Line and Plane Questions in Hindi

(C) चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए इसके दिक्कोसाइन $l = m = n$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,इसलिए $3l^2 = 1$,जिससे $l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरने वाली और दिक्-अनुपात $(1, 1, 1)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $Q(r+2, r-1, r+2)$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए हम $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r+2) + (r-1) + (r+2) = 9$
$2r + 4 + r - 1 + r + 2 = 9$
$4r + 5 = 9$
$4r = 4 \implies r = 1$.
अतः $Q$ के निर्देशांक $(1+2, 1-1, 1+2) = (3, 0, 3)$ हैं।
रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $P(2, -1, 2)$ और $Q(3, 0, 3)$ के बीच की दूरी है:
$PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.

(B) रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ द्वारा दी गई है,जहाँ $\vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$ की गणना करके जांचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है।
चूंकि $\vec{b} \cdot \vec{n} = 0$,रेखा समतल के समानांतर है।
एक समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{||\vec{n}||}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-2)(5) + (3)(1) = 2 - 10 + 3 = -5$ की गणना करें।
$||\vec{n}|| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 25 + 1} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ की गणना करें।
अतः,$D = \frac{|-5 - 5|}{3\sqrt{3}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(A) दी गई रेखा $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ है,जहाँ $\vec{a} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ है।
दिया गया समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ है,जहाँ $\vec{n} = \hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}$ और $d = 5$ है।
सबसे पहले,यह जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है,इसके लिए $\vec{b} \cdot \vec{n}$ की गणना करें:
$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (-1)(5) + (4)(1) = 1 - 5 + 4 = 0$.
चूँकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
एक समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी,रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $(\vec{a})$ से समतल की लंबवत दूरी होती है।
दूरी $D$ का सूत्र $D = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$ है।
मान रखने पर:
$D = \frac{|(2\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} + 5\hat{j} + \hat{k}) - 5|}{\sqrt{1^2 + 5^2 + 1^2}}$
$D = \frac{|(2 - 10 + 3) - 5|}{\sqrt{1 + 25 + 1}}$
$D = \frac{|-5 - 5|}{\sqrt{27}} = \frac{|-10|}{3\sqrt{3}} = \frac{10}{3\sqrt{3}}$.

(A) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{d} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
रेखा $x$-अक्ष (दिशा $\hat{i}$) के साथ जो कोण $\alpha$ बनाती है,वह $\cos \alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \hat{i}|}{|\vec{d}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \alpha = \frac{|(1)(1) + (-1)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(A) दी गई रेखा बिंदु $(4, 2, k)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $2x - 4y + z = 7$ पर स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,बिंदु $(4, 2, k)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2(4) - 4(2) + k = 7$
$8 - 8 + k = 7$
$k = 7$

(A) बिंदु $(3, 2, 0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $A(x - 3) + B(y - 2) + C(z - 0) = 0 \dots (i)$ है।
चूंकि समतल रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 6}{5} = \frac{z - 4}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए यह रेखा पर स्थित बिंदु $(3, 6, 4)$ से भी गुजरेगा।
समीकरण $(i)$ में $(3, 6, 4)$ रखने पर,$A(3 - 3) + B(6 - 2) + C(4 - 0) = 0$,जिससे $4B + 4C = 0$ या $B = -C$ प्राप्त होता है।
साथ ही,समतल का अभिलंब रेखा की दिशा $(1, 5, 4)$ के लंबवत है,अतः $1A + 5B + 4C = 0 \dots (ii)$।
$B = -C$ को $(ii)$ में रखने पर,$A + 5(-C) + 4C = 0 \implies A - C = 0 \implies A = C$ प्राप्त होता है।
माना $A = 1$,तो $C = 1$ और $B = -1$ होगा।
इन मानों को $(i)$ में रखने पर,$1(x - 3) - 1(y - 2) + 1(z - 0) = 0$,जिसे सरल करने पर $x - 3 - y + 2 + z = 0$ अर्थात $x - y + z = 1$ प्राप्त होता है।

