Line Questions in Gujarati

(A) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $a_1 = 3, b_1 = 5, c_1 = 4$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $a_2 = 1, b_2 = 1, c_2 = 2$ છે.
જો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{(3)(1) + (5)(1) + (4)(2)}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{3 + 5 + 8}{\sqrt{9 + 25 + 16} \sqrt{1 + 1 + 4}} \right|$
$\cos \theta = \frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{6}} = \frac{16}{5 \sqrt{2} \sqrt{6}} = \frac{16}{5 \sqrt{12}} = \frac{16}{5 \times 2 \sqrt{3}} = \frac{8}{5 \sqrt{3}}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\cos \theta = \frac{8 \sqrt{3}}{5 \times 3} = \frac{8 \sqrt{3}}{15}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{8 \sqrt{3}}{15}\right)$.

(A) $(1)$ અને $(2)$ ને અનુક્રમે $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ સાથે સરખાવતા,
આપણને મળે છે $\vec{a}_{1}=\hat{i}+\hat{j}, \quad \vec{b}_{1}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}-5 \hat{j}+2 \hat{k}$
તેથી,$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}=(2-1)\hat{i}+(1-1)\hat{j}+(-1-0)\hat{k} = \hat{i}-\hat{k}$
હવે,$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & -5 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2+5) - \hat{j}(4-3) + \hat{k}(-10+3) = 3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}$
માન (Magnitude) $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9+1+49} = \sqrt{59}$
લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે: $d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$
$d = \left| \frac{(3\hat{i} - \hat{j} - 7\hat{k}) \cdot (\hat{i} - \hat{k})}{\sqrt{59}} \right| = \left| \frac{3(1) + (-1)(0) + (-7)(-1)}{\sqrt{59}} \right| = \left| \frac{3+0+7}{\sqrt{59}} \right| = \frac{10}{\sqrt{59}}$

(N/A) ધારો કે $AB$ એ $(1, -1, 2)$ અને $(3, 4, -2)$ બિંદુઓને જોડતી રેખા છે,અને $CD$ એ $(0, 3, 2)$ અને $(3, 5, 6)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ એ $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (3-1, 4-(-1), -2-2) = (2, 5, -4)$ છે.
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તર $(a_2, b_2, c_2)$ એ $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (3-0, 5-3, 6-2) = (3, 2, 4)$ છે.
જો બે રેખાઓના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તો તે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તરના ગુણાકારનો સરવાળો ગણતા:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = (2)(3) + (5)(2) + (-4)(4)$
$= 6 + 10 - 16$
$= 16 - 16$
$= 0$.
અહીં સરવાળો $0$ હોવાથી,રેખા $AB$ એ રેખા $CD$ ને લંબ છે.

(A) ધારો કે $AB$ એ $(4,7,8)$ અને $(2,3,4)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
ધારો કે $CD$ એ $(-1,-2,1)$ અને $(1,2,5)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ નીચે મુજબ છે:
$a_1 = 2-4 = -2$
$b_1 = 3-7 = -4$
$c_1 = 4-8 = -4$
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તરો $(a_2, b_2, c_2)$ નીચે મુજબ છે:
$a_2 = 1-(-1) = 2$
$b_2 = 2-(-2) = 4$
$c_2 = 5-1 = 4$
બે રેખાઓ સમાંતર હોય જો તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
ગુણોત્તરોની ગણતરી કરતા:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{-2}{2} = -1$
$\frac{b_1}{b_2} = \frac{-4}{4} = -1$
$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{4} = -1$
અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = -1$ હોવાથી,દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં છે.
તેથી,રેખા $AB$ એ રેખા $CD$ ને સમાંતર છે.

(A) સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ સદિશને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
આપેલ બિંદુ $(1, 2, 3)$ માટે,સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
આપેલ સમાંતર સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k} + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})$ મળે છે.

(N/A) રેખા $2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$.
રેખાની દિશા $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ સદિશ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને સદિશ સમીકરણ મળે છે:
$\vec{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$.
કાર્તેઝિયન સ્વરૂપ માટે,ધારો કે $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
તેથી $x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} = (2 + \lambda)\hat{i} + (-1 + 2\lambda)\hat{j} + (4 - \lambda)\hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$x = 2 + \lambda \Rightarrow \lambda = x - 2$
$y = -1 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = \frac{y + 1}{2}$
$z = 4 - \lambda \Rightarrow \lambda = 4 - z = \frac{z - 4}{-1}$
$\lambda$ ની કિંમતોને સરખાવતા,આપણને કાર્તેઝિયન સમીકરણ મળે છે:
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 4}{-1}$.

(A) આપેલ રેખા $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6}$ છે.
આ રેખાના દિકગુણોત્તર $a = 3, b = 5, c = 6$ છે.
માંગેલ રેખા આપેલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,તેના દિકગુણોત્તર પણ $3, 5, 6$ ના પ્રમાણમાં હશે.
રેખા બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-2, 4, -5)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $a, b, c$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x - (-2)}{3} = \frac{y - 4}{5} = \frac{z - (-5)}{6}$ મળે છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $\frac{x+2}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+5}{6}$ છે.

(A) રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-5}{3}=\frac{y+4}{7}=\frac{z-6}{2}$ આપેલ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સામાન્ય કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
આપેલ સમીકરણને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (5, -4, 6)$ અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c) = (3, 7, 2)$ મળે છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}$ છે.
રેખાને સમાંતર સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (5 \hat{i} - 4 \hat{j} + 6 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 7 \hat{j} + 2 \hat{k})$ મળે છે,જ્યાં $\lambda$ એક અદિશ છે.

(A) આપેલી રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને બિંદુ $(5, -2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઉગમબિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \vec{0}$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને $(5, -2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(5-0, -2-0, 3-0) = (5, -2, 3)$ છે.
આમ,રેખા સદિશ $\vec{b} = 5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = \vec{0} + \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = \lambda(5\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k})$ મળે છે,જ્યાં $\lambda \in R$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ અને $(a, b, c) = (5, -2, 3)$ મૂકતા,આપણને $\frac{x-0}{5} = \frac{y-0}{-2} = \frac{z-0}{3}$ મળે છે.
તેથી,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x}{5} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ છે.

