Line Questions in Gujarati

(A) બિંદુઓ $P(1, 2, 1)$ અને $Q(2, 1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તર $(2-1, 1-2, -1-1) = (1, -1, -2)$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{-2} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $C = (k+1, -k+2, -2k+1)$ છે.
જેহেতু $AC$ રેખા $L$ ને લંબ છે,$AC$ ના દિકગુણોત્તર $(k+1-2, -k+2-2, -2k+1-2) = (k-1, -k, -2k-1)$ છે.
$AC \perp L$ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(k-1) + (-1)(-k) + (-2)(-2k-1) = 0$
$k - 1 + k + 4k + 2 = 0$
$6k + 1 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{6}$.
$C$ ના યામમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા,$C = (1 - \frac{1}{6}, 2 + \frac{1}{6}, 1 + \frac{2}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{13}{6}, \frac{8}{6})$ મળે.
$C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $B = (\alpha, \beta, \gamma)$ અને $A = (2, 2, 2)$ છે:
$\frac{\alpha+2}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow \alpha+2 = \frac{5}{3} \Rightarrow \alpha = -\frac{1}{3}$.
$\frac{\beta+2}{2} = \frac{13}{6} \Rightarrow \beta+2 = \frac{13}{3} \Rightarrow \beta = \frac{7}{3}$.
$\frac{\gamma+2}{2} = \frac{8}{6} \Rightarrow \gamma+2 = \frac{8}{3} \Rightarrow \gamma = \frac{2}{3}$.
હવે,$\alpha + \beta + 6\gamma = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} + 6(\frac{2}{3}) = \frac{6}{3} + 4 = 2 + 4 = 6$.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x+6}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}=\lambda$ છે. આ રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $(3\lambda-6, 2\lambda, \lambda-1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x-7}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-4}{2}=\mu$ છે. આ રેખા પરનું સામાન્ય બિંદુ $(4\mu+7, 3\mu+9, 2\mu+4)$ છે.
છેદબિંદુ માટે યામોને સરખાવતા:
$3\lambda-6 = 4\mu+7 \Rightarrow 3\lambda-4\mu = 13$ (સમીકરણ $1$)
$2\lambda = 3\mu+9 \Rightarrow 2\lambda-3\mu = 9$ (સમીકરણ $2$)
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$6\lambda-8\mu = 26$
$6\lambda-9\mu = 27$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા $\mu = -1$ મળે છે.
$\mu = -1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2\lambda - 3(-1) = 9 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$.
છેદબિંદુ $(3(3)-6, 2(3), 3-1) = (3, 6, 2)$ છે.
બિંદુ $(3, 6, 2)$ થી $(7, 8, 9)$ સુધીનું અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d^2 = (7-3)^2 + (8-6)^2 + (9-2)^2 = 4^2 + 2^2 + 7^2 = 16 + 4 + 49 = 69$.
તેથી,$d^2+6 = 69+6 = 75$.

(D) આપેલ રેખાઓ $\frac{2-x}{3}=\frac{3y-2}{4\lambda+1}=4-z$ અને $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{1-2y}{6}=\frac{5-z}{7}$ છે.
પ્રથમ,રેખાઓને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-2}{-3}=\frac{y-2/3}{(4\lambda+1)/3}=\frac{z-4}{-1}$. દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (-3, \frac{4\lambda+1}{3}, -1)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x+3}{3\mu}=\frac{y-1/2}{-3}=\frac{z-5}{-7}$. દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (3\mu, -3, -7)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-3)(3\mu) + (\frac{4\lambda+1}{3})(-3) + (-1)(-7) = 0$.
$-9\mu - (4\lambda+1) + 7 = 0$.
$-9\mu - 4\lambda - 1 + 7 = 0$.
$-4\lambda - 9\mu + 6 = 0$.
$4\lambda + 9\mu = 6$.

(C) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{5} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(2\lambda+1, 3\lambda-1, 5\lambda+2)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કારણ કે $M$ એ બિંદુ $A(8, 5, 7)$ થી રેખા પરનો લંબપાદ છે,સદિશ $\overrightarrow{AM}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ને લંબ છે.
$\overrightarrow{AM} = (2\lambda-7)\hat{i} + (3\lambda-6)\hat{j} + (5\lambda-5)\hat{k}$.
$\overrightarrow{AM} \cdot \vec{v} = 0$ હોવાથી:
$2(2\lambda-7) + 3(3\lambda-6) + 5(5\lambda-5) = 0$
$38\lambda - 57 = 0 \implies \lambda = \frac{3}{2}$.
$M$ માં $\lambda = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$M(4, \frac{7}{2}, \frac{19}{2})$ મળે છે.
ધારો કે $A'(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $A$ નું પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $AA'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha+8}{2} = 4 \implies \alpha = 0$
$\frac{\beta+5}{2} = \frac{7}{2} \implies \beta = 2$
$\frac{\gamma+7}{2} = \frac{19}{2} \implies \gamma = 12$
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = 0 + 2 + 12 = 14$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2}=\frac{z-1}{0} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(-3\lambda-2, 4\lambda+2, 2\lambda+5)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(-\mu-2, 2\mu-6, 1)$ છે.
ટૂંકા અંતરની રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર એ $L_1$ અને $L_2$ ના દિક્-સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\vec{v_1} = -3\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 4 & 2 \\ -1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-4) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(-6 - (-4)) = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
આ સદિશ $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{PQ} = ((\mu-3\lambda)\hat{i} + (4\lambda-2\mu+8)\hat{j} + (2\lambda+4)\hat{k})$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ $2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે,તેથી $\frac{\mu-3\lambda}{2} = \frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$.
$\frac{4\lambda-2\mu+8}{1} = \frac{2\lambda+4}{1}$ પરથી,આપણને $2\lambda - 2\mu + 4 = 0 \Rightarrow \mu = \lambda + 2$ મળે છે.
$\mu = \lambda + 2$ ને $\frac{\mu-3\lambda}{2} = 2\lambda+4$ માં મૂકતા,આપણને $\frac{\lambda+2-3\lambda}{2} = 2\lambda+4 \Rightarrow -\lambda+1 = 2\lambda+4 \Rightarrow 3\lambda = -3 \Rightarrow \lambda = -1$ મળે છે.
તેથી $\mu = -1+2 = 1$.
ટૂંકા અંતરની રેખા $P(1, -2, 3)$ અને $Q(-3, -4, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-3}{1}$ છે.
બિંદુ $(-1, \alpha, \beta)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\frac{-1-1}{2} = \frac{\alpha+2}{1} = \frac{\beta-3}{1} \Rightarrow -1 = \alpha+2 = \beta-3$.
આમ,$\alpha = -3$ અને $\beta = 2$.
તેથી,$(\alpha-\beta)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$.

(B) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-3}{2}=\frac{y+15}{-7}=\frac{z-9}{5}$ અને $\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-9}{-3}$ છે.
બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતર $(S.D.)$ માટેનું સૂત્ર $S.D. = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ છે.
સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\vec{a}_1 = (3, -15, 9)$,$\vec{b}_1 = (2, -7, 5)$
$\vec{a}_2 = (-1, 1, 9)$,$\vec{b}_2 = (2, 1, -3)$
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1-3, 1-(-15), 9-9) = (-4, 16, 0)$ ગણો.
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ નો ક્રોસ પ્રોડક્ટ ગણો:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21-5) - \hat{j}(-6-10) + \hat{k}(2+14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k} = 16(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 16 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = 16 \sqrt{3}$ છે.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-4, 16, 0) \cdot (16, 16, 16) = -64 + 256 + 0 = 192$ ગણો.
તેથી,$S.D. = \frac{|192|}{16 \sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3}$.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(2, -5, 11)$ અને $B(-6, 7, -5)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(-6-2, 7-(-5), -5-11) = (-8, 12, -16)$ છે.
$-4$ વડે ભાગતા,સરળ દિશા ગુણોત્તર $(2, -3, 4)$ મળે છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+5}{-3} = \frac{z-11}{4} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(2\lambda+2, -3\lambda-5, 4\lambda+11)$ છે.
સદિશ $\vec{RQ} = (2\lambda+2-1, -3\lambda-5-7, 4\lambda+11-6) = (2\lambda+1, -3\lambda-12, 4\lambda+5)$ છે.
કારણ કે $RQ$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{RQ}$ અને દિશા સદિશ $(2, -3, 4)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$2(2\lambda+1) - 3(-3\lambda-12) + 4(4\lambda+5) = 0$
$4\lambda + 2 + 9\lambda + 36 + 16\lambda + 20 = 0$
$29\lambda + 58 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ ના યામમાં $\lambda = -2$ મૂકતા:
$Q = (2(-2)+2, -3(-2)-5, 4(-2)+11) = (-2, 1, 3)$.
$P(10, -2, -1)$ અને $Q(-2, 1, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $PQ$:
$PQ = \sqrt{(-2-10)^2 + (1-(-2))^2 + (3-(-1))^2}$
$PQ = \sqrt{(-12)^2 + (3)^2 + (4)^2} = \sqrt{144 + 9 + 16} = \sqrt{169} = 13$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-1}{-1} = t$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $S(t, t+3, 1-t)$ છે.
સદિશ $\vec{QS} = (t-3, t+6, -t)$. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, -1)$ છે.
કારણ કે $\vec{QS} \perp \vec{v}$,તેથી $(t-3)(1) + (t+6)(1) + (-t)(-1) = 0$,જે $3t+3=0 \implies t=-1$ આપે છે.
આમ,લંબપાદ $S(-1, 2, 2)$ છે.
$S$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\alpha+3}{2} = -1, \frac{\beta-3}{2} = 2, \frac{\gamma+1}{2} = 2$,તેથી $P(-5, 7, 3)$ મળે.
સદિશ $\vec{RQ} = (1, -8, 2)$ અને $\vec{RP} = (-7, 2, 4)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{RQ} \times \vec{RP}|$.
$\vec{RQ} \times \vec{RP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -8 & 2 \\ -7 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -36\hat{i} - 18\hat{j} - 54\hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $\lambda = \frac{1}{2} \sqrt{(-36)^2 + (-18)^2 + (-54)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4536} = 9\sqrt{14}$.
$\lambda^2 = 14K$ હોવાથી,$81 \times 14 = 14K$,તેથી $K = 81$.

(C) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + t\vec{p}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + s\vec{q}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a}_1 = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{p} = 3 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -2 \hat{i} - 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{q} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{||\vec{p} \times \vec{q}||}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6 \hat{i} - 15 \hat{j} + 3 \hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $||\vec{p} \times \vec{q}|| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = 3\sqrt{30}$ છે.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-2-\lambda) \hat{i} - 7 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = 6\lambda + 126$ મળે છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{44}{\sqrt{30}}$,તેથી $\frac{|6\lambda + 126|}{3\sqrt{30}} = \frac{44}{\sqrt{30}}$ થાય.
$|6\lambda + 126| = 132$ મળે.
આથી $6\lambda + 126 = 132$ અથવા $6\lambda + 126 = -132$ થાય.
કિસ્સો $1$: $\lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $\lambda = -43$.
તેથી,$|\lambda|$ ની મહત્તમ કિંમત $43$ છે.

(B) રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$L_1: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k})$
$L_2: \overrightarrow{r} = (2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k})$
ધારો કે $\overrightarrow{a_1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\overrightarrow{a_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$.
ધારો કે $\overrightarrow{p} = \hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$.
તેથી $\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (2-2)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}$ છે:
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-12) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(3+6) = -15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k}$.
તેનું માન $|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{(-15)^2 + 7^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 49 + 81} = \sqrt{355}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = \left| \frac{(0\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (-15\hat{i} + 7\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{355}} \right| = \left| \frac{0 + 14 + 18}{\sqrt{355}} \right| = \frac{32}{\sqrt{355}}$.
$\frac{m}{\sqrt{n}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = 32$ અને $n = 355$ મળે છે.
કારણ કે $\operatorname{gcd}(32, 355) = 1$,તેથી $m+n = 32 + 355 = 387$.

(C) આપેલ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના દિશા સદિશો $\vec{b}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 6\hat{j} + 8\hat{k} = 2\vec{b}_1$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = \lambda\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{a}_2 = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (2-\lambda)\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $|12\hat{i} - 4\lambda\hat{j} + (3\lambda-6)\hat{k}| = 13$.
વર્ગ કરતા: $144 + 16\lambda^2 + (3\lambda-6)^2 = 169$.
$144 + 16\lambda^2 + 9\lambda^2 - 36\lambda + 36 = 169 \implies 25\lambda^2 - 36\lambda + 11 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(25\lambda - 11)(\lambda - 1) = 0$.
તેથી $\lambda = 1$ અથવા $\lambda = \frac{11}{25}$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = t$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(t, 2t+1, 3t+2)$ છે.
બિંદુ $Q(1, 6, 4)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $A$ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{QA} = (t-1)\hat{i} + (2t-5)\hat{j} + (3t-2)\hat{k}$ એ રેખાની દિશાના સદિશ $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને લંબ હોય.
તેથી,$\overrightarrow{QA} \cdot \vec{b} = 0 \implies 1(t-1) + 2(2t-5) + 3(3t-2) = 0$.
$t - 1 + 4t - 10 + 9t - 6 = 0 \implies 14t - 17 = 0 \implies t = \frac{17}{14}$.
લંબપાદ $A$ ના યામ $(\frac{17}{14}, 2(\frac{17}{14})+1, 3(\frac{17}{14})+2) = (\frac{17}{14}, \frac{48}{14}, \frac{79}{14})$ મળે.
$A$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જ્યાં $P(\alpha, \beta, \gamma)$ એ $Q(1, 6, 4)$ નું પ્રતિબિંબ છે,તેથી $\frac{\alpha+1}{2} = \frac{17}{14}$,$\frac{\beta+6}{2} = \frac{48}{14}$,અને $\frac{\gamma+4}{2} = \frac{79}{14}$.
$\alpha = \frac{17}{7} - 1 = \frac{10}{7}$,$\beta = \frac{48}{7} - 6 = \frac{6}{7}$,$\gamma = \frac{79}{7} - 4 = \frac{51}{7}$.
તેથી $2\alpha + \beta + \gamma = 2(\frac{10}{7}) + \frac{6}{7} + \frac{51}{7} = \frac{20+6+51}{7} = \frac{77}{7} = 11$.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1} = \lambda$ ને બિંદુ $M(2+\lambda, -\lambda, 1+\lambda)$ પર અને રેખા $L_2: \frac{x+1}{1/2} = \frac{y-1}{1/2} = \frac{z+1}{1} = \mu$ ને બિંદુ $N(-1+\mu/2, 1+\mu/2, -1+\mu)$ પર છેદે છે.
રેખા $L$ એ $\langle 3, 1, 2 \rangle$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાને સમાંતર હોવાથી,સદિશ $\vec{MN}$ એ $\langle 3, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{MN} = \langle \mu/2 - \lambda - 3, \mu/2 + \lambda + 1, \mu - \lambda - 2 \rangle$.
$\vec{MN} \parallel \langle 3, 1, 2 \rangle$ હોવાથી,$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$.
$\frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1} = \frac{\mu - \lambda - 2}{2}$ પરથી,$\mu + 2\lambda + 2 = \mu - \lambda - 2 \Rightarrow 3\lambda = -4 \Rightarrow \lambda = -4/3$.
$\frac{\mu/2 - \lambda - 3}{3} = \frac{\mu/2 + \lambda + 1}{1}$ પરથી,$\mu/2 - \lambda - 3 = 3\mu/2 + 3\lambda + 3 \Rightarrow -\mu = 4\lambda + 6$. $\lambda = -4/3$ મૂકતા,$-\mu = 4(-4/3) + 6 = 2/3 \Rightarrow \mu = -2/3$.
બિંદુ $M = (2/3, 4/3, -1/3)$.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-2/3}{3} = \frac{y-4/3}{1} = \frac{z+1/3}{2} = k$ છે.
$L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2/3 + 3k, 4/3 + k, -1/3 + 2k)$ છે.
$2/3 + 3k = -1/3 \Rightarrow 3k = -1 \Rightarrow k = -1/3$ લેતા.
$k = -1/3$ માટે,બિંદુ $(-1/3, 1, -1)$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1}=\frac{y-y_1}{b_1}=\frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2}=\frac{y-y_2}{b_2}=\frac{z-z_2}{c_2}$ સ્વરૂપમાં છે.
સમીકરણો પરથી,રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, -7, 1)$ અને $B(5, 9, -2)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{q} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $\vec{AB} = (5-3)\hat{i} + (9-(-7))\hat{j} + (-2-1)\hat{k} = 2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{p} \times \vec{q}$ શોધો:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & -11 & 5 \\ 3 & -6 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-11 + 30) - \hat{j}(4 - 15) + \hat{k}(-24 + 33) = 19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર ($S$.d.) એ $\vec{n}$ પર $\vec{AB}$ નો પ્રક્ષેપ છે:
$S.d. = \left| \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|} \right| = \left| \frac{(2\hat{i} + 16\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (19\hat{i} + 11\hat{j} + 9\hat{k})}{\sqrt{19^2 + 11^2 + 9^2}} \right|$
$S.d. = \left| \frac{38 + 176 - 27}{\sqrt{361 + 121 + 81}} \right| = \frac{187}{\sqrt{563}}$.