(A) रेखा $\vec{r} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ पर किसी भी बिंदु $Q$ के निर्देशांक $Q(1 - 3\mu, -1 + \mu, 2 + 5\mu)$ हैं।
दिए गए $P(3, 2, 6)$ के लिए,सदिश $\vec{PQ}$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\vec{PQ} = (1 - 3\mu - 3)\hat{i} + (-1 + \mu - 2)\hat{j} + (2 + 5\mu - 6)\hat{k}$
$\vec{PQ} = (-2 - 3\mu)\hat{i} + (-3 + \mu)\hat{j} + (-4 + 5\mu)\hat{k}$.
समतल का समीकरण $x - 4y + 3z = 1$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
यदि $\vec{PQ}$ समतल के समांतर है,तो $\vec{PQ}$ को अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए,इसलिए $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-2 - 3\mu)(1) + (-3 + \mu)(-4) + (-4 + 5\mu)(3) = 0$
$-2 - 3\mu + 12 - 4\mu - 12 + 15\mu = 0$
$8\mu - 2 = 0$
$8\mu = 2$
$\mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(A) माना कि अभीष्ट अनुपात $k : 1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$(1, 0, -3)$ और $(1, -5, 7)$ को $k : 1$ अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक:
$\left( \frac{k(1) + 1(1)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(7) + 1(-3)}{k+1} \right) = \left( \frac{k+1}{k+1}, \frac{-5k}{k+1}, \frac{7k-3}{k+1} \right) = \left( 1, \frac{-5k}{k+1}, \frac{7k-3}{k+1} \right)$.
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 3y + 5z = 1$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(1) + 3\left( \frac{-5k}{k+1} \right) + 5\left( \frac{7k-3}{k+1} \right) = 1$.
हर को हटाने के लिए $(k+1)$ से गुणा करने पर:
$2(k+1) - 15k + 5(7k-3) = 1(k+1)$.
पदों का विस्तार करने पर:
$2k + 2 - 15k + 35k - 15 = k + 1$.
समान पदों को संयोजित करने पर:
$22k - 13 = k + 1$.
$k$ के लिए हल करने पर:
$22k - k = 1 + 13$.
$21k = 14$.
$k = \frac{14}{21} = \frac{2}{3}$.
अतः,अभीष्ट अनुपात $k : 1 = 2 : 3$ है।

(A) समतलों के समीकरण $P_1: \vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 = 0$ और $P_2: \vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3 = 0$ हैं।
सबसे पहले,लंबवतता की जाँच करें: $\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (1)(4) + (2)(-3) + (2)(12) = 4 - 6 + 24 = 22 \neq 0$.
नोट: प्रश्न $P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार के बारे में है। समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{r} \cdot (\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}) - 19 + \lambda (\vec{r} \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}) + 3) = 0$.
$\vec{r} \cdot ((1+4\lambda)\hat{i} + (2-3\lambda)\hat{j} + (2+12\lambda)\hat{k}) = 19 - 3\lambda$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(A) दो समतलों $P_1 = 0$ और $P_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$(x + y + z - 6) + \lambda (2x + 3y + 4z + 5) = 0$ है।
चूंकि समतल बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x=1, y=1, z=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1 + 1 + 1 - 6) + \lambda (2(1) + 3(1) + 4(1) + 5) = 0$
$(-3) + \lambda (2 + 3 + 4 + 5) = 0$
$-3 + 14\lambda = 0$
$14\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{14}$.
अब $\lambda = \frac{3}{14}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x + y + z - 6) + \frac{3}{14} (2x + 3y + 4z + 5) = 0$
$14(x + y + z - 6) + 3(2x + 3y + 4z + 5) = 0$
$14x + 14y + 14z - 84 + 6x + 9y + 12z + 15 = 0$
$20x + 23y + 26z - 69 = 0$.

(B) समतलों $x + 2y + 3z - 4 = 0$ और $2x + y - z + 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण इस प्रकार है:
$(x + 2y + 3z - 4) + \lambda (2x + y - z + 5) = 0$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x(1 + 2\lambda) + y(2 + \lambda) + z(3 - \lambda) + (5\lambda - 4) = 0 \quad \dots(i)$
चूँकि यह समतल $5x + 3y + 6z + 8 = 0$ के लंबवत है,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$5(1 + 2\lambda) + 3(2 + \lambda) + 6(3 - \lambda) = 0$
$5 + 10\lambda + 6 + 3\lambda + 18 - 6\lambda = 0$
$7\lambda + 29 = 0$
$\lambda = -\frac{29}{7}$
$\lambda = -\frac{29}{7}$ को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 2y + 3z - 4) - \frac{29}{7}(2x + y - z + 5) = 0$
$7(x + 2y + 3z - 4) - 29(2x + y - z + 5) = 0$
$7x + 14y + 21z - 28 - 58x - 29y + 29z - 145 = 0$
$-51x - 15y + 50z - 173 = 0$
$51x + 15y - 50z + 173 = 0$

