रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 4}{5}$ निम्नलिखित में से किस समतल के समांतर है?

बिंदु $P$,बिंदुओं $Q(2, 3, 5)$ और $R(1, -1, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा और समतल $5x - 4y - z = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि बिंदु $T(2, 1, 4)$ से रेखा $QR$ पर डाले गए लंब का पाद $S$ है,तो रेखाखंड $PS$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x-3}{7}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-3}{-4}$ रेखाओं $\frac{x-4}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ और $4ax-y+5z-7a=0=2x-5y-z-3, a \in R$ को समाहित करने वाले समतल को बिंदु $P(\alpha, \beta, \gamma)$ पर काटती है। तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए...

रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1}$,$XY$ समतल और $YZ$ समतल को क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। बिंदुओं $A$ और $B$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि एक इकाई सदिश $\hat{OP}$ निर्देशांक अक्षों $OX, OY, OZ$ की धनात्मक दिशाओं के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है,जहाँ $\beta \in (0, \frac{\pi}{2})$ है। यदि $\hat{OP}$ बिंदुओं $(1, 2, 3)$,$(2, 3, 4)$ और $(1, 5, 7)$ से गुजरने वाले समतल के लंबवत है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

रेखाएँ $x = ay - 1 = z - 2$ और $x = 3y - 2 = bz - 2$ $(ab \neq 0)$ समतलीय हैं,यदि: