Line Questions in Gujarati

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: x = y + a = z$ અને $L_2: x + a = 2y = 2z$ છે.
$L_1$ ને $\frac{x}{1} = \frac{y+a}{1} = \frac{z}{1} = k_1$ તરીકે લખતા,$L_1$ પરનું બિંદુ $P = (k_1, k_1 - a, k_1)$ મળે.
$L_2$ ને $\frac{x+a}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} = k_2$ તરીકે લખતા,$L_2$ પરનું બિંદુ $Q = (2k_2 - a, k_2, k_2)$ મળે.
રેખા $PQ$ ના દિક્રગુણોત્તર $(2k_2 - a - k_1, k_2 - k_1 + a, k_2 - k_1)$ થાય.
આપેલ દિક્રગુણોત્તર $2 : 1 : 2$ હોવાથી,$\frac{2k_2 - a - k_1}{2} = \frac{k_2 - k_1 + a}{1} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ મળે.
$\frac{k_2 - k_1 + a}{1} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ પરથી,$2k_2 - 2k_1 + 2a = k_2 - k_1$ એટલે કે $k_1 - k_2 = 2a$ મળે.
$\frac{2k_2 - a - k_1}{2} = \frac{k_2 - k_1}{2}$ પરથી,$2k_2 - a - k_1 = k_2 - k_1$ એટલે કે $k_2 = a$ મળે.
$k_2 = a$ ને $k_1 - k_2 = 2a$ માં મૂકતા,$k_1 = 3a$ મળે.
તેથી,છેદબિંદુઓ $P = (3a, 2a, 3a)$ અને $Q = (a, a, a)$ છે.

(A) વિધાન-$2$ માટે: વ્યાખ્યા મુજબ,બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ એક રેખા પરના કોઈપણ બિંદુથી બીજી રેખાનું લંબ અંતર છે. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.
વિધાન-$1$ માટે: ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ છે.
બિંદુ $P(0, 0, 0)$ એ $L_1$ પર આવેલું છે. $L_2$ નો દિશા સદિશ $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે. $L_2$ પરનું એક બિંદુ $Q(1, 1, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (1-0)\hat{i} + (1-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|\vec{PQ} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{PQ} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-2)) - \hat{j}(4 - 4) + \hat{k}(-2 - 4) = 6\hat{i} + 0\hat{j} - 6\hat{k}$.
$|\vec{PQ} \times \vec{b}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$d = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે અને વિધાન-$2$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $3lm - 4ln + mn = 0$ અને $l + 2m + 3n = 0$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$l = -2m - 3n$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$3m(-2m - 3n) - 4n(-2m - 3n) + mn = 0$
$-6m^2 - 9mn + 8mn + 12n^2 + mn = 0$
$-6m^2 + 12n^2 = 0$
$m^2 = 2n^2$
$m = \pm \sqrt{2}n$.
કિસ્સો $1$: જો $n = 1$,તો $m = \sqrt{2}$.
$l = -2(\sqrt{2}) - 3(1) = -2\sqrt{2} - 3$.
પ્રથમ રેખાના દિક ગુણોત્તર $(-2\sqrt{2} - 3, \sqrt{2}, 1)$ છે.
કિસ્સો $2$: જો $n = 1$,તો $m = -\sqrt{2}$.
$l = -2(-\sqrt{2}) - 3(1) = 2\sqrt{2} - 3$.
બીજી રેખાના દિક ગુણોત્તર $(2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$ છે.
ધારો કે દિક સદિશો $\vec{v_1} = (-2\sqrt{2} - 3, \sqrt{2}, 1)$ અને $\vec{v_2} = (2\sqrt{2} - 3, -\sqrt{2}, 1)$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$(-2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} - 3) + (\sqrt{2})(-\sqrt{2}) + (1)(1)$
$= (-(2\sqrt{2} + 3)(2\sqrt{2} - 3)) - 2 + 1$
$= -(8 - 9) - 1 = 1 - 1 = 0$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(D) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$.
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(A) પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાના દિક્-ગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'y + b'$ અને $z = c'y + d'$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y}{1} = \frac{z - d'}{c'}$ તરીકે લખી શકાય છે. આ રેખાના દિક્-ગુણોત્તર $(a', 1, c')$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિક્-ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આ શરતને આપણી રેખાઓ પર લાગુ કરતા: $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$.
તેથી,$aa' + cc' + 1 = 0$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(3, -1, 11)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $L$ છે.
રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = t$ પર $L$ આવેલું હોવાથી,$L$ ના યામ $(2t, 3t + 2, 4t + 3)$ થાય.
રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(2t - 3, 3t + 2 - (-1), 4t + 3 - 11)$ એટલે કે $(2t - 3, 3t + 3, 4t - 8)$ છે.
$PL$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(2, 3, 4)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2t - 3) + 3(3t + 3) + 4(4t - 8) = 0$.
$4t - 6 + 9t + 9 + 16t - 32 = 0$.
$29t - 29 = 0 \implies t = 1$.
$t = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા,$L(2(1), 3(1) + 2, 4(1) + 3) = L(2, 5, 7)$ મળે.
લંબ $PL$ ની લંબાઈ એ $P(3, -1, 11)$ અને $L(2, 5, 7)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PL = \sqrt{(2 - 3)^2 + (5 - (-1))^2 + (7 - 11)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 6^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 36 + 16} = \sqrt{53}$.

