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x+2}{-2} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-3}{-1} = \lambda$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુને $(-2\lambda - 2, 2\lambda - 2, -\lambda + 3)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
બિંદુ $P$ એ $YOZ-$ સમતલ પર હોવાથી,તેનો $x-$યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$x-$યામને $0$ લેતા:
$-2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow -2\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને સામાન્ય યામમાં મૂકતા:
$x = -2(-1) - 2 = 0$
$y = 2(-1) - 2 = -4$
$z = -(-1) + 3 = 4$
આમ,બિંદુ $P$ ના યામ $(0, -4, 4)$ છે.

(C) રેખાના આપેલા કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે.
આપણે તેને $y=2$ અને $4x=3z-5$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ મેળવવા માટે $12$ વડે ભાગતા:
$4x = 3(z - \frac{5}{3}) \implies \frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$.
$y=2$ અચળ હોવાથી,$y$ માટે દિશા ગુણોત્તર $0$ છે.
આમ,રેખાને $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા બિંદુ $(0, 2, 5/3)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા ગુણોત્તર $(3, 0, 4)$ છે.
સદિશ સમીકરણ $\overline{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે,જ્યાં $\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,$\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$.

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ: $3x + 1 = 6y - 2 = -z + 1$.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ માં લખો.
$3(x + \frac{1}{3}) = 6(y - \frac{1}{3}) = -(z - 1)$.
સહગુણકોના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(6)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x + 1/3}{1/3} = \frac{y - 1/3}{1/6} = \frac{z - 1}{-1}$.
દિશા ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે,છેદને $6$ વડે ગુણો:
$\frac{x + 1/3}{2} = \frac{y - 1/3}{1} = \frac{z - 1}{-6}$.
રેખા પરનું બિંદુ $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1)$ છે અને દિશા સદિશ $2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k}$ છે.
આમ,સદિશ સમીકરણ $\overline{r} = (-\frac{1}{3} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(2 \hat{i} + \hat{j} - 6 \hat{k})$ છે.

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે.
$4x-3z+5=0$ પરથી,આપણને $4x = 3z-5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $4x = 3(z - \frac{5}{3})$.
આને $\frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$y=2$ હોવાથી,આપણે સમીકરણને $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ રેખા બિંદુ $(0, 2, 5/3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $(3, 0, 4)$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(3, 5, -1)$ અને $B(6, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,આપણને $\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-5}{3-5} = \frac{z-(-1)}{-2-(-1)}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{3} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+1}{-1} = r$ થાય છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(3r+3, -2r+5, -r-1)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P$ નો $y$-યામ $2$ છે,તેથી $-2r+5 = 2$ લેતા.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $-2r = -3$ મળે છે,એટલે કે $r = \frac{3}{2}$.
હવે,$r = \frac{3}{2}$ ની કિંમત $z$-યામના પદમાં મૂકતા: $z = -r-1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$.

(A) $A(2, 4, 5)$ અને $B(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-4}{2-4} = \frac{z-5}{3-5} = k$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z-5}{-2} = k$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z) = (-k+2, -2k+4, -2k+5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ શરત મુજબ,બિંદુ $P$ નો $z$-યામ $3$ છે,તેથી:
$-2k + 5 = 3$
$-2k = -2$
$k = 1$
હવે $y$-યામ શોધવા માટે $k = 1$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = -2(1) + 4 = 2$.
આમ,બિંદુ $P$ નો $y$-યામ $2$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ અને $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ છે.
અહીં,$\bar{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\bar{b}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\bar{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\bar{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
પ્રથમ,$\bar{a}_2 - \bar{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b}_1 \times \bar{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-2-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\bar{b}_1 \times \bar{b}_2) \cdot (\bar{a}_2 - \bar{a}_1)}{|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2|} \right| = \left| \frac{(-2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{38}} \right| = \left| \frac{-2 + 15 - 9}{\sqrt{38}} \right| = \frac{4}{\sqrt{38}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ એકમ થાય.

