Line Questions in Gujarati

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(3, 2, 0)$,$B(5, 3, 2)$ અને $C(-9, 6, -3)$ છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(5-3)^2 + (3-2)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$.
$AC = \sqrt{(-9-3)^2 + (6-2)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{169} = 13$.
કોણ દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,દ્વિભાજક $AD$ એ બાજુ $BC$ ને $AB : AC = 3 : 13$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ ના યામ:
$D = \left( \frac{3(-9) + 13(5)}{3+13}, \frac{3(6) + 13(3)}{3+13}, \frac{3(-3) + 13(2)}{3+13} \right)$
$D = \left( \frac{-27 + 65}{16}, \frac{18 + 39}{16}, \frac{-9 + 26}{16} \right)$
$D = \left( \frac{38}{16}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16} \right) = \left( \frac{19}{8}, \frac{57}{16}, \frac{17}{16} \right)$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $\vec{r_1} = (6, 2, 2) + \lambda(1, -2, 2)$ અને $\vec{r_2} = (-4, 0, -1) + \mu(3, -2, -2)$ છે.
ધારો કે $\vec{a_1} = (6, 2, 2)$,$\vec{a_2} = (-4, 0, -1)$,$\vec{b_1} = (1, -2, 2)$,અને $\vec{b_2} = (3, -2, -2)$.
લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-10, -2, -3)$ મેળવો.
ત્યારબાદ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ મેળવો.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ થાય.
ડોટ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = -108$ થાય.
તેથી,$d = \frac{|-108|}{12} = 9$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(2, -1, 5)$ છે અને રેખા $L: \frac{x - 11}{10} = \frac{y + 2}{-4} = \frac{z + 8}{-11} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q$ એ $(10k + 11, -4k - 2, -11k - 8)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખા $PQ$ ના દિક્-ગુણોત્તર $(10k + 11 - 2, -4k - 2 + 1, -11k - 8 - 5) = (10k + 9, -4k - 1, -11k - 13)$ છે.
કારણ કે $PQ$ એ રેખા $L$ ને લંબ છે જેના દિક્-ગુણોત્તર $(10, -4, -11)$ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$10(10k + 9) - 4(-4k - 1) - 11(-11k - 13) = 0$.
$100k + 90 + 16k + 4 + 121k + 143 = 0$.
$237k + 237 = 0 \implies k = -1$.
$k = -1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 10(-1) + 11 = 1$,
$y = -4(-1) - 2 = 2$,
$z = -11(-1) - 8 = 3$.
તેથી,લંબપાદ $(1, 2, 3)$ છે.
લંબની લંબાઈ $PQ = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-1))^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$.

(B) આપેલ રેખાઓને સંમિત સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b}{a} = y = \frac{z - d}{c}$ છે.
આમ,પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'y + b'$ અને $z = c'y + d'$ માટે,આપણી પાસે $\frac{x - b'}{a'} = y = \frac{z - d'}{c'}$ છે.
આમ,બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(a', 1, c')$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
દિકગુણોત્તર મૂકતા,આપણને $(a)(a') + (1)(1) + (c)(c') = 0$ મળે છે.
તેથી,$aa' + 1 + cc' = 0$,જેનો અર્થ છે કે $aa' + cc' = -1$.

(C) ધારો કે પ્રથમ રેખા $\frac{x + 1}{3} = \frac{y + 3}{5} = \frac{z + 5}{7} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3\lambda - 1, 5\lambda - 3, 7\lambda - 5)$ છે.
ધારો કે બીજી રેખા $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 4}{3} = \frac{z - 6}{5} = \mu$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu + 2, 3\mu + 4, 5\mu + 6)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,યામ સમાન હોવા જોઈએ:
$3\lambda - 1 = \mu + 2 \implies 3\lambda - \mu = 3$
$5\lambda - 3 = 3\mu + 4 \implies 5\lambda - 3\mu = 7$
આ સમીકરણો ઉકેલતા:
પ્રથમ સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા: $9\lambda - 3\mu = 9$.
બીજા સમીકરણને તેમાંથી બાદ કરતા: $(9\lambda - 3\mu) - (5\lambda - 3\mu) = 9 - 7 \implies 4\lambda = 2 \implies \lambda = \frac{1}{2}$.
$\lambda = \frac{1}{2}$ ને $3\lambda - \mu = 3$ માં મૂકતા:
$3(\frac{1}{2}) - \mu = 3 \implies \mu = \frac{3}{2} - 3 = -\frac{3}{2}$.
હવે,$\lambda = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને બિંદુ શોધો:
$x = 3(\frac{1}{2}) - 1 = \frac{1}{2}$,
$y = 5(\frac{1}{2}) - 3 = -\frac{1}{2}$,
$z = 7(\frac{1}{2}) - 5 = -\frac{3}{2}$.
છેદબિંદુ $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ છે.

(B) બે સમતલો $P_1: 3x + 2y - z - 4 = 0$ અને $P_2: 4x + y - 2z + 3 = 0$ ના છેદબિંદુની રેખાનું સમપ્રમાણ સ્વરૂપ શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ શોધીએ છીએ,જે લંબ સદિશો $\vec{n_1} = (3, 2, -1)$ અને $\vec{n_2} = (4, 1, -2)$ નો ક્રોસ ગુણાકાર છે.
$\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(-6 + 4) + \hat{k}(3 - 8) = -3\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$.
આપણે દિશા ગુણોત્તર $(3, -2, 5)$ લઈ શકીએ છીએ.
હવે,સમતલના સમીકરણોમાં $z = 0$ મૂકીને રેખા પરનું એક બિંદુ શોધો:
$3x + 2y = 4$ અને $4x + y = -3$.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા: $8x + 2y = -6$.
આમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા: $5x = -10 \implies x = -2$.
$x = -2$ ને $4x + y = -3$ માં મૂકતા: $4(-2) + y = -3 \implies y = 5$.
તેથી,બિંદુ $(-2, 5, 0)$ છે.
સમપ્રમાણ સ્વરૂપ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે,જે $\frac{x + 2}{3} = \frac{y - 5}{-2} = \frac{z}{5}$ આપે છે.