(A) બિંદુઓ $(1, 2, 3)$ અને $(2, 3, 5)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-2}{3-2} = \frac{z-3}{5-3} \Rightarrow \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-3}{2} = \lambda$
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $B = (1+\lambda, 2+\lambda, 3+2\lambda)$ છે.
જે રેખાની દિશામાં અંતર માપવાનું છે તે રેખા $\frac{x-11/3}{2/3} = \frac{y-11/3}{1/3} = \frac{z-19/3}{2/3}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $A\left(\frac{11}{3}, \frac{11}{3}, \frac{19}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશાના ગુણોત્તર $\langle 2, 1, 2 \rangle$ છે.
બિંદુ $B$ આ રેખા પર હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ $\langle 2, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = \left(\lambda-\frac{8}{3}, \lambda-\frac{5}{3}, 2\lambda-\frac{10}{3}\right) = \frac{1}{3} \langle 3\lambda-8, 3\lambda-5, 6\lambda-10 \rangle$.
$\vec{AB}$ એ $\langle 2, 1, 2 \rangle$ ને સમાંતર હોવાથી,$\frac{3\lambda-8}{2} = \frac{3\lambda-5}{1} = \frac{6\lambda-10}{2}$.
$\frac{3\lambda-8}{2} = 3\lambda-5$ પરથી,$3\lambda-8 = 6\lambda-10 \Rightarrow 3\lambda = 2 \Rightarrow \lambda = \frac{2}{3}$.
$\lambda = \frac{2}{3}$ મુકતા,$\vec{AB} = \frac{1}{3} \langle -6, -3, -6 \rangle = \langle -2, -1, -2 \rangle$.
અંતર $AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3$.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda+1, 2\lambda, 4\lambda+2)$ છે.
$AM$ એ રેખા $L$ ને લંબ હોવાથી,દિશા સદિશ $\vec{AM} = (3\lambda-5, 2\lambda-1, 4\lambda-3)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = (3, 2, 4)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\vec{AM} \cdot \vec{b} = 0 \implies 3(3\lambda-5) + 2(2\lambda-1) + 4(4\lambda-3) = 0$.
$9\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 16\lambda - 12 = 0 \implies 29\lambda - 29 = 0 \implies \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $M(4, 2, 6)$ મળે છે.
ધારો કે $I(x, y, z)$ એ બિંદુ $A(6, 1, 5)$ નું રેખામાં પ્રતિબિંબ છે. $M$ એ $AI$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{x+6}{2} = 4, \frac{y+1}{2} = 2, \frac{z+5}{2} = 6$.
$x+6 = 8 \implies x = 2$; $y+1 = 4 \implies y = 3$; $z+5 = 12 \implies z = 7$.
તેથી,પ્રતિબિંબ બિંદુ $I(2, 3, 7)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $I(2, 3, 7)$ ના અંતરનો વર્ગ $2^2 + 3^2 + 7^2 = 4 + 9 + 49 = 62$ થાય.

(A) ધારો કે ઘન $Q$ ના શિરોબિંદુઓ $(x_1, x_2, x_3)$ છે જ્યાં $x_i \in \{0, 1\}$ છે.
મુખ્ય વિકર્ણ $OG$ ને ધ્યાનમાં લો જે $(0,0,0)$ અને $(1,1,1)$ ને જોડે છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ છે. રેખા $OG$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ છે.
એક બાજુનો વિકર્ણ ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,$z=0$ બાજુ પરનો વિકર્ણ $AB$ જે $(1,0,0)$ અને $(0,1,0)$ ને જોડે છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ જેમના દિશા સદિશો $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ અને બિંદુઓ $P_1, P_2$ હોય,તે $d = \frac{|(\vec{P}_2 - \vec{P}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-1)) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ છે.
$P_1 = (0,0,0)$ અને $P_2 = (1,0,0)$ લેતા,$\vec{P}_2 - \vec{P}_1 = (1,0,0)$.
અંતર $d = \frac{|(1,0,0) \cdot (-1, -1, 2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ છે.
બાજુના વિકર્ણો અને મુખ્ય વિકર્ણોના અન્ય સંયોજનો માટે,અંતર કાં તો $0$ (જો તેઓ છેદતા હોય) અથવા $\frac{1}{\sqrt{6}}$ છે. આમ,મહત્તમ અંતર $\frac{1}{\sqrt{6}}$ છે.

(A) રેખાઓ $L_1: \overrightarrow{r} = (1, 0, 0) + \lambda(-1, 2, 2)$ અને $L_2: \overrightarrow{r} = \mu(2, -1, 2)$ છે.
ધારો કે $A$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે અને $B$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ છે. $A = (1-\lambda, 2\lambda, 2\lambda)$ અને $B = (2\mu, -\mu, 2\mu)$.
સદિશ $\overrightarrow{AB} = (2\mu + \lambda - 1, -\mu - 2\lambda, 2\mu - 2\lambda)$.
સામાન્ય લંબની દિશા $\vec{v} = (-1, 2, 2) \times (2, -1, 2) = (6, 6, -6)$ છે,જે $(2, 2, -1)$ ને સમાંતર છે.
કારણ કે $AB$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા છે,$\overrightarrow{AB}$ એ $(2, 2, -1)$ ને સમાંતર હોવી જોઈએ.
આમ,$\frac{2\mu + \lambda - 1}{2} = \frac{-\mu - 2\lambda}{2} = \frac{2\mu - 2\lambda}{-1} = k$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા $\lambda = 1/9$ અને $\mu = 2/9$ મળે છે.
તેથી $A = (8/9, 2/9, 2/9)$ અને $B = (4/9, -2/9, 4/9)$.
રેખા $L_3$ એ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $(2, 2, -1)$ છે.
$L_3$ નું સમીકરણ: $\overrightarrow{r} = A + t(2, 2, -1) = (8/9, 2/9, 2/9) + t(2, 2, -1)$.
વિકલ્પ $(1)$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુ $(2/3, 0, 1/3)$ માંથી પસાર થાય છે. દિશા $(2, 2, -1)$ હોવાથી,તે $L_3$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(2)$ એ $B$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે $L_3$ દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $(4)$ એ બિંદુ $A$ એટલે કે $(8/9, 2/9, 2/9)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે $L_3$ દર્શાવે છે.
આમ,વિકલ્પો $1, 2, 4$ સાચા છે.

