बिंदु $2i + j - k$ की समतल $r \cdot (i - 2j + 4k) = 9$ से दूरी क्या है?

वह बिंदु जिसके निर्देशांक जहाँ रेखा $\frac{x - 6}{-1} = \frac{y + 1}{0} = \frac{z + 3}{4}$ समतल $x + y - z = 3$ से मिलती है,हैं

मान लीजिए कि समतल $P: 4x - y + z = 10$ को समतल $x + y - z = 4$ के साथ इसकी प्रतिच्छेदन रेखा के परितः $\frac{\pi}{2}$ कोण से घुमाया जाता है। यदि $\alpha$ बिंदु $(2, 3, -4)$ की समतल $P$ की नई स्थिति से दूरी है,तो $35\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $P$ प्रथम अष्टांश (first octant) में एक बिंदु है,जिसका समतल $x+y=3$ में प्रतिबिंब $Q$ (अर्थात,रेखाखंड $PQ$,समतल $x+y=3$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्य-बिंदु समतल $x+y=3$ पर स्थित है) $z$-अक्ष पर स्थित है। माना $x$-अक्ष से $P$ की दूरी $5$ है। यदि $R$,$xy$-समतल में $P$ का प्रतिबिंब है,तो $PR$ की लंबाई है।

$1, -1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा, रेखाओं $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$ और $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{4}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है। यदि रेखाखंड $PQ$ की लंबाई $\alpha$ है, तो $225\alpha^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक रेखा $l$ मूल बिंदु से गुजरती है और रेखाओं $l_1 = (3 + t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (4 + 2t)\hat{k}$ तथा $l_2 = (3 + 2s)\hat{i} + (3 + 2s)\hat{j} + (2 + s)\hat{k}$ पर लंब है।
कथन $1$: रेखा $l$ और $l_2$ समतलीय रेखाएं हैं।
कथन $2$: रेखा $l$ और $l_2$ प्रतिच्छेदी रेखाएं हैं।