(B) રેખાઓ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + a}{p}$ અને $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 4}{4} = \frac{z + 5}{2}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશો $(2, -3, p)$ અને $(2, 4, 2)$ નો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(2)(2) + (-3)(4) + (p)(2) = 0$
$4 - 12 + 2p = 0 \Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4$.
રેખાઓ એક જ સમતલમાં હોવાથી,બિંદુઓ $(3, -1, -a)$ અને $(-2, 4, -5)$ ને જોડતા સદિશ અને બંને દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 3 - (-2) & -1 - 4 & -a - (-5) \\ 2 & -3 & p \\ 2 & 4 & 2 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 5 & -5 & 5 - a \\ 2 & -3 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{array}\right| = 0$
$5(-6 - 16) + 5(4 - 8) + (5 - a)(8 + 6) = 0$
$-110 - 20 + 70 - 14a = 0$
$-60 - 14a = 0 \Rightarrow a = -\frac{30}{7}$.
તેથી,$a + p = -\frac{30}{7} + 4 = -\frac{2}{7}$.

(C) રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{p}$ અને $\vec{r} = \vec{b} + \mu \vec{q}$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ અને $\vec{p} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 5\hat{k}$ છે.
તેમજ,$\vec{b} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{q} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $SD$ શોધવાનું સૂત્ર $SD = \left| \frac{(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q})}{|\vec{p} \times \vec{q}|} \right|$ છે.
પ્રથમ,$\vec{b} - \vec{a} = (1-2)\hat{i} + (2-4)\hat{j} + (3-5)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$\vec{p} \times \vec{q} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(16-15) - \hat{j}(12-10) + \hat{k}(9-8) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{p} \times \vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = (-1)(1) + (-2)(-2) + (-2)(1) = 1$ છે.
આમ,$SD = \left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right| = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ એ સમતલો $3x + 2y + z = 0$ અને $x + y - 2z = 0$ ના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$l_1 = (2)(-2) - (1)(1) = -5$
$m_1 = (1)(1) - (3)(-2) = 7$
$n_1 = (3)(1) - (2)(1) = 1$
તેથી,દિકગુણોત્તર $(-5, 7, 1)$ અથવા $(5, -7, -1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(l_2, m_2, n_2)$ એ સમતલો $2x - y - z = 0$ અને $7x + 10y - 8z = 0$ ના અભિલંબના સદિશ ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$l_2 = (-1)(-8) - (-1)(10) = 8 + 10 = 18$
$m_2 = (-1)(7) - (2)(-8) = -7 + 16 = 9$
$n_2 = (2)(10) - (-1)(7) = 20 + 7 = 27$
$9$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, 1, 3)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. ખૂણાનો કોસાઇન નીચે મુજબ મળે છે:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
$\cos \theta = \frac{|(5)(2) + (-7)(1) + (-1)(3)|}{\sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}}$
$\cos \theta = \frac{|10 - 7 - 3|}{\sqrt{25 + 49 + 1} \sqrt{4 + 1 + 9}} = \frac{0}{\sqrt{75} \sqrt{14}} = 0$
તેથી,$\cos \theta = 0$ હોવાથી,ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{2}$ થાય.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x - 3}{3} = \frac{y - 8}{-1} = \frac{z - 3}{1}$ અને $L_2: \frac{x + 3}{-3} = \frac{y + 7}{2} = \frac{z - 6}{4}$ છે.
રેખાઓ પરના બિંદુઓ $A(3, 8, 3)$ અને $B(-3, -7, 6)$ છે.
દિશા સદિશો $\vec{b_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 - 2) - \hat{j}(12 - (-3)) + \hat{k}(6 - 3) = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
સદિશ $\vec{AB} = (-3 - 3)\hat{i} + (-7 - 8)\hat{j} + (6 - 3)\hat{k} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|}$ છે.
$\vec{AB} \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (-6)(-6) + (-15)(-15) + (3)(3) = 36 + 225 + 9 = 270$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-6)^2 + (-15)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.
$d = \frac{270}{3\sqrt{30}} = \frac{90}{\sqrt{30}} = \frac{90\sqrt{30}}{30} = 3\sqrt{30}$.

(B) વિધાન-$1$ માટે: રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (-3, 6, 0) + \lambda(-4, 3, 2)$ અને $L_2: \vec{r} = (-3, 0, 7) + \mu(-4, 1, 1)$ છે.
બે વિકૃત રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (0, -6, 7)$ અને $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = (1, -4, 8)$ છે.
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = 9$ અને $|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)| = 80$ મળે છે.
તેથી,$d = \frac{80}{9} \neq 9$. આમ,વિધાન-$1$ ખોટું છે.
વિધાન-$2$ માટે: વ્યાખ્યા મુજબ,વિકૃત રેખાઓ એવી રેખાઓ છે જે સમાંતર પણ નથી અને છેદતી પણ નથી,એટલે કે તે એક જ સમતલમાં હોતી નથી. તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે.

(C) આપેલ સમીકરણો અવકાશમાં એક રેખા દર્શાવે છે,જેનો અર્થ છે કે સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આપેલ સિસ્ટમ:
$2x - y + z = 0$
$-x + y + 2z = 0$
$mx - 2y + mz = 0$
સિસ્ટમ પાસે બિન-તુચ્છ ઉકેલ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા) હોવા માટે,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ m & -2 & m \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(1(m) - 2(-2)) - (-1)((-1)(m) - 2(m)) + 1((-1)(-2) - 1(m)) = 0$
$2(m + 4) + 1(-m - 2m) + 1(2 - m) = 0$
$2m + 8 - 3m + 2 - m = 0$
$-2m + 10 = 0$
$2m = 10$
$m = 5$

(D) બિંદુઓ $A$ અને $B$ એ $3D$ અવકાશમાં બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
રેખા $L_1$ જે $A$ માંથી પસાર થાય છે તેને $\vec{r} = (2, 1, 2) + \lambda(1, -2, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $L_2$ જે $B$ માંથી પસાર થાય છે તેને $\vec{r} = (1, 0, 1) + k(2, 1, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
બે વિષમતલીય રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ અને $\vec{r} = \vec{a_2} + k \vec{b_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})}{|\vec{b_1} \times \vec{b_2}|} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (1-2, 0-1, 1-2) = (-1, -1, -1)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-1) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(1+4) = -3\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}$.
માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 1 + 25} = \sqrt{35}$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(-1, -1, -1) \cdot (-3, 1, 5)}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{3 - 1 - 5}{\sqrt{35}} \right| = \left| \frac{-3}{\sqrt{35}} \right| = \frac{3}{\sqrt{35}}$.