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ है।
समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$.
दिया गया है कि $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$. अतः $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
अब,$\vec{b} \cdot \vec{n} = (1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3) = 1 + 4 + 3\lambda = 5 + 3\lambda$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} = \sqrt{5 + \lambda^2}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$.
अतः,$\frac{3}{\sqrt{14}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$.
$3 = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2}} \implies 9(5 + \lambda^2) = (5 + 3\lambda)^2$.
$45 + 9\lambda^2 = 25 + 30\lambda + 9\lambda^2$.
$45 = 25 + 30\lambda \implies 30\lambda = 20 \implies \lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(NONE) मान लीजिए कि रेखाएं $L_1, L_2, L_3$ हैं जिनके दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$,$\vec{v_2} = (3, 4, 2)$,और $\vec{v_3} = (4, 2, 3)$ हैं।
ये सभी रेखाएं मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती हैं।
$L_1$ और $L_2$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-10, 8, -1)$ है।
$L_1$ और $L_3$ को समाहित करने वाले समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = \vec{v_1} \times \vec{v_3} = (1, 10, -8)$ है।
इन दोनों समतलों के लंबवत समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -10 & 8 & -1 \\ 1 & 10 & -8 \end{vmatrix} = \hat{i}(-64+10) - \hat{j}(80+1) + \hat{k}(-100-8) = (-54, -81, -108)$ है।
$-27$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(2, 3, 4)$ प्राप्त होता है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समीकरण $2x + 3y + 4z = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P = (0, 7, -7)$ है। रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ द्वारा दी गई है।
यह रेखा बिंदु $A = (-1, 3, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $A$ को बिंदु $P$ से जोड़ने वाला सदिश $\vec{AP} = (0 - (-1))\hat{i} + (7 - 3)\hat{j} + (-7 - (-2))\hat{k} = 1\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{AP}$ और $\vec{b}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{AP} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & -5 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-10)) - \hat{j}(1 - 15) + \hat{k}(2 - (-12)) = 14\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
समतल का समीकरण $(x - x_0)a + (y - y_0)b + (z - z_0)c = 0$ है,जहाँ $(x_0, y_0, z_0) = (0, 7, -7)$ और $(a, b, c) = (1, 1, 1)$ है।
$1(x - 0) + 1(y - 7) + 1(z + 7) = 0 \implies x + y + z = 0$.

(A) समतलों $\vec{r} \cdot \vec{n_1} = d_1$ और $\vec{r} \cdot \vec{n_2} = d_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा,सदिश $\vec{v} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के समांतर होती है।
यहाँ $\vec{n_1} = 3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणन (cross product) ज्ञात करने पर:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$
$= \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$
$= -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.

(C) रेखा $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x + 1) + b(y - 3) + c(z + 2) = 0$ है,जहाँ $-3a + 2b + c = 0$ (समीकरण $1$)।
चूंकि समतल बिंदु $(0, 7, -7)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं: $a(0 + 1) + b(7 - 3) + c(-7 + 2) = 0$,जो सरल होकर $a + 4b - 5c = 0$ (समीकरण $2$) देता है।
समीकरण $1$ और $2$ को वज्र-गुणन विधि से हल करने पर:
$\frac{a}{(2)(-5) - (1)(4)} = \frac{b}{(1)(1) - (-3)(-5)} = \frac{c}{(-3)(4) - (2)(1)}$
$\frac{a}{-10 - 4} = \frac{b}{1 - 15} = \frac{c}{-12 - 2}$
$\frac{a}{-14} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{-14}$
जिससे $\frac{a}{1} = \frac{b}{1} = \frac{c}{1}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समतल के समीकरण में वापस रखने पर: $1(x + 1) + 1(y - 3) + 1(z + 2) = 0$.
$x + 1 + y - 3 + z + 2 = 0$,जो सरल होकर $x + y + z = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दिए गए समतल में बिंदु $P(1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब $Q(x, y, z)$ है।
$P$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिशा अनुपात $(2, -1, 1)$ हैं।
इस रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ के रूप में होता है।
माना $M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। $M$ के निर्देशांक $\left( \frac{2r + 1 + 1}{2}, \frac{-r + 3 + 3}{2}, \frac{r + 4 + 4}{2} \right) = (r + 1, -0.5r + 3, 0.5r + 4)$ हैं।
चूंकि $M$ समतल $2x - y + z + 3 = 0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r + 1) - (-0.5r + 3) + (0.5r + 4) + 3 = 0$.
$2r + 2 + 0.5r - 3 + 0.5r + 4 + 3 = 0$.
$3r + 6 = 0 \implies r = -2$.
$r = -2$ को $Q(2r + 1, -r + 3, r + 4)$ में रखने पर:
$x = 2(-2) + 1 = -3$.
$y = -(-2) + 3 = 5$.
$z = -2 + 4 = 2$.
अतः,प्रतिबिंब बिंदु $Q$ का मान $(-3, 5, 2)$ है।

(C) समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4}$ को समाहित करता है।
चूंकि समतल रेखा को समाहित करता है,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
रेखा बिंदु $P(1, -1, 0)$ से गुजरती है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (4, 4, -k)$,रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \Rightarrow 4(2) + 4(3) - k(4) = 0$.
$8 + 12 - 4k = 0 \Rightarrow 20 = 4k \Rightarrow k = 5$.