(B) ધારો કે રેખા $l$ નું સમીકરણ $\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = k$ છે. રેખા $l$ એ $l_1$ અને $l_2$ ને લંબ હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c)$ નો $l_1$ અને $l_2$ ની દિશા સદિશો સાથેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$l_1$ ની દિશા $\vec{v_1} = (1, 2, 2)$ છે અને $l_2$ ની દિશા $\vec{v_2} = (2, 2, 1)$ છે.
તેથી,$a + 2b + 2c = 0$ અને $2a + 2b + c = 0$.
આને ઉકેલતા,આપણને $\frac{a}{2-4} = \frac{b}{4-1} = \frac{c}{2-4} \Rightarrow \frac{a}{-2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{-2}$ મળે છે.
તેથી,રેખા $l$ એ $\frac{x}{-2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-2} = k_1$ છે. $l$ અને $l_1$ નું છેદબિંદુ $P$ એ $(-2k_1, 3k_1, -2k_1) = (3+t, -1+2t, 4+2t)$ ને સરખાવીને મળે છે.
$3+t = -2k_1$,$-1+2t = 3k_1$ અને $4+2t = -2k_1$ ને ઉકેલતા,આપણને $k_1 = -1$ મળે છે,તેથી $P = (2, -3, 2)$.
ધારો કે $l_2$ પરનું બિંદુ $Q = (3+2s, 3+2s, 2+s)$ છે. અંતર $PQ = \sqrt{17}$ હોવાથી:
$(3+2s-2)^2 + (3+2s+3)^2 + (2+s-2)^2 = 17$
$(1+2s)^2 + (6+2s)^2 + s^2 = 17$
$1 + 4s + 4s^2 + 36 + 24s + 4s^2 + s^2 = 17$
$9s^2 + 28s + 37 = 17 \Rightarrow 9s^2 + 28s + 20 = 0$
$(9s + 10)(s + 2) = 0 \Rightarrow s = -2, s = -\frac{10}{9}$.
$s = -2$ માટે,$Q = (-1, -1, 0)$.
$s = -\frac{10}{9}$ માટે,$Q = (3 - \frac{20}{9}, 3 - \frac{20}{9}, 2 - \frac{10}{9}) = (\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$.
આમ,બિંદુઓ $(-1, -1, 0)$ અને $(\frac{7}{9}, \frac{7}{9}, \frac{8}{9})$ છે,જે વિકલ્પ $(B, D)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) રેખાઓ $L_1: x=5, \frac{y}{3-\alpha}=\frac{z}{-2}$ અને $L_2: x=\alpha, \frac{y}{-1}=\frac{z}{2-\alpha}$ છે.
$L_1$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-5}{0} = \frac{y}{3-\alpha} = \frac{z}{-2}$.
$L_2$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-\alpha}{0} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2-\alpha}$.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\left|\begin{array}{ccc} \alpha-5 & 0 & 0 \\ 0 & 3-\alpha & -2 \\ 0 & -1 & 2-\alpha \end{array}\right| = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $(\alpha-5) [(3-\alpha)(2-\alpha) - (-2)(-1)] = 0$.
$(\alpha-5) [6 - 3\alpha - 2\alpha + \alpha^2 - 2] = 0$.
$(\alpha-5) (\alpha^2 - 5\alpha + 4) = 0$.
$(\alpha-5)(\alpha-1)(\alpha-4) = 0$.
આમ,$\alpha = 1, 4, 5$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $(A, D)$ છે.

(D) ધારો કે $P(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ એ $L_1$ પરનું બિંદુ છે અને $Q(3\mu+2, 4\mu+4, 5\mu+5)$ એ $L_2$ પરનું બિંદુ છે.
$PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3\mu-2\lambda+1, 4\mu-3\lambda+2, 5\mu-4\lambda+2)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા છે,તેથી $PQ \perp L_1$ અને $PQ \perp L_2$.
$PQ \perp L_1$ માટે: $2(3\mu-2\lambda+1) + 3(4\mu-3\lambda+2) + 4(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 38\mu - 29\lambda + 16 = 0$.
$PQ \perp L_2$ માટે: $3(3\mu-2\lambda+1) + 4(4\mu-3\lambda+2) + 5(5\mu-4\lambda+2) = 0 \Rightarrow 50\mu - 38\lambda + 21 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{1}{3}$ અને $\mu = -\frac{1}{6}$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$P = \left(\frac{5}{3}, 3, \frac{13}{3}\right)$ અને $Q = \left(\frac{3}{2}, \frac{10}{3}, \frac{25}{6}\right)$ મળે.
$P$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{PQ} = Q-P = \left(-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{6}\right)$ (અથવા $(1, -2, 1)$) ના પ્રમાણસર દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-5/3}{1} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-13/3}{1}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા,બિંદુ $\left(\frac{14}{3}, -3, \frac{22}{3}\right)$ આ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે: $\frac{14/3 - 5/3}{1} = 3$,$\frac{-3-3}{-2} = 3$,$\frac{22/3 - 13/3}{1} = 3$.

(D) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ બિંદુ $B$ પર છેદે છે,તેથી યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$(3\lambda+1, -\lambda+1, -1) = (2\mu+2, 0, \alpha\mu-4)$.
$y$-યામ પરથી,$-\lambda+1 = 0 \implies \lambda = 1$.
$x$-યામમાં $\lambda=1$ મૂકતા: $3(1)+1 = 2\mu+2 \implies 4 = 2\mu+2 \implies \mu = 1$.
$z$-યામમાં $\mu=1$ મૂકતા: $-1 = \alpha(1)-4 \implies \alpha = 3$.
આમ,બિંદુ $B = (4, 0, -1)$.
રેખા $L_2$ એ $\frac{x-2}{2} = \frac{y}{0} = \frac{z+4}{3} = \delta$ છે.
તેથી,$L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (2\delta+2, 0, 3\delta-4)$ છે.
$AP$ નો દિશા સદિશ $\vec{AP} = (2\delta+1, -1, 3\delta-3)$ છે.
$AP \perp L_2$ હોવાથી,$\vec{AP}$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશ $(2, 0, 3)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\delta+1) + 0(-1) + 3(3\delta-3) = 0
\implies 4\delta+2 + 9\delta-9 = 0
\implies 13\delta = 7 \implies \delta = \frac{7}{13}$.
બિંદુ $P = (2(\frac{7}{13})+2, 0, 3(\frac{7}{13})-4) = (\frac{40}{13}, 0, -\frac{31}{13})$.
$PB^2 = (4-\frac{40}{13})^2 + (0-0)^2 + (-1+\frac{31}{13})^2 = (\frac{12}{13})^2 + (\frac{18}{13})^2 = \frac{144+324}{169} = \frac{468}{169}$.
અંતે,$26\alpha(PB)^2 = 26 \times 3 \times \frac{468}{169} = 78 \times \frac{36}{13} = 6 \times 36 = 216$.