(B) રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $A(\lambda, \lambda, -\lambda)$ સ્વરૂપનું છે.
આપેલ છે કે અંતર $PA = \sqrt{3}$,તેથી $PA^2 = 3$.
$(\lambda - 1)^2 + (\lambda - 1)^2 + (-\lambda - 1)^2 = 3$.
$(\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda^2 - 2\lambda + 1) + (\lambda^2 + 2\lambda + 1) = 3$.
$3\lambda^2 - 2\lambda + 3 = 3$.
$3\lambda^2 - 2\lambda = 0$.
$\lambda(3\lambda - 2) = 0$.
આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = \frac{2}{3}$.
બિંદુઓ $A(0, 0, 0)$ અને $B(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$ છે.
અંતર $AB = \sqrt{(\frac{2}{3} - 0)^2 + (\frac{2}{3} - 0)^2 + (-\frac{2}{3} - 0)^2}$.
$AB = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) રેખાઓ $L_1: \bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ અને $L_2: \bar{r} = \bar{c} + \mu \bar{d}$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\bar{c} = \hat{j} + \hat{k}$,અને $\bar{d} = -\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\bar{a} - \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j}) - (\hat{j} + \hat{k}) = \hat{i} - \hat{k}$ મેળવો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\bar{b} \times \bar{d}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{14}$ થાય.
લઘુત્તમ અંતર $D = \frac{|(\bar{a} - \bar{c}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})|}{|\bar{b} \times \bar{d}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$D = \frac{|(\hat{i} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k})|}{\sqrt{14}} = \frac{|3 - 2|}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.

(B) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $D$ ના યામ $\left( \frac{\lambda - 1}{2}, 4, \frac{\mu + 2}{2} \right)$ છે.
મધ્યગા $AD$ ના દિકગુણોત્તર $\left( \frac{\lambda - 5}{2}, 1, \frac{\mu - 8}{2} \right)$ મળે છે.
મધ્યગા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોવાથી,$\frac{\lambda - 5}{2} = 1 = \frac{\mu - 8}{2}$ થાય.
તેથી,$\lambda = 7$ અને $\mu = 10$ મળે.
હવે,$(\lambda^3 + \mu^3 + 5) = 7^3 + 10^3 + 5 = 343 + 1000 + 5 = 1348$.

(D) આપેલ રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{1} = k$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2k + 1, 2k, k + 1)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ અને $(1, 0, 1)$ વચ્ચેનું અંતર $6$ એકમ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(2k + 1 - 1)^2 + (2k - 0)^2 + (k + 1 - 1)^2} = 6$.
$\sqrt{(2k)^2 + (2k)^2 + k^2} = 6$.
$\sqrt{4k^2 + 4k^2 + k^2} = 6$.
$\sqrt{9k^2} = 6$.
$3|k| = 6$,તેથી $k = \pm 2$.
બિંદુ $(1, 0, 1)$ ની સાપેક્ષમાં $-ve\ z$ દિશામાં હોવાથી,આપણે $z$-યામ $z = k + 1$ તપાસીએ.
$k = -2$ માટે,$z = -2 + 1 = -1$,જે $1$ કરતા નાનું છે.
$k = -2$ ને યામમાં મૂકતા: $x = 2(-2) + 1 = -3$,$y = 2(-2) = -4$,$z = -2 + 1 = -1$.
આમ,$A$ ના યામ $(-3, -4, -1)$ છે.

(C) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને $(a, b, c)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ છે.
અહીં રેખા બિંદુ $(2, -1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x_1 = 2, y_1 = -1, z_1 = 1$ છે.
આપેલી રેખા $\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 2}{-3}$ ને સમાંતર હોવાથી,માંગેલી રેખાના દિશા ગુણોત્તર પણ $a = 2, b = 7, c = -3$ થશે.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - (-1)}{7} = \frac{z - 1}{-3}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{7} = \frac{z - 1}{-3}$ થાય છે.