(D) ધારો કે $P(3,-2,-5)$ અને $Q(3,-2,6)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ છે.
રેખા $P(3,-2,-5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(3-3, -2-(-2), 6-(-5)) = (0, 0, 11)$ છે.
રેખાની દિશામાં સદિશ $\vec{b} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 11\hat{k} = 11\hat{k}$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે,જ્યાં $\lambda \in R$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\vec{r} = (3\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}) + \lambda(11\hat{k})$ મળે છે.
$(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિકગુણોત્તરો ધરાવતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
બિંદુઓ અને દિકગુણોત્તરો મૂકતા,$\frac{x-3}{0} = \frac{y+2}{0} = \frac{z+5}{11}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\bar{b}_{1}$ અને $\bar{b}_{2}$ એ આપેલી રેખાઓને સમાંતર સદિશો છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(2, 5, -3)$ છે,તેથી $\bar{b}_{1} = 2 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(-1, 8, 4)$ છે,તેથી $\bar{b}_{2} = -\hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
તેમના માન શોધો:
$|\bar{b}_{1}| = \sqrt{2^2 + 5^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.
$|\bar{b}_{2}| = \sqrt{(-1)^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\bar{b}_{1} \cdot \bar{b}_{2} = (2)(-1) + (5)(8) + (-3)(4) = -2 + 40 - 12 = 26$.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $Q$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos Q = \frac{|\bar{b}_{1} \cdot \bar{b}_{2}|}{|\bar{b}_{1}| |\bar{b}_{2}|} = \frac{|26|}{9 \sqrt{38}} = \frac{26}{9 \sqrt{38}}$.
તેથી,$Q = \cos ^{-1}\left(\frac{26}{9 \sqrt{38}}\right)$.

(B) ધારો કે $\vec{b}_{1}$ અને $\vec{b}_{2}$ એ આપેલી રેખાઓને સમાંતર સદિશો છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $(2, 2, 1)$ છે,તેથી $\vec{b}_{1} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $(4, 1, 8)$ છે,તેથી $\vec{b}_{2} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$.
માન શોધો:
$|\vec{b}_{1}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{4^{2} + 1^{2} + 8^{2}} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
અદિશ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (2)(4) + (2)(1) + (1)(8) = 8 + 2 + 8 = 18$.
જો $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\cos \theta = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$.
$\cos \theta = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) આપેલ સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં નીચે મુજબ લખી શકાય:
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{2}$.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$.
રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $a_1 = -3, b_1 = \frac{2p}{7}, c_1 = 2$ અને $a_2 = \frac{-3p}{7}, b_2 = 1, c_2 = -5$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(-3)\left(\frac{-3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = 10$.
$11p = 70$.
$p = \frac{70}{11}$.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $\frac{x-5}{7}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z}{1}$ અને $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ છે.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $a_{1}=7, b_{1}=-5, c_{1}=1$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $a_{2}=1, b_{2}=2, c_{2}=3$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તરો $(a_{1}, b_{1}, c_{1})$ અને $(a_{2}, b_{2}, c_{2})$ હોય,તે એકબીજાને લંબ હોય જો અને માત્ર જો $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} + c_{1}c_{2} = (7 \times 1) + (-5 \times 2) + (1 \times 3)$
$= 7 - 10 + 3$
$= 0$.
અનુરૂપ દિકગુણોત્તરોના ગુણાકારનો સરવાળો $0$ હોવાથી,આપેલ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ છે.
આપેલ રેખાઓ સાથે સરખાવતા:
$\vec{a}_{1}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}_{1}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$
$\vec{a}_{2}=2 \hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}_{2}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d=\left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1} = (2\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}) = \hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-1) - \hat{j}(2-2) + \hat{k}(1+2) = -3\hat{i}+3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ થાય.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}) = (-3\hat{i}+3\hat{k}) \cdot (\hat{i}-3\hat{j}-2\hat{k}) = -3 - 6 = -9$.
અંતે,$d = \left| \frac{-9}{3\sqrt{2}} \right| = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $\frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z-7}{1}$ છે.
બે રેખાઓ $\frac{x-x_{1}}{a_{1}}=\frac{y-y_{1}}{b_{1}}=\frac{z-z_{1}}{c_{1}}$ અને $\frac{x-x_{2}}{a_{2}}=\frac{y-y_{2}}{b_{2}}=\frac{z-z_{2}}{c_{2}}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચે મુજબ મળે છે:
$d = \frac{|\det(A)|}{|\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}|}$ જ્યાં $A = \begin{bmatrix} x_{2}-x_{1} & y_{2}-y_{1} & z_{2}-z_{1} \\ a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \end{bmatrix}$.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા:
$(x_{1}, y_{1}, z_{1}) = (-1, -1, -1)$ અને $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (7, -6, 1)$.
$(x_{2}, y_{2}, z_{2}) = (3, 5, 7)$ અને $(a_{2}, b_{2}, c_{2}) = (1, -2, 1)$.
નિશ્ચાયક ગણતા:
$\det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 6 & 8 \\ 7 & -6 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 4(-4) - 6(6) + 8(-8) = -16 - 36 - 64 = -116$.
છેદ ગણતા:
$|\vec{v_{1}} \times \vec{v_{2}}| = \sqrt{(-4)^{2} + (-6)^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{16 + 36 + 64} = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$.
તેથી,લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|-116|}{2\sqrt{29}} = \frac{116}{2\sqrt{29}} = 2\sqrt{29}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ છે.
બે વિષમતલીય રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$
આપેલ સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\vec{a}_{1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a}_{2} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (4-1)\hat{i} + (5-2)\hat{j} + (6-3)\hat{k} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ ગણો.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ ગણો:
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(1-4) + \hat{k}(3 - (-6)) = -9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{(-9)^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 9 + 81} = \sqrt{171} = 3\sqrt{19}$ ગણો.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1}) = (-9\hat{i} + 3\hat{j} + 9\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}) = -27 + 9 + 27 = 9$ ગણો.
આમ,$d = \left| \frac{9}{3\sqrt{19}} \right| = \frac{3}{\sqrt{19}}$ એકમ.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = (1-t)\hat{i} + (t-2)\hat{j} + (3-2t)\hat{k}$ અને $\vec{r} = (s+1)\hat{i} + (2s-1)\hat{j} - (2s+1)\hat{k}$ છે.
સમીકરણોને $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ સ્વરૂપમાં લખતા:
રેખા $1$: $\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + t(-\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$
અહીં,$\vec{a_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b_1} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
રેખા $2$: $\vec{r} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) + s(\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k})$
અહીં,$\vec{a_2} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 + 4) - \hat{j}(2 + 2) + \hat{k}(-2 - 1) = 2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 16 + 9} = \sqrt{29}$.
આગળ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}$.
હવે,$(\vec{b_1} \times \vec{b_2}) \cdot (\vec{a_2} - \vec{a_1}) = (2\hat{i} - 4\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (0\hat{i} + \hat{j} - 4\hat{k}) = (2)(0) + (-4)(1) + (-3)(-4) = 0 - 4 + 12 = 8$.
આમ,$d = \left| \frac{8}{\sqrt{29}} \right| = \frac{8}{\sqrt{29}}$ એકમો.