(A) ધારો કે $B(4, 7, 1)$ અને $C(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ છે. $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખા $BC$ નું સમીકરણ $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-7}{-2} = \frac{z-1}{2} = k$ છે.
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $D$ એ $(4-k, 7-2k, 1+2k)$ સ્વરૂપમાં છે.
$AD \perp BC$ હોવાથી,$AD$ ના દિકગુણોત્તર $(4-k-1, 7-2k-0, 1+2k-3) = (3-k, 7-2k, 2k-2)$ થાય.
$AD$ અને $BC$ ના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$-1(3-k) - 2(7-2k) + 2(2k-2) = 0$.
$-3 + k - 14 + 4k + 4k - 4 = 0$.
$9k - 21 = 0 \Rightarrow k = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$k = \frac{7}{3}$ ને $D$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$,$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$,$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = 1 + \frac{14}{3} = \frac{17}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ છે.

(A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2, -1, 1)$ અને $B(-1, 4, 1)$ છે. $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{B} - \vec{A} = (-1 - 2)\hat{i} + (4 - (-1))\hat{j} + (1 - 1)\hat{k} = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
માંગેલ રેખા આ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેના દિશા ગુણોત્તરો $(-3, 5, 0)$ ના પ્રમાણમાં હશે.
આ રેખા બિંદુ $P(1, 2, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 2}{5} = \frac{z - 2}{0}$ મળે છે.

(A) પ્રથમ રેખા $\frac{x - 1}{c} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 3}{4}$ ના દિશા ગુણોત્તર $(c, -2, 4)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x - 5}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 1}{c}$ ના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, c)$ છે.
જો રેખાઓ સમાંતર હોય,તો તેમના દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{c}{1} = \frac{-2}{1} = \frac{4}{c}$.
પ્રથમ સમાનતા પરથી,આપણને $c = -2$ મળે છે.
બીજી સમાનતા સાથે ચકાસતા: $\frac{-2}{1} = \frac{4}{-2} = -2$,જે સાચું છે.
તેથી,$c = -2$.

(A) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(l, m, n)$ છે.
આ રેખા $(3, -16, 7)$ અને $(3, 8, -5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી:
$3l - 16m + 7n = 0$ અને $3l + 8m - 5n = 0$ થાય.
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$l = (-16)(-5) - (7)(8) = 80 - 56 = 24$
$m = (7)(3) - (3)(-5) = 21 + 15 = 36$
$n = (3)(8) - (-16)(3) = 24 + 48 = 72$
$12$ વડે ભાગતા,દિકગુણોત્તર $(2, 3, 6)$ મળે છે.
રેખા $(1, 2, -4)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 4}{6}$ થાય.

(A) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
આપેલ રેખાઓ માટે,દિકગુણોત્તર $(-3, 2k, 2)$ અને $(3k, 1, -5)$ છે.
લંબ હોવાની શરત લાગુ પાડતા:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$

(C) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}_2$ વચ્ચેના લઘુતમ અંતર $(SD)$ નું સૂત્ર $SD = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ છે.
અહીં $\vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{a}_2 = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = \hat{i}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ થાય.
ત્યારબાદ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{j}$ શોધો.
હવે,ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2) = (-2\hat{j}) \cdot (-\hat{j} + \hat{k}) = 2$ શોધો.
અંતે,$SD = \frac{|2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ મળે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(4, 7, 1)$ અને $B(3, 5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા $L$ છે. રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(3-4, 5-7, 3-1) = (-1, -2, 2)$ છે.
રેખા $AB$ નું પ્રાચલ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $x = 4 - r, y = 7 - 2r, z = 1 + 2r$ છે,જ્યાં $r$ એ પ્રાચલ છે.
ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(1, 0, 3)$ થી રેખા $AB$ પરનો લંબપાદ છે. તેથી $Q$ ના યામ $(4-r, 7-2r, 1+2r)$ થાય.
સદિશ $\vec{PQ} = (4-r-1, 7-2r-0, 1+2r-3) = (3-r, 7-2r, 2r-2)$ મળે.
$PQ \perp AB$ હોવાથી,$\vec{PQ}$ અને $AB$ ના દિકગુણોત્તર સદિશ $\vec{v} = (-1, -2, 2)$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(3-r)(-1) + (7-2r)(-2) + (2r-2)(2) = 0$
$-3 + r - 14 + 4r + 4r - 4 = 0$
$9r - 21 = 0 \Rightarrow r = \frac{21}{9} = \frac{7}{3}$.
$r = \frac{7}{3}$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 4 - \frac{7}{3} = \frac{5}{3}$
$y = 7 - 2(\frac{7}{3}) = 7 - \frac{14}{3} = \frac{7}{3}$
$z = 1 + 2(\frac{7}{3}) = 1 + \frac{14}{3} = \frac{17}{3}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left( \frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3} \right)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $(2, 1, -3)$ અને $(-3, 1, 7)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ છે.
$a_1 = -3 - 2 = -5$,$b_1 = 1 - 1 = 0$,$c_1 = 7 - (-3) = 10$.
તેથી,દિક સદિશ $\vec{v_1} = (-5, 0, 10)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x - 1}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z + 3}{5}$ ને સમાંતર છે,તેથી તેના દિકગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2) = (3, 4, 5)$ છે.
તેથી,દિક સદિશ $\vec{v_2} = (3, 4, 5)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
$\cos \theta = \frac{|(-5)(3) + (0)(4) + (10)(5)|}{\sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 10^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|-15 + 0 + 50|}{\sqrt{25 + 0 + 100} \sqrt{9 + 16 + 25}}$.
$\cos \theta = \frac{35}{\sqrt{125} \sqrt{50}} = \frac{35}{5\sqrt{5} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{35}{25\sqrt{10}} = \frac{7}{5\sqrt{10}}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{5\sqrt{10}}\right)$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(2, 4, 1)$ થી રેખા પરના લંબનો લંબપાદ $M$ છે.
રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $M$ ના યામ $(k - 5, 4k - 3, -9k + 6)$ છે.
સદિશ $\vec{PM} = (k - 5 - 2, 4k - 3 - 4, -9k + 6 - 1) = (k - 7, 4k - 7, -9k + 5)$.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{l} = (1, 4, -9)$ છે.
$\vec{PM}$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{PM} \cdot \vec{l} = 0$.
$(k - 7)(1) + (4k - 7)(4) + (-9k + 5)(-9) = 0$.
$k - 7 + 16k - 28 + 81k - 45 = 0$.
$98k - 80 = 0 \implies k = \frac{40}{49}$.
$k = \frac{40}{49}$ ને $M$ ના યામમાં મૂકતા: $M = (-\frac{205}{49}, \frac{13}{49}, -\frac{66}{49})$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રશ્નમાં ભૂલ હોઈ શકે છે. જો બિંદુ $(2, 4, -1)$ હોય,તો $k=1$ અને $M=(-4, 1, -3)$ મળે.