(B) રેખા $L$ એ $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1 - 2}{2} = \frac{2 - 1}{b} = \frac{3 + 1}{c} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{1}{b} = \frac{4}{c}$.
આમ,$b = -2$ અને $c = -8$.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = (2, -2, -8)$ છે.
રેખા $K$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $(2, -2, -8)$ ના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $K: \frac{x + 2}{a} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 4}{d}$,તેથી $\frac{a}{2} = \frac{2}{-2} = \frac{d}{-8} \Rightarrow \frac{a}{2} = -1 = \frac{d}{-8}$.
આમ,$a = -2$ અને $d = 8$.
રેખા $L$ એ $P_1 = (2, 1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $\vec{v} = (2, -2, -8)$ છે.
રેખા $K$ એ $P_2 = (-2, 3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા $\vec{v} = (2, -2, -8)$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|\vec{P_1P_2} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\vec{P_1P_2} = (-2 - 2, 3 - 1, -4 - (-1)) = (-4, 2, -3)$.
$\vec{P_1P_2} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 2 & -3 \\ 2 & -2 & -8 \end{vmatrix} = \hat{i}(-16 - 6) - \hat{j}(32 + 6) + \hat{k}(8 - 4) = (-22, -38, 4)$.
$|\vec{P_1P_2} \times \vec{v}| = \sqrt{(-22)^2 + (-38)^2 + 4^2} = \sqrt{484 + 1444 + 16} = \sqrt{1944}$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$.
અંતર $= \frac{\sqrt{1944}}{\sqrt{72}} = \sqrt{\frac{1944}{72}} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} = \sqrt{27} = \frac{\sqrt{243}}{3}$.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(2, 1, 3)$ છે અને રેખા $L: \vec{r} = (0, 1, -2) + \lambda(1, 1, -1)$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\lambda, 1+\lambda, -2-\lambda)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય.
સદિશ $\vec{PQ} = (\lambda-2, \lambda, -5-\lambda)$ મળે.
$PQ$ એ રેખાની દિશા $\vec{v} = (1, 1, -1)$ ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\lambda-2)(1) + (\lambda)(1) + (-5-\lambda)(-1) = 0$
$\lambda - 2 + \lambda + 5 + \lambda = 0$
$3\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને $Q$ માં મૂકતા,આપણને લંબપાદ $M(-1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે $P$ નું પ્રતિબિંબ $P'(x, y, z)$ છે. $M$ એ $PP'$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$M = \frac{P + P'}{2} \implies (-1, 0, -1) = \frac{(2, 1, 3) + (x, y, z)}{2}$
$-2 = 2 + x \implies x = -4$
$0 = 1 + y \implies y = -1$
$-2 = 3 + z \implies z = -5$
આમ,પ્રતિબિંબનો સ્થાન સદિશ $-4\hat{i} - \hat{j} - 5\hat{k}$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \vec{r} = (3\hat{i} - 15\hat{j} + 9\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r} = (-1\hat{i} + 1\hat{j} + 9\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 1\hat{j} - 3\hat{k})$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 3\hat{i} - 15\hat{j} + 9\hat{k}$,$\vec{a}_2 = -\hat{i} + \hat{j} + 9\hat{k}$,$\vec{b}_1 = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$,અને $\vec{b}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = (-1 - 3)\hat{i} + (1 - (-15))\hat{j} + (9 - 9)\hat{k} = -4\hat{i} + 16\hat{j} + 0\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -7 & 5 \\ 2 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(21 - 5) - \hat{j}(-6 - 10) + \hat{k}(2 + 14) = 16\hat{i} + 16\hat{j} + 16\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{16^2 + 16^2 + 16^2} = 16\sqrt{3}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $SD = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \cdot (\vec{b}_1 \times \vec{b}_2)|}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|} = \frac{|(-4)(16) + (16)(16) + (0)(16)|}{16\sqrt{3}} = \frac{|-64 + 256|}{16\sqrt{3}} = \frac{192}{16\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 3, 2)$,$B(-4, 2, -2)$ અને $C(5, 5, \lambda)$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશ $\vec{AB}$ એ સદિશ $\vec{BC}$ ના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
$\vec{AB} = (-4 - (-1))\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (-2 - 2)\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} - 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (5 - (-4))\hat{i} + (5 - 2)\hat{j} + (\lambda - (-2))\hat{k} = 9\hat{i} + 3\hat{j} + (\lambda + 2)\hat{k}$.
સમરેખતા માટે,ઘટકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{-3}{9} = \frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$.
$\frac{-1}{3} = \frac{-4}{\lambda + 2}$ સમાનતા પરથી,આપણને મળે છે:
$-1(\lambda + 2) = -12$.
$\lambda + 2 = 12$.
$\lambda = 10$.