(A) રેખા $P(-2, -1, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે. તેથી,$Q$ ના યામ $Q(3\lambda - 2, 2\lambda - 1, 2\lambda + 3)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\lambda \neq 0$.
આપેલ છે કે અંતર $QR = 5$,તેથી $\sqrt{(3\lambda - 2 - 1)^2 + (2\lambda - 1 - 3)^2 + (2\lambda + 3 - 3)^2} = 5$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(3\lambda - 3)^2 + (2\lambda - 4)^2 + (2\lambda)^2 = 25$.
$9(\lambda - 1)^2 + 4(\lambda - 2)^2 + 4\lambda^2 = 25$.
$9(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + 4(\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 4\lambda^2 = 25$.
$17\lambda^2 - 34\lambda + 25 = 25 \Rightarrow 17\lambda(\lambda - 2) = 0$.
$Q$ એ $P$ થી ભિન્ન હોવાથી,$\lambda \neq 0$,તેથી $\lambda = 2$.
આમ,$Q = (3(2) - 2, 2(2) - 1, 2(2) + 3) = (4, 3, 7)$.
હવે,$\vec{PQ} = Q - P = (4 - (-2), 3 - (-1), 7 - 3) = (6, 4, 4)$.
$\vec{PR} = R - P = (1 - (-2), 3 - (-1), 3 - 3) = (3, 4, 0)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$ છે.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 6 & 4 & 4 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 16) - \hat{j}(0 - 12) + \hat{k}(24 - 12) = -16\hat{i} + 12\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-16)^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144 + 144} = \sqrt{544}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \sqrt{544} = \sqrt{\frac{544}{4}} = \sqrt{136}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $136$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+3}{2}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A$ એ $(2\lambda+1, -\lambda-2, 2\lambda-3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{PA} = (2\lambda+1-2, -\lambda-2-(-10), 2\lambda-3-1) = (2\lambda-1, -\lambda+8, 2\lambda-4)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
કારણ કે $PA$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PA} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$(2\lambda-1)(2) + (-\lambda+8)(-1) + (2\lambda-4)(2) = 0$.
$4\lambda - 2 + \lambda - 8 + 4\lambda - 8 = 0$.
$9\lambda - 18 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$A$ ના યામમાં $\lambda = 2$ મૂકતા,આપણને $A(2(2)+1, -2-2, 2(2)-3) = A(5, -4, 1)$ મળે છે.
લંબ અંતર $AP$ એ $P(2, -10, 1)$ અને $A(5, -4, 1)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$AP = \sqrt{(5-2)^2 + (-4 - (-10))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{-2} = \lambda$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(7\lambda+3, -\lambda+2, -2\lambda-1)$ છે.
કારણ કે $P$ એ બિંદુ $Q(10,-3,-1)$ થી રેખા પરનો લંબપાદ છે,સદિશ $\vec{QP}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 7\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{QP} = (7\lambda+3-10)\hat{i} + (-\lambda+2+3)\hat{j} + (-2\lambda-1+1)\hat{k} = (7\lambda-7)\hat{i} + (-\lambda+5)\hat{j} - 2\lambda\hat{k}$.
$\vec{QP} \cdot \vec{v} = 0$ હોવાથી,આપણને મળે $7(7\lambda-7) - 1(-\lambda+5) - 2(-2\lambda) = 0$.
$49\lambda - 49 + \lambda - 5 + 4\lambda = 0 \Rightarrow 54\lambda - 54 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
તેથી,$P = (7(1)+3, -1+2, -2(1)-1) = (10, 1, -3)$.
હવે,$\vec{PQ} = (10-10)\hat{i} + (-3-1)\hat{j} + (-1-(-3))\hat{k} = -4\hat{j} + 2\hat{k}$.
અને $\vec{PR} = (3-10)\hat{i} + (-2-1)\hat{j} + (1-(-3))\hat{k} = -7\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -4 & 2 \\ -7 & -3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - (-6)) - \hat{j}(0 - (-14)) + \hat{k}(0 - 28) = -10\hat{i} - 14\hat{j} - 28\hat{k}$.
માન $|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{(-10)^2 + (-14)^2 + (-28)^2} = \sqrt{100 + 196 + 784} = \sqrt{1080} = \sqrt{36 \times 30} = 6\sqrt{30}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{30} = 3\sqrt{30}$.

(B) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{p}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{q}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $\vec{a_1} = (2, 1, -3)$,$\vec{p} = (1, 2, -3)$,$\vec{a_2} = (-1, -3, -5)$,અને $\vec{q} = (2, 4, -5)$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - \hat{j} + 0\hat{k}$ ગણો.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{5}$ છે.
આગળ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-3, -4, -2)$.
ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-3, -4, -2) \cdot (2, -1, 0) = -6 + 4 + 0 = -2$.
તેથી,$d = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
લઘુત્તમ અંતરનો વર્ગ $d^2 = \frac{4}{5}$ થાય.
અહીં $m=4$ અને $n=5$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$m+n = 4+5 = 9$.

(B) ધારો કે $M$ એ $B(1,2,3)$ માંથી રેખા $L: \frac{x-6}{3}=\frac{y-7}{2}=\frac{z-7}{-2} = \lambda$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
સદિશ $\overrightarrow{BM} = (3\lambda+6-1)\hat{i} + (2\lambda+7-2)\hat{j} + (-2\lambda+7-3)\hat{k} = (3\lambda+5)\hat{i} + (2\lambda+5)\hat{j} + (-2\lambda+4)\hat{k}$.
કારણ કે $\overrightarrow{BM}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી $\overrightarrow{BM} \cdot \vec{v} = 0$.
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$.
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0 \implies 17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ મૂકતા,આપણને $\overrightarrow{BM} = (3(-1)+5)\hat{i} + (2(-1)+5)\hat{j} + (-2(-1)+4)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ મળે છે.
વેધ $BM$ ની લંબાઈ $= |\overrightarrow{BM}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times AC \times BM = \frac{1}{2} \times 6 \times 7 = 21$ ચોરસ એકમ.

(D) બિંદુ $(-1,2,1)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(2\lambda-1, 3\lambda+2, 4\lambda+1)$ છે.
બીજી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x+2}{3}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-4}{1}=\mu$
તેથી,આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(3\mu-2, 2\mu+3, \mu+4)$ છે.
છેદબિંદુ $P$ માટે,યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$2\lambda-1 = 3\mu-2 \implies 2\lambda - 3\mu = -1$ $(i)$
$3\lambda+2 = 2\mu+3 \implies 3\lambda - 2\mu = 1$ (ii)
$(i)$ ને $2$ વડે અને (ii) ને $3$ વડે ગુણતા:
$4\lambda - 6\mu = -2$
$9\lambda - 6\mu = 3$
બાદબાકી કરતા $5\lambda = 5$ મળે,તેથી $\lambda = 1$.
$(i)$ માં $\lambda = 1$ મૂકતા,$2(1) - 3\mu = -1 \implies 3\mu = 3 \implies \mu = 1$.
$z$-યામ માટે ચકાસણી: $4(1)+1 = 5$ અને $1+4 = 5$. બંને સમાન હોવાથી,છેદબિંદુ $P$ એ $(1, 5, 5)$ છે.
બિંદુ $Q(4, -5, 1)$ થી $P(1, 5, 5)$ નું અંતર:
$PQ = \sqrt{(4-1)^2 + (-5-5)^2 + (1-5)^2}$
$PQ = \sqrt{3^2 + (-10)^2 + (-4)^2}$
$PQ = \sqrt{9 + 100 + 16} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$.

(B) ધારો કે રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{4} = \lambda$ છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$ છે.
$R(5, p, q)$ એ $L$ પર હોવાથી,$2\lambda+1 = 5 \implies \lambda = 2$. તેથી,$R = (5, 5, 8)$.
ધારો કે $T$ એ $Q(7, -2, 5)$ માંથી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. ધારો કે $T = (2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda)$.
સદિશ $\vec{QT} = (2\lambda+1-7, 3\lambda-1+2, 4\lambda-5) = (2\lambda-6, 3\lambda+1, 4\lambda-5)$.
$\vec{QT}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{b} = (2, 3, 4)$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{QT} \cdot \vec{b} = 0$.
$2(2\lambda-6) + 3(3\lambda+1) + 4(4\lambda-5) = 0 \implies 4\lambda - 12 + 9\lambda + 3 + 16\lambda - 20 = 0 \implies 29\lambda = 29 \implies \lambda = 1$.
તેથી,$T = (3, 2, 4)$.
$P$ એ $Q$ નું $L$ માં પ્રતિબિંબ હોવાથી,$T$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$QT = TP$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times RT \times (QT + TP) = \frac{1}{2} \times RT \times (2QT) = RT \times QT$.
$QT = \sqrt{(3-7)^2 + (2+2)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16+16+1} = \sqrt{33}$.
$RT = \sqrt{(5-3)^2 + (5-2)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4+9+16} = \sqrt{29}$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \sqrt{33} \times \sqrt{29} = \sqrt{957}$.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\sqrt{957})^2 = 957$ થાય.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(2\lambda+1, \lambda+2, 3\lambda+1)$ છે.
ધારો કે $P = (4,4,3)$. સદિશ $\vec{PQ} = (2\lambda+1-4, \lambda+2-4, 3\lambda+1-3) = (2\lambda-3, \lambda-2, 3\lambda-2)$ છે.
કારણ કે $\vec{PQ}$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 1, 3)$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ થાય.
$2(2\lambda-3) + 1(\lambda-2) + 3(3\lambda-2) = 0$.
$4\lambda - 6 + \lambda - 2 + 9\lambda - 6 = 0$.
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,લંબપાદ $Q$ એ $(2(1)+1, 1+2, 3(1)+1) = (3, 3, 4)$ છે.
ધારો કે $P$ નું પ્રતિબિંબ $R(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. $Q$ એ $PR$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$\frac{\alpha+4}{2} = 3 \Rightarrow \alpha = 2$.
$\frac{\beta+4}{2} = 3 \Rightarrow \beta = 2$.
$\frac{\gamma+3}{2} = 4 \Rightarrow \gamma = 5$.
તેથી,પ્રતિબિંબ $(2, 2, 5)$ છે.
માટે,$\alpha+\beta+\gamma = 2+2+5 = 9$.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P\left(\frac{15}{7}, \frac{32}{7}, 7\right)$ છે અને રેખા $L$ એ $\frac{x+1}{3}=\frac{y+3}{5}=\frac{z+5}{7} = k$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3k-1, 5k-3, 7k-5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \left(3k-1-\frac{15}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-3-\frac{32}{7}\right)\hat{j} + (7k-5-7)\hat{k} = \left(3k-\frac{22}{7}\right)\hat{i} + \left(5k-\frac{53}{7}\right)\hat{j} + (7k-12)\hat{k}$ થાય.
રેખા $PQ$ એ સદિશ $\vec{v} = \hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$ ને સમાંતર હોવાથી,$\vec{PQ}$ ના ઘટકો $\vec{v}$ ના ઘટકોના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{3k-\frac{22}{7}}{1} = \frac{5k-\frac{53}{7}}{4} = \frac{7k-12}{7} = \lambda$.
$\frac{7k-12}{7} = \lambda$ પરથી,$7k-12 = 7\lambda \Rightarrow k = \lambda + \frac{12}{7}$ મળે.
$k$ ની કિંમત પ્રથમ સમાનતામાં મૂકતા: $3(\lambda + \frac{12}{7}) - \frac{22}{7} = \lambda \Rightarrow 3\lambda + \frac{36-22}{7} = \lambda \Rightarrow 2\lambda = -2 \Rightarrow \lambda = -1$.
આમ,$k = -1 + \frac{12}{7} = \frac{5}{7}$.
બિંદુ $Q$ એ $Q(3(\frac{5}{7})-1, 5(\frac{5}{7})-3, 7(\frac{5}{7})-5) = Q(\frac{8}{7}, \frac{4}{7}, 0)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(\frac{15}{7}-\frac{8}{7})^2 + (\frac{32}{7}-\frac{4}{7})^2 + (7-0)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 7^2} = \sqrt{1+16+49} = \sqrt{66}$ થાય.
તેથી,અંતરનો વર્ગ $(PQ)^2 = 66$ થાય.