(D) $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - 5}{5 - 3} = \frac{y - 1}{1 - b} = \frac{z - a}{a - 1}$
$\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 1}{1 - b} = \frac{z - a}{a - 1}$
બિંદુ $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ આ રેખા પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{0 - 5}{2} = \frac{\frac{17}{2} - 1}{1 - b} = \frac{\frac{-13}{2} - a}{a - 1}$
$-\frac{5}{2} = \frac{15}{2(1 - b)} = \frac{-13 - 2a}{2(a - 1)}$
પ્રથમ સમાનતા પરથી:
$-\frac{5}{2} = \frac{15}{2(1 - b)} \implies 1 - b = -3 \implies b = 4$
બીજી સમાનતા પરથી:
$-\frac{5}{2} = \frac{-13 - 2a}{2(a - 1)} \implies -5(a - 1) = -13 - 2a
-5a + 5 = -13 - 2a
3a = 18 \implies a = 6$
આમ,$a = 6$ અને $b = 4$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓ પરના સ્વૈર બિંદુઓના સ્થાન સદિશ નીચે મુજબ છે:
રેખા $1$: $\vec{r} = (3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k}$
રેખા $2$: $\vec{r} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ ના અમુક મૂલ્યો માટે તેમનું સામાન્ય બિંદુ હોવું જોઈએ:
$(3\lambda + 1)\hat{i} + (1 - \lambda)\hat{j} - \hat{k} = (2\mu + 4)\hat{i} + 0\hat{j} + (3\mu - 1)\hat{k}$
ઘટકોને સરખાવતા:
$3\lambda + 1 = 2\mu + 4$ $(i)$
$1 - \lambda = 0$ $(ii)$
$-1 = 3\mu - 1$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$\lambda = 1$ મળે છે.
સમીકરણ $(iii)$ પરથી,$3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$ મળે છે.
$\lambda = 1$ અને $\mu = 0$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$3(1) + 1 = 4$ અને $2(0) + 4 = 4$. આમ $4 = 4$ હોવાથી રેખાઓ છેદે છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$\lambda = 1$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{r} = (\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + 1(3\hat{i} - \hat{j}) = 4\hat{i} + 0\hat{j} - \hat{k}$.
તેથી,છેદબિંદુના યામ $(4, 0, -1)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x-1}{k} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ અને $\frac{x-2}{3} = \frac{y-3}{k} = \frac{z-1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ત્યારે જ છેદે જો તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $0$ હોય,જે નિશ્ચાયકની શરત સૂચવે છે:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 3)$,$(a_1, b_1, c_1) = (k, 2, 3)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (2, 3, 1)$,$(a_2, b_2, c_2) = (3, k, 2)$ છે.
આ મૂલ્યોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 2-1 & 3-2 & 1-3 \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(4-3k) - 1(2k-9) - 2(k^2-6) = 0$
$4 - 3k - 2k + 9 - 2k^2 + 12 = 0$
$-2k^2 - 5k + 25 = 0$
$2k^2 + 5k - 25 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^2 + 10k - 5k - 25 = 0$
$2k(k+5) - 5(k+5) = 0$
$(2k-5)(k+5) = 0$.
આમ,$k = \frac{5}{2}$ અથવા $k = -5$.
પ્રશ્નમાં $k$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય પૂછવામાં આવ્યું હોવાથી,સાચો જવાબ $-5$ છે.

(A) આપેલ રેખા $\frac{6 - x}{-3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{7 - z}{2}$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = k$.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $M = (3k + 6, 2k + 7, -2k + 7)$ છે.
ધારો કે $A = (1, 2, 3)$. સદિશ $\vec{AM} = (3k + 6 - 1, 2k + 7 - 2, -2k + 7 - 3) = (3k + 5, 2k + 5, -2k + 4)$.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = (3, 2, -2)$ છે.
$\vec{AM} \perp \vec{v}$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{AM} \cdot \vec{v} = 0$.
$3(3k + 5) + 2(2k + 5) - 2(-2k + 4) = 0$.
$9k + 15 + 4k + 10 + 4k - 8 = 0$.
$17k + 17 = 0 \Rightarrow k = -1$.
$k = -1$ ને $M$ ના યામમાં મૂકતા: $x = 3(-1) + 6 = 3$,$y = 2(-1) + 7 = 5$,$z = -2(-1) + 7 = 9$.
આમ,લંબપાદના યામ $(3, 5, 9)$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $x = ay + b, z = cy + d$ અને $x = a'y + b', z = c'y + d'$ છે.
પ્રથમ રેખાને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા:
$\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c} \implies \frac{x - b}{a} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d}{c}$.
આ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a, 1, c)$ છે.
તે જ રીતે,બીજી રેખા માટે:
$\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'} \implies \frac{x - b'}{a'} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - d'}{c'}$.
આ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(a', 1, c')$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$.
તેથી,$aa' + cc' + 1 = 0$.

(A) આપેલા સંબંધોમાંથી $n$ નો લોપ કરતાં: $(fm + gl)(\frac{-al - bm}{c}) + hlm = 0$
અથવા $ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0 \dots (1)$
ધારો કે $(1)$ ના બીજ $\frac{l_1}{m_1}$ અને $\frac{l_2}{m_2}$ છે. તો $\frac{l_1}{m_1} \cdot \frac{l_2}{m_2} = \frac{bf}{ag} \Rightarrow \frac{l_1l_2}{f/a} = \frac{m_1m_2}{g/b} \dots (2)$
તેવી જ રીતે,$\frac{m_1m_2}{g/b} = \frac{n_1n_2}{h/c} \dots (3)$
$(2)$ અને $(3)$ પરથી,$\frac{l_1l_2}{f/a} = \frac{m_1m_2}{g/b} = \frac{n_1n_2}{h/c} = \frac{l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2}{(f/a) + (g/b) + (h/c)}$
જો બે રેખાઓ લંબ હોય,તો $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = 0$
તેથી,$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$

(C) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda + 1, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
બિંદુ $A(1, 0, 0)$ અને $P(2\lambda + 1, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ ને જોડતા રેખાખંડના દિકગુણોત્તર $(2\lambda + 1 - 1, -3\lambda - 1 - 0, 8\lambda - 10 - 0)$ એટલે કે $(2\lambda, -3\lambda - 1, 8\lambda - 10)$ છે.
જેহেতু $AP$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $AP$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, -3, 8)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ.
$2(2\lambda) - 3(-3\lambda - 1) + 8(8\lambda - 10) = 0$.
$4\lambda + 9\lambda + 3 + 64\lambda - 80 = 0$.
$77\lambda - 77 = 0 \implies \lambda = 1$.
$P$ ના યામમાં $\lambda = 1$ મૂકતા,આપણને $P(2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$ મળે છે.
આમ,લંબપાદના યામ $(3, -4, -2)$ છે.

(C) ધારો કે રેખાની દિક્કોસાઇન $(l, m, n)$ છે.
રેખા યામાક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી ધારો કે તે ખૂણો $\alpha$ છે.
તેથી,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,તેથી $3 \cos^2 \alpha = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,રેખાની દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિક્ગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(1, -3, 5)$ અને દિક્ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - (-3)}{1} = \frac{z - 5}{1}$ મળે છે.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x - 1 = y + 3 = z - 5$ છે.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $P(0, 0, 0)$ છે. રેખા બિંદુ $A(4, 2, 4)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{l} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સદિશ $\vec{AP} = P - A = (0-4, 0-2, 0-4) = (-4, -2, -4)$.
ઉગમબિંદુથી રેખા પરના લંબની લંબાઈ $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{l}|}{|\vec{l}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AP} \times \vec{l}$ શોધીએ:
$\vec{AP} \times \vec{l} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & -2 & -4 \\ 3 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - (-16)) - \hat{j}(20 - (-12)) + \hat{k}(-16 - (-6)) = 26\hat{i} - 32\hat{j} - 10\hat{k}$.
હવે,તેમના માન શોધીએ:
$|\vec{AP} \times \vec{l}| = \sqrt{26^2 + (-32)^2 + (-10)^2} = \sqrt{676 + 1024 + 100} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2}$.
$|\vec{l}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
તેથી,$d = \frac{30\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 6$.