(D) ધારો કે બે રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P(3\lambda + 6, -\lambda + 7, \lambda + 4)$ અને $Q(-3\mu, 2\mu - 9, 4\mu + 2)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (-3\mu - 3\lambda - 6)\hat{i} + (2\mu + \lambda - 16)\hat{j} + (4\mu - \lambda - 2)\hat{k}$ મળે.
$\vec{PQ}$ બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,રેખાઓના દિશા સદિશો સાથે તેનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
દિશા સદિશો $\vec{d_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{d_2} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
$\vec{PQ} \cdot \vec{d_1} = 0 \Rightarrow -7\mu - 11\lambda = 4$.
$\vec{PQ} \cdot \vec{d_2} = 0 \Rightarrow 29\mu + 7\lambda = 22$.
સમીકરણો ઉકેલતા,$\lambda = -1$ અને $\mu = 1$ મળે છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$P(3, 8, 3)$ અને $Q(-3, -7, 6)$ મળે છે.
રેખા $PQ$ ના દિશા ગુણોત્તર $(-6, -15, 3)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(2, 5, -1)$ થાય છે.
બિંદુ $P(3, 8, 3)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, 5, -1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 3}{2} = \frac{y - 8}{5} = \frac{z - 3}{-1}$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - \lambda}{2}$ અને $L_2: \frac{x + 1}{-2} = \frac{y}{3\lambda} = \frac{z - 7/2}{1/2}$ છે.
બે રેખાઓ સમતલીય હોવા માટે,રેખાઓ પરના બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને રેખાઓના દિશા સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
બિંદુઓ $(1, 2, \lambda)$ અને $(-1, 0, 7/2)$ તથા દિશા સદિશો $(3, -1, 2)$ અને $(-2, 3\lambda, 1/2)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} -2 & -2 & (7-2\lambda)/2 \\ 3 & -1 & 2 \\ -2 & 3\lambda & 1/2 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2(-1/2 - 6\lambda) + 2(3/2 + 4) + \frac{7-2\lambda}{2}(9\lambda - 2) = 0$
$1 + 12\lambda + 11 + \frac{63\lambda - 14 - 18\lambda^2 + 4\lambda}{2} = 0$
$24 + 24\lambda - 18\lambda^2 + 67\lambda - 14 = 0$
$18\lambda^2 - 91\lambda - 10 = 0$
$\lambda$ ના મૂલ્યોનો સરવાળો = $-(-91)/18 = 91/18 = 182/36$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$l + 3m + 5n = 0$ ....$(1)$
$5lm - 2mn + 6nl = 0$ ....$(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$l = -3m - 5n$.
$l$ ની કિંમત સમીકરણ $(2)$ માં મૂકતા:
$5(-3m - 5n)m - 2mn + 6n(-3m - 5n) = 0$
$-15m^2 - 25mn - 2mn - 18mn - 30n^2 = 0$
$-15m^2 - 45mn - 30n^2 = 0$
$-15$ વડે ભાગતા:
$m^2 + 3mn + 2n^2 = 0$
$(m + n)(m + 2n) = 0$
તેથી,$m = -n$ અથવા $m = -2n$.
કિસ્સો $1$: જો $m = -n$,તો $l = -3(-n) - 5n = 3n - 5n = -2n$. દિક્ગુણોત્તર $(-2n, -n, n)$ મળે,જે $(-2, -1, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
કિસ્સો $2$: જો $m = -2n$,તો $l = -3(-2n) - 5n = 6n - 5n = n$. દિક્ગુણોત્તર $(n, -2n, n)$ મળે,જે $(1, -2, 1)$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે દિક્ગુણોત્તર $\vec{a} = (-2, -1, 1)$ અને $\vec{b} = (1, -2, 1)$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(-2)(1) + (-1)(-2) + (1)(1)|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2} \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 2 + 1|}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(D) પ્રથમ રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ ના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (2, 2, 1)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{-(x - 5)}{-2} = \frac{7(y - 2)}{p} = \frac{z - 3}{4}$ છે,જેને $\frac{x - 5}{2} = \frac{y - 2}{p/7} = \frac{z - 3}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી બીજી રેખાના દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (2, p/7, 4)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ છે કે $\cos \theta = \frac{2}{3}$,તેથી $\frac{2}{3} = \frac{|2(2) + 2(p/7) + 1(4)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{2^2 + (p/7)^2 + 4^2}}$.
$\frac{2}{3} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{4 + p^2/49 + 16}} = \frac{|8 + 2p/7|}{3 \sqrt{20 + p^2/49}}$.
છેદમાંથી $3$ ઉડાડતા,$\frac{2}{1} = \frac{|8 + 2p/7|}{\sqrt{20 + p^2/49}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4 = \frac{(8 + 2p/7)^2}{20 + p^2/49} = \frac{64 + 32p/7 + 4p^2/49}{20 + p^2/49}$.
$80 + 4p^2/49 = 64 + 32p/7 + 4p^2/49$.
$80 = 64 + 32p/7 \Rightarrow 16 = 32p/7 \Rightarrow p = \frac{16 \times 7}{32} = \frac{7}{2}$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$d = \frac{|(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) \cdot (a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)|}{|(a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2)|}$
આપેલ રેખાઓ માટે,$(x_1, y_1, z_1) = (0, 0, 0)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (2, 2, 1)$ છે.
બીજી રેખા માટે,$(x_2, y_2, z_2) = (-2, 4, 5)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 8, 4)$ છે.
સદિશ ગુણાકાર $(a_1, b_1, c_1) \times (a_2, b_2, c_2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 8 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8-8) - \hat{j}(8+1) + \hat{k}(16+2) = (0, -9, 18)$.
તેનું માન $\sqrt{0^2 + (-9)^2 + 18^2} = \sqrt{81 + 324} = \sqrt{405} = 9\sqrt{5}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણક $\begin{vmatrix} -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 8 & 4 \end{vmatrix} = -2(8-8) - 4(8+1) + 5(16+2) = 0 - 36 + 90 = 54$ છે.
તેથી,$d = \frac{|54|}{9\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6 \times 2.236}{5} \approx 2.68$.
જેમ કે $2.68 \in (2, 3]$,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{1} = r_1$ અને $L_2: \frac{x - 1}{0} = \frac{y + 1}{-2} = \frac{z}{1} = r_2$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(r_1, -r_1, r_1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(1, -2r_2 - 1, r_2)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(1 - r_1, -2r_2 - 1 + r_1, r_2 - r_1)$ છે.
$PQ$ એ ટૂંકા અંતરની રેખા હોવાથી,તે $L_1$ (દિશા $\vec{v_1} = \langle 1, -1, 1 \rangle$) અને $L_2$ (દિશા $\vec{v_2} = \langle 0, -2, 1 \rangle$) બંનેને લંબ છે.
$1$) $(1 - r_1)(1) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-1) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 3r_2 + 2 = 0$.
$2$) $(1 - r_1)(0) + (-2r_2 - 1 + r_1)(-2) + (r_2 - r_1)(1) = 0 \Rightarrow -3r_1 + 5r_2 + 2 = 0$.
સમીકરણો બાદ કરતા: $2r_2 = 0 \Rightarrow r_2 = 0$.
તેથી $-3r_1 + 2 = 0 \Rightarrow r_1 = 2/3$.
બિંદુઓ $P(2/3, -2/3, 2/3)$ અને $Q(1, -1, 0)$ છે.
$PQ$ ના દિકગુણોત્તરો $(1/3, -1/3, -2/3)$ છે,જે $(1, -1, -2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા $Q(1, -1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{-2}$ છે.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (-1, 1, -1)$ અને $(x_2, y_2, z_2) = (-2, k, 0)$ છે.
દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (2, 1, 3)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (2, 3, 4)$ છે.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\begin{vmatrix} -2 - (-1) & k - 1 & 0 - (-1) \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} -1 & k - 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(4 - 9) - (k - 1)(8 - 6) + 1(6 - 2) = 0$
$-1(-5) - (k - 1)(2) + 4 = 0$
$5 - 2k + 2 + 4 = 0$
$11 - 2k = 0$
$2k = 11$
$k = \frac{11}{2}$.