(B) રેખા $L$ નો દિશા સદિશ એ આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (2, 1, -2)$ અને $\vec{v_2} = (1, 3, 4)$ ને લંબ છે.
તેથી,$L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 10\hat{i} - 10\hat{j} + 5\hat{k}$ મળે.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{d} = (2, -2, 1)$ તરીકે લઈ શકીએ.
બિંદુ $P(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{1} = \lambda$ છે.
રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(2\lambda + 2, -2\lambda - 1, \lambda + 3)$ સ્વરૂપમાં હોય.
કારણ કે $Q$ એ $yz$-સમતલ પર આવેલું છે,તેથી તેનો $x$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$2\lambda + 2 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $Q(0, -2(-1) - 1, -1 + 3) = Q(0, 1, 2)$ મળે.
અંતર $PQ = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.

(B) રેખા $L$ એ $\frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{2} = \mu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(\mu+1, -\mu-1, 2\mu+2)$ છે.
$AP \perp L$ હોવાથી,સદિશ $\overrightarrow{AP} = (\mu, -\mu-3, 2\mu)$ એ $L$ ના દિશા સદિશ $\vec{d} = (1, -1, 2)$ ને લંબ છે.
$\overrightarrow{AP} \cdot \vec{d} = 0 \Rightarrow (\mu)(1) + (-\mu-3)(-1) + (2\mu)(2) = 0$.
$\mu + \mu + 3 + 4\mu = 0 \Rightarrow 6\mu = -3 \Rightarrow \mu = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$P = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)$.
રેખા $L_2$ એ $\vec{r} = (-1, 1, -2) + \lambda(1, -1, 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(-1+\lambda, 1-\lambda, -2+\lambda)$ છે.
$Q$ એ $L$ પર હોવાથી,તે $L$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $\frac{(-1+\lambda)-1}{1} = \frac{(1-\lambda)+1}{-1} = \frac{(-2+\lambda)-2}{2} = \mu$.
$\lambda-2 = \lambda-2$ અને $\lambda-2 = \frac{\lambda-4}{2} \Rightarrow 2\lambda-4 = \lambda-4 \Rightarrow \lambda = 0$.
$\lambda = 0$ માટે,$Q = (-1, 1, -2)$.
હવે,$PQ^2 = (\frac{1}{2} - (-1))^2 + (-\frac{1}{2} - 1)^2 + (1 - (-2))^2 = (\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (3)^2 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 9 = 13.5$.
તેથી,$2(PQ)^2 = 2(13.5) = 27$.

(B) ધારો કે $M$ એ $P(0,2,3)$ માંથી રેખા $L: \frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3} = \lambda$ પરનો લંબપાદ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ છે.
$PM$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3) = (5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
$PM \perp L$ હોવાથી,$PM$ અને $L$ ના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
આમ,$M = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
વેધ $PM$ ની લંબાઈ $\sqrt{(2-0)^2 + (3-2)^2 + (-1-3)^2} = \sqrt{4+1+16} = \sqrt{21}$ છે.
ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times QR \times PM = \frac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{21} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
આપેલ ક્ષેત્રફળ $= \frac{m}{n} = \frac{5\sqrt{21}}{2}$.
સરખાવતા,આપણને $2m = 5\sqrt{21}n$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $2m - 5\sqrt{21}n = 0$.

(B) બિંદુઓ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\frac{x-3}{-1} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z-3}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(\lambda+3, 2\lambda+5, -2\lambda+3)$ સ્વરૂપમાં છે.
સદિશ $\vec{PR} = (\lambda+2, 2\lambda+5, -2\lambda)$ મળે.
$PR \perp AB$ હોવાથી,$\vec{PR}$ અને રેખાની દિશા $(-1, -2, 2)$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ થાય:
$-1(\lambda+2) - 2(2\lambda+5) + 2(-2\lambda) = 0$.
$-\lambda - 2 - 4\lambda - 10 - 4\lambda = 0 \Rightarrow -9\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
લંબપાદ $R$ એ $(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3})$ છે.
$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$Q = 2R - P = (2 \times \frac{5}{3} - 1, 2 \times \frac{7}{3} - 0, 2 \times \frac{17}{3} - 3) = (\frac{7}{3}, \frac{14}{3}, \frac{25}{3})$.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{7+14+25}{3} = \frac{46}{3}$.

(A) રેખાઓના સમીકરણો $L_1: \vec{r} = (7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}) + \lambda(-3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k})$ છે.
ધારો કે $\vec{a_1} = 7 \hat{i} + 6 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a_2} = 5 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}$,$\vec{v_1} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{v_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{|\vec{v_1} \times \vec{v_2}|}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (5-7)\hat{i} + (3-6)\hat{j} + (4-2)\hat{k} = -2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-4) - \hat{j}(-9-8) + \hat{k}(-3-4) = 2 \hat{i} + 17 \hat{j} - 7 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{v_1} \times \vec{v_2}| = \sqrt{2^2 + 17^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 289 + 49} = \sqrt{342} = 3 \sqrt{38}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})| = |(-2)(2) + (-3)(17) + (2)(-7)| = |-4 - 51 - 14| = 69$ છે.
આમ,$d = \frac{69}{3 \sqrt{38}} = \frac{23}{\sqrt{38}}$.

(A) ધારો કે રેખા $L_1 = \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=p$. તેથી $A = (2p+1, 3p+2, 4p+3)$.
ધારો કે રેખા $L_2 = \frac{x-6}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-4}{-1}=q$. તેથી $B = (q+6, q, 4-q)$.
બિંદુઓ $P(4,1,0)$,$A$ અને $B$ સમરેખ છે. $PA$ ના દિકગુણોત્તર $(2p+1-4, 3p+2-1, 4p+3-0) = (2p-3, 3p+1, 4p+3)$ છે.
$AB$ ના દિકગુણોત્તર $(q+6-(2p+1), q-(3p+2), 4-q-(4p+3)) = (q-2p+5, q-3p-2, -q-4p+1)$ છે.
$P, A, B$ સમરેખ હોવાથી,$PA$ અને $AB$ ના દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં છે:
$\frac{2p-3}{q-2p+5} = \frac{3p+1}{q-3p-2} = \frac{4p+3}{-q-4p+1} = k$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $p=-1$ અને $q=3$ મળે છે.
$p=-1$ ને $A$ માં મૂકતા,$A(-1, -1, -1)$ મળે છે.
$q=3$ ને $B$ માં મૂકતા,$B(9, 3, 1)$ મળે છે.
હવે,નિશ્ચાયકની કિંમત:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 9 & 3 & 1\end{array}\right| = 1(-1 - (-3)) - 0 + 1(-3 - (-9)) = 1(2) + 1(6) = 8$.