(A) આપેલ રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a_1}+\lambda\overline{b_1}$ અને $\overline{r}=\overline{a_2}+\mu\overline{b_2}$ છે.
અહીં,$\overline{a_1}=2\hat{i}-\hat{j}$,$\overline{b_1}=2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$ અને $\overline{a_2}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overline{b_2}=2\hat{i}+\hat{j}-5\hat{k}$ છે.
સદિશ $\overline{a_2}-\overline{a_1} = (\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})-(2\hat{i}-\hat{j}) = -\hat{i}+2\hat{k}$ થાય.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-5+3) - \hat{j}(-10+6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i}+4\hat{j}$ મળે.
તેનું માન $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{(-2)^2+4^2+0^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ થાય.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\overline{a_2}-\overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})}{|\overline{b_1} \times \overline{b_2}|} \right|$ છે.
$d = \left| \frac{(-\hat{i}+2\hat{k}) \cdot (-2\hat{i}+4\hat{j})}{2\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{2+0+0}{2\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ એકમ.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-3}{-3} = \frac{y-2}{2k} = \frac{z-3}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{3k} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-5}$ છે.
$L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ છે.
$L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ ને સમાંતર હોવાથી,માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર પણ $(3, 5, 6)$ થશે.
રેખા બિંદુ $(1, -3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-(-3)}{5} = \frac{z-5}{6}$
જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-5}{6}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ છે અને દિશા સદિશ $3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે,તેથી $(a, b, c) = (3, 2, -8)$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
આને સરળ બનાવતા:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(B) પ્રથમ રેખા $\vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને તે $P_1(3, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
બીજી રેખા $x = 4+k, y = -k, z = -4-2k$ છે,જેને $\vec{r} = (4\hat{i} - 4\hat{k}) + k(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ તરીકે લખી શકાય. દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ છે અને તે $P_2(4, 0, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$\vec{b_1} = \vec{b_2}$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
તેઓ સંપાતી છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે જોઈએ કે $P_1$ બીજી રેખા પર છે કે નહીં. $P_1(3, 1, -2)$ ને બીજી રેખાના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$3 = 4+k \implies k = -1$
$1 = -k \implies k = -1$
$-2 = -4-2k \implies -2 = -4-2(-1) = -4+2 = -2$
બધા સમીકરણો માટે $k = -1$ સંતોષાય છે,તેથી બિંદુ $P_1$ બીજી રેખા પર છે. તેથી,રેખાઓ સંપાતી છે.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \left| \frac{(2)(4) + (2)(1) + (1)(8)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}} \right|$.
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}} \right| = \left| \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} \right|$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b} = a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ ને સમાંતર રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$
અહીં,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, 2, -4)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે,તેથી $a=3, b=2, c=-8$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-(-4)}{-8}$
$\frac{x-5}{3} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+4}{-8}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ અને $\frac{x-2}{p} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{a_1} = (-3, 1, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $\vec{a_2} = (p, 2, 1)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(p) + (1)(2) + (2)(1) = 0$
$-3p + 2 + 2 = 0$
$-3p + 4 = 0$
$3p = 4$
$p = \frac{4}{3}$.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેમના દિક સદિશો $\vec{b_1}$ અને $\vec{b_2}$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આમ,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y+4}{7} = \frac{6-z}{2}$ છે.
પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
ત્રીજા પદ માટે,$\frac{6-z}{2} = \frac{-(z-6)}{2} = \frac{z-6}{-2}$.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-4)}{7} = \frac{z-6}{-2}$ બને છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ એ $(5, -4, 6)$ છે અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ એ $(3, 7, -2)$ છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (5\hat{i} - 4\hat{j} + 6\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (2, 3, 6)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (10, 2, -11)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (3)(2) + (6)(-11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + 2^2 + (-11)^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(2, 3, 4)$ છે,તેથી $x_1 = 2, y_1 = 3, z_1 = 4$.
રેખા $Y$-અક્ષને સમાંતર છે. $Y$-અક્ષના દિશા ગુણોત્તર $(0, 1, 0)$ છે.
તેથી,રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-2}{0} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{0}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{x+3}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z+5}{-6}$ અને $\frac{x-1}{10}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-3}{11}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (2, -3, -6)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (10, -2, 11)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(10) + (-3)(-2) + (-6)(11) = 20 + 6 - 66 = -40$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{10^2 + (-2)^2 + 11^2} = \sqrt{100 + 4 + 121} = \sqrt{225} = 15$.
આમ,$\cos \theta = \frac{|-40|}{7 \times 15} = \frac{40}{105} = \frac{8}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{8}{21}\right)$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{-(x-1)}{3} = \frac{7(y-2)}{2p} = \frac{z-3}{2} \implies \frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-3, \frac{2p}{7}, 2)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{-7(x-1)}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{-(z-6)}{5} \implies \frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$p = \frac{70}{11}$.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો છે:
રેખા $1$: $\frac{2x-5}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
પ્રથમ રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{2(x - 5/2)}{k} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1} \implies \frac{x - 5/2}{k/2} = \frac{y+2}{-5} = \frac{z}{1}$.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (k/2, -5, 1)$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (1, 2, 3)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ પ્રોડક્ટ શૂન્ય થાય:
$(k/2)(1) + (-5)(2) + (1)(3) = 0$.
$k/2 - 10 + 3 = 0$.
$k/2 - 7 = 0$.
$k/2 = 7$.
$k = 14$.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$.
રેખા $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ ના પ્રમાણમાં હોય,તેથી $(a, b, c) = (1, 0, 0)$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{1} = \frac{y}{0} = \frac{z}{0}$ થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.