(C) माना कि समतल $x - y + z = 1$ बिंदुओं $A(0, 0, 0)$ और $B(1, -2, -5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु $P$ के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$P = \left( \frac{k(1) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(-2) + 1(0)}{k+1}, \frac{k(-5) + 1(0)}{k+1} \right) = \left( \frac{k}{k+1}, \frac{-2k}{k+1}, \frac{-5k}{k+1} \right)$.
चूंकि बिंदु $P$ समतल $x - y + z = 1$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{k}{k+1} - \left( \frac{-2k}{k+1} \right) + \left( \frac{-5k}{k+1} \right) = 1$.
$\frac{k + 2k - 5k}{k+1} = 1$.
$\frac{-2k}{k+1} = 1$.
$-2k = k + 1$.
$-3k = 1$.
$k = -1/3$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य (external) है। अतः,अनुपात $1 : 3$ है।

(B) माना कि $xy$-समतल बिंदुओं $A(1, 2, 3)$ और $B(4, 2, 1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $\lambda : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन बिंदु के निर्देशांक विभाजन सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$\left( \frac{4\lambda + 1}{\lambda + 1}, \frac{2\lambda + 2}{\lambda + 1}, \frac{1\lambda + 3}{\lambda + 1} \right)$।
चूंकि यह बिंदु $xy$-समतल पर स्थित है,इसलिए इसका $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{\lambda + 3}{\lambda + 1} = 0$।
$\lambda$ के लिए हल करने पर,$\lambda + 3 = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = -3$।
अनुपात $\lambda : 1 = -3 : 1$ है,जहाँ ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि विभाजन बाह्य है।
इस प्रकार,$xy$-समतल रेखाखंड को $3 : 1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z}{4} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(1 + 2\lambda, 3\lambda - 1, 4\lambda)$ के रूप में होता है।
चूंकि समतल रेखा को समाहित करता है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -4, -k)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (2, 3, 4)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0 \implies 3(2) - 4(3) - k(4) = 0$.
$6 - 12 - 4k = 0 \implies -6 - 4k = 0 \implies 4k = -6 \implies k = -\frac{3}{2}$.
इसके अतिरिक्त,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। यदि $\lambda = 0$ लें,तो बिंदु $(1, -1, 0)$ प्राप्त होता है।
इस बिंदु को $3x - 4y - kz = 7$ में रखने पर:
$3(1) - 4(-1) - k(0) = 7 \implies 3 + 4 = 7$,जो $7 = 7$ है। यह पुष्टि करता है कि रेखा समतल पर स्थित है।

(C) माना कि अभीष्ट अनुपात $\lambda : 1$ है। विभाजन बिंदु का स्थिति सदिश विभाजन सूत्र के अनुसार इस प्रकार है:
$\vec{r} = \frac{(\lambda)(3\hat{i} - 5\hat{j} + 8\hat{k}) + (1)(-2\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k})}{\lambda + 1}$
$= \left( \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \right)\hat{i} + \left( \frac{-5\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)\hat{j} + \left( \frac{8\lambda + 7}{\lambda + 1} \right)\hat{k}$
चूंकि यह बिंदु समतल $\vec{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 17$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left( \frac{3\lambda - 2}{\lambda + 1} \right)(1) + \left( \frac{-5\lambda + 4}{\lambda + 1} \right)(-2) + \left( \frac{8\lambda + 7}{\lambda + 1} \right)(3) = 17$
$(3\lambda - 2) + 10\lambda - 8 + 24\lambda + 21 = 17(\lambda + 1)$
$37\lambda + 11 = 17\lambda + 17$
$20\lambda = 6$
$\lambda = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$
अतः,अभीष्ट अनुपात $3 : 10$ है।

(C) दी गई रेखा सदिश $\vec{b} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के समांतर है।
दिए गए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। कोण के लिए सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b} \cdot \vec{n} = (-1)(3) + (1)(2) + (1)(-1) = -3 + 2 - 1 = -2$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{|-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}}$.
इस प्रकार,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{42}}\right)$.

(C) स्थिति सदिश $\vec{a}$ वाले बिंदु की समतल $\vec{r} \cdot \vec{n} = d$ से लंबवत दूरी का सूत्र है:
$\text{दूरी }= \frac{|\vec{a} \cdot \vec{n} - d|}{|\vec{n}|}$
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ और $d = 9$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{दूरी }= \frac{|(2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) - 9|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
डॉट गुणन की गणना करने पर:
$(2)(1) + (1)(-2) + (-1)(4) = 2 - 2 - 4 = -4$.
अब,मान रखने पर:
$\text{दूरी }= \frac{|-4 - 9|}{\sqrt{1 + 4 + 16}} = \frac{|-13|}{\sqrt{21}} = \frac{13}{\sqrt{21}}$.

(A) बिंदु $(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z - 1}{-6}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-6} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, 3r - 2, -6r + 3)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2r + 1) - (3r - 2) + (-6r + 3) = 5$.
$2r + 1 - 3r + 2 - 6r + 3 = 5$.
$-7r + 6 = 5$.
$-7r = -1$,जिससे $r = \frac{1}{7}$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2(\frac{1}{7}) + 1, 3(\frac{1}{7}) - 2, -6(\frac{1}{7}) + 3) = (\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ है।
बिंदु $(1, -2, 3)$ और $(\frac{9}{7}, -\frac{11}{7}, \frac{15}{7})$ के बीच की दूरी $\sqrt{(\frac{9}{7} - 1)^2 + (-\frac{11}{7} + 2)^2 + (\frac{15}{7} - 3)^2}$ है।
$= \sqrt{(\frac{2}{7})^2 + (\frac{3}{7})^2 + (-\frac{6}{7})^2} = \sqrt{\frac{4}{49} + \frac{9}{49} + \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{49}{49}} = 1$.