(A) બિંદુઓ $A(3, 4, 1)$ અને $B(5, 1, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
યામો મૂકતા,આપણને મળે $\vec{r} = (3\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}) + \lambda((5-3)\hat{i} + (1-4)\hat{j} + (6-1)\hat{k})$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\vec{r} = (3 + 2\lambda)\hat{i} + (4 - 3\lambda)\hat{j} + (1 + 5\lambda)\hat{k}$ મળે છે.
રેખા $XY$-સમતલને છેદે છે,તેથી રેખા પરના કોઈપણ બિંદુનો $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$1 + 5\lambda = 0$,જે આપણને $\lambda = -\frac{1}{5}$ આપે છે.
$\lambda = -\frac{1}{5}$ ને $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.
$y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$.
આમ,માંગેલ બિંદુના યામ $\left( \frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0 \right)$ છે.

(N/A) ધારો કે $OA$ એ ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ અને બિંદુ $A(2,1,1)$ ને જોડતી રેખા છે.
રેખા $OA$ ના દિકગુણોત્તરો $(2-0, 1-0, 1-0)$ એટલે કે $2, 1, 1$ છે.
ધારો કે $BC$ એ બિંદુઓ $B(3,5,-1)$ અને $C(4,3,-1)$ ને જોડતી રેખા છે.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-3, 3-5, -1-(-1))$ એટલે કે $1, -2, 0$ છે.
જો બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તો તે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(1) + (1)(-2) + (1)(0) = 2 - 2 + 0 = 0.$
દિકગુણોત્તરોના ગુણાકારનો સરવાળો $0$ હોવાથી,રેખા $OA$ એ રેખા $BC$ ને લંબ છે.

(A) $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 0, 0)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેના પ્રચલિત સમીકરણો $x = k, y = 0, z = 0$ છે,જ્યાં $k$ એ પ્રચલ છે.
સંમિત સ્વરૂપમાં,આને $\frac{x-0}{1} = \frac{y-0}{0} = \frac{z-0}{0}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $y=0$ અને $z=0$ થાય છે.
આમ,રેખાનું સમીકરણ $y=0, z=0$ છે.

(A) બિંદુઓના યામ $A(1, 2, 3), B(4, 5, 7), C(-4, 3, -6),$ અને $D(2, 9, 2)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(4-1, 5-2, 7-3) = (3, 3, 4)$ છે.
રેખા $CD$ ના દિકગુણોત્તરો $(2-(-4), 9-3, 2-(-6)) = (6, 6, 8)$ છે.
ધારો કે $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1) = (3, 3, 4)$ અને $CD$ ના $(a_2, b_2, c_2) = (6, 6, 8)$ છે.
અહીં આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,$\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$,અને $\frac{c_1}{c_2} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
કારણ કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ છે,તેથી રેખાઓ $AB$ અને $CD$ સમાંતર છે.
તેથી,સમાંતર રેખાઓ $AB$ અને $CD$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ છે.

(A) રેખાઓ $\frac{x-1}{-3}=\frac{y-2}{2k}=\frac{z-3}{2}$ અને $\frac{x-1}{3k}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-6}{-5}$ ના દિકગુણોત્તરો અનુક્રમે $(-3, 2k, 2)$ અને $(3k, 1, -5)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$-3(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$
આમ,$k$ ની કિંમત $-\frac{10}{7}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ છે:
$\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ ...........$(1)$
$\vec{r} = -4\hat{i} - \hat{k} + \mu(3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k})$ ...........$(2)$
બે રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|} \right|$ ...........$(3)$
આપેલ સમીકરણોની સરખામણી પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે કરતા,આપણને મળે છે:
$\vec{a}_{1} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b}_{1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\vec{a}_{2} = -4\hat{i} - \hat{k}$,$\vec{b}_{2} = 3\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$
હવે,$\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1} = (-4\hat{i} - \hat{k}) - (6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) = -10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-4)) - \hat{j}(-2 - 6) + \hat{k}(-2 - (-6)) = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 64 + 16} = \sqrt{144} = 12$.
હવે,ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2} - \vec{a}_{1})$ ની ગણતરી કરો:
$(8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}) \cdot (-10\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (8)(-10) + (8)(-2) + (4)(-3) = -80 - 16 - 12 = -108$.
અંતે,લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ એકમ.