(A) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x - 4}{5} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1} = s$ છે. તેથી $x = 5s + 4, y = 2s + 1, z = s$.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4} = t$ છે. તેથી $x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3$.
છેદબિંદુ માટે,$5s + 4 = 2t + 1 \implies 5s - 2t = -3$ (સમીકરણ $1$).
$2s + 1 = 3t + 2 \implies 2s - 3t = 1$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને $2$ ઉકેલતા: સમીકરણ $1$ ને $3$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા: $15s - 6t = -9$ અને $4s - 6t = 2$.
બાદબાકી કરતા $11s = -11 \implies s = -1$ મળે છે.
$s = -1$ ને $x = 5s + 4, y = 2s + 1, z = s$ માં મૂકતા,$x = 5(-1) + 4 = -1, y = 2(-1) + 1 = -1, z = -1$ મળે છે.
બીજી રેખા સાથે ચકાસતા: $x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3$. $x = -1$ માટે,$2t + 1 = -1 \implies t = -1$.
તેથી $y = 3(-1) + 2 = -1$ અને $z = 4(-1) + 3 = -1$.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, -1, -1)$ છે.

(A) ધારો કે $P = (1, 2, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L$ એ $P$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $\frac{x - 6}{3} = \frac{y - 7}{2} = \frac{z - 7}{-2} = \lambda$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $L = (3\lambda + 6, 2\lambda + 7, -2\lambda + 7)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તરો $(3\lambda + 6 - 1, 2\lambda + 7 - 2, -2\lambda + 7 - 3) = (3\lambda + 5, 2\lambda + 5, -2\lambda + 4)$ છે.
કારણ કે $PL$ એ આપેલ રેખા (જેના દિકગુણોત્તરો $(3, 2, -2)$ છે) ને લંબ છે,તેથી તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$3(3\lambda + 5) + 2(2\lambda + 5) + (-2)(-2\lambda + 4) = 0$
$9\lambda + 15 + 4\lambda + 10 + 4\lambda - 8 = 0$
$17\lambda + 17 = 0 \implies \lambda = -1$.
$L$ ના યામમાં $\lambda = -1$ મૂકતા,આપણને $L = (3(-1) + 6, 2(-1) + 7, -2(-1) + 7) = (3, 5, 9)$ મળે છે.
લંબ $PL$ ની લંબાઈ એ $P(1, 2, 3)$ અને $L(3, 5, 9)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PL = \sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 2)^2 + (9 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{a_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેમજ,$\vec{a_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ શોધો:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(15-16) - \hat{j}(10-12) + \hat{k}(8-9) = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})$ શોધો:
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-1)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (5-3)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(-1) + (2)(2) + (2)(-1) = -1 + 4 - 2 = 1$.
ન્યૂનતમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.
તેથી,$d = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(C) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 2}{2} = \frac{2y - 5}{-3}, z = -1$ છે.
આપણે તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - 2}{2} = \frac{2(y - 5/2)}{-3} = \frac{z + 1}{0}$ તરીકે લખી શકીએ.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 5/2}{-3/2} = \frac{z + 1}{0}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે રેખા બિંદુ $(2, 5/2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તરો $(2, -3/2, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 2\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} - \hat{k}$ છે.
રેખાને સમાંતર સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (2\hat{i} + \frac{5}{2}\hat{j} - \hat{k}) + \lambda (2\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 0\hat{k})$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{4}$ અને $L_2: \frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1}$ છે.
$L_1$ પરનું બિંદુ $A(1, -1, 1)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{l} = (2, 3, 4)$ છે.
$L_2$ પરનું બિંદુ $B(3, k, 0)$ છે અને દિશા સદિશ $\vec{m} = (1, 2, 1)$ છે.
રેખાઓ ત્યારે જ છેદે જો સદિશ $\vec{AB} = (3-1, k-(-1), 0-1) = (2, k+1, -1)$ એ $\vec{l}$ અને $\vec{m}$ સાથે એક જ સમતલમાં હોય.
આ શરત મુજબ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB}, \vec{l}, \vec{m}] = 0$ થાય,એટલે કે $(\vec{AB}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{l} \times \vec{m} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-8) - \hat{j}(2-4) + \hat{k}(4-3) = (-5, 2, 1)$ શોધો.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $(2, k+1, -1) \cdot (-5, 2, 1) = 0$.
$2(-5) + (k+1)(2) + (-1)(1) = 0$.
$-10 + 2k + 2 - 1 = 0$.
$2k - 9 = 0$.
$2k = 9$.
$k = 9/2$.

(D) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda\vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu\vec{b_2}$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$
આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$\vec{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\vec{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (2-0)\hat{k} = -3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ શોધો:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 4 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10 - (-12)) - \hat{j}(-5 - (-6)) + \hat{k}(4 - 4) = 2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})$ શોધો:
$(-3\hat{i} + 0\hat{j} + 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}) = (-3)(2) + (0)(-1) + (2)(0) = -6 + 0 + 0 = -6$.
માન (Magnitude) $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $d = \left| \frac{-6}{\sqrt{5}} \right| = \frac{6}{\sqrt{5}}$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{a_1} = \frac{y - y_1}{b_1} = \frac{z - z_1}{c_1}$ અને $\frac{x - x_2}{a_2} = \frac{y - y_2}{b_2} = \frac{z - z_2}{c_2}$ સમતલીય હોવાની શરત નીચે મુજબના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$.
તેમજ,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 1 - 2 & 4 - 3 & 5 - 4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = -3$.

(B) આપેલી રેખા $\vec{r} = (1, 1, 1) + k(2, 3, 4)$ છે. આ રેખા બિંદુ $A(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, 3, 4)$ છે.
બે રેખાઓ સંપાતી હોવા માટે,તેમની પાસે સમાન દિશા સદિશ (અથવા અદિશ ગુણક) હોવો જોઈએ અને એક જ બિંદુ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
વિકલ્પ $B$ ધ્યાનમાં લો: $\frac{3 - x}{6} = \frac{4 - y}{9} = \frac{5 - z}{12}$.
આને $\frac{x - 3}{-6} = \frac{y - 4}{-9} = \frac{z - 5}{-12}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
તેનો દિશા સદિશ $(-6, -9, -12) = -3(2, 3, 4)$ છે,જે આપેલી રેખાને સમાંતર છે.
હવે,તપાસો કે બિંદુ $(1, 1, 1)$ આ રેખા પર છે કે નહીં:
$\frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$\frac{4 - 1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$\frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
બધા ગુણોત્તર $\frac{1}{3}$ સમાન હોવાથી,બિંદુ $(1, 1, 1)$ આ રેખા પર આવેલું છે.
આમ,વિકલ્પ $B$ માં આપેલી રેખા એ આપેલી રેખા સાથે સંપાતી છે.

(D) પ્રથમ રેખા $L_1$ ના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_1} = (2, 2, 0)$ છે.
બીજી રેખા $L_2$ ના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_2} = (0, 0, 1)$ છે.
જો બે રેખાઓના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,તો તે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (2 \times 0) + (2 \times 0) + (0 \times 1) = 0 + 0 + 0 = 0$.
અહીં ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,આપેલી રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(A) આપેલ રેખાના સમીકરણો $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ છે.
આ સમીકરણોને $y$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$x - b = ay \implies \frac{x - b}{a} = y$
$z - d = cy \implies \frac{z - d}{c} = y$
$y$ માટેના પદોને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$
આ રેખાના સમીકરણનું સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ છે,જ્યાં $(l, m, n)$ એ દિક્કગુણોત્તર છે.
છેદની સરખામણી કરતા,દિક્કગુણોત્તર $(a, 1, c)$ મળે છે.

(A) પ્રથમ રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z - 2}{0}$ છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3/2}{3/2} = \frac{z + 5}{2}$ છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = 1\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (-2)(\frac{3}{2}) + (0)(2) = 3 - 3 + 0 = 0$.
અહીં ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(A) અહીં,$\vec{p} = (4, -5, 3)$ તથા $\vec{a} = (5, -2, 6)$ છે.
તેથી,$\vec{p} - \vec{a} = (-1, -3, -3)$ તથા $\vec{l} = (3, -4, 5)$ છે.
$(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{l} = (-27, -4, 13)$ મળે છે.
માંગેલ અંતર $= \frac{|(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{l}|}{|\vec{l}|} = \sqrt{\frac{729 + 16 + 169}{9 + 16 + 25}} = \sqrt{\frac{914}{50}} = \sqrt{\frac{457}{25}} = \frac{\sqrt{457}}{5}$.
જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા,અંતર $\frac{\sqrt{547}}{5}$ મળે છે.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x - x_1}{l_1} = \frac{y - y_1}{m_1} = \frac{z - z_1}{n_1}$ અને $\frac{x - x_2}{l_2} = \frac{y - y_2}{m_2} = \frac{z - z_2}{n_2}$ એકબીજાને છેદે જો અને માત્ર જો તેમના દિશા ગુણોત્તર અને બિંદુઓના તફાવતથી બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ l_2 & m_2 & n_2 \end{vmatrix} = 0$
આપેલી રેખાઓ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ દિશા ગુણોત્તર $(2, 3, 4)$ સાથે અને $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ દિશા ગુણોત્તર $(1, 2, 1)$ સાથે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 3 - 1 & k - (-2) & 0 - 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} 2 & k + 2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3 - 8) - (k + 2)(2 - 4) - 1(4 - 3) = 0$
$2(-5) - (k + 2)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 4 - 1 = 0$
$2k - 7 = 0$
$k = \frac{7}{2}$

(D) બિંદુ $(a, b, c)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - a}{l} = \frac{y - b}{m} = \frac{z - c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(l, m, n)$ એ રેખાના દિકગુણોત્તરો છે.
રેખા $z$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તરો $z$-અક્ષના દિકગુણોત્તરો $(0, 0, 1)$ ના પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ.
તેથી,આપણે $l = 0$,$m = 0$ અને $n = 1$ લઈ શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x - a}{0} = \frac{y - b}{0} = \frac{z - c}{1}$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખા બિંદુ $A(6, 7, 7)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે $M$ એ $P(1, 2, 3)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
અહીં $\vec{AP} = (1-6)\hat{i} + (2-7)\hat{j} + (3-7)\hat{k} = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}$ મળે.
$|\vec{AP}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + (-4)^2} = \sqrt{25 + 25 + 16} = \sqrt{66}$.
$AM$ એ સદિશ $\vec{b}$ પર $\vec{AP}$ નો પ્રક્ષેપ છે.
$AM = \left| \frac{\vec{AP} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right| = \frac{|(-5\hat{i} - 5\hat{j} - 4\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|-15 - 10 + 8|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} = \frac{|-17|}{\sqrt{17}} = \sqrt{17}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle APM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $PM^2 = AP^2 - AM^2$.
$PM^2 = 66 - 17 = 49$.
તેથી,$PM = \sqrt{49} = 7$.

(B) આપેલ રેખાઓ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -\lambda\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
જો બે રેખાઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તેમના દિશા સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(1)(-\lambda) + (\lambda)(2) + (-1)(1) = 0$
$-\lambda + 2\lambda - 1 = 0$
$\lambda - 1 = 0$
$\lambda = 1$

(B) આપેલ રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે,તેથી તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય થશે.
ધારો કે રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(1, 2, 3)$ અને $B(2, 3, 1)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{l} = (k, 2, 3)$ અને $\vec{m} = (3, k, 2)$ છે.
રેખાઓ છેદવાની શરત: $(\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$ છે.
અહીં,$\vec{B} - \vec{A} = (2-1, 3-2, 1-3) = (1, 1, -2)$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{l} \times \vec{m} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ k & 2 & 3 \\ 3 & k & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 3k) - \hat{j}(2k - 9) + \hat{k}(k^2 - 6) = (4 - 3k, 9 - 2k, k^2 - 6)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર લેતા: $(1, 1, -2) \cdot (4 - 3k, 9 - 2k, k^2 - 6) = 0$.
$(4 - 3k) + (9 - 2k) - 2(k^2 - 6) = 0$.
$4 - 3k + 9 - 2k - 2k^2 + 12 = 0$.
$-2k^2 - 5k + 25 = 0 \Rightarrow 2k^2 + 5k - 25 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $2k^2 + 10k - 5k - 25 = 0 \Rightarrow 2k(k + 5) - 5(k + 5) = 0$.
$(2k - 5)(k + 5) = 0$.
આમ,$k = \frac{5}{2}$ અથવા $k = -5$ મળે. વિકલ્પો મુજબ,સાચી કિંમત $-5$ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{4} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x-3}{1} = \frac{y-k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદે તે માટે,એવા $\lambda$ અને $\mu$ હોવા જોઈએ કે જેથી $P = Q$ થાય.
યામોને સરખાવતા:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(1)$
$3\lambda - 1 = 2\mu + k \implies 3\lambda - 2\mu = k + 1$ $(2)$
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ $(3)$
$(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
હવે $\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k + 1$
$-\frac{9}{2} + 10 = k + 1$
$\frac{11}{2} = k + 1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણો $al + bm + cn = 0$ અને $fmn + gnl + hlm = 0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$n = -\frac{al + bm}{c}$.
$n$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $fm(-\frac{al + bm}{c}) + gl(-\frac{al + bm}{c}) + hlm = 0$.
$-c$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $fm(al + bm) + gl(al + bm) - chlm = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $aflm + bfm^2 + agl^2 + bglm - chlm = 0$.
$(l/m)$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $ag(\frac{l}{m})^2 + (af + bg - ch)(\frac{l}{m}) + bf = 0$.
ધારો કે બીજ $\frac{l_1}{m_1}$ અને $\frac{l_2}{m_2}$ છે. તો $\frac{l_1 l_2}{m_1 m_2} = \frac{bf}{ag}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b}$.
તે જ રીતે,$l$ અને $m$ નો લોપ કરતા,આપણને મળે $\frac{l_1 l_2}{f/a} = \frac{m_1 m_2}{g/b} = \frac{n_1 n_2}{h/c} = k$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે,$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = 0$.
ગુણોત્તર મૂકતા: $k(\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c}) = 0$.
$k \neq 0$ હોવાથી,$\frac{f}{a} + \frac{g}{b} + \frac{h}{c} = 0$ થવું જોઈએ.

(B) બિંદુઓ $(3, 4, 1)$ અને $(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1} = \lambda$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = \lambda$ મળે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda + 3, -3\lambda + 4, 5\lambda + 1)$ સ્વરૂપનું હોય.
આ બિંદુ $xy$-સમતલ પર હોવાથી,તેનો $z$-યામ $0$ થાય.
તેથી,$5\lambda + 1 = 0$ લેતા,$\lambda = -\frac{1}{5}$ મળે.
હવે $\lambda = -\frac{1}{5}$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{1}{5}) + 3 = -\frac{2}{5} + \frac{15}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = -3(-\frac{1}{5}) + 4 = \frac{3}{5} + \frac{20}{5} = \frac{23}{5}$.
$z = 5(-\frac{1}{5}) + 1 = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{4} = \lambda$ છે. $L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda + 1, 3\lambda + 1, 4\lambda + 1)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $L_2: \frac{x - 3}{1} = \frac{y - k}{2} = \frac{z}{1} = \mu$ છે. $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu + 3, 2\mu + k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,$\lambda$ અને $\mu$ એવા મળે કે જેથી:
$2\lambda + 1 = \mu + 3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ (સમીકરણ $1$)
$4\lambda + 1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$
$2\lambda = -3 \implies \lambda = -3/2$.
$\lambda = -3/2$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$4(-3/2) - \mu = -1 \implies -6 - \mu = -1 \implies \mu = -5$.
હવે,છેદબિંદુ પર $y$-યામ સરખાવતા:
$3\lambda + 1 = 2\mu + k$
$3(-3/2) + 1 = 2(-5) + k$
$-9/2 + 1 = -10 + k$
$-7/2 = -10 + k$
$k = 10 - 3.5 = 6.5 = 13/2$.

(B) ધારો કે પ્રથમ રેખા $L_1$ એ બિંદુઓ $A(-5, 1, 3)$ અને $B(1, 2, 0)$ માંથી પસાર થાય છે. $L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $(1 - (-5), 2 - 1, 0 - 3) = (6, 1, -3)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $L_2$ એ બિંદુઓ $C(x, 2, 1)$ અને $D(0, -4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે. $L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $(0 - x, -4 - 2, 6 - 1) = (-x, -6, 5)$ છે.
રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(6)(-x) + (1)(-6) + (-3)(5) = 0$
$-6x - 6 - 15 = 0$
$-6x - 21 = 0$
$-6x = 21$
$x = -21/6 = -7/2$.

(C) આપેલ સમીકરણો પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં નથી. આપણે તેમને નીચે મુજબ ફરીથી લખીએ:
રેખા $1$: $\frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-2}{0}$. દિશા સદિશ $\vec{b_1} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા $2$: $\frac{x-1}{1} = \frac{y+3/2}{3/2} = \frac{z+5}{2}$. દિશા સદિશ $\vec{b_2} = 1\hat{i} + \frac{3}{2}\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. તો $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$.
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (-2)(3/2) + (0)(2) = 3 - 3 + 0 = 0$.
કારણ કે ડોટ પ્રોડક્ટ $0$ છે,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \pi / 2$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: (1 + k\lambda, 2 + 2k, 3 + 3k)$ અને $L_2: (2 + 3m, 3 + m\lambda, 1 + 2m)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,એવા $k$ અને $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$1 + k\lambda = 2 + 3m$ $(1)$
$2 + 2k = 3 + m\lambda$ $(2)$
$3 + 3k = 1 + 2m$ $(3)$
$(3)$ પરથી,$3k - 2m = -2 \implies m = \frac{3k + 2}{2}$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $2 + 2k = 3 + \lambda(\frac{3k + 2}{2}) \implies 4 + 4k = 6 + 3k\lambda + 2\lambda \implies 4k - 3k\lambda - 2\lambda = 2$.
$m$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા: $1 + k\lambda = 2 + 3(\frac{3k + 2}{2}) \implies 2 + 2k\lambda = 4 + 9k + 6 \implies 2k\lambda - 9k = 8$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$\lambda = -5$ મળે છે.

(C) $(5, 1, a)$ અને $(3, b, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ છે.
આને $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{b-1} = \frac{z-a}{1-a} = \mu$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $yz-$ સમતલને જ્યાં છેદે ત્યાં $x=0$ હોય છે. $\frac{x-5}{-2} = \mu$ માં $x=0$ મૂકતા,$\frac{0-5}{-2} = \mu$,તેથી $\mu = \frac{5}{2}$ મળે.
હવે,$y-$ યામ માટે: $y = \mu(b-1) + 1 = \frac{17}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ મૂકતા: $\frac{5}{2}(b-1) + 1 = \frac{17}{2} \Rightarrow \frac{5}{2}(b-1) = \frac{15}{2} \Rightarrow b-1 = 3 \Rightarrow b = 4$.
$z-$ યામ માટે: $z = \mu(1-a) + a = -\frac{13}{2}$.
$\mu = \frac{5}{2}$ મૂકતા: $\frac{5}{2}(1-a) + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow \frac{5}{2} - \frac{5}{2}a + a = -\frac{13}{2} \Rightarrow -\frac{3}{2}a = -\frac{13}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{18}{2} = -9$.
આમ,$a = 6$. તેથી,$a=6$ અને $b=4$.

(D) ધારો કે રેખા $L: \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 2}{3} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(k, 2k + 1, 3k + 2)$ છે.
બિંદુ $A(1, 0, 7)$ એ રેખા $L$ માં બિંદુ $B(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ હોવા માટે,રેખા $AB$ એ $L$ ને લંબ હોવી જોઈએ અને $AB$ નું મધ્યબિંદુ $L$ પર હોવું જોઈએ.
$1$. $AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+6}{2}, \frac{7+3}{2}) = (1, 3, 5)$ છે.
ચકાસણી: $\frac{1}{1} = \frac{3-1}{2} = \frac{5-2}{3} \implies 1 = 1 = 1$. તેથી,$M$ એ $L$ પર છે.
$2$. $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(1-1, 6-0, 3-7) = (0, 6, -4)$ છે.
$L$ ના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે.
અદિશ ગુણાકાર: $(0)(1) + (6)(2) + (-4)(3) = 0 + 12 - 12 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$AB$ એ $L$ ને લંબ છે.
બંને શરતો સંતોષાય છે,તેથી વિધાન $-1$ સાચું છે. વિધાન $-2$ પણ સાચું છે કારણ કે રેખા $L$ એ $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $AB$ ને લંબ છે,જે રેખામાં પ્રતિબિંબની વ્યાખ્યા છે. આમ,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.