(B) समतल का समीकरण $2x + 3y - z - 5 = 0$ दिया गया है।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ है।
चूंकि रेखा समतल के लंबवत है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के समानांतर होगा।
अतः,रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c) = (2, 3, -1)$ हैं।
रेखा बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (1, 1, 1)$ से गुजरती है।
रेखा के समीकरण का सममित रूप $\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -6 & -2 \\ 2 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है।
रेखा पर एक बिंदु ज्ञात करने के लिए $z = 0$ रखने पर: $3x - 6y = 15$ और $2x + y = 5$। हल करने पर $x = 3, y = -1$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $(3, -1, 0)$ है।
प्राचलिक समीकरण $x = 3 + 14t, y = -1 + 2t, z = 15t$ हैं।
कथन-$1$ में $y = 1 + 2t$ दिया गया है,जो गलत है। अतः कथन-$1$ असत्य है।

(C) पहली रेखा $x = 1 + s, y = -3 - \lambda s, z = 1 + \lambda s$ है,जिसे सममित रूप में $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{-\lambda} = \frac{z - 1}{\lambda}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह रेखा बिंदु $A(1, -3, 1)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{l} = (1, -\lambda, \lambda)$ है।
दूसरी रेखा $x = \frac{t}{2}, y = 1 + t, z = 2 - t$ है,जिसे सममित रूप में $\frac{x - 0}{1/2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{-1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह रेखा बिंदु $B(0, 1, 2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{m} = (1/2, 1, -1)$ है।
दो रेखाओं के समतलीय होने के लिए,बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दोनों दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $(\vec{B} - \vec{A}) \cdot (\vec{l} \times \vec{m}) = 0$.
यह सारणिक की शर्त के बराबर है:
$\begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ l_1 & l_2 & l_3 \\ m_1 & m_2 & m_3 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} 0 - 1 & 1 - (-3) & 2 - 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1/2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति को $2$ से गुणा करने पर:
$\begin{vmatrix} -1 & 4 & 1 \\ 1 & -\lambda & \lambda \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(2\lambda - 2\lambda) - 4(-2 - \lambda) + 1(2 + \lambda) = 0$
$0 + 8 + 4\lambda + 2 + \lambda = 0$
$5\lambda + 10 = 0$
$5\lambda = -10$
$\lambda = -2$

(C) बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1) = (2, -3, 1)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (3, -4, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{3-2} = \frac{y-(-3)}{-4-(-3)} = \frac{z-1}{-5-1} = k$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-2}{1} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-1}{-6} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, -k-3, -6k+1)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k+2) + (-k-3) + (-6k+1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5 \implies k = -1$.
$k = -1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(C) तीनों समतल एक सामान्य रेखा से गुजरते हैं। इसका अर्थ है कि किन्हीं दो समतलों के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों का परिवार तीसरे समतल को समाहित करता है।
समतल $P_1: x - 5 = 0$,$P_2: 2x - 5ay + 3z - 2 = 0$,और $P_3: 3bx + y - 3z = 0$ लें।
$P_1$ और $P_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x - 5) + \lambda(2x - 5ay + 3z - 2) = 0$
$(1 + 2\lambda)x - (5a\lambda)y + (3\lambda)z - (5 + 2\lambda) = 0$.
चूंकि यह समतल $P_3$ के समान है,हम गुणांकों की तुलना $3bx + y - 3z = 0$ से करते हैं।
$x=5$ को $P_2$ में रखने पर: $2(5) - 5ay + 3z - 2 = 0 \implies -5ay + 3z + 8 = 0$.
$P_3$ में $x=5$ रखने पर: $3b(5) + y - 3z = 0 \implies y - 3z = -15b$.
ये दोनों समीकरण एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए गुणांक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{-5a}{1} = \frac{3}{-3} = \frac{8}{-15b}$.
$\frac{3}{-3} = -1$ होने के कारण,
$-5a = -1 \implies a = \frac{1}{5}$.
और $\frac{8}{-15b} = -1 \implies 8 = 15b \implies b = -\frac{8}{15}$ (चिह्न की जांच करने पर: $y-3z = -15b$ और $-5ay+3z = -8$,जोड़ने पर $(1-5a)y = -8-15b$,अतः $a=1/5$ और $b=-8/15$).
अतः,$(a, b) = (1/5, -8/15)$.

(B) माना $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} = k$ है।
तब,हमें $x = k$,$y = 2k$,और $z = 2k$ प्राप्त होता है।
रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(k, 2k, 2k)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 6$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k) + (2k) + (2k) = 6$।
$6k = 6$।
$k = 1$।
$k = 1$ को $(k, 2k, 2k)$ में रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2, 2)$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि समतल $ax + by + cz + d = 0$ बिंदुओं $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु $P$ के निर्देशांक हैं:
$P = \left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1}, \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right)$.
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $ax + by + cz + d = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$a\left( \frac{kx_2 + x_1}{k+1} \right) + b\left( \frac{ky_2 + y_1}{k+1} \right) + c\left( \frac{kz_2 + z_1}{k+1} \right) + d = 0$.
$(k+1)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(kx_2 + x_1) + b(ky_2 + y_1) + c(kz_2 + z_1) + d(k+1) = 0$.
$k$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) + (ax_1 + by_1 + cz_1 + d) = 0$.
$k(ax_2 + by_2 + cz_2 + d) = -(ax_1 + by_1 + cz_1 + d)$.
$k = -\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d}$.
अतः,समतल रेखाखंड को $-\frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{ax_2 + by_2 + cz_2 + d} : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(D) माना रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z + 2}{3} = r$ है।
अतः,रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $x = r$,$y = 2r + 1$,और $z = 3r - 2$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + 3y + z = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(r) + 3(2r + 1) + (3r - 2) = 0$.
समीकरण का विस्तार करने पर:
$2r + 6r + 3 + 3r - 2 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$11r + 1 = 0$,जिससे $r = -\frac{1}{11}$ प्राप्त होता है।
अब,$r = -\frac{1}{11}$ का मान $x, y, z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = -\frac{1}{11}$,
$y = 2(-\frac{1}{11}) + 1 = -\frac{2}{11} + \frac{11}{11} = \frac{9}{11}$,
$z = 3(-\frac{1}{11}) - 2 = -\frac{3}{11} - \frac{22}{11} = -\frac{25}{11}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $\left( -\frac{1}{11}, \frac{9}{11}, -\frac{25}{11} \right)$ है।

(D) माना समतल $x - 2y = 0$ में बिंदु $P(-1, 3, 4)$ का प्रतिबिंब $P'(\alpha, \beta, \gamma)$ है।
$P$ और $P'$ से गुजरने वाली रेखा समतल $x - 2y = 0$ के लंबवत है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -2, 0)$ है।
बिंदु $P(-1, 3, 4)$ से गुजरने वाली और $(1, -2, 0)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 3}{-2} = \frac{z - 4}{0} = k$ है।
अतः,इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k - 1, -2k + 3, 4)$ है।
$PP'$ का मध्य बिंदु $M = (\frac{\alpha - 1}{2}, \frac{\beta + 3}{2}, \frac{\gamma + 4}{2})$ है।
चूंकि $M$ समतल $x - 2y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\frac{\alpha - 1}{2} - 2(\frac{\beta + 3}{2}) = 0$,जो सरल होकर $\alpha - 1 - 2\beta - 6 = 0$ या $\alpha - 2\beta = 7$ हो जाता है।
साथ ही,रेखा $PP'$ समतल के लंबवत है,इसलिए $PP'$ के दिक-अनुपात समतल के अभिलंब के समानुपाती होते हैं: $\frac{\alpha - (-1)}{1} = \frac{\beta - 3}{-2} = \frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$.
$\frac{\gamma - 4}{0} = \lambda$ से,हमें $\gamma = 4$ प्राप्त होता है।
$\alpha + 1 = \lambda$ और $\beta - 3 = -2\lambda$ से,हमें $\alpha = \lambda - 1$ और $\beta = -2\lambda + 3$ प्राप्त होता है।
$\alpha - 2\beta = 7$ में मान रखने पर: $(\lambda - 1) - 2(-2\lambda + 3) = 7 \Rightarrow \lambda - 1 + 4\lambda - 6 = 7 \Rightarrow 5\lambda = 14 \Rightarrow \lambda = \frac{14}{5}$.
अतः $\alpha = \frac{14}{5} - 1 = \frac{9}{5}$ और $\beta = -2(\frac{14}{5}) + 3 = -\frac{28}{5} + \frac{15}{5} = -\frac{13}{5}$.
प्रतिबिंब $(\frac{9}{5}, -\frac{13}{5}, 4)$ है। चूंकि यह विकल्पों में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) मान लीजिए कि रेखा $L$ के दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ दोनों समतलों में स्थित है,इसलिए यह दोनों समतलों के अभिलंबों के लंबवत है।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, 3, 2)$ हैं।
रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ के क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $(1, -1, 1)$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
दिक कोज्याएं $(\ell, m, n)$ सदिश $(1, -1, 1)$ को सामान्यीकृत करके प्राप्त की जाती हैं:
परिमाण $= \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$,$m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$,$n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\alpha$ के लिए $\cos \alpha = \ell = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगा।

(A) रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z + 2}{2}$ समतल $x + 3y - \alpha z + \beta = 0$ में स्थित है।
चूंकि रेखा समतल के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $(1, 3, -\alpha)$ रेखा के दिशा सदिश $(3, -5, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$1(3) + 3(-5) + (-\alpha)(2) = 0$.
$3 - 15 - 2\alpha = 0$.
$-12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
अब,समतल का समीकरण $x + 3y + 6z + \beta = 0$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(2, 1, -2)$ रेखा पर स्थित है।
समतल के समीकरण में $(2, 1, -2)$ रखने पर: $2 + 3(1) + 6(-2) + \beta = 0$.
$2 + 3 - 12 + \beta = 0$.
$-7 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है।
समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। कोण का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया गया है कि $\theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin \theta = \sqrt{1 - \frac{5}{14}} = \sqrt{\frac{9}{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
अब,$\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 9\lambda^2 + 30\lambda = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(C) माना कि दो रेखाएँ क्रमशः $\lambda$ और $\mu$ प्राचल द्वारा निरूपित हैं:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda \implies x=2\lambda+1, y=3\lambda-1, z=4\lambda+1$
$\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu \implies x=\mu+3, y=2\mu+k, z=\mu$
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो दोनों के लिए एक उभयनिष्ठ बिंदु होना चाहिए,अतः:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2 \quad (i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1 \quad (ii)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1 \quad (iii)$
समीकरण $(iii)$ में से $(i)$ घटाने पर:
$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2
\implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर:
$4(-\frac{3}{2}) + 1 = \mu \implies -6 + 1 = \mu \implies \mu = -5$
$\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(ii)$ में रखने पर:
$3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1
\implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1
\implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$

(C) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{l_1} = \frac{y-y_1}{m_1} = \frac{z-z_1}{n_1}$ और $\frac{x-x_2}{l_2} = \frac{y-y_2}{m_2} = \frac{z-z_2}{n_2}$ समतलीय होती हैं यदि और केवल यदि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1), (l_1, m_1, n_1), (l_2, m_2, n_2)] = 0$।
दिए गए बिंदु $P_1(2, 3, 4)$ और $P_2(1, 4, 5)$ हैं। सदिश $\vec{P_1P_2} = (1-2, 4-3, 5-4) = (-1, 1, 1)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, -k)$ और $\vec{v_2} = (k, 2, 1)$ हैं।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\left| \begin{matrix} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
$\left| \begin{matrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{matrix} \right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 1(2 - k) = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$। इस प्रकार $k$ के ठीक दो मान संभव हैं।

(C) माना दी गई रेखा $L_1: \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{-5} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $P(3k + 1, k + 3, -5k + 4)$ है।
रेखा $L_1$ और समतल $2x - y + z + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $B$ को खोजने के लिए,$P$ के निर्देशांक को समतल समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$2(3k + 1) - (k + 3) + (-5k + 4) + 3 = 0$
$6k + 2 - k - 3 - 5k + 4 + 3 = 0$
$6 = 0$,जो असंभव है। इसका अर्थ है कि रेखा समतल के समानांतर है।
माना $A(1, 3, 4)$ रेखा पर एक बिंदु है। समतल में $A$ का प्रतिबिंब $A'$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 4}{1} = -2 \frac{2(1) - 3 + 4 + 3}{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
अतः,$x - 1 = -4 \Rightarrow x = -3$,$y - 3 = 2 \Rightarrow y = 5$,$z - 4 = -2 \Rightarrow z = 2$. इस प्रकार,$A'(-3, 5, 2)$.
प्रतिबिंब रेखा $A'(-3, 5, 2)$ से गुजरती है और मूल रेखा के समानांतर है,इसलिए इसके दिशा अनुपात $(3, 1, -5)$ हैं।
प्रतिबिंब रेखा का समीकरण $\frac{x + 3}{3} = \frac{y - 5}{1} = \frac{z - 2}{-5}$ है।

(A) माना कि रेखा $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12} = \lambda$ है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(3\lambda + 2, 4\lambda - 1, 12\lambda + 2)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 16$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(3\lambda + 2) - (4\lambda - 1) + (12\lambda + 2) = 16$
$3\lambda + 2 - 4\lambda + 1 + 12\lambda + 2 = 16$
$11\lambda + 5 = 16$
$11\lambda = 11$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को निर्देशांकों में रखने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है:
$x = 3(1) + 2 = 5$
$y = 4(1) - 1 = 3$
$z = 12(1) + 2 = 14$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(5, 3, 14)$ है।
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदु $(1, 0, 2)$ और $(5, 3, 14)$ के बीच की दूरी ज्ञात करते हैं:
$d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (3 - 0)^2 + (14 - 2)^2}$
$d = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2}$
$d = \sqrt{16 + 9 + 144}$
$d = \sqrt{169} = 13$.
इस प्रकार,दूरी $13$ इकाई है।

(D) समतलों $2x - 5y + z - 3 = 0$ और $x + y + 4z - 5 = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण है:
$(2x - 5y + z - 3) + \lambda(x + y + 4z - 5) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(2 + \lambda)x + (\lambda - 5)y + (4\lambda + 1)z - (3 + 5\lambda) = 0 \quad \dots(i)$
चूंकि यह समतल $x + 3y + 6z = 1$ के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश समानुपाती होंगे:
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3} = \frac{4\lambda + 1}{6} = k$
$\frac{2 + \lambda}{1} = \frac{\lambda - 5}{3}$ लेने पर,$6 + 3\lambda = \lambda - 5 \implies 2\lambda = -11 \implies \lambda = -\frac{11}{2}$.
$\lambda = -\frac{11}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(2 - \frac{11}{2})x + (-\frac{11}{2} - 5)y + (4(-\frac{11}{2}) + 1)z - (3 + 5(-\frac{11}{2})) = 0$
$-\frac{7}{2}x - \frac{21}{2}y - 21z + \frac{49}{2} = 0$
$-\frac{2}{7}$ से गुणा करने पर:
$x + 3y + 6z - 7 = 0 \implies x + 3y + 6z = 7$.

(B) दी गई रेखा $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+4}{3}$ है।
रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (2, -1, 3)$ है और रेखा पर स्थित एक बिंदु $P(3, -2, -4)$ है।
समतल का समीकरण $lx + my - z = 9$ है,जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (l, m, -1)$ है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$:
$2l - m - 3 = 0 \Rightarrow 2l - m = 3$ ....$(1)$
साथ ही,बिंदु $P(3, -2, -4)$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
$l(3) + m(-2) - (-4) = 9$
$3l - 2m + 4 = 9$
$3l - 2m = 5$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:
$(1)$ से,$m = 2l - 3$. इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3l - 2(2l - 3) = 5$
$3l - 4l + 6 = 5$
$-l = -1 \Rightarrow l = 1$
$l = 1$ को $(1)$ में रखने पर:
$m = 2(1) - 3 = -1$
अतः,$l^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) बिंदु $(1, -5, 9)$ से गुजरने वाली और रेखा $x = y = z$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$
$\lambda + 15 = 5$
$\lambda = -10$.
$\lambda = -10$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = (-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$.
बिंदुओं $(1, -5, 9)$ और $(-9, -15, -1)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2}$
$d = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$.

(C) बिंदु $P(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{4} = \frac{z-3}{5} = \lambda$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $F$ को $(\lambda+1, 4\lambda-2, 5\lambda+3)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि $F$ समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है,इसलिए हम $F$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(\lambda+1) + 3(4\lambda-2) - 4(5\lambda+3) + 22 = 0$
$2\lambda + 2 + 12\lambda - 6 - 20\lambda - 12 + 22 = 0$
$-6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
$\lambda = 1$ को $F$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $F(2, 2, 8)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $F$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए दूरी $PQ = 2PF$ होगी।
दूरी $PF = \sqrt{(2-1)^2 + (2-(-2))^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 16 + 25} = \sqrt{42}$.
अतः,$PQ = 2PF = 2\sqrt{42}$।

(C) माना बिंदु $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z + 1) = 0$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 + 3) - \hat{j}(-1 - 6) + \hat{k}(-1 + 4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
अतः,समतल का समीकरण $5(x - 1) + 7(y + 1) + 3(z + 1) = 0$ है,जो सरल होकर $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 3, -7)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{83}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$.

(A) प्रथम दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण:
$(2x - 2y + 3z - 2) + \lambda(x - y + z + 1) = 0$
$x(\lambda + 2) - y(\lambda + 2) + z(\lambda + 3) + (\lambda - 2) = 0 \quad \dots(1)$
चूंकि यह समतल ${L_2}$ को समाहित करता है,इसलिए:
$\begin{vmatrix} \lambda + 2 & -(\lambda + 2) & \lambda + 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(\lambda + 2) + 5(\lambda + 2) - 7(\lambda + 3) = 0$
$8\lambda + 16 - 7\lambda - 21 = 0 \Rightarrow \lambda = 5$
समीकरण $(1)$ में $\lambda = 5$ रखने पर:
$7x - 7y + 8z + 3 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|3|}{\sqrt{7^2 + (-7)^2 + 8^2}} = \frac{3}{\sqrt{162}} = \frac{3}{9\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}}$.

(C) माना बिंदु $A(4, -1, 3)$ और $B(5, -1, 4)$ हैं। सदिश $\overrightarrow{AB} = (5-4)\hat{i} + (-1 - (-1))\hat{j} + (4-3)\hat{k} = \hat{i} + \hat{k}$ है।
समतल $x + y + z = 7$ का अभिलंब $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{3}}$ है।
अभिलंब $\vec{n}$ पर $\overrightarrow{AB}$ का प्रक्षेप $d = |\overrightarrow{AB} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i} + \hat{k}) \cdot \frac{(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{\sqrt{3}}| = \frac{1+0+1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
समतल पर रेखाखंड $AB$ के प्रक्षेप की लंबाई $\sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 - d^2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$|\overrightarrow{AB}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$ है।
अतः,प्रक्षेप की लंबाई $= \sqrt{2 - (\frac{2}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{2 - \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{6-4}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।

(C) एक रेखा जिसका दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, 2)$ है और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -1, \sqrt{\lambda})$ है,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\sin \theta = \frac{1}{3}$,अतः $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$.
$3\lambda = 5 \Rightarrow \lambda = \frac{5}{3}$.