(A) બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ છે.
આપેલા બિંદુઓ $(5, 1, 6)$ અને $(3, 4, 1)$ ને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{4-1} = \frac{z-6}{1-6}$
$\Rightarrow \frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-6}{-5} = k$ (જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે).
$x, y, z$ ને $k$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવતા:
$x = 5 - 2k$
$y = 3k + 1$
$z = 6 - 5k$
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5 - 2k, 3k + 1, 6 - 5k)$ સ્વરૂપનું છે.
$YZ$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
રેખા $YZ$-સમતલને છેદે છે,તેથી $x$-યામ $0$ લેતા:
$5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}$.
હવે,$k = \frac{5}{2}$ ને $y$ અને $z$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 3\left(\frac{5}{2}\right) + 1 = \frac{15}{2} + 1 = \frac{17}{2}$.
$z = 6 - 5\left(\frac{5}{2}\right) = 6 - \frac{25}{2} = \frac{12 - 25}{2} = -\frac{13}{2}$.
આમ,જરૂરી બિંદુના યામ $\left(0, \frac{17}{2}, -\frac{13}{2}\right)$ છે.

(A) $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ છે.
$(5, 1, 6)$ અને $(3, 4, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x-5}{3-5} = \frac{y-1}{4-1} = \frac{z-6}{1-6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-5}{-2} = \frac{y-1}{3} = \frac{z-6}{-5} = k$ મળે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5-2k, 3k+1, 6-5k)$ સ્વરૂપનું છે.
રેખા $ZX$-સમતલને છેદતી હોવાથી,તેનો $y$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$3k+1 = 0$ લેતા,$k = -\frac{1}{3}$ મળે છે.
$k = -\frac{1}{3}$ ને યામમાં મૂકતા:
$x = 5 - 2(-\frac{1}{3}) = 5 + \frac{2}{3} = \frac{17}{3}$.
$y = 3(-\frac{1}{3}) + 1 = 0$.
$z = 6 - 5(-\frac{1}{3}) = 6 + \frac{5}{3} = \frac{23}{3}$.
તેથી,જરૂરી બિંદુ $\left(\frac{17}{3}, 0, \frac{23}{3}\right)$ છે.

(A) ધારો કે જરૂરી રેખા સદિશ $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $(1, 2, -4)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
આપેલ રેખાઓ સદિશો $\vec{v}_1 = 3\hat{i} - 16\hat{j} + 7\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = 3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
જરૂરી રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 - 56) - \hat{j}(-15 - 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને દિશા ગુણોત્તર $(2, 3, 6)$ મળે છે.
તેથી,$\vec{b} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-2, 4, -5)$ છે.
રેખા $\frac{x+3}{3} = \frac{y-4}{5} = \frac{z+8}{6} = \lambda$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(3\lambda - 3, 5\lambda + 4, 6\lambda - 8)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\overrightarrow{PQ} = (3\lambda - 3 - (-2))\hat{i} + (5\lambda + 4 - 4)\hat{j} + (6\lambda - 8 - (-5))\hat{k} = (3\lambda - 1)\hat{i} + 5\lambda\hat{j} + (6\lambda - 3)\hat{k}$ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{PQ}$ એ દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 6\hat{k}$ વાળી રેખાને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{v} = 0$
$3(3\lambda - 1) + 5(5\lambda) + 6(6\lambda - 3) = 0$
$9\lambda - 3 + 25\lambda + 36\lambda - 18 = 0$
$70\lambda - 21 = 0 \implies \lambda = \frac{21}{70} = \frac{3}{10}$.
$\lambda = \frac{3}{10}$ ને $\overrightarrow{PQ}$ માં મૂકતા:
$\overrightarrow{PQ} = (3(\frac{3}{10}) - 1)\hat{i} + 5(\frac{3}{10})\hat{j} + (6(\frac{3}{10}) - 3)\hat{k} = -\frac{1}{10}\hat{i} + \frac{15}{10}\hat{j} - \frac{12}{10}\hat{k}$.
અંતર એ $\overrightarrow{PQ}$ નું માન છે:
$|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{(-\frac{1}{10})^2 + (\frac{15}{10})^2 + (-\frac{12}{10})^2} = \sqrt{\frac{1 + 225 + 144}{100}} = \sqrt{\frac{370}{100}} = \sqrt{\frac{37}{10}} \text{ એકમ.}$

(A) આપેલ સમીકરણો $3l+m+5n=0$ $(1)$ અને $6mn-2nl+5lm=0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -(3l+5n)$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $6n(-(3l+5n)) - 2nl + 5l(-(3l+5n)) = 0$.
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$.
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$.
$-15$ વડે ભાગતા: $l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$.
$(l+n)(l+2n) = 0$.
કિસ્સો $1$: $l = -n$. તો $m = -(3(-n)+5n) = -2n$. દિક્ગુણોત્તર $(-n, -2n, n)$ એટલે કે $(1, 2, -1)$ છે.
કિસ્સો $2$: $l = -2n$. તો $m = -(3(-2n)+5n) = n$. દિક્ગુણોત્તર $(-2n, n, n)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{|(1)(-2) + (2)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2} \sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2+2-1|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(N/A) ધારો કે $L$ એ બિંદુ $A(1, 8, 4)$ માંથી બિંદુઓ $B(0, -1, 3)$ અને $C(2, -3, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
રેખા $BC$ ના દિકગુણોત્તર $(2-0, -3-(-1), -1-3)$,એટલે કે $(2, -2, -4)$ છે.
બિંદુ $B(0, -1, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, -2, -4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખા $BC$ નું સમીકરણ:
$\frac{x-0}{2} = \frac{y+1}{-2} = \frac{z-3}{-4} = \lambda$
રેખા $BC$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $L$ આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$L = (2\lambda, -2\lambda-1, -4\lambda+3)$
રેખા $AL$ ના દિકગુણોત્તર:
$(2\lambda-1, -2\lambda-1-8, -4\lambda+3-4) = (2\lambda-1, -2\lambda-9, -4\lambda-1)$
કારણ કે $AL \perp BC$,તેથી તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda-1) - 2(-2\lambda-9) - 4(-4\lambda-1) = 0$
$4\lambda - 2 + 4\lambda + 18 + 16\lambda + 4 = 0$
$24\lambda + 20 = 0$
$24\lambda = -20$
$\lambda = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$
$\lambda = -\frac{5}{6}$ ની કિંમત $L$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-\frac{5}{6}) = -\frac{5}{3}$
$y = -2(-\frac{5}{6}) - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$
$z = -4(-\frac{5}{6}) + 3 = \frac{10}{3} + 3 = \frac{19}{3}$
આમ,લંબપાદના યામ $(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{19}{3})$ છે.