(C) રેખા $L_1$ નું સમીકરણ જે $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $z$-અક્ષને સમાંતર છે તે $\frac{x-1}{0} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-3}{1}$ છે.
રેખા $L_2$ નું સમીકરણ જે $(\lambda, 5, 6)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે તે $\frac{x-\lambda}{0} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{0}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $SD = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a_1} = (1, 2, 3)$,$\vec{b_1} = (0, 0, 1)$,$\vec{a_2} = (\lambda, 5, 6)$,$\vec{b_2} = (0, 1, 0)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 3, 3)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = -\hat{i}$.
$SD = \frac{|(\lambda-1, 3, 3) \cdot (-1, 0, 0)|}{|-1|} = |-(\lambda-1)| = |\lambda-1| = 3$.
તેથી,$\lambda-1 = 3$ અથવા $\lambda-1 = -3$,એટલે કે $\lambda = 4$ અથવા $\lambda = -2$.
આપેલ છે કે $\lambda_2 < \lambda_1$,તેથી $\lambda_1 = 4$ અને $\lambda_2 = -2$.
બિંદુ $P(4, -2, 7)$ છે. રેખા $L_1$ એ $(1, 2, z)$ સ્વરૂપની છે.
$P(4, -2, 7)$ થી $L_1$ પરનું લંબ અંતરનો વર્ગ એ $L_1$ પરના બિંદુ $(1, 2, 7)$ થી અંતર છે.
$PQ^2 = (4-1)^2 + (-2-2)^2 + (7-7)^2 = 3^2 + (-4)^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x-4}{1} = \frac{y-4}{0} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (\lambda+4, 4, 3\lambda+2)$ છે.
અંતર રેખા $\frac{x-9}{2} = \frac{y-13}{3} = \frac{z-17}{6}$ ની દિશામાં માપવામાં આવે છે,તેથી સદિશ $\vec{PQ}$ એ સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (\lambda+4-7, 4-10, 3\lambda+2-11) = (\lambda-3, -6, 3\lambda-9)$.
$\vec{PQ}$ એ $\vec{v}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ:
$\frac{\lambda-3}{2} = \frac{-6}{3} = \frac{3\lambda-9}{6}$.
$\frac{\lambda-3}{2} = -2$ પરથી,આપણને $\lambda-3 = -4$ મળે છે,તેથી $\lambda = -1$.
$Q$ ના યામમાં $\lambda = -1$ મૂકતા,આપણને $Q = (-1+4, 4, 3(-1)+2) = (3, 4, -1)$ મળે છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(3-7)^2 + (4-10)^2 + (-1-11)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-6)^2 + (-12)^2} = \sqrt{16 + 36 + 144} = \sqrt{196} = 14$.

(B) રેખાઓ $L_1: \frac{x-3}{3}=\frac{y-\alpha}{-1}=\frac{z-3}{1}$ અને $L_2: \frac{x+3}{-3}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-\beta}{4}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, \alpha, 3)$ અને $B(-3, -7, \beta)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = (3, -1, 1)$ અને $\vec{q} = (-3, 2, 4)$ છે.
સદિશ $\vec{BA} = (3 - (-3))\hat{i} + (\alpha - (-7))\hat{j} + (3 - \beta)\hat{k} = 6\hat{i} + (\alpha+7)\hat{j} + (3-\beta)\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{BA} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})|}{|\vec{p} \times \vec{q}|} = 3\sqrt{30}$.
$|6(-6) + (\alpha+7)(-15) + (3-\beta)(3)| = 270$.
$|-36 - 15\alpha - 105 + 9 - 3\beta| = 270$.
$|-15\alpha - 3\beta - 132| = 270$.
ધન મૂલ્ય માટે,$15\alpha + 3\beta + 132 = 270$ લેતા,$15\alpha + 3\beta = 138$ એટલે કે $5\alpha + \beta = 46$.

(B) રેખા $L$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda+6, 2\lambda+7, -2\lambda+7)$ છે.
બિંદુ $P(1, 2, 3)$ માટે,સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda+5, 2\lambda+5, -2\lambda+4)$ છે.
રેખા $L$ ની દિશા $\vec{b} = (3, 2, -2)$ છે. લંબ હોવાથી,$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{b} = 0$.
$3(3\lambda+5) + 2(2\lambda+5) - 2(-2\lambda+4) = 0$ $\Rightarrow 17\lambda + 17 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
તેથી,લંબપાદ $Q(3, 5, 9)$ મળે છે.
બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $Q$ થી $2\sqrt{17}$ અંતરે છે. રેખાની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{1}{\sqrt{17}}(3, 2, -2)$ છે.
$A, B = Q \pm 2\sqrt{17}\hat{u} = (3, 5, 9) \pm 2(3, 2, -2)$.
તેથી $A(9, 9, 5)$ અને $B(-3, 1, 13)$ મળે.
$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = (9)(-3) + (9)(1) + (5)(13) = -27 + 9 + 65 = 47$.

(C) બે રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_1} + \lambda \overrightarrow{p}$ અને $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{a_2} + \mu \overrightarrow{q}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1}) \cdot (\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q})|}{|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\overrightarrow{a_1} = -\hat{i}$,$\overrightarrow{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$,$\overrightarrow{a_2} = p\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,અને $\overrightarrow{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\overrightarrow{a_2} - \overrightarrow{a_1} = (p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$|\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|((p+1)\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})|}{\sqrt{6}} = \frac{|p+1 - 4 + 1|}{\sqrt{6}} = \frac{|p-2|}{\sqrt{6}}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,તેથી $|p-2| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $p-2 = 1$ અથવા $p-2 = -1$.
આમ,$p = 3$ અથવા $p = 1$. $a < b$ હોવાથી,$a = 1$ અને $b = 3$ મળે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$ છે. અહીં $a^2 = 1$ અને $b^2 = 9$ છે,તેથી $b > a$.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે જ્યાં $b > a$ હોય,ત્યારે નાભિલંબની લંબાઈ $\frac{2a^2}{b} = \frac{2(1)}{3} = \frac{2}{3}$ થાય.

(A) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \langle 1, 0, -1 \rangle$ અને $\vec{v_2} = \langle 3, 4, 5 \rangle$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|} = \frac{|(1)(3) + (0)(4) + (-1)(5)|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}} = \frac{|3 + 0 - 5|}{\sqrt{2} \sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{2}{\sqrt{2} \sqrt{50}} = \frac{2}{\sqrt{100}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$\cos \theta = \frac{1}{5}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - (\frac{1}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ મળે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
$AB = AC = \sqrt{15}$ આપેલ છે,તેથી $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \sqrt{15} \times \sqrt{15} \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{1}{2} \times 15 \times \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{3 \sqrt{24}}{2}$ મળે.
ક્ષેત્રફળનો વર્ગ $(\frac{3 \sqrt{24}}{2})^2 = \frac{9 \times 24}{4} = 9 \times 6 = 54$ થાય.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_2: \frac{x}{1}=\frac{y}{\alpha}=\frac{z-5}{1}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(0, 0, 5)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & \alpha & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4\alpha) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(2\alpha-3) = (3-4\alpha)\hat{i} + 2\hat{j} + (2\alpha-3)\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (0-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-1)(3-4\alpha) + (-2)(2) + (2)(2\alpha-3)|}{\sqrt{(3-4\alpha)^2 + 2^2 + (2\alpha-3)^2}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$|4\alpha - 3 - 4 + 4\alpha - 6| = |8\alpha - 13|$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{16\alpha^2 - 24\alpha + 9 + 4 + 4\alpha^2 - 12\alpha + 9}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
$\frac{|8\alpha - 13|}{\sqrt{20\alpha^2 - 36\alpha + 22}} = \frac{5}{\sqrt{6}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $6(64\alpha^2 - 208\alpha + 169) = 25(20\alpha^2 - 36\alpha + 22)$.
$384\alpha^2 - 1248\alpha + 1014 = 500\alpha^2 - 900\alpha + 550$.
$116\alpha^2 + 348\alpha - 464 = 0$.
$116$ વડે ભાગતા: $\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$.
બીજનો સરવાળો $\alpha_1 + \alpha_2 = -3$.