(D) રેખા $L_1$ માટે,આપણી પાસે $x = \sqrt{\lambda} y + (\sqrt{\lambda} - 1)$ અને $z = (\sqrt{\lambda} - 1)y + \sqrt{\lambda}$ છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $\frac{x - (\sqrt{\lambda} - 1)}{\sqrt{\lambda}} = y = \frac{z - \sqrt{\lambda}}{\sqrt{\lambda} - 1}$ મળે છે.
$L_1$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\sqrt{\lambda}, 1, \sqrt{\lambda} - 1)$ છે.
તે જ રીતે,રેખા $L_2$ માટે,આપણી પાસે $x = \sqrt{\mu} y + (1 - \sqrt{\mu})$ અને $z = (1 - \sqrt{\mu})y + \sqrt{\mu}$ છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં લખતા,આપણને $\frac{x - (1 - \sqrt{\mu})}{\sqrt{\mu}} = y = \frac{z - \sqrt{\mu}}{1 - \sqrt{\mu}}$ મળે છે.
$L_2$ નો દિશા સદિશ $\vec{v_2} = (\sqrt{\mu}, 1, 1 - \sqrt{\mu})$ છે.
કારણ કે $L_1 \perp L_2$,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(\sqrt{\lambda})(\sqrt{\mu}) + (1)(1) + (\sqrt{\lambda} - 1)(1 - \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda\mu} + 1 + (\sqrt{\lambda} - \sqrt{\lambda\mu} - 1 + \sqrt{\mu}) = 0$.
$\sqrt{\lambda} + \sqrt{\mu} = 0$.
કારણ કે $\lambda, \mu \geq 0$,આનો અર્થ એ થાય છે કે $\sqrt{\lambda} = 0$ અને $\sqrt{\mu} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = 0$ અને $\mu = 0$. આમ,$\lambda = \mu$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{-3} = \frac{z + 10}{8} = k$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $L = (2k + 1, -3k - 1, 8k - 10)$ સ્વરૂપમાં છે.
ધારો કે $P = (1, 0, 0)$. રેખા $PL$ ના દિકગુણોત્તર $(2k + 1 - 1, -3k - 1 - 0, 8k - 10 - 0) = (2k, -3k - 1, 8k - 10)$ છે.
$PL$ એ આપેલી રેખા (જેના દિકગુણોત્તર $(2, -3, 8)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2k) - 3(-3k - 1) + 8(8k - 10) = 0$.
$4k + 9k + 3 + 64k - 80 = 0$.
$77k - 77 = 0$,તેથી $k = 1$.
$k = 1$ ને $L$ ના યામમાં મૂકતા:
$L = (2(1) + 1, -3(1) - 1, 8(1) - 10) = (3, -4, -2)$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ છે.
બંને રેખાઓનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ સમાન છે,તેથી તેઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a}_1 + \lambda\vec{b}$ અને $\vec{r} = \vec{a}_2 + \mu\vec{b}$ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરનું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ છે.
અહીં,$\vec{a}_1 = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ અને $\vec{a}_2 = 1\hat{i} + 1\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$(\vec{a}_2 - \vec{a}_1) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-1)) - \hat{j}(2 - 2) + \hat{k}(-1 - 2) = 3\hat{i} + 0\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|3\hat{i} - 3\hat{k}| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
$\vec{b}$ નું માન $|2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3$ છે.
તેથી,$d = \frac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2}$.
ગણતરી કરેલ અંતર $\sqrt{2}$ હોવાથી,વિધાન $1$ સત્ય છે.
વિધાન $2$ એ સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના લઘુત્તમ અંતરની પ્રમાણિત વ્યાખ્યા છે,જે પણ સત્ય છે.
વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ માં અંતરની ગણતરી કરવા માટે વપરાતી પદ્ધતિ પૂરી પાડે છે,તેથી તે સાચી સમજૂતી છે.

(C) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-1, 2, 6)$ છે અને રેખા $L$ એ બિંદુ $A(2, 3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેની દિશા સદિશ $\vec{v} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AP} = (-1-2)\hat{i} + (2-3)\hat{j} + (6-(-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી અંતર $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ દ્વારા મળે છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{AP} \times \vec{v}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 + 6) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
તેથી,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(B) પ્રથમ રેખા $x = ay + b$ અને $z = cy + d$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z - d}{c}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a, 1, c)$ છે.
બીજી રેખા $x = a'z + b'$ અને $y = c'z + d'$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
આને સંમિત સ્વરૂપમાં $\frac{x - b'}{a'} = \frac{y - d'}{c'} = \frac{z}{1}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ રેખાના દિશા ગુણોત્તર $(a', c', 1)$ છે.
બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(a)(a') + (1)(c') + (c)(1) = 0$.
તેથી,$aa' + c' + c = 0$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓ પરના બિંદુઓ $P_1 = (\lambda + 3, 3\lambda - 1, -\lambda + 6)$ અને $P_2 = (7\alpha - 5, -6\alpha + 2, 4\alpha + 3)$ છે.
રેખાઓ બિંદુ $R$ પર છેદે છે,તેથી યામોને સરખાવતા:
$\lambda + 3 = 7\alpha - 5 \Rightarrow \lambda - 7\alpha = -8$ (સમીકરણ $1$)
$3\lambda - 1 = -6\alpha + 2 \Rightarrow 3\lambda + 6\alpha = 3 \Rightarrow \lambda + 2\alpha = 1$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા $9\alpha = 9$ મળે,તેથી $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા,$\lambda + 2(1) = 1$ મળે,તેથી $\lambda = -1$.
$\lambda = -1$ ને પ્રથમ રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા,$R = (-1 + 3, 3(-1) - 1, -(-1) + 6) = (2, -4, 7)$ મળે.
$xy$-સમતલમાં બિંદુ $(x, y, z)$ નું પ્રતિબિંબ $(x, y, -z)$ થાય છે.
તેથી,$xy$-સમતલમાં $R(2, -4, 7)$ નું પ્રતિબિંબ $(2, -4, -7)$ છે.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x + 3}{10} = \frac{y - 2}{-7} = \frac{z}{1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $M$ એ $(10\lambda - 3, -7\lambda + 2, \lambda)$ સ્વરૂપમાં છે.
સદિશ $\vec{PM} = (10\lambda - 3 - 2, -7\lambda + 2 - (-1), \lambda - 4) = (10\lambda - 5, -7\lambda + 3, \lambda - 4)$.
કારણ કે $\vec{PM}$ એ રેખા $(10, -7, 1)$ ના દિશા ગુણોત્તરોને લંબ છે,તેથી:
$10(10\lambda - 5) - 7(-7\lambda + 3) + 1(\lambda - 4) = 0$
$100\lambda - 50 + 49\lambda - 21 + \lambda - 4 = 0$
$150\lambda - 75 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
$M$ ના યામ $(2, -1.5, 0.5)$ મળે છે.
લંબની લંબાઈ $PM = \sqrt{(2-2)^2 + (-1.5 - (-1))^2 + (0.5 - 4)^2}$
$= \sqrt{0^2 + (-0.5)^2 + (-3.5)^2} = \sqrt{0.25 + 12.25} = \sqrt{12.5} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$\frac{5}{1.414} \approx 3.535$.
આ કિંમત $3$ કરતા વધારે અને $4$ કરતા ઓછી છે.

(C) $P(2, -3, 4)$ અને $Q(8, 0, 10)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{8-2} = \frac{y-(-3)}{0-(-3)} = \frac{z-4}{10-4}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{x-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$ મળે છે.
બિંદુ $R(4, y, z)$ આ રેખા પર હોવાથી,આપણે $x=4$ સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{4-2}{6} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3} = \frac{y+3}{3} = \frac{z-4}{6}$.
$\frac{1}{3} = \frac{y+3}{3}$ પરથી $y+3 = 1$ મળે,તેથી $y = -2$.
$\frac{1}{3} = \frac{z-4}{6}$ પરથી $z-4 = 2$ મળે,તેથી $z = 6$.
આમ,$R$ ના યામ $(4, -2, 6)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી $R(4, -2, 6)$ નું અંતર $\sqrt{4^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 4 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$ થાય.

(B) ધારો કે રેખા $L: \frac{x + 2}{3} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z}{4} = \lambda$ છે. આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$ છે.
ધારો કે $D$ એ $A(1, -1, 2)$ થી રેખા $L$ પરનો લંબપાદ છે. $D$ એ $L$ પર હોવાથી,$D = (3\lambda - 2, 1, 4\lambda)$.
રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{AD} = (3\lambda - 2 - 1)\hat{i} + (1 - (-1))\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k} = (3\lambda - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4\lambda - 2)\hat{k}$.
$\vec{AD} \perp \vec{v}$ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(3\lambda - 3) + 0(2) + 4(4\lambda - 2) = 0$
$9\lambda - 9 + 16\lambda - 8 = 0$
$25\lambda = 17 \implies \lambda = \frac{17}{25}$.
$\lambda$ ની કિંમત $\vec{AD}$ માં મૂકતા:
$\vec{AD} = (3(\frac{17}{25}) - 3)\hat{i} + 2\hat{j} + (4(\frac{17}{25}) - 2)\hat{k} = -\frac{24}{25}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{18}{25}\hat{k}$.
વેધ $AD$ ની લંબાઈ $= |\vec{AD}| = \sqrt{(-\frac{24}{25})^2 + 2^2 + (\frac{18}{25})^2} = \sqrt{\frac{576}{625} + 4 + \frac{324}{625}} = \sqrt{\frac{136}{25}} = \frac{2\sqrt{34}}{5}$.
$\Delta ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{2\sqrt{34}}{5} = \sqrt{34}$.

(B) ધારો કે રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z + 1}{-1} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $C$ એ $(\lambda, 1, -\lambda - 1)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $P(\beta, 0, \beta)$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 0, -1)$ છે.
સદિશ $\vec{PC} = (\lambda - \beta, 1 - 0, -\lambda - 1 - \beta) = (\lambda - \beta, 1, -\lambda - \beta - 1)$ છે.
કારણ કે $PC$ એ રેખાને લંબ છે,તેથી $\vec{PC} \cdot \vec{v} = 0$:
$(\lambda - \beta)(1) + (1)(0) + (-\lambda - \beta - 1)(-1) = 0$
$\lambda - \beta + \lambda + \beta + 1 = 0$
$2\lambda + 1 = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{2}$.
આમ,બિંદુ $C$ એ $(-\frac{1}{2}, 1, -\frac{1}{2})$ છે.
લંબ $PC$ ની લંબાઈ $\sqrt{(\beta - (-\frac{1}{2}))^2 + (0 - 1)^2 + (\beta - (-\frac{1}{2}))^2} = \sqrt{\frac{3}{2}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\beta + \frac{1}{2})^2 + 1 + (\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2}$.
$2(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$(\beta + \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
$\beta + \frac{1}{2} = \pm \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: $\beta + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \implies \beta = 0$ (અસ્વીકાર્ય,કારણ કે $\beta \neq 0$).
કિસ્સો $2$: $\beta + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} \implies \beta = -1$.
તેથી,$\beta = -1$.

(A) ધારો કે આપેલ બિંદુ $P(-1, 2, 6)$ છે અને રેખા પરનું બિંદુ $A(2, 3, -4)$ છે. સદિશ $\vec{AP}$ નીચે મુજબ છે:
$\vec{AP} = (-1 - 2)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} + (6 - (-4))\hat{k} = -3\hat{i} - \hat{j} + 10\hat{k}$.
રેખા સદિશ $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુ $P$ નું રેખાથી લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{AP} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & -1 & 10 \\ 6 & 3 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 30) - \hat{j}(12 - 60) + \hat{k}(-9 - (-6)) = -26\hat{i} + 48\hat{j} - 3\hat{k}$.
હવે,તેનું માન $|\vec{AP} \times \vec{b}| = \sqrt{(-26)^2 + 48^2 + (-3)^2} = \sqrt{676 + 2304 + 9} = \sqrt{2989}$.
સદિશ $\vec{b}$ નું માન $|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
તેથી,$d = \sqrt{\frac{2989}{61}} = \sqrt{49} = 7$.

(B) ધારો કે $A = (1, 0, 3)$,$B = (\alpha, 7, 1)$,અને $P = \left(\frac{5}{3}, \frac{7}{3}, \frac{17}{3}\right)$.
$P$ એ $A$ માંથી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ હોવાથી,સદિશ $\vec{AP}$ એ સદિશ $\vec{BP}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,$\vec{AP}$ ના દિકગુણોત્તર શોધો:
$\vec{AP} = \left(\frac{5}{3} - 1, \frac{7}{3} - 0, \frac{17}{3} - 3\right) = \left(\frac{2}{3}, \frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right)$.
ત્યારબાદ,$\vec{BP}$ ના દિકગુણોત્તર શોધો:
$\vec{BP} = \left(\frac{5}{3} - \alpha, \frac{7}{3} - 7, \frac{17}{3} - 1\right) = \left(\frac{5}{3} - \alpha, -\frac{14}{3}, \frac{14}{3}\right)$.
$\vec{AP} \perp \vec{BP}$ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{AP} \cdot \vec{BP} = 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \left(\frac{7}{3}\right)\left(-\frac{14}{3}\right) + \left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{14}{3}\right) = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) - \frac{98}{9} + \frac{112}{9} = 0$
$\frac{2}{3} \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + \frac{14}{9} = 0$
$9$ વડે ગુણતા:
$6 \left(\frac{5}{3} - \alpha\right) + 14 = 0$
$10 - 6\alpha + 14 = 0$
$24 = 6\alpha$
$\alpha = 4$.

(B) રેખાઓ $\vec{r_1} = (3, 8, 3) + \lambda(3, -1, 1)$ અને $\vec{r_2} = (-3, -7, 6) + \mu(-3, 2, 4)$ દ્વારા આપવામાં આવી છે.
ધારો કે $\vec{a_1} = (3, 8, 3)$,$\vec{a_2} = (-3, -7, 6)$,$\vec{b_1} = (3, -1, 1)$,અને $\vec{b_2} = (-3, 2, 4)$.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ છે.
પ્રથમ,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-6, -15, 3)$.
ત્યારબાદ,$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ -3 & 2 & 4 \end{vmatrix} = -6\hat{i} - 15\hat{j} + 3\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{36 + 225 + 9} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$ છે.
અદિશ ગુણાકાર $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = 36 + 225 + 9 = 270$ છે.
તેથી,$d = \frac{270}{\sqrt{270}} = \sqrt{270} = 3\sqrt{30}$.

આપેલા બિંદુઓ $A(1, 2, 7)$,$B(2, 6, 3)$ અને $C(3, 10, -1)$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{BC}$ અને $\overrightarrow{AC}$ શોધીએ:
$\overrightarrow{AB} = (2-1)\hat{i} + (6-2)\hat{j} + (3-7)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = (3-2)\hat{i} + (10-6)\hat{j} + (-1-3)\hat{k} = \hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k}$
$\overrightarrow{AC} = (3-1)\hat{i} + (10-2)\hat{j} + (-1-7)\hat{k} = 2\hat{i} + 8\hat{j} - 8\hat{k}$
હવે,આ સદિશોના માન (magnitudes) શોધીએ:
$|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$
$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}$
$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64 + 64} = \sqrt{132} = 2\sqrt{33}$
અહીં $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}| + |\overrightarrow{BC}|$ (એટલે કે $2\sqrt{33} = \sqrt{33} + \sqrt{33}$) હોવાથી,બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(N/A) $A(2, 3, -4)$ અને $B(1, -2, 3)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા મળે છે.
$a_1 = 1 - 2 = -1$
$b_1 = -2 - 3 = -5$
$c_1 = 3 - (-4) = 7$
તેથી,$AB$ ના દિકગુણોત્તર $(-1, -5, 7)$ છે.
$B(1, -2, 3)$ અને $C(3, 8, -11)$ ને જોડતી રેખાના દિકગુણોત્તર:
$a_2 = 3 - 1 = 2$
$b_2 = 8 - (-2) = 10$
$c_2 = -11 - 3 = -14$
તેથી,$BC$ ના દિકગુણોત્તર $(2, 10, -14)$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $BC$ ના દિકગુણોત્તર એ $AB$ ના દિકગુણોત્તરના $-2$ ગણા છે:
$(2, 10, -14) = -2 \times (-1, -5, 7)$.
દિકગુણોત્તર પ્રમાણમાં હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $BC$ સમાંતર છે.
બિંદુ $B$ એ $AB$ અને $BC$ બંનેમાં સામાન્ય હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.

(N/A) ધારો કે આપેલા બિંદુઓ $A(2,3,4), B(-1,-2,1)$ અને $C(5,8,7)$ છે.
રેખાખંડ $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (-1 - 2, -2 - 3, 1 - 4) = (-3, -5, -3).$
$BC$ ના દિશા ગુણોત્તર $= (5 - (-1), 8 - (-2), 7 - 1) = (6, 10, 6).$
આપણે જોઈએ છીએ કે $BC$ ના દિશા ગુણોત્તર એ $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર કરતા $-2$ ગણા છે:
$(6, 10, 6) = -2 \times (-3, -5, -3).$
દિશા ગુણોત્તર પ્રમાણસર હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $BC$ સમાંતર છે.
બિંદુ $B$ એ $AB$ અને $BC$ બંનેમાં સામાન્ય હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક જ રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,બિંદુઓ $(2,3,4), (-1,-2,1)$ અને $(5,8,7)$ સમરેખ છે.

(A) આપેલ બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = 5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = (5 \hat{i} + 2 \hat{j} - 4 \hat{k}) + \lambda (3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k})$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન સમીકરણ માટે,ધારો કે $\vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k}$.
તેથી $x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k} = (5 + 3 \lambda) \hat{i} + (2 + 2 \lambda) \hat{j} + (-4 - 8 \lambda) \hat{k}$.
ઘટકોને સરખાવતા,આપણને $x = 5 + 3 \lambda$,$y = 2 + 2 \lambda$,અને $z = -4 - 8 \lambda$ મળે છે.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = \frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ મળે છે.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x - 5}{3} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z + 4}{-8}$ છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ બિંદુઓ $A(-1, 0, 2)$ અને $B(3, 4, 6)$ ના સ્થાન સદિશો છે.
તેથી,$\vec{a} = -\hat{i} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}$.
રેખાની દિશાનો સદિશ $\vec{b} - \vec{a} = (3 - (-1))\hat{i} + (4 - 0)\hat{j} + (6 - 2)\hat{k} = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$ દ્વારા મળે છે.
બે બિંદુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = -\hat{i} + 2\hat{k} + \lambda(4\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k})$ મળે છે.

(A) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $\frac{x+3}{2}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+6}{2}$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$x_{1}=-3, y_{1}=5, z_{1}=-6$ અને $a=2, b=4, c=2$.
આમ,રેખા બિંદુ $A(-3, 5, -6)$ માંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{b} = 2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = -3\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}$ છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (-3\hat{i} + 5\hat{j} - 6\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k})$ મળે છે.