(D) ધારો કે $P(1, 6, 3)$ એ આપેલ બિંદુ છે અને $L$ એ $P$ માંથી આપેલ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
આપેલ રેખા પરના સામાન્ય બિંદુના યામ $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{3} = \lambda$ છે,એટલે કે $x = \lambda, y = 2\lambda + 1, z = 3\lambda + 2$.
જો $L$ ના યામ $(\lambda, 2\lambda + 1, 3\lambda + 2)$ હોય,તો $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(\lambda - 1, 2\lambda + 1 - 6, 3\lambda + 2 - 3)$ એટલે કે $(\lambda - 1, 2\lambda - 5, 3\lambda - 1)$ થાય.
આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 3)$ છે. $PL$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(\lambda - 1) + 2(2\lambda - 5) + 3(3\lambda - 1) = 0$
$\lambda - 1 + 4\lambda - 10 + 9\lambda - 3 = 0$
$14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $L(1, 2(1) + 1, 3(1) + 2) = (1, 3, 5)$ મળે છે.
ધારો કે $Q(x_1, y_1, z_1)$ એ આપેલ રેખામાં $P(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ છે. તો $L$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી:
$\frac{x_1 + 1}{2} = 1 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1 + 6}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 0$
$\frac{z_1 + 3}{2} = 5 \Rightarrow z_1 = 7$
આમ,આપેલ રેખામાં $(1, 6, 3)$ નું પ્રતિબિંબ $(1, 0, 7)$ છે.

(A) ધારો કે આપેલી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ છે.
રેખાના દિકગુણોત્તરો $(2, 1, 1)$ છે.
જરૂરી રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરો $(2\lambda+3, \lambda+3, \lambda)$ થશે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,તેથી $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{|2(2\lambda+3) + 1(\lambda+3) + 1(\lambda)|}{\sqrt{2^2+1^2+1^2} \sqrt{(2\lambda+3)^2 + (\lambda+3)^2 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|4\lambda+6+\lambda+3+\lambda|}{\sqrt{6} \sqrt{4\lambda^2+12\lambda+9 + \lambda^2+6\lambda+9 + \lambda^2}}$
$\frac{1}{2} = \frac{|6\lambda+9|}{\sqrt{6} \sqrt{6\lambda^2+18\lambda+18}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} = \frac{(6\lambda+9)^2}{6(6\lambda^2+18\lambda+18)}$
$6(6\lambda^2+18\lambda+18) = 4(36\lambda^2+108\lambda+81)$
$36\lambda^2+108\lambda+108 = 144\lambda^2+432\lambda+324$
$108\lambda^2+324\lambda+216 = 0$
$108$ વડે ભાગતા:
$\lambda^2+3\lambda+2 = 0 \Rightarrow (\lambda+1)(\lambda+2) = 0$.
તેથી,$\lambda = -1$ અથવા $\lambda = -2$.
$\lambda = -1$ માટે,દિકગુણોત્તરો $(2(-1)+3, -1+3, -1) = (1, 2, -1)$ મળે.
$\lambda = -2$ માટે,દિકગુણોત્તરો $(2(-2)+3, -2+3, -2) = (-1, 1, -2)$ મળે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{-1}$ અને $\frac{x}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ છે.

(N/A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{4-x}{2}=\frac{y}{6}=\frac{1-z}{3}$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x-4}{-2}=\frac{y}{6}=\frac{z-1}{-3}=\lambda$.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = -2\lambda + 4$,$y = 6\lambda$,અને $z = -3\lambda + 1$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
ધારો કે $L$ એ બિંદુ $P(2, 3, -8)$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. તેથી,$L$ ના યામ $(4-2\lambda, 6\lambda, 1-3\lambda)$ છે.
રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(4-2\lambda-2, 6\lambda-3, 1-3\lambda+8)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2-2\lambda, 6\lambda-3, 9-3\lambda)$ થાય છે.
આપેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(-2, 6, -3)$ છે.
$PL$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$-2(2-2\lambda) + 6(6\lambda-3) - 3(9-3\lambda) = 0$.
$-4 + 4\lambda + 36\lambda - 18 - 27 + 9\lambda = 0$.
$49\lambda - 49 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $L = (4-2(1), 6(1), 1-3(1)) = (2, 6, -2)$ મળે છે.
લંબ અંતર $PL$ એ બિંદુ $P(2, 3, -8)$ અને $L(2, 6, -2)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PL = \sqrt{(2-2)^2 + (6-3)^2 + (-2 - (-8))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ એકમ.

બિંદુ જેનો સ્થાન સદિશ $\vec{a}$ હોય અને $\vec{b}$ સદિશને સમાંતર હોય તેવી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $(1, -2, 3)$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
રેખા એ સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 6 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 6 \hat{k})$,જ્યાં $\lambda$ એ અદિશ છે.

(A) ધારો કે રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = \lambda$
$L_2: \frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1} = \mu$
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$2\lambda+1 = 5\mu+4 \Rightarrow 2\lambda - 5\mu = 3$ $(1)$
$3\lambda+2 = 2\mu+1 \Rightarrow 3\lambda - 2\mu = -1$ $(2)$
$4\lambda+3 = \mu$ $(3)$
$(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2\lambda - 5(4\lambda+3) = 3$
$2\lambda - 20\lambda - 15 = 3$
$-18\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ નો ઉપયોગ $(3)$ માં કરતા:
$\mu = 4(-1)+3 = -1$
આ કિંમતોને $(2)$ માં તપાસતા:
$3(-1) - 2(-1) = -3 + 2 = -1$. આ સમીકરણ $(2)$ નું સમાધાન કરે છે.
આમ,રેખાઓ છેદે છે.
$\lambda = -1$ નો ઉપયોગ કરીને છેદબિંદુ:
$x = 2(-1)+1 = -1$
$y = 3(-1)+2 = -1$
$z = 4(-1)+3 = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(-1, -1, -1)$ છે.

(N/A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=\vec{a}_{1}+\lambda \vec{b}_{1}$ અને $\vec{r}=\vec{a}_{2}+\mu \vec{b}_{2}$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{b}_{1}=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{b}_{2}=6 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{|\vec{b}_{1}| |\vec{b}_{2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર (dot product) ગણતા: $\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2} = (2)(6) + (1)(3) + (2)(2) = 12 + 3 + 4 = 19$.
માન (magnitudes) ગણતા: $|\vec{b}_{1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{19}{21} \right)$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ અને $(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} = \frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}} = \frac{z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}$ છે.
$A(0,-1,-1)$ અને $B(4,5,1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{4-0} = \frac{y+1}{5+1} = \frac{z+1}{1+1}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{4} = \frac{y+1}{6} = \frac{z+1}{2} = \lambda$ થાય. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(4\lambda, 6\lambda-1, 2\lambda-1)$ છે.
$C(3,9,4)$ અને $D(-4,4,4)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-3}{-4-3} = \frac{y-9}{4-9} = \frac{z-4}{4-4}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{-7} = \frac{y-9}{-5} = \frac{z-4}{0} = \mu$ થાય. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(-7\mu+3, -5\mu+9, 4)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો $\lambda$ અને $\mu$ એવા હોવા જોઈએ કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda-1 = 4 \Rightarrow 2\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = 2.5$.
$\lambda = 2.5$ ને પ્રથમ બે યામમાં મૂકતા: $x = 4(2.5) = 10$,$y = 6(2.5)-1 = 14$.
હવે,બીજી રેખા માટે: $-7\mu+3 = 10 \Rightarrow -7\mu = 7 \Rightarrow \mu = -1$.
$y$ માટે ચકાસતા: $-5(-1)+9 = 5+9 = 14$. યામ સમાન હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે.

(A) પ્રથમ રેખાના આપેલા સમીકરણો $x=p y+q$ અને $z=r y+s$ છે.
આને $\frac{x-q}{p} = y = \frac{z-s}{r}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આમ,પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(p, 1, r)$ છે.
તે જ રીતે,બીજી રેખાના સમીકરણો $x=p^{\prime} y+q^{\prime}$ અને $z=r^{\prime} y+s^{\prime}$ છે.
આને $\frac{x-q^{\prime}}{p^{\prime}} = y = \frac{z-s^{\prime}}{r^{\prime}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આમ,બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(p^{\prime}, 1, r^{\prime})$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $(p)(p^{\prime}) + (1)(1) + (r)(r^{\prime}) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ થાય છે.
તેથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે જો $p p^{\prime} + r r^{\prime} + 1 = 0$ હોય.

(C) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+5}{1} = \frac{y+3}{4} = \frac{z-6}{-9} = \lambda$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $L$ એ $x = \lambda - 5$,$y = 4\lambda - 3$,$z = 6 - 9\lambda$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $P$ એ બિંદુ $(2, 4, -1)$ છે. રેખાખંડ $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(\lambda - 5 - 2, 4\lambda - 3 - 4, 6 - 9\lambda - (-1))$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(\lambda - 7, 4\lambda - 7, 7 - 9\lambda)$ થાય છે.
કારણ કે $PL$ એ આપેલી રેખાને લંબ છે,તેથી $PL$ ના દિકગુણોત્તર અને રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 4, -9)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1(\lambda - 7) + 4(4\lambda - 7) - 9(7 - 9\lambda) = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $\lambda - 7 + 16\lambda - 28 - 63 + 81\lambda = 0$ મળે છે.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$98\lambda - 98 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 1$.
$\lambda = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $L = (1 - 5, 4(1) - 3, 6 - 9(1)) = (-4, 1, -3)$ મળે છે.
અંતર $PL = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - 4)^2 + (-3 - (-1))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(C) આપેલ રેખાઓ $\vec{r}=(8+3 \lambda) \hat{i}+(-9-16 \lambda) \hat{j}+(10+7 \lambda) \hat{k}$ અને $\vec{r}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k})$ છે.
પ્રથમ રેખા: $\vec{r}=(8 \hat{i}-9 \hat{j}+10 \hat{k})+\lambda(3 \hat{i}-16 \hat{j}+7 \hat{k})$.
તેથી,$\vec{a}_{1}=8 \hat{i}-9 \hat{j}+10 \hat{k}$ અને $\vec{b}_{1}=3 \hat{i}-16 \hat{j}+7 \hat{k}$.
બીજી રેખા: $\vec{a}_{2}=15 \hat{i}+29 \hat{j}+5 \hat{k}$ અને $\vec{b}_{2}=3 \hat{i}+8 \hat{j}-5 \hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left|\frac{(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1})}{|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}|}\right|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80-56) - \hat{j}(-15-21) + \hat{k}(24+48) = 24 \hat{i}+36 \hat{j}+72 \hat{k}$.
માન $|\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}| = \sqrt{24^2 + 36^2 + 72^2} = 84$.
$\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1} = 7\hat{i} + 38\hat{j} - 5\hat{k}$.
ડોટ ગુણાકાર $(\vec{b}_{1} \times \vec{b}_{2}) \cdot (\vec{a}_{2}-\vec{a}_{1}) = 168 + 1368 - 360 = 1176$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left|\frac{1176}{84}\right| = 14 \text{ એકમ}$.