(D) ધારો કે રેખા $L$ એ $C(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ ને બિંદુ $A(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ પર છેદે છે.
ધારો કે રેખા $L$ એ રેખા $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ ને બિંદુ $B(\mu+3, 2\mu+4, \mu)$ પર છેદે છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$AC$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
$AC$ ના દિકગુણોત્તરો $(2\lambda+1-1, 3\lambda-1-1, 4\lambda+1-1) = (2\lambda, 3\lambda-2, 4\lambda)$ છે.
$BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(\mu+3-1, 2\mu+4-1, \mu-1) = (\mu+2, 2\mu+3, \mu-1)$ છે.
$A, B, C$ સમરેખ હોવાથી,$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{3\lambda-2}{2\mu+3} = \frac{4\lambda}{\mu-1} = k$.
$\frac{2\lambda}{\mu+2} = \frac{4\lambda}{\mu-1}$ પરથી,આપણને $\frac{1}{\mu+2} = \frac{2}{\mu-1} \Rightarrow \mu-1 = 2\mu+4 \Rightarrow \mu = -5$ મળે છે.
$B$ ના યામમાં $\mu = -5$ મૂકતા,આપણને $B(-5+3, 2(-5)+4, -5) = (-2, -6, -5)$ મળે છે.
રેખા $L$ ના દિકગુણોત્તરો ($C(1,1,1)$ અને $B(-2, -6, -5)$ માંથી પસાર થતી) $(1-(-2), 1-(-6), 1-(-5)) = (3, 7, 6)$ છે.
રેખા $L$ નું સમીકરણ $\frac{x-1}{3} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-1}{6}$ છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(7, 15, 13)$ માટે: $\frac{7-1}{3} = 2, \frac{15-1}{7} = 2, \frac{13-1}{6} = 2$. બધા ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$(7, 15, 13)$ એ રેખા $L$ પર આવેલું છે.

(B) રેખા $L_1$ ને $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય. ધારો કે $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$.
$PQ \perp L_1$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda-4, \lambda+1, \lambda+3)$ એ દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\lambda-4)(1) + (\lambda+1)(1) + (\lambda+3)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.
આમ,$Q = (1, 2, 0)$ અને $\vec{PQ} = (-4, 1, 3)$.
રેખા $L_2$ ને $\frac{x-2}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય. ધારો કે $R = (\mu+2, \mu, \mu+1)$.
$PR \perp L_2$ હોવાથી,સદિશ $\vec{PR} = (\mu-3, \mu-1, \mu+4)$ એ દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,$(\mu-3)(1) + (\mu-1)(1) + (\mu+4)(1) = 0 \Rightarrow 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.
આમ,$R = (2, 0, 1)$ અને $\vec{PR} = (-3, -1, 4)$.
$\triangle PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |\vec{PQ} \times \vec{PR}|$.
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 1 & 3 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-3)) - \hat{j}(-16 - (-9)) + \hat{k}(4 - (-3)) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{PR}| = \sqrt{7^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3}$.
$A = \frac{1}{2} \times 7\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.
$4A^2 = 4 \times \frac{49 \times 3}{4} = 147$.

(A) રેખાઓ $\vec{r_1} = (1, 2, 3) + t(2, 3, 4)$ અને $\vec{r_2} = (\lambda, 4, 5) + s(3, 4, 5)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
અહીં,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{6}$ છે.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\lambda-1, 2, 2)$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\lambda-1)(-1) + 2(2) + 2(-1)|}{\sqrt{6}} = \frac{|3-\lambda|}{\sqrt{6}}$.
આપેલ છે કે $d = \frac{1}{\sqrt{6}}$,તેથી $|3-\lambda| = 1$,જે $\lambda = 4$ અથવા $\lambda = 2$ આપે છે.
આમ,$\lambda_1 = 4$ અને $\lambda_2 = 2$.
આપણે $(0,0), (4,2)$ અને $(2,4)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાની છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = 6$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $OA = \sqrt{20}, OB = \sqrt{20}, AB = \sqrt{8}$ છે.
ત્રિજ્યા $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{\sqrt{20} \cdot \sqrt{20} \cdot \sqrt{8}}{4 \cdot 6} = \frac{5\sqrt{2}}{3}$.

(C) ધારો કે રેખાઓ નીચે મુજબ છે:
$L_1: x+2=y-1=z=\ell$
$L_2: \frac{x-3}{5}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}=m$
$L_3: \frac{x}{-3}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-2}{1}=n$
$L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ:
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
યામોને સરખાવતા: $\ell-2=5m+3, \ell+1=-m, \ell=m+1$. ઉકેલતા $\ell=0, m=-1$ મળે છે. બિંદુ $A = (-2, 1, 0)$.
$L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ:
$x = 5m+3, y = -m, z = m+1$
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
યામોને સરખાવતા: $5m+3=-3n, -m=3n+3, m+1=n+2$. ઉકેલતા $m=0, n=-1$ મળે છે. બિંદુ $B = (3, 0, 1)$.
$L_3$ અને $L_1$ નું છેદબિંદુ:
$x = -3n, y = 3n+3, z = n+2$
$x = \ell-2, y = \ell+1, z = \ell$
યામોને સરખાવતા: $-3n=\ell-2, 3n+3=\ell+1, n+2=\ell$. ઉકેલતા $\ell=2, n=0$ મળે છે. બિંદુ $C = (0, 3, 2)$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
$\vec{AB} = (3 - (-2))\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = 5\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (0 - (-2))\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (2-0)\hat{k} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-2) - \hat{j}(10-2) + \hat{k}(10+2) = -4\hat{i} - 8\hat{j} + 12\hat{k}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2 + 12^2} = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 64 + 144} = \frac{1}{2} \sqrt{224} = \sqrt{56}$
$A^2 = 56$.

(A) પ્રથમ,રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ના દિશા સદિશો શોધો.
સદિશ $\vec{AB} = (2-1, 3-2, 2-1) = (1, 1, 1)$.
સદિશ $\vec{CD} = (3-2, 2-1, 4-3) = (1, 1, 1)$.
દિશા સદિશો સમાન હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
હવે,બિંદુ $C(2, 1, 3)$ રેખા $AB$ પર છે કે નહીં તે ચકાસીને રેખાઓ સમાન છે કે નહીં તે તપાસો.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $\vec{r} = (1, 2, 1) + t(1, 1, 1) = (1+t, 2+t, 1+t)$ છે.
જો $C$ એ $AB$ પર હોય,તો $(1+t, 2+t, 1+t) = (2, 1, 3)$.
આનાથી $1+t=2 \implies t=1$,$2+t=1 \implies t=-1$,અને $1+t=3 \implies t=2$ મળે છે.
$t$ ની કિંમત સુસંગત ન હોવાથી,$C$ એ $AB$ પર નથી.
આમ,રેખાઓ સમાંતર છે પણ અલગ છે.
તેથી,$\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$.

(A) ધારો કે $AD$ એ શિરોબિંદુ $A$ માંથી બાજુ $BC$ પરની મધ્યગા છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,તેના યામ $D = \left(\frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2}\right)$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = D - A = \left(\frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2}\right)$ મળે.
મધ્યગા $AD$ યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણો બનાવતી હોવાથી,તેના દિશા-ગુણોત્તરો સમાન થાય.
તેથી,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$.
$\lambda$ માટે: $\frac{\lambda - 5}{2} = 1 \implies \lambda = 7$.
$\mu$ માટે: $\frac{\mu - 8}{2} = 1 \implies \mu = 10$.
આમ,$\lambda + \mu = 7 + 10 = 17$.