(A) આપણી પાસે છે,$2l + 2m - n = 0 \dots (i)$
અને $mn + nl + lm = 0 \dots (ii)$
$(i)$ પરથી,$n = 2l + 2m$. આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$m(2l + 2m) + (2l + 2m)l + lm = 0$
$2lm + 2m^2 + 2l^2 + 2lm + lm = 0$
$2l^2 + 5lm + 2m^2 = 0$
$2l^2 + 4lm + lm + 2m^2 = 0$
$2l(l + 2m) + m(l + 2m) = 0$
$(2l + m)(l + 2m) = 0$
કિસ્સો $1$: $m = -2l$. તો $n = 2l + 2(-2l) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, -2l, -2l)$ મળે છે,જે $(1, -2, -2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
કિસ્સો $2$: $l = -2m$. તો $n = 2(-2m) + 2m = -2m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, -2m)$ મળે છે,જે $(2, -1, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે દિકગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1 = (1, -2, -2)$ અને $a_2, b_2, c_2 = (2, -1, 2)$ છે.
પરસ્પર લંબ હોવાની શરત $a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2 = 0$ છે.
$(1)(2) + (-2)(-1) + (-2)(2) = 2 + 2 - 4 = 0$.
સરવાળો $0$ હોવાથી,રેખાઓ કાટખૂણે છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \hat{i}(1 + 2\ell) + \hat{j}(-1) + \hat{k}(\ell)$ અને $\overrightarrow{r} = \hat{i}(2 + m) + \hat{j}(m - 1) + \hat{k}(-m)$ છે.
રેખાઓ છેદે તે માટે,$\ell$ અને $m$ ની એવી કિંમતો હોવી જોઈએ કે જેથી યામ સમાન થાય:
$1 + 2\ell = 2 + m$ $(i)$
$-1 = m - 1$ $(ii)$
$\ell = -m$ $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,આપણને $m = 0$ મળે છે.
$m = 0$ ને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,આપણને $\ell = 0$ મળે છે.
હવે,તપાસો કે શું આ કિંમતો સમીકરણ $(i)$ નું સમાધાન કરે છે:
$1 + 2(0) = 2 + 0 \implies 1 = 2$,જે વિરોધાભાસ છે.
આમ,$\ell$ અને $m$ ની કિંમતો ત્રણેય સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરતી નથી,તેથી રેખાઓ $\ell$ અને $m$ ની કોઈપણ કિંમત માટે છેદતી નથી.

(B) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $R$ એ $(2\lambda-1, -2\lambda+3, -\lambda)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $P = (1, 2, -3)$ અને $Q = (a, b, c)$ એ રેખામાં $P$ નું પ્રતિબિંબ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (a-1, b-2, c+3)$ એ રેખાને લંબ હોવો જોઈએ,જેના દિશા ગુણોત્તર $(2, -2, -1)$ છે.
તેથી,$2(a-1) - 2(b-2) - 1(c+3) = 0 \implies 2a - 2b - c = 1$.
વળી,$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ રેખા પર આવેલું છે:
$R = \left(\frac{a+1}{2}, \frac{b+2}{2}, \frac{c-3}{2}\right)$.
જેમ કે $R$ રેખા પર છે,તેથી:
$\frac{\frac{a+1}{2} + 1}{2} = \frac{\frac{b+2}{2} - 3}{-2} = \frac{\frac{c-3}{2}}{-1} = \lambda$.
$\lambda$ ના સંદર્ભમાં $a, b, c$ માટે ઉકેલતા:
$a = 4\lambda - 3, b = -4\lambda + 4, c = -2\lambda + 3$.
આ કિંમતોને લંબતાની શરત $2a - 2b - c = 1$ માં મૂકતા:
$2(4\lambda - 3) - 2(-4\lambda + 4) - (-2\lambda + 3) = 1
\implies 8\lambda - 6 + 8\lambda - 8 + 2\lambda - 3 = 1
\implies 18\lambda = 18 \implies \lambda = 1$.
આમ,$a = 4(1) - 3 = 1$,$b = -4(1) + 4 = 0$,$c = -2(1) + 3 = 1$.
તેથી,$a+b+c = 1 + 0 + 1 = 2$.

(D) પ્રથમ રેખા $L_1: \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{1}$ છે. $L_1$ પરનું બિંદુ $A(1, -1, 0)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{c} = (0, -1, 1)$ છે.
બીજી રેખા $L_2$ એ સમતલો $x+y+z+1=0$ અને $2x-y+z+3=0$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(x+y+z+1) + (2x-y+z+3) = 3x + 2z + 4 = 0$,તેથી $x = \frac{-2z-4}{3}$.
$x$ ની કિંમત પ્રથમ સમતલમાં મૂકતા: $\frac{-2z-4}{3} + y + z + 1 = 0 \Rightarrow y = -z - 1 + \frac{2z+4}{3} = \frac{-3z-3+2z+4}{3} = \frac{-z+1}{3}$.
આમ,$x = \frac{-2z-4}{3}, y = \frac{-z+1}{3}, z = z$. તેને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા: $\frac{x+4/3}{-2/3} = \frac{y-1/3}{-1/3} = \frac{z}{1}$.
$L_2$ પરનું બિંદુ $B(-\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, 0)$ છે અને તેનો દિશા સદિશ $\vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = B - A = (-\frac{7}{3}, \frac{4}{3}, 0)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{c} \times \vec{d} = (-\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$.
તેનું માન $|\vec{c} \times \vec{d}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{c} \times \vec{d})|}{|\vec{c} \times \vec{d}|} = \frac{|\frac{14}{9} - \frac{8}{9}|}{2/\sqrt{3}} = \frac{6/9}{2/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) કારણ કે $(3,5,7)$ એ $L_{1}$ પર આવેલું છે,તેથી $\frac{3-a}{l}=\frac{5-2}{3}=\frac{7-b}{4}=1$ મળે.
આના પરથી,$3-a=l \Rightarrow a+l=3$ અને $7-b=4 \Rightarrow b=3$ મળે.
$(3,5,7)$ થી $(4,3,8)$ સુધીનો સદિશ $\vec{v}_{1} = (4-3, 3-5, 8-7) = (1, -2, 1)$ છે.
$L_{1}$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}_{2} = (l, 3, 4)$ છે.
રેખાખંડ $L_{1}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{v}_{1} \cdot \vec{v}_{2} = 0 \Rightarrow l - 6 + 4 = 0 \Rightarrow l = 2$ મળે.
તેથી,$a = 3 - 2 = 1$.
રેખાઓ $L_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $L_{2}: \frac{x-2}{3}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ છે.
ધારો કે $A = (1,2,3)$ અને $B = (2,4,5)$,તેથી $\vec{AB} = (1,2,2)$ મળે.
દિશા સદિશો $\vec{p} = (2,3,4)$ અને $\vec{q} = (3,4,5)$ છે.
$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{\vec{AB} \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right| = \left| \frac{(1,2,2) \cdot (-1,2,-1)}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$ થાય.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-2} = r$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2r+1, 3r-1, -2r+1)$ છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{QP} = (2r+1)\hat{i} + (3r-2)\hat{j} + (-2r-1)\hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા $L_1$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{QP} \cdot \vec{v_1} = 0$.
$2(2r+1) + 3(3r-2) - 2(-2r-1) = 0$.
$4r + 2 + 9r - 6 + 4r + 2 = 0$.
$17r - 2 = 0 \Rightarrow r = \frac{2}{17}$.
$r = \frac{2}{17}$ માટે $\vec{QP}$ ના ઘટકો $\frac{21}{17}\hat{i} - \frac{28}{17}\hat{j} - \frac{21}{17}\hat{k}$ છે.
$\frac{7}{17}$ વડે ભાગતા,દિશા ગુણોત્તર $(3, -4, -3)$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(0,1,2)$ માંથી પસાર થતી અને $(3, -4, -3)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-0}{3} = \frac{y-1}{-4} = \frac{z-2}{-3}$ છે,જે $\frac{x}{-3} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-2}{3}$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-\lambda}{1} = \frac{y-1/2}{1/2} = \frac{z-0}{-1/2}$ અને $L_2: \frac{x-0}{1} = \frac{y+2\lambda}{1} = \frac{z-\lambda}{1}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $a_1 = (\lambda, 1/2, 0)$ અને $a_2 = (0, -2\lambda, \lambda)$ છે.
દિશા સદિશો $b_1 = (1, 1/2, -1/2)$ અને $b_2 = (1, 1, 1)$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $b_1 \times b_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1/2 + 1/2) - \hat{j}(1 + 1/2) + \hat{k}(1 - 1/2) = \hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + \frac{1}{2}\hat{k} = \frac{1}{2}(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$.
તેનું માન $|b_1 \times b_2| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{\sqrt{14}}{2}$ છે.
સદિશ $a_2 - a_1 = (-\lambda, -2\lambda-1/2, \lambda)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(a_2 - a_1) \cdot (b_1 \times b_2)|}{|b_1 \times b_2|} = \frac{|-\lambda(1) - (2\lambda+1/2)(-3/2) + \lambda(1/2)|}{\sqrt{14}/2} = \frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.
તેથી,$\frac{|10\lambda + 3|}{2\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{4} \implies |10\lambda + 3| = 7$.
કિસ્સો $1$: $10\lambda + 3 = 7 \implies \lambda = 0.4$ (પૂર્ણાંક નથી).
કિસ્સો $2$: $10\lambda + 3 = -7 \implies \lambda = -1$.
આમ,$|\lambda| = |-1| = 1$.

(C) આપેલ રેખા બે સમતલોના છેદથી બનેલી છે: $3y - 2z - 1 = 0$ અને $3x - z + 4 = 0$.
રેખાની દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ સમતલોના અભિલંબ $\vec{n_1} = (0, 3, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, 0, -1)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 3 & -2 \\ 3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-3, -6, -9)$.
દિશા ગુણોત્તરને $(1, 2, 3)$ તરીકે લઈ શકાય.
રેખા પરનું બિંદુ શોધવા માટે,$z = 1$ લેતા,$y = 1$ અને $x = -1$ મળે છે. તેથી બિંદુ $P = (-1, 1, 1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈ પણ બિંદુ $Q = (\lambda - 1, 2\lambda + 1, 3\lambda + 1)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda - 3, 2\lambda + 2, 3\lambda - 5)$ એ રેખાની દિશા $(1, 2, 3)$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$1(\lambda - 3) + 2(2\lambda + 2) + 3(3\lambda - 5) = 0 \Rightarrow 14\lambda - 14 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
બિંદુ $Q = (0, 3, 4)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, -1, 6)$ થી $(0, 3, 4)$ નું અંતર $\sqrt{(0-2)^2 + (3 - (-1))^2 + (4-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.

(D) બે રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda \vec{b}_1$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu \vec{b}_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\vec{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ થાય.
હવે,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $9 = \frac{|((-4 - \alpha) \hat{i} - 2 \hat{j} - 3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i} + 8 \hat{j} + 4 \hat{k})|}{12}$ છે.
$108 = |-32 - 8\alpha - 28| = |-60 - 8\alpha|$.
$\alpha > 0$ હોવાથી,$60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$.

(C) આપેલ રેખાઓ છે:
$L_{1}: \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{3}$. બિંદુ $P_{1} = (1, 2, 1)$,દિશા સદિશ $\vec{v}_{1} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
$L_{2}: \frac{x-2}{1} = \frac{y-\lambda}{2} = \frac{z-3}{4}$. બિંદુ $P_{2} = (2, \lambda, 3)$,દિશા સદિશ $\vec{v}_{2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$.
ધારો કે $\vec{a} = P_{2} - P_{1} = (2-1)\hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} + (\lambda-2)\hat{j} + 2\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2})|}{|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,$\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-6) - \hat{j}(8-3) + \hat{k}(4-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}$.
માન $|\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$.
હવે,$\vec{a} \cdot (\vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}) = (1)(-2) + (\lambda-2)(-5) + (2)(3) = -2 - 5\lambda + 10 + 6 = 14 - 5\lambda$.
આપેલ છે $d = \frac{1}{\sqrt{38}}$,તેથી $\frac{|14 - 5\lambda|}{\sqrt{38}} = \frac{1}{\sqrt{38}}$.
$|14 - 5\lambda| = 1$.
કિસ્સો $1$: $14 - 5\lambda = 1 \Rightarrow 5\lambda = 13 \Rightarrow \lambda = 2.6$.
કિસ્સો $2$: $14 - 5\lambda = -1 \Rightarrow 5\lambda = 15 \Rightarrow \lambda = 3$.
આપણે $\lambda$ નું પૂર્ણાંક મૂલ્ય જોઈએ છે,તેથી જવાબ $